Признаки утомления, которые может наблюдать учитель:
advertisement
СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………….………………………… С. 2 Глава I. Понятие фрактала ………………………………….……………………… С. 3 Глава II. Размерность фрактала…….…………………………..…………................С. 4 Глава III. Виды фракталов………….………………………….…………................С. 4 Глава IV. Организация исследования..…………………………..…………..……...С. 8 Глава V. Выводы по результатам исследования………………….….…...…....……С. 9 Заключение………………………………………………………..…………………...С. 10 Библиографический список……………...……………....……...…………………...С. 10 Приложения Отзыв научного руководителя Аннотация Отзыв Копия диплома 2 ВВЕДЕНИЕ В работе «Размерность и площадь фрактальных фигур» сравнительно новые объекты математической науки. В рассматриваются фракталы как работе рассмотрены вопросы возникновения фракталов, свойства и виды фракталов. Целью исследования является выявление зависимости площади фрактального треугольника от его порядка. К задачам исследования можно относятся: - рассмотрение построение фрактальных треугольников различных порядков методом итерации; - вычисление площади фрактальных треугольников различных порядков; - определение значения величины, к которому стремится значение площади S при увеличении порядка п. Объектом исследования являются фрактальные треугольники. Автором выдвигается гипотеза о том, что площадь фрактального треугольника (снежинки Кох) является конечной величиной. В ходе применения аналитических методов автор приходит к выводу о том, что значение площадь данной фигуры остается конечной величиной при любом количестве итераций. Результат работы подтверждается выводом формулы, расчетами и графиком. Таким образом, по результатам исследования автор приходит к выводу о том, что снежинка Кох обладает удивительным свойством: ограничивающую конечную площадь. она представляет собой линию бесконечной длины, 3 Глава I. Понятие фрактала Современный человек интуитивно описывает пространство вокруг себя в понятиях евклидовой геометрии, которая изучает геометрические объекты с гладкими сторонами, гранями и поверхностями и подразумевает изучение этих объектов в трехмерном пространстве. Мы говорим: «этот дом прямоугольный» или «тот предмет похож на шарик» Но с помощью гладких линий, треугольников и кружков невозможно нарисовать, например, кору дерева или горный хребет. Поэтому появилась необходимость в использовании математических моделей, которые изменяют наше представление о размерности. Такими математическими моделями стали фракталы. Фракталы – это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение [1]. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия. Эти удивительные фигуры стали широко известными в 70-х годах прошлого века, благодаря Бенуа Мандельброту, работавшему тогда в математическим аналитиком в фирме IBM. Слово фрактал образовано от латинского “fractus” и было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature”. Он писал, что придумал слово “фрактал”, взяв за основу латинское прилагательное “fractus”, означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный. Нужно сказать, что в математике эти необычные объекты встречались то здесь, то там с конца девятнадцатого века, и в работах Мандельброта были использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора, Хаусдорфа). Но именно Мандельброту удалось собрать эти разрозненные сведения, увидеть общее в многообразии и указать на важность этого открытия. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие, поэтому их определение, данное Мандельбротом, звучит так: Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [1]. 4 Кроме самоподобия, фракталы замечательны еще и тем, что многие из них удивительно похожи на то, что мы встречаем в природе. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности. Было обнаружено множество природных объектов, строение которых сходно с фракталами: ветки деревьев, снежинки, кровеносные пути, бронхи, нервы, карта мозговых полушарий, да и любая карта, описание рельефа местности являются фракталами [2].. Чтобы построить фрактал, нужно запустить бесконечную повторяющуюся математическую процедуру, которая будет его рисовать. С течением времени фрактал будет увеличиваться, или будут уточняться все более мелкие его детали. Именно поэтому фракталы так похожи на природные объекты. Глава II. Размерность фрактала Помимо самоподобия фракталы обладают еще одним необычным свойством. Размерность фрактала является дробным числом. В рамках евклидовой геометрии мы привыкли к тому, что плоские фигуры имеют размерность, равную 2, а объёмные – 3. Пространство вокруг нас трехмерное, и вопрос о его размерности не удивляет людей в обычной жизни. С другой стороны, такие природные объекты как облака, реки, горы, береговая линия, ответвления бронхов, лист папортника не всегда могут быть описаны только с помощью эвклидовой геометрии. Фракталы же как пример математической модели в большей степени отражают особенности различных природных систем. Размерность фрактала может быть выражена дробным числом, например она может быть равной 2,3. Вообще, в математике существует целая теория, описывающая объекты нецелой размерности. Эта теория и применяется к фракталам[6]. Глава III. Виды фракталов Существует несколько классификаций фракталов. По одной из них фракталы делятся на следующие группы: геометрические фракталы, алгебраические фракталы, стохастические фракталы. 3.1. Геометрические фракталы 5 История фракталов началась именно с геометрических фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении поступают так: берется некоторый набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этому набору применяют правила, которые преобразуют его в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять те же правила. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал. Одними из самых известных фракталов такого типа являются ковер Серпиньского, кривая Кох и кривая Гильберта (I) . а) Ковер Серпиньского Ковер Серпиньского, названный так в честь польского математика Вацлава Серпиньского (1882-1969), строится следующим образом. Возьмем правильный треугольник (рис. 1, а) (I). Это будет нулевым шагом. Проведём средние линии и исключим средний треугольник (это будет первым шагом). На втором шаге проведем средние линии трех оставшихся треугольников и в каждом исключим средние треугольники (рис. 1, в) (I) Повторив аналогичные действия на третьем и четвертом шаге и продолжив процесс бесконечно, получим изображение, аналогичное рисунку 1, г (I). Здесь проявляется одно из главных свойств фракталов – самоподобие. б) Кривая Кох Еще одним очень известным геометрическим фракталом является кривая Кох (рис. 3) (I), названная так в честь шведского математика Хельги фон Кох, открывшую ее еще в 1904 году. Для того чтобы построить данный фрактал нужно последовательно выполнить бесконечное число шагов. Начальный шаг – нулевой. Возьмём отрезок произвольной длины (рис. 4, а) (I) и поделим его на три равные части. На среднем отрезке CD построим правильный треугольник CED, чье основание CD мы потом удалим. Мы получим кривую ACEDB, у которой все звенья равны (рис. 4, б) (I). Второй шаг представлен на следующем рисунке (рис. 4, в) (I). Продолжая этот процесс до бесконечности, мы и получим искомый фрактал – кривую Кох (рис. 3) (I). Разновидностью этого фрактала является замкнутая кривая Кох, которая носит название снежинки Кох. Далее в работе предлагаются вычисления площади снежинки Кох и показано, что даже при многократной итерации (повторении) её площадь является конечным числом. 6 в) Кривая Гильберта Весьма интересной является кривая Гильберта. Исходным элементом являются отрезки, образующие кривую, похожую на букву “П”(II). На основе приведённых примеров мы рассмотрели несколько последовательных стадий преобразования исходной фигуры. Каждая из полученных на отдельном этапе фигур называется предфракталом, и их самоподобие очевидно. Настоящий фрактал получится, если число шагов алгоритма построения будет стремиться к бесконечности [4]. Чтобы лучше усвоить свойство самоподобия фрактала мной в программе Excel был построен один из несложных геометрических фракталов (II). Геометрические фракталы имеют колоссальное практическое значение. Применяя их в машинной графике, ученые научились получать сложные объекты, похожие на природные: изображения снежинок, горных вершин, искусственных облаков, деревьев, кустов, веток, береговой линии и так далее. Более сложные изображения фракталов могут быть также предметом художественного и эстетического восхищения. 3.2. Алгебраические фракталы Следующей обширной группой фракталов являются алгебраические фракталы. Алгебраические фракталы появились гораздо позже геометрических, а их изображения ученые научились получать лишь после создания ЭВМ. Их название весьма условно, поскольку в результате построения мы получаем геометрическую фигуру. Однако построение ведется на основе алгебраических формул, и, по всей видимости, именно отсюда и берет свое название эта группа фракталов. Одним из самых известных представителей этой группы является множество Мандельброта. а) Множество Мандельброта Данное множество было открыто Бенуа Мандельбротом, отцом теории фракталов и названо в его честь. Мандельброт получил рисунок (Приложение 3), в котором явно просматривались признаки систематичности и самоподобия. Когда изображение было увеличено, многие части обнаружили довольно сложную структуру[3].. С развитием ЭВМ стало возможным построение 7 графического образа множества (рис. 8) (III). Если внимательно рассмотреть рисунок, то можно заметить, что основная форма множества повторяется многократно во все меньших размерах. б) Множество Жюлиа Множества семейства Жюлиа названы так в честь французского математика Гастона Жюлиа. Множество Жюлиа являет собой огромное поле для экспериментов. Так как вид этого фрактала зависит от некоторого параметра с, изменяя его, можно получать изображения, в корне не похожие на первоначальное [4]. Одни из них похожи на большие тучи, другие напоминают колючие ветви кустарников, третьи выглядят как искры, летящие во время салюта. Практическое значение алгебраических фракталов в машинной графике не может быть не оценено. Множества Мандельброта и Жюлиа являются основами при создании фрактальных изображений. 3.3. Стохастические фракталы Еще одной распространенной группой фракталов являются стохастические фракталы. Их получают, меняя в итерационном (повторяющемся) процессе некоторые параметры случайным образом. С их помощью моделируют различные природные процессы, в том числе рельефы местности. Этим способом можно также нарисовать такие природные объекты, как изрезанные береговые линии, облака, волны на воде многое другое. Поэтому фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности. Типичный представитель стохастических фракталов "Плазма"[5]. С помощью аналогичных плазме алгоритмов строятся карта высот, береговая линия, карта рельефа морского дна и другие подобные модели. фрактальной геометрией, и графического представления Для выполнения расчетов, связанных с получающихся результатов существует множество различных компьютерных программ. В их основе лежит формулы, отражающий предполагаемый тип элемента возможность ввода базовый фрактала и ее последующих изменений, позволяющих трансформировать фигуры – элементы фрактала: увеличивать их или уменьшать, поворачивать относительно центра рисунка или начальной точки и, главное, задавать количество вложений, то есть число шагов программы. 8 Глава IV. Организация исследования Цель исследования: выявить зависимость площади фрактального треугольника от его порядка. Задачи исследования: - рассмотреть построение фрактальных треугольников различных порядков методом итерации; - вычислить площади фрактальных треугольников различных порядков; - установить значение величины, к которому стремится значение площади S при увеличении порядка п. Объект исследования: фрактальные треугольники различных порядков. Гипотеза исследования: площадь фрактального треугольника (снежинки Кох) является конечной величиной. Методы исследования: аналитические Ход исследования: В теоретической части работы отмечалось, что снежинка Кох – разновидность кривой Кох. Для вычисления площади снежинки Кох введем понятие фрактального треугольника. Фрактальным треугольником мы будем считать равносторонний треугольник, на сторонах которого рекурсивным повторением образуются равносторонние треугольники, длины сторон которых относятся к стороне предыдущего треугольника как 1/3. Треугольником нулевого порядка (рис.11) (IV) мы будем считать равносторонний треугольник со стороной равной а. Треугольник нулевого порядка имеет площадь: S0= а2 3 . Треугольником первого порядка 4 (рис.12) (IV) мы будем считать равносторонний треугольник, на сторонах которого рекурсивным повторением строятся треугольники со стороной равной 1/3 от длины стороны предыдущего треугольника. Треугольник первого порядка имеет площадь: 3 a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 a 1 S1= S0+3(( )2 * ) = S0+ = + = (1+ ) 3 3 4 3 4 4 3 4 4 Треугольником второго порядка (рис.13) (IV) мы будем считать треугольник, на сторонах которого рекурсивным повторением строятся треугольники со стороной равной 1/3 от длины стороны предыдущего треугольника. Треугольник второго порядка имеет площадь: 9 Аналогичны определения для треугольника третьего порядка (рис.14) и четвертого порядков (рис.15) (IV). Фрактальные треугольники второго, третьего и более порядков и есть разновидности снежинки Кох. Площадь треугольника третьего порядка вычисляется по формуле: Площадь треугольника четвертого порядка вычисляется по формуле: Если теперь в общем виде записать зависимость площади фрактального треугольника от его порядка, то формула будет иметь вид: Sn = a 3 4 + a 3 4 1 22 24 26 2 2n2 *( + 3 + 5 + 7 + ….+ 2 n 1 ), где 3 3 3 3 3 п - порядок фрактального треугольника. Вычислив площади фрактальных треугольников при различных значениях n и а=1, получим зависимость, которую можно представить в виде таблицы (V) и графически (VI). Глава V. Выводы по результатам исследования В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что площадь фрактальной фигуры снежинка Кох есть величина конечная. Из анализа графика (VI) видно, что с увеличением п (порядка) площадь S увеличивается и её значение стремится к 0,7, тогда как периметр фигуры с каждой итерацией (повторением) будет постоянно увеличиваться. Это следует из самого метода построения фрактала. Следовательно, снежинка Кох обладает удивительным свойством: она представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь. Значение 0,7 мы получили в ходе исследования. Но это же значение можно получить и аналитически. Можно заметить, что в формуле для Sn выражение в скобках – это сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом b1 = бесконечной геометрической прогрессии равна: S´= 1 и знаменателем 3 4 q = . Тогда сумма 9 b1 3 , S´= . Поэтому значение площади 5 1 q 10 фрактального треугольника можно вычислить следующим образом: Sn = a 3 4 + a 3 4 * 3 . 5 При а=1 это значение будет равно 0,69282, что подтверждает предыдущие рассуждения. Заключение Удивительные свойства фракталов являются объектом изучения многих ученых: математиков, биологов, физиков и многих других. Главное применение фракталов – современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать изображения и поверхности очень сложной формы, посредством перемены параметров в том или ином уравнении. Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов, что активно используется учеными в различных областях знаний. Можно сказать, что ученые нашли простой способ представления сложных неевклидовых объектов, образы которых напоминают природные формы. Существует также такое понятие, как фрактальное сжатие изображений, и оно также находит все большее применение. Уникальность фракталов как математических объектов в том, что они, как никакие другие, близки к окружающей нас живой природе. Изучение и использование свойств фракталов – перспективное направление в различных областях наук. Библиографический список 1. Шабаршин А.А. Введение во фракталы. – Екатеринбург, 1998. 2. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство – М.: Мир, 1995. 3. Пайттен Х.Щ., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1993. 4. Волошинов А.В. Математика и искусство – М.: Просвещение, 2000. 5. С. Пейперт Переворот в сознании: дети, компьютеры и плодотворные идеи. – М.: Педагогика, 1999. 6. В.С.Секованов. Геометрическая прогрессия и геометрия фракталов. Математика в школе, №7, 2006. 7. http://ru.wikipedia.org 8. http://www.sernam.ru/book_fr 9. http://www.distedu.ru/mi 11
