Решение заданий В10 1. Некоторая компания продает свою

Решение заданий В10
1. Некоторая компания продает свою продукцию по цене p=500 руб. за единицу,
переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=200 руб.,
постоянные расходы предприятия f=900 000 руб. в месяц. Месячная операционная
прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле
Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при
котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 600 000 руб.
Решение:
Найдем наименьший объем производства q (единиц продукции), при котором месячная
операционная прибыль предприятия будет не меньше 600 000 руб.
Подставим значения из условия задачи.
Ответ: наименьший месячный объем производства 5000 единиц
продукции.
2. При температуре 0 С рельс имеет длину lo=12.5 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по
закону
, где
— коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой
температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение:
Нужно найти при какой температуре рельс удлинится на 6 мм.
Ответ: 40°C.
3. Груз маccой 0,16 кг колеблетcя на пружине cо cкороcтью, меняющейcя по закону
где t — время в cекундах. Кинетичеcкая энергия груза вычиcляетcя по формуле
где m — маccа груза (в кг), v — cкороcть груза (в м/c). Определите, какую долю времени
из первой cекунды поcле начала движения кинетичеcкая энергия груза будет не менее 0.09
Дж. Ответ выразите деcятичной дробью, еcли нужно, округлите до cотых.
Решение:
cos(x) убывает от 0 до pi/2. Т.е. в нашем случае pi*t=pi/2, pi*t=1/2. Первые пол секунды
скорость убывает.
Найдем в какой момент времени (из первой секунды) кинетическая энергия груза
сравняется с заданной.
π*t= π/4
t=1/4
Т.к. первые пол секунды скорость непрерывно убывает, наш ответ 1/4 секунды
кинетическая энергия груза будет не менее заданной.
Ответ: 1/4.
4. Cкороcть колеблющегоcя на пружине груза меняетcя по закону
где t — время в cекундах. Какую долю времени из первых двух cекунд cкороcть движения
превышала 1,5 cм/c? Ответ выразите деcятичной дробью, еcли нужно, округлите до cотых.
Решение:
sin(x) возрастает от 0 до pi/2. Т.е. в нашем случае pi*t/4=pi/2, t=2. Первые 2 секунды
скорость возрастает.
Найдем в какой момент времени (из первой секунды) груз достигнет скорости 1,5 cм/c.
t=2/3
Через 2/3 секунды груз начнет двигаться со скоростью превышающей 1.5 cм/c, т.е. 1/3
секунды он будет двигаться с интересующей нас скоростью.
Ответ: 1/3.
4. При приближении к МКС косм. корабль начинает тормозить на расстоянии 50 км от
станции. При этом расстояние между ними в каждый момент времени определяется по
формуле d(t) = 50(t0 - t) / (t0+2t), где t - время в часах с начала торможения. Какой будет
скорость корабля в момент стыковки, если известно, что она произойдет через 10 часов?
Ответ округлить до км/час.
d(t) = 50(t0 - t) / (t0+2t).
При t=10 (в момент стыковки) d(t)=0 →d(10)= 50(t0 - 10) / (t0 +20) = 0 → t0 = 10
Тогда
d(t) = 50(10 - t) / (10+2t).
Скорость это производная пути по времени.
v(t) = d'(t) = 50*(-(10+2t) -2(10-t)) / (10+2t)2 = 50(-30) / (10+2t)2
v(10) = -1500 / 900 = - 1,667 ≈ -2. Знак минус указывает, что это скорость торможения. В
ответе надо указать модуль скорости. Т.е. 2.
5. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,2 + 10t – 5t2
м.
Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?
Решение.
По условию высота h(t) ≥ 3, т.е. 1,2 + 10t - 5t2 ≥ 3.
- 5t2 + 10t – 1,8 ≥ 0;
интервалов.
5t2 - 10t + 1,8 ≤ 0. Решим последнее неравенство методом
D = 100 - 36 =64. t1 = 0,2;
[0,2; 1,8].
t2 = 1,8.
Решением будет промежуток между корнями:
Значит, начиная со времени t1 и до времени t2, мяч будет находиться на высоте не менее
трех метров. Величина этого временного промежутка будет: 1,8 - 0,2 = 1,6.
Ответ: 1,6.
6. Зависимость объёма спроса q на продукцию предприятия-монополиста от цены p
задаётся формулой: q = 100 – 10p. Выручка предприятия за месяц r определяется как r(p)
= q·p. Определите максимальный уровень цены p (тыс. руб.), при котором величина
выручки за месяц r(p) составит не менее 240 тыс. руб.
Решение. Выручка r(p) = pq = p(100 – 10p), а по условию эта величина не меньше
240(тыс. руб.)
Составим неравенство: p(100-10p)≥240, 100p-10p2 ≥ 240, p2-10p+240≤0.
Корни левой части: p1=4, p2=6. Решением неравенства будет промежуток [4; 6]. Т.е.
цена должна находиться в промежутке от 4 до 6 тыс. руб. Значит, максимальный уровень
цены равен 6 тыс. руб.
Ответ: 6 (тыс. руб).
7. боковой стенке высокого цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его
открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём,
выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 – kt(2g·H0)1/2+ gk2t2/2, где t —
прошедшее время (в секундах), H0 = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/500
— отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g = 10м/сек2 — ускорение
свободного падения. К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть
первоначального объёма? Ответ выразите в секундах.
Решение.
Объем воды прямо пропорционален высоте столба воды. Значит, высота столба воды
должна быть не более 1/4 от первоначальной (по условию). Т.е. H(t) ≤ H0/4. Тогда H0 –
kt(2g·H0)1/2 +gk2t2/2 ≤ H0/4.
Подставив числовые значения H0, k, g в неравенство и упростив, получим:
t2 – 2000t + 750000 ≤ 0. Решением неравенства будет промежуток [500, 1500].
Значит, на 500-й секунде воды в баке станет ровно 1/4 первоначального объёма, затем
объём будет уменьшаться, т.к. вода продолжит вытекать. Заметим, что не при всех t из
полученного промежутка процесс будет продолжаться. Можете вычислить при каком t
воды в баке не останется,т.е. решите H(t)=0 (но это уже другая задача).
Ответ: 500 сек.
8. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его
открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по
закону H(t)=at2 + bt + H0, где H0 = 4 — начальный уровень воды,
a = 1/100 и b = 2/5 — постоянные. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?
Решение.
Если вся вода вытечет, то H(t)=0. Тогда at2 + bt +H0 =0.
Подставив в квадратное уравнение числовые значения, получим t = 20.
Ответ: 20.
9. При температуре 0 °C рельс имеет длину L0 = 10м. При прокладке путей между
рельсами оставили зазор в 4,5 мм.
При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его
длина будет меняться по закону L(t°) = L0 (1 +αt°), где α = 1,2·10-5 (°C)-1 — коэффициент
теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной
температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)
Решение.
Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли
расширяться при нагревании.
А нагревание происходит вследствие трения,
возникающего при прохождении поезда по рельсам.
Выразим зазор в метрах: 4,5 мм = 4,5 · 10-3 м.
L(t°) = L0 + зазор - длина рельса при удлинении после нагревания на t°.
С другой стороны L(t°) = L0(1+α·t°). Приравняем правые части равенств, подставим
данные величины, раскроем скобки, получим:
10 + 4,5·10-3 = 10 + 10·1,2·10-5 ·t° --> t°·12·10-5 = 4,5·10-3 --> t°=450 / 12 = 37,5°.
Ответ: 37,5
10. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его,
измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = 5t2. До дождя время падения камушков составляло 0,8 с. На какую минимальную высоту
должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось
больше, чем на 0,1 с? (Ответ выразите в м.)
Пусть h1 - уровень воды до дождя, h2 - уровень воды после дождя, t1 - время падения
камешка до поверхности до дождя, t2 - время падения после дождя.
За нулевую отметку принимаем точку, лежащую на поверхности земли, тогда h1 и h2 координаты уровней воды и они отрицательны, что можно видеть из формулы h = - 5t2.
После дождя уровень воды повысился на |h1 - h2| метра.
По условию t1=0,6c, а t2 уменьшилось более, чем на 0,2 с, т.е. t2 ≤ 0,4 c.
|h1 - h2| = | -5·t12 - (-5·t22)| = | -5·0,62 +5·0,42| = 5|0,62 - 0,42| = 5·0,2 = 1(метр).
Т.е. после дождя прежний уровень повысится на 1 метр.
11. Д ля получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории
используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=20см. Расстояние d1
от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние d2 от
линзы до экрана - в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет четким, если
выполнено соотношение 1/d1 + 1/d2 = 1/f. Укажите, на каком наименьшим расстоянии от
линзы можно поместить лампочку, чтобы её ихображение на экране было чётким. Ответ
выразите в см.
Из формулы 1/d1 + 1/d2 = 1/f выразим d1.
1/d1 = 1/f – 1/d2. Приведя к общему знаменателю, получим: 1/d1 = (d2 – f) / (d2∙f), тогда
d1 = d2∙f / (d2 – f), d1 = d2∙20 / (d2 – 20).
Рассмотрим функцию d1(d2) = 20∙d2 / (d2 – 20) на промежутке [100;120], т.к. d2 є
[100;120].
Найдем наименьшее значение функции на указанном промежутке.
Вычислим производную d1 по формуле производной от частного.
D1' = (20(d2 – 20) - 20∙d2) / (d2 – 20)2) = - 400 /(d2 – 20)2.
Очевидно, что производная в 0 не обращается, следовательно, функция d1(d2)
критических точек не имеет. Будем искать её наименьшее значение на концах
промежутка [100;120].
d1(100) = 20∙100 / (100 – 20) = 2000 / 80 = 25,
d1(120) = 20∙120 / (120 – 20) = 2400 / 100 = 24.
Т.о. наименьшее значение d1 равно 24 см.
Ответ: 24.
12. И еще задачи. Посложнее.
№ 1. Число размножающихся в колбе микроорганизмов в каждый момент времени t
определяется по формуле N = A · 3t/4 , где t - время, измеряемое в часах. Через 4 часа
после начала процесса в колбе стало 3000 микроорганизмов. Через сколько часов после
этого момента количество микроорганизмов в колбе станет в 27 раз больше
первоначального?
Решение.
Определим количество микроорганизмов в начальный момент времени, т.е. при t=0: N(0)
= A·30 = A.
Определим их количество через 4 часа: N(4) = A·31 = 3A.
В некоторый момент времени t их количество станет в 27 раз больше первоначального,
т.е. N(t) = 27·A.
Составим уравнение 27A = A· 3t/4,
стало 3000 пройдет 12 - 4 =8 часов.
Ответ: 8.
33 = 3t/4,
t/4 = 3,
t =12. А с момента, когда их
Примечание: 3000 микроорганизмов в решении не использовалось.
№2. Количество вещества в реакторе ( в килограммах) в каждый момент времени
определяется по формуле M = 100·2-kt, где t - время, измеряемое в часах. Период
полураспада вещества составляет 10 часов. Сколько часов после начала процесса
количество вещества будет оставаться не менее 12,5 кг?
Решение.
Период полураспада вещества - время, за которое масса вещества уменьшится в 2 раза
по сравнению с первоначальной, по условию t=10. Составим равенство: М/2 = 100·2-10k,
тогда М = 100·21-10k - начальная масса.
С другой стороны, начальная масса - масса вещества в нулевой момент времени, т.е.
М(0)=100·20=100.
Составим уравнение: 100·21-10k = 100 --> 1=10k --> k=1/10.
Подставим k в формулу массы: М = 100·2-t/10. По условию M≥12,5.
Решим показательное неравенство: 100·2-t/10 ≥ 12,5 --> 2-t/10≥0,125 0,5t/10≥0,53 --> t ≤30
Ответ: 30 часов.
13. Если наблюдатель находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли, то
расстояние от него до линии горизонта можно найти по формуле l = корень 2Rh , где R=
6400 км - радиус земли. Найдите наименьшую высоту, с которой должен смотреть
наблюдатель, чтобы он видел линию горизонта на расстоянии не менее восьми
километров?
2Rh ≥ 82
h≥64/(2R)
h≥1/200 км hнаим = 1/200км = 5 метров
Ответ: 5 метров или 0,005 км (это - в чем требуется выразить)
14. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–
Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо
пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P = çST4,
где ç = 5,7·10-8 — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, температура
T — в градусах Кельвина, а мощность P — в ваттах.
Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/228)·1020 м2, а излучаемая ею
мощность P не менее 1,5625·1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру
этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина
Нужно решить неравенство P ≥ 1,5625·1025 , т.е. 5,7·10-8 · (1/228)·1020 ·T4 ≥ 1,5625·1025
T4 ≥ 15,625·1012·(228 / 5,7)
-->
T4 ≥ 625·1012
-->
T ≥ 5·103
--> T ≥ 5000
Ответ: 5000
15. Брандспойт, закрепленный под определенным углом на пожарной машине,
выстреливает струю воды с постоянной начальной скоростью.Траектория струи воды
описывается формулой: y=ax2 +bx+c, где a=-1/450, b=1/3, с=2-постоянные параметры. На
каком максимальном расстоянии в метрах от забора нужно расположить машину, чтобы
вода перелетела через его верх? Высота забора - 14 м.
Струя летит по параболе, ветви которой направлены вниз. Надо найти промежуток
(х1;х2), на котором у≥14. Ответом будет х2.
y=ax2 +bx+c≥ 14
-1/450 x2 +x/3 +2 ≥ 14;
x2 -150x +5400 ≥0
x1=60, x2=90. xε[60; 90]. Ответ: 90.
16. Коэффицент полезного действия (КПД некоторого двигателя определяется формулой
n= (T1-T2)/T1*100%, где Т1-температура нагревателя(в градусах Кельвина), Т2температура холодильника (в градусах Кельвина). при какой минимальной температуре
нагревателя Т1 КПД этого двигателя будет не меньше 40 %,если температура
холодильника Т2=315 К? Ответ выразить в градусах Кельвина
По условию n≥ 40%;
(T1-T2) / T1 *100% ≥ 40%;
(T1 - 315) /T1 ≥ 0,4;
T1 - 315 ≥ 0,4·T1;
0,6·T1 ≥ 315; T1 ≥ 315 / 0,6; T1 ≥ 525.
min T1 = 525.
Ответ: 525.
17. В электросеть включен предохранитель, расчитанный на силу тока 20 А. Определите,
какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к
розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Сила тока в цепи I связана с
напряжением U соотношением I=U/R, где R -сопротивление электроприбора.(Ответ
выразите в омах.)
I ≤ 20; I= U /R ≤ 20;
U ≤ 20*R; 220/20 ≤ R; R ≥ 11.
Наименьшее сопротивление равно 11.
Ответ: 11.
18.
Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий v=4моля воздуха при давлении
Р1=1,2 атмгосферы, медленно опускается на дно водоёма. При этом происходит
изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха,
определяется выражением
А =avT log2P2/P1 (Дж),
где a=11,5 - постоянная, Т=300К - температура воздуха, P1 (атм) - начальное давление, Р2
- конечное давление воздуха в колоколе.
До какого наибольшего давления Р2 можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии
воздуха совершается работа не более, чем 27600 Дж? Ответ приведите в атмосферах.
Решение. А≤ 27600 →
avT log2P2/P1 ≤ 27600;
11,5 *4*300*log2 P2/1,2 ≤ 27600;
log2 P2/1,2 ≤ 27600/13800;
log2 P2/1,2 ≤ 2;
P2/1,2 ≤ 22; P2 ≤4*1,2; P2≤ 4,8.
Ответ: 4,8.