Идею о возможности математизации логики высказал еще в

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVIIXIX в. прежде всего благодаря труду
английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики». Он перенес на логику законы и правила
алгебраических действий, ввел логические операции, предложил способ записи высказываний в
символической форме.
В трудах Дж. Буля и О. де Моргана математическая логика представлена как своеобразная алгебра —
алгебра логики (алгебра высказываний).
В развитии математической логики приняли участие многие выдающиеся математики и логики конца
XIXXX в., в том числе К. Гедель (Австрия), Д. Гильберт (Германия), С. Клини (Америка), Э. Пост (Америка),
А. Тьюринг (Англия), А. Черч (Америка), российские ученые А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А.
Марков и многие другие.
Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область и
находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее
(анализ и синтез автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный
интеллект).
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, изучающий строение
(форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с
помощью алгебраических методов.
Таким образом, объектами изучения алгебры высказываний являются высказывания.
Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого
можно сказать, истинно оно или ложно.
Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например:
Х= Число 12345 кратно 3.
Р — Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и
соответствующее программное обеспечение.
Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А — истинно». Если высказывание
А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А ложно».
Примеры высказываний и предложений, не являющихся высказываниями:
1) А = Солнце светит для всех = 1 — истинное высказывание.
2) В = Все ученики любят информатику = О — ложное высказывание.
3) С = Некоторые из учеников любят информатику = 1 — истинное высказывание.
4) Д = А ты любишь информатику? — не высказывание, так как не является повествовательным
предложением.
5) Е = Посмотри в окно — не высказывание, так как является побудительным предложением.
6) Ж= (Х • Х < 0) = 0 — ложное высказывание, так как какое бы Х мы ни взяли, произведение л: • Х будет
неотрицательным.
7)3 = 2*Х-5>0 — не высказывание, так как для одних значений Х это выражение будет истинным и в то же
время для других значений Х—ложным.
8) И = Крокодилы летают очень низко — высказывание.
Последний пример показывает, что истинность или ложность высказывания не обязательно должна
определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но
никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интересуется весьма своеобразно
понимаемой истинностью или ложностью высказываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и
его субъективного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых
специально разработанных объективных методов.
В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому как в
алгебре чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над действительными числами).
Мы далее рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них.
_____________________________________________________________________________
Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к
сказуемому или использования оборота речи «неверно, что...».
Примеры образования логического отрицания:
Высказывание А
Значение
высказывания А
Инверсия
высказывания А
У меня есть
приставка Dепdу
0
У меня нет приставки
Dепdу
Я не знаю
китайского языка
1
Неверно, что я не знаю
китайского языка. (Я
знаю китайский язык)
Значение
инверсии
высказывания
А
1
0
Поясним эти примеры:
1)
А = У меня есть приставка Dепdу — высказывание.
Пусть у вас ее нет, тогда это высказывание ложно (А = 0). Инверсия А — это высказывание У меня не есть
приставка Dепdу или высказывание Неверно, что у меня есть приставка Dепdу. Более правильным в русском
языке является предложение У меня нет приставки Dепdу, и это высказывание будет истинным.
2) А = Я не знаю китайского языка — высказывание.
Пусть вы действительно не знаете китайского языка, тогда это высказывание истинно (А = 1). Инверсия А есть
высказывание Неверно, что я не знаю китайского языка, которое является ложным.
Любую операцию необходимо как-то обозначать.
Обозначение инверсии: НЕ А;¬А; NОТ А. (В данном пособии: ¬А •)
Нас интересует истинность высказывания, имеющего форму А (вне зависимости от его содержания).
Определяется она по специальной таблице истинности.
Таблица
истинности:
Смысл высказывания А для Значение высказывания: У
указанных значений
меня нет приставки Dепdу
У меня нет приставки
Dепdу
Истина
У меня есть приставка
Dепdу
Ложь
А
А
0
1
1
0
Пояснение:
Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна,
когда высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции инверсии.
Мнемоническое правило: слово «инверсия» (от лат. -переворачивание) означает, что белое меняется на
черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.
Операцию инверсии можно графически проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера — Венна.
В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству.
Примечание.
Близость законов алгебры высказываний к законам алгебры множеств можно продемонстрировать следующим
образом. С одной стороны, каждое множество может быть описано либо при помощи прямого перечисления
его элементов, либо путем указания свойства, которому должны удовлетворять все элементы данного
множества и только эти элементы. Так, можно говорить о множестве, состоящем из четырех студентов: Пети,
Гали, Коли, Оли, или о множестве отличников данной студенческой группы, имея в виду в обоих случаях одно
и тоже множество.
С другой стороны, выбрав какое-то высказывание, можно рассмотреть множество всевозможных объектов, к
которым это высказывание относится, и выделить из него подмножество, для элементов которого это высказывание
будет истинным (множество истинности высказывания). Так, множество истинности высказывания Этот
студент — отличник для рассмотренной выше студенческой группы будет включать в себя ту же четверку
студентов.
Примечания:
1.Логики при образовании инверсии предпочитают иметь дело с оборотом речи «неверно, что», поскольку тем
самым подчеркивается отрицание всего высказывания.
2. Дважды или четырежды отрицающееся высказывание имеет тоже самое значение истинности, что и
исходное высказывание, трижды отрицающееся — что и отрицающееся один раз. Например, высказывание
А = Неверно, что математика — не царица наук имеет тоже значение истинности, что и высказывание В =
Математика -Царица наук
Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью
союза «и».
Приведем пример конъюнкции.
Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и
«Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.
Обозначим высказывания:
А = На автостоянке стоит «Мерседес».
В = На автостоянке стоят «Жигули».
(А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».
Обозначение конъюнкции: А И В;; А & В; А • В, А АND В.
(В данном пособии: А & В.)
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А &В
0
0
0
1
Смысл высказываний
А и В для указанных
значений
Значение
высказывания
На автостоянке
стоят «Мерседес»
и «Жигули»
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
не стоят
Ложь
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
стоят
Ложь
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
не стоят
Ложь
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
стоят
Истина
Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда
оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Иногда это свойство
принимают за определение операции конъюнкции.
Мнемоническое правило: конъюнкция — это логическое умножение, и мы не сомневаемся, что вы
заметили, что равенства 0 * 0 = 0; 0 * 1 = 0 ; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1, верные для обычного умножения, верны и для
операции конъюнкции.
В теории множеств конъюнкция соответствует операции пересечения множеств.
Для построения соответствующей пересечению множеств диаграммы Эйлера — Венна выберем ту
строку таблицы истинности, в которой А & В =1. На диаграмме заштрихуем область, в которой значения А и В
такие же, как в выбранной строке, т. е. А = 1 и одновременно В =1.
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью
союза «или».
В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.
Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в
неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить
чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая.
Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или
только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)
В высказывании Данный глагол IIIOR В; А \ В; А V В; А + В.
(В данном пособии: А V В.)
Далее под дизъюнкцией будем понимать нестрогую дизъюнкцию, если не оговорено иное.
Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.
Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины:
«Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.
Обозначим высказывания:
А = На автостоянке стоит «Мерседес».
В = На автостоянке стоят «Жигули».
(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».
Таблица истинности
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
А &В
0
1
1
1
Смысл высказываний
А и В для указанных
значений
Значение
высказывания
На автостоянке
стоят «Мерседес»
и «Жигули»
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
не стоят
Ложь
«Мерседес»
не стоит
«Жигули»
стоят
Истина
«Мерседес»
стоит
«Мерседес»
стоит
«Жигули»
не стоят
«Жигули»
стоят
истина
Истина
Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и толь ко тогда,
когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это
свойство принимают за определение операции дизъюнкции.
Мнемоническое правило: дизъюнкция — это логическое сложение, и мы не сомневаемся, что
вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1 ; 1 + 0 = 1 , верные для обычного сложения, верны и
для операции дизъюнкции, но 1 VVV В = 1. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в
которых значения А и В такие же, как в выбранных строках.
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью
оборота речи «если..., то... ».
Примеры импликаций:
Е = Если клятва дана, то она должна выполняться.
Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3.
В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения
высказывания.
Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому
же имеют значение «истина»:
С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.
Х = Если я — Наполеон, то у кошки четыре ноги.
Обозначение импликации: А →В; А => В. (В данном пособии: А => В.)
Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А
Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.
Пусть даны высказывания:
А = На улице дождь.
В = Асфальт мокрый.
(А импликация В) - Если на улице дождь, то асфальт мокрый.
Тогда если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В=1), то это соответствует действительности, т. е.
истинно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы
посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым
(например, только что проехала поливальная машина).
Таблица истинности
А В
Пояснение
А => В
Смысл высказываний А и В для
указанных значений
Дождя нет
0
0
0
1 1
1
Дождя нет
Дождь идет
1 0
0
1 1
1
Дождь идет
Асфальт
сухой
Асфальт
мокрый
Асфальт
сухой
Асфальт
мокрый
Значение высказывания
Если на улице дождь, то
асфальт мокрый
Истина
Истина
Ложь
Ложь
Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из
истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда | это
свойство принимают за определение операции импликации.
Разберем один из приведенных выше примеров следований, противоречащих здравому смыслу.
Дано высказывание:
Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.
Форма высказывания: если А, то В,
где
А = Коровы летают = 0;
В = (2 + 2 = 5) = 0.
На основании таблицы истинности определим значение высказывания: 0 =» 0 = 1, т. е. высказывание истинно.
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при
помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при
помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».
Примеры эквивалентностей:
1) Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90°,
2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.
3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда
и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)
4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)
Все законы математики, физики, все определения суть эквивалентность высказываний.
Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А <=> В.)
Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:
А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.
(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.
Таблица истинности
А В
А <=> В
0
0
1
0
1
0
1 0
0
1 1
1
Пояснение
Смысл высказываний А и В
для указанных значений
Число не кратно
трем
Число не кратно
трем
Число кратно трем
Число кратно трем
Сумма цифр не
кратна трем
Сумма цифр
кратна трем
Сумма цифр не
кратна трем
Сумма цифр
кратна трем
Значение высказывания
Число кратно 3 тогда и
только тогда, когда
сумма его цифр делится
нацело на 3
Истина
Ложь
Ложь
Истина
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда
оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции
эквивалентности.