L17-2

Нелинейные колебания
1. Собственные колебания системы могут быть как гармоническими, так и
негармоническими. Если отклонение частицы от положения равновесия мало, но
конечно, то в ряде (17.1) необходимо учесть также член порядка
уравнение движения частицы представим в следующем виде:
x2 .
в этом случае
mx   dU dx ,
(17.16)
Где
kx 2
U  x 
1   x  ,
2
  F   0  3k .
(17.17)
(17.18)
Колебания, описываемые уравнениями, содержащими члены второго и более
высокого порядка отклонения от положения равновесия, называются нелинейными.
Система, совершающая нелинейные колебания называется нелинейным или
ангармоническим осциллятором. Заметим, что исследование движения нелинейного
осциллятора (17.16) сводится к задаче движения частицы во внешнем поле с
потенциалом (17.17).
В зависимости от величины параметра ε в (17.17) в области малых колебаний
отклонение функции
U  x
от параболической будет разной. Вид этой функции в
общем случае представлен на рис. 17.2. Она становится равной нулю в точке
x0  1/ 
и имеет максимум
Рис.17.2
U max  2k 27 2 ,
в точке
x1  2 x0 / 3 .
(17.19)
Пользуясь результатом, полученным для движения частицы в
потенциальном силовом поле, мы можем сказать, что частица с энергией
совершать финитное движение, если
0  E  U max .
E
будет
Причем заметим, что в общем
x1 и x  2 в разные стороны
U  x  и величины полной энергии
случае отклонения частицы от положения равновесия
различны. Эта разница связана с видом потенциала
частицы.
2. Закон движения
x t 
нелинейного осциллятора при произвольных значениях
выражается сложными специальными функциями. Однако, при малых значениях
когда
x 0
достаточно велико, в области
x
x0
(для малых энергий
E

,
U max )
нелинейный член в уравнении движения частицы можно считать малым возмущением и
воспользоваться теорией возмущений.
Пользуясь (17.5) и (17.17), представим уравнение (17.16) в следующем виде:
x  02 x  02 x2
Движение осциллятора в случае
 0
(17.20)
дается гармоническим законом
x0  t   A0 sin 0t
(17.21)
и представляет невозмущенное движение. Если  A
1, то будем рассматривать
правую часть (17.20) как возмущение для основного движения (17.21) и представим
закон движения частицы в виде
x  t   A0 sin 0t  x1  t  ,
где предполагается, что
x1
A0
(17.22)
и представляет отклонение движения частицы от
гармонического закона.
Подставляя (17.22) в (17.20) для
x1
получим следующее уравнение
x1  02 x1  02  A02 sin 2 0t  2 A0 x1 sin 0t  x12  ,
в которой последние два члена правой части, благодаря условию
x1
A0 ,
можно
пренебречь по сравнению с первым членом. Представим это уравнение следующим
образом:
1
x1  02 x1  02 A02 1  cos 20t  ,
2
(17.23)
а его решение – в виде
x1  t   a1  b1 cos 20t ,
где
a1
и
b1
(17.24)
– постоянные величины. Подставляя (17.24) в (17.23) и приравнивая
коэффициенты перед
cos 20 t
и свободными членами в правой и левой частях
полученного соотношения, получим
b1   A02 6; a1   A02 2
(17.25)
Итак, для нелинейных колебаний получим следующее уравнение движения:
1
 1

x  t   A0 sin 0t   A02 1  cos 20t 
2
 3

В полученном решении постоянное слагаемое
 A02 / 2
(17.26)
и приводит к указанному
выше отличию максимального отклонения частицы относительно оси X в
положительную и отрицательную стороны. Наиболее важная особенность закона
нелинейных колебаний (17.26) заключается в появлении колебаний с частотой
20 .
Это движение представлено членом, содержащим
второй гармоникой. Оказывается, что учет членов
cos 20 t , который называется
x , x 4 и более высокого порядка в
3
(17.20) приводит к появлению в (17.26) дополнительных движений с частотами
30 ,40
и т.д. Таким образом, нелинейность приводит появлению гармоник более
высокого порядка в колебаниях. Это, пожалуй, наиболее существенная характеристика
нелинейности.
Физический и математический маятники
1. Твердое тело, совершающее колебания вокруг оси, не проходящей через центр
инерции, называется физическим маятником (рис.17.3). Точка пересечения
горизонтальной оси с вертикальной плоскостью, проходящей через центр инерции
маятника, называется точкой подвеса маятника (А). Положение маятника в
произвольный момент времени можно охарактеризовать углом φ отклонения оси АС
маятника от положения равновесия (рис. 17.3).
Рис. 17.3
Уравнение моментов относительно горизонтальной оси, проходящей через точку
подвеса А физического маятника, имеет следующий вид:
d 2
I A 2  mgb sin  ,
dt
где
IA
(17.27)
– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку А,
b
–
расстояние от центра инерции С от точки подвеса. Знак минус показывает, что момент
силы тяжести вызывает вращение обратное направлению возрастания угла отклонения
.
Разложив
sin 
в ряд согласно (17.1) и ограничиваясь линейным членом этого
разложения, представим (17.27) в виде
  02  0,
(17.28)
02  mgb I A .
(17.29)
где
Значит, невозмущенное движение физического маятника является гармоническим
колебанием с периодом
T0  2 I A mgb .
(17.30)
Пользуясь теоремой Штейнера
I A  IC  mb2 ,
для периода колебаний физического маятника находим
T0  2
IC
b

mgb g
.
(17.31)
Все приведенные рассуждения верны также в том случае, если мы имеем
материальную точку, подвешенную к точке A нитью длиной
. Подобная система
называется математическим маятником, для которой
IA  m
2
и, следовательно,
для ее периода из (17.30) получим
Tмат  2
g
.
(17.32)
Сравнение периодов физического и математического маятников показывает, что
математический маятник, длина
которого равна длине b физического маятника,
имеет более маленький период, чем физический маятник. Та длина
математического
маятника, при которой его период равен периоду физического маятника, называется
приведенной длиной физического маятника. Приравнивая периоды (17.31) и
(17.32), получим
 b  I C mb .
(17.33)
Точка A на оси маятника, которая удалена от точки подвеса A на расстояние
равное приведенной длине физического маятника, называется центром колебаний.
Если сконцентрировать массу маятника в его центре колебаний, то период его
колебаний не изменится.
Точка подвеса маятника и центр колебаний - сопряженные точки. Это означает, что
если подвесить маятник через горизонтальную ось, проходящую через точку A , то его
период не изменится, причем точка A в этом случае будет являться центром
колебаний. Докажем это. Обозначим в новом положении расстояние от точки С до точки
подвеса
A
через
b  . Для его приведенной длины запишем
  b  I C mb .
Но
b   b
и которая, согласно (17.33), равна
(17.34)
b  I c / mb . Подставляя в (17.34),
получим
  b  I C mb,
то есть,   . Значит, в новом положении маятник имеет ту же приведенную длину и,
следовательно, тот же период. В этом смысле говорят, что физический маятник
обратим. Это известно как теорема Гюйгенса. Это свойство физического маятника
позволяет экспериментально определять ускорение свободного падения с очень
большой точностью.