нескольких неизвестных. Симметрические многочлены

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Многочлены от нескольких неизвестных.
Симметрические многочлены
Задача 45. Указать системы показателей и степень следующих
одночленов от n неизвестных:
n  5.
a  2 x15 x 2 x3 ,
n  7.
б   3x1 x 5 x 7 ,
n  4.
в  4 x 2 x3 ,
n  6.
г  2 x 37 x 24 x 6 ,
Решение.
а)
система показателей 5 1 1 0 0
степень 5  1  1  0  0  7
б) система показателей 1 0 0 0 1 0 1
степень 1  0  0  0  1  0  1  3
в) система показателей 0 1 1 0
степень 0  1  1  0  2
г) система показателей 0 0 7 2 0 1
степень 0  0  7  2  0  1  10 .
Задача 46. Указать компоненты многочлена
f  x1 , x 2 , x3   x15 x 2  x1 x32  x12 x 22  x1 x 2 x3  2 x 24 x32  x12 x 22 x32 .
Решение.
x15 x 2  2 x 24 x32  x12 x 22 x32 (однородная компонента степени 6),
 x12 x 22 (однородная компонента степени 4),
 x1 x 32  x1 x 2 x 3 (однородная компонента степени 3).
Задача 47. Записать многочлен
f  x1 , x 2 , x3   x 24  x1 x 2 x3  3x1 x 2  x 2 x3  2 x 2 x32
лексографически.
 
Решение. Одночлен Ax1 1 x 2 2  x n n считается выше (старше) одночлена


Bx1 1 x 2 2  x n n , если существует такой номер k , ( k  1, 2,  , n ) для которого
 1   1 ,  2   2 ,  ,  k 1   k 1 ,  k   k . Выбираем из всех одночленов
многочлена f  x1 , x 2 , x3  самый высокий член: x1 x 2 x 3 . Из оставшихся членов
– тоже самый высокий член: 3 x1 x 2 , из оставшихся – x 24 , затем – 2 x 2 x 32 , затем
–  x1 x3  . В итоге запишем многочлен f  x1 , x 2 , x3  в порядке убывания
высоты членов:
f  x1 , x 2 , x3   x1 x 2 x3  3x1 x 2  x 24  2 x 2 x32  x 2 x3 .
Задача 48. В многочлене
f  x1 , x 2 , x3   2 x12 x32  x1 x 2 x3  3x12  x3  2 x 2 x32
выделить переменную x 3 .
Решение. Для решения поставленной задачи надо сгруппировать
одночлены, имеющие одинаковые степени x 3 и в каждой такой группе за
x3 :
скобки
вынести
соответствующую
степень


f  x1 , x 2 , x3   2 x12 x32  2 x 2 x32 


 
  x1 x 2 x3  x3   3x12  2 x12  2 x 2 x32   x1 x 2  1 x3  3x12 .
В полученной записи многочлен f  x1 , x 2 , x3  представляет собой многочлен
от одного неизвестного x 3 над кольцом x1 , x 2 .
Задача 49. Является ли многочлен f  x1 , x 2 , x3   x12 x3  x32 x 2  x 22 x1
симметрическим?
Решение. Многочлен f  x1 , x 2 , x3  является симметрическим, если он
допускает все 3!  6 подстановок своих неизвестных. Запишем эти
подстановки:
 x x 2 x3 
 x x 2 x3 
 x x 2 x3 
 ,  2   1
 ,
 ,
 1   1
 3   1
 x1 x 2 x 3 
 x1 x 3 x 2 
 x 3 x1 x 2 
x
x
x 
x
x
x 
x
x
x 
2
3
2
3
2
3
 ,  5   1
 ,
 .
 4   1
 6   1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
3
1
1
3
 3
 2
 2
Осуществим подстановку  1 : f1  x1 , x 2 , x3   f  x1 , x 2 , x3  – подстановка  1
допускается многочленом f  x1 , x 2 , x3  . Осуществим подстановку  2 :
f 2  x1 , x3 , x 2   x12 x 2  x 22 x3  x32 x  f  x1 , x 2 , x3 
- подстановка  2 не допускается многочленом f  x1 , x 2 , x3  , то есть
многочлен f  x1 , x 2 , x3  не является симметрическим.
Основная теорема.
Всякий симметрический многочлен f  x1 , x 2 ,  , x n  над полем K может
быть представлен над этим полем в виде многочлена от элементарных
симметрических многочленов  1 ,  2 ,  ,  n , где:
 1  x1  x 2    x n
 2   xi x j
i 1,, n 1
j  2,, n
i j
3 

xi x j x k
i j k
i 1,, n  2
j  2,, n 1
k 3,, n
……………………….
 n  x1 x 2  x n ,
причем это представление единственное.
f  x1 , x 2 ,  , x n 
Для однородного симметрического многочлена
выражение через  1 ,  2 ,  ,  n может быть найдено следующим образом.
Пусть степень однородности многочлена f равна R . Тогда строим
дополнительные многочлены f1 , f 2 ,  с той же степенью однородности,
симметрические.
Пусть высший член многочлена f  x1 , x 2 ,  , x n  имеет систему
показателей R1 , R 2 ,  , R n . Это система неотрицательных целых чисел,
удовлетворяющих условиям
1) R1  R2    Rn
2) R1  R2    Rn  R .
Согласно системе показателей и коэффициенту A высшего члена
R R
строим многочлен g  1 ,  2 , ,  n   A 1 R1  R2   2 R2  R1  nn1 n 1   nRn .
Теперь выпишем все возможные наборы длины n неотрицательных
целых чисел S1 , S 2 ,  , S n таких, что
1) S1  R1
2) S1  S 2    S n  R
3) S1  S 2    S n .
Для каждого из этих наборов S1i  , S 2i  ,  , S ni  строим дополнительный
многочлен с неопределенным коэффициентом:
S i   S 2i 
Bi : f i  Bi  1 1
S i   S3i 
 22
Тогда f  g  1 ,  2 ,  ,  n    f i .
S i   S ni 
    n n11
i 
  nS n .
i
Чтобы найти неопределенные коэффициенты Bi надо задать
неизвестным x1 , x 2 ,  , x n столько вариантов заданий (без соблюдения
симметричности), сколько имеется неопределенных коэффициентов Bi .
Затем для каждого варианта заданий неизвестных x1 , x 2 ,  , x n надо
подсчитать значение многочленов  1 ,  2 ,  ,  n . А затем подсчитать
значе6ния многочлена f исходя из его выражения через x1 , x 2 ,  , x n и через
 1 ,  2 ,  ,  n . В результате мы получим систему линейных уравнений, решая
которую узнаем значения неопределенных коэффициентов Bi .
Задача 50. Выразить симметрический многочлен
f  x1 , x 2 , x3   x13  x 23  x33
через элементарные симметрические функции.
Решение. Высший член данного многочлена равен 1 x13 . Его система
показателей: 3 0 0 . Тогда дополнительный многочлен
g  1   13  0   20  0   30  1   13 .
Выписываем все наборы трех неотрицательных целых чисел, сумма которых
равна степени однородности заданного многочлена, то есть 3, такие которые
будут невозрастающими:
2 1 0
.
1 1 1
Первому набору соответствует дополнительный многочлен
f1  B1 121   120   30  B1 1 2 .
Второму набору соответствует дополнительный многочлен
f 2  B2 111   121   31  B2 3 .
В итоге имеем: f   13  B1 1 2  B2 3 .
Дальнейшие рассуждения удобнее оформить в таблицу.
f  1  ,  2  ,  3  
x1
x2
x3
f    1  
 2    3  
8  2 B1
1
1
0
2
2
1
0
27  9 B1  B 2
1
1
1
3
3
3
1
Тогда, учитывая, что f    f  1  ,  2  ,  3   , имеем:
B  3
2  8  2 B1
2 B  6
или  1
, то есть 1
.

B2  3
3  27  9 B1  B2
9 B1  B 2  24
Следовательно, f   13  3 1 2  3 3 .
Задача 51. Выразить через элементарные симметрические многочлены
многочлен f  x1 , x 2 , x3    x1 x 2  x3  x1 x3  x 2  x 2 x3  x1  .
Решение. Раскрыв скобки, представим многочлен f в виде суммы
однородных многочленов:
f  x12 x 22 x32  x13 x 2 x3  x1 x 23 x3  x1 x 2 x33  x12 x 22  x12 x32  x 22 x32  x1 x 2 x3 .
Каждую однородную компоненту представляем в виде многочлена от
элементарных симметрических функций:
x12 x 22 x 32   32 ,
x13 x 2 x 3  x1 x 23 x 3  x1 x 2 x 33   12 3  2 2 3 ,
x12 x 22  x12 x 32  x 22 x 32   22  2 1 3 ,
x1 x 2 x 3   3 .

 

Следовательно, f   32   12 3  2 2 3   22  2 1 3   3 .
Задача 52. Найти сумму кубов корней многочлена f  x   2 x 3  x 2  1 .
Решение. Многочлен от одного неизвестного третьей степени с
вещественными коэффициентами в поле комплексных чисел имеет в
точности три корня c1 , c 2 , c3 . Требуется найти c13  c 23  c33  S . Рассмотрим
многочлен F  x1 , x 2 , x3   x13  x 23  x33 – это однородный симметрический
многочлен со степенью однородности 3. Его можно представить в виде
многочлена от элементарных симметрических функций  1  x1  x 2  x3 ,
 2  x1 x 2   x1 x3  x 2 x3 ,  3  x1 x 2 x3 : F   13  3 1 2  3 3 .
Тогда S  F c1 , c 2 , c3   F  1 c1 , c 2 , c3 ,  2 c1 , c 2 , c3 ,  3 c1 , c 2 , c3  , где
 1 c1 , c 2 , c 3 ,  2 c1 , c 2 , c3  ,  3 c1 , c 2 , c3  можно найти по формулам Виета.
1
 1 c1 , c 2 , c3   c1  c 2  c3   ,  2 c1 , c 2 , c3   c1c 2  c1c3  c 2 c3  0 ,
2
1
2
 3 c1 , c 2 , c3   c1c 2 c3   .
3
Следовательно, S 
c13

c 23

c33
13
 1
 1
     3     .
8
 2
 2
Выражение степенных сумм через элементарные
симметрические многочлены
Степенными суммами называются симметрические многочлены
k  1, 2, 3,  .
S k  x1k  x 2k    x nk
С элементарными симметрическими многочленами они связаны формулами
Ньютона:
1 S k  S k 1 1  S k 2 2     1k 1 S1 k 1   1k k k  0 k  n
S k  S k 1 1  S k 2 2     1n S k n n  0 k  n  .
В этих формулах можно последовательно находить выражения S1 , S 2 , S 3 , 
через  1 ,  2 ,  ,  n (или наоборот).
Задача 53. Выразить симметрический многочлен
f  x1 , x 2 , x3   x13  x 23  x33
через элементарные симметрические многочлены.
Решение. Многочлен f  x1 , x 2 , x3  представляет собой степенную
сумму, для которой k  3 , то есть k  n . Используем первую формулу
Ньютона:
S1   1 ; S 2  S1 1  2 2  0  S 2   12  2 2 ,
2
S 3  S 2 1  S1 2  3 3  0  S 3   13  3 1 2  3 3 .
Следовательно, f   13  3 1 2  3 3 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. –
160 с.
4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре.
Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. –
144 с.
6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.:
Просвещение, 1969. – 276 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
10.Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
11.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
12.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во
МГУ, 1965. – 40 с.
13.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. –
183 с.
14.Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. –
302 с.
15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. –
332 с.
16.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
17.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1977. – 228 с.
18.Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш.
шк., 1982. – 223 с.