атериал пособия адресован выпускникам школ

1. Преобразование рациональных выражений
1.1. Свойства степени с целым показателем.
Для любых целых значений m и n и любых ненулевых значений a и b:
1
a m a n  a mn
n
am

a
 a mn
an
an
a m b m  (ab) m
(a m ) n  a mn
am
 a mn
n
a
Одночленом стандартного вида называется произведения числового множителя
и степеней различных переменных.
Например:  8m 3 c 3 ;  a 2 ; b; 4 x 3 y 5 z .
Степенью одночлена называется сумма степеней входящих в него переменных.
Например:  8m 3 c 3 (степень 6);  a 2 (степень 2); b (степень 1); 4 x 3 y 5 z (степень 9).
Многочленом стандартного вида называется многочлен, каждый член которого
является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных
слагаемых.
Например: 2a 3b  4a 4 b 3  6ab 7 ; 3x 5  4 x 2  1,5 x  2 .
Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней,
входящих в него одночленов.
Формулы сокращенного умножения:
(a  b)( a  b)  a 2  b 2
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
a 2  2ab  b 2  (a  b) 2
(a  b)( a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3
(a  b)( a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
Основное свойство алгебраической дроби: для любых значений a, b, c ñ  0 :
a ac

b bc .
Действия с дробями.
a b ab a b ab
 
Если дроби имеют равные знаменателями, то  
;
c c
c
c c
c .
Для выполнения сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями,
необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать предыдущее правило.
m
pn
p
mq
Например:
и
, то есть знаменатели разные. Тогда рассмотрим дроби
и
n
qn
q
nq
– эти дроби равны исходным, но у них равные знаменатели. Сумма (разность) дробей
pn  mq  pn  mq 

 .
тогда будет
qn
 qn 
Умножение и деление дробей, возведение дробей в степень:
n
a c ac
a c ad  a 
an
 
:

;
;    n .
b d bd
b d bc  b 
b
1
1.1.1. Примеры с решениями.
1. Упростите выражение: (2m – 3n)(3n + 4m).
Решение: ( 2m-3n)( 3n+4m)  2m  3n  3n  3n  2m  4m-3n  4m  6mn-9n 2  8m 2  12mn 
 9n 2  6mn  8m 2 .
2
2
Ответ:  9n  6mn  8m .
2. Упростите выражение: (2a  1) 2 (a  1)  (2a  1) 2 (a  1) .
Решение: (2a  1) 2 (a  1)  (2a  1) 2 (a  1)  (4a 2  4a  1)( a  1)  (4a 2  4a  1)(a  1) 
 4a 3  4a 2  a  4a 2  4a  1  4a 3  4a 2  a  4a 2  4a  1  2 .
Ответ: 2.
3. Представьте в виде многочлена стандартного вида: (2 x  3 y)( 2 x  3 y)( 4 x 2  9 y 2 ) .
Решение:
(2 x  3 y)(2 x  3 y)(4 x 2  9 y 2 )  (4 x 2  9 y 2 )(4 x 2  9 y 2 )  (4 x 2  9 y 2 )( 4 x 2  9 y 2 )  16 x 4  81y 4 .
4
4
Ответ: 16 x  81y .
4. Представьте в виде многочлена стандартного вида: (2a  b) 3  (a  b) 2 (8a  b) .
Решение:
(2a  b) 3  (a  b) 2 (8a  b)  8a 3  12a 2 b  6ab 2  b 3  8a 3  a 2 b  16a 2 b  2ab 2  8ab 2  b 3 
 27a 2 b .
2
Ответ: 27a b .
1.1.2. Тренировочные упражнения.
Задание №1.1.
Базовый уровень
1. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
(6 x  1) 2  4(3x  2)(3x  2) .
Ответ:
2. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
25x
2

 16a 2 5 x  4a 5 x  4a  .
Ответ:
3. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
20 x  12  20 x  12 .
2
Ответ:
4. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
(m  2n)(m 2  2mn  4n 2 )  8n 3 .
Ответ:
5. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
(5a  4b  3 y )(5a  4b  3 y ) .
Ответ:
6. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
b
2

 2b  1  b  1 .
2
Ответ:
7. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
b 3  (b  c) 3 .
Ответ:
Повышенный уровень
8. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
(5  y) 3  y(5  y) 2  25(1  y) 2 .
Ответ:
9. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
(b  2)(b 4  2b 3  4b 2  8b  16) .
Ответ:
10. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
(m 2  mn  n 2 )( m 2  mn  n 2 )( m 4  m 2 n 2  n 4 ) .
Ответ:
3
Ответы к заданию №1.1: 1.  12x  17 . 2. 625 x 4  256a 4 . 3.  80x . 4. m 3 . 5.
25a 2  16b 2  24by  9 y 2 . 6. b 4  2b 2  1 . 7. 3b 2 c  3bc 2  c 3 . 8. 100. 9. b 5  32 . 10.
m8  m 4 n 4  n8 .
Тест №1.1
При выполнении заданий А1 – А6 обведите кружком номер правильного ответа.
А1. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
3m 2  11  5m 8m  6  2m 2
4
3
2
4
2
1) 6m  14m  36m  118m  66 ;
3) 6m  40m  66 ;


4
3
2
2) 6m  14m  36m  58m  66 ;

4
3
2
4) 5m  14m  36m  118m  66 .
А2. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида m  2  2m  2  1
2
2
1) m  1 ;
3) m  2m  1 ;
2
2
2) m  2m  1 ;
2
4) m  2m  1 .
 x2 x3   x3 x2 
А3. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида        .
3  3
2 
 2
x6 x4
x9 x4


1)
;
3)
;
9
4
6
6
x9 x4
x4 x6


4)
2)
;
27 6 .
4
9
А4. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида
(5a  2b  1)(5a  2b  1) .
1) 25a 2  4b 2  4b  1 ;
2) 5a 2  4b 2  4b  1 ;
3) 25a 2  4b 2  1 ;
2
2
4) 5a  4b  4b  1 .
А5. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида (4b 2  4b  1)( 2b  1) 2 .
1) 16b 4  1;
2) 16b 4  8b 2  1 ;
3) 16b 4  16b  1 ;
4
4) 16b  1 .
А6. Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида (6 x  1) 2  (6 x  1) 2 .
1)  24x ;
3)  36 x 2  8 x ;
2
2)  36 x 2  24 x ;
4) 24 x  36 x  1 .
Ответом на задания В7 – В10 должно быть некоторое целое число или число,
записанное в виде десятичной дроби.
В7. Упростите выражение ( x  1) 3  3( x  1) 2  3( x  1)  1  x 3 .
4
Ответ:
В8. Упростите выражение (m 2  mn  n 2 )( m 2  mn  n 2 )( m 4  m 2 n 2  n 4 ) 
m12  n12
m4  n4 .
Ответ:
В9. Упростите выражение (a  1)( a 4  a 3  a 2  a  1)  a 5
Ответ:
В10. Найдите значение выражения (a  2b) 3  (a  b) 2 (a  8b) при ab 2  3 .
Ответ:
Ответы теста №1.1: А1. 1. А2. 2. А3. 2. А4. 1. А5. 2. А6. 1. В7. 0. В8. 0. В9. – 1. В10. 81.
1.2. Разложение многочлена на множители.
Формулы сокращенного умножения:
a 2  b 2  (a  b)( a  b)
a 2  2ab  b 2  (a  b) 2
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
a 3  b 3  (a  b)( a 2  ab  b 2 )
a 3  b 3  (a  b)( a 2  ab  b 2 )
a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3  (a  b) 3
a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3  (a  b) 3
Теорема
о
разложении
квадратного
ax 2  bx  c  ax  x1 x  x2  , где
трехчлена
на
множители:
x1 и x 2 – корни квадратного трехчлена (если
дискриминант положительный – два различных корня, если дискриминант равен нулю –
два равных корня, если дискриминант меньше нуля – нет действительных корней). Если
квадратный трехчлен корней не имеет, то его нельзя разложить на множители.
1.2.1. Примеры с решениями.
1. Разложите многочлен 2a 3  a 2 b  2ab 2  b 3 на множители.
Решение: сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов
(2a 3  2ab 2 )  (a 2 b  b 3 )  2a(a 2  b 2 )  b(a 2  b 2 ) 
 (a 2  b 2 )( 2a  b)  (a  b)( a  b)( 2a  b) .
Ответ: (a  b)( a  b)( 2a  b) .
2. Разложите многочлен 16a 3  49a на множители.
5
Решение: вынесем общий множитель и применим формулу разности квадратов


a 16a 2  49  a(4a  7)( 4a  7) .
Ответ: a(4a  7)( 4a  7) .
3. Разложите многочлен 20b 2  45c 2 на множители.
Решение: вынесем общий множитель и применим формулу разности квадратов
20b 2  45c 2  5(4b 2  9c 2 )  5(2b  3c)(2b  3c) .
Ответ: 5(2b  3c)( 2b  3c) .
4. Разложите многочлен 2 y  y 2  6 x  9 x 2 на множители.
Решение: сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:


2 y  y 2  6 x  9 x 2  2 y  6 x   y 2  9 x 2  2 y  3x    y  3x  y  3x    y  3x 2  y  3x  .
Ответ:  y  3x2  y  3x .
5. Разложите многочлен  8 x 2  22 x  5 на множители.
Решение: Найдем корни квадратного трехчлена  8 x 2  22 x  5 , для этого решим
квадратное уравнение. Корни уравнения  8 x 2  22 x  5  0 : x1 
1
5
, x2  .
4
2
Применив теорему о разложении квадратного трехчлена на множители, получим
1
5
 8 x 2  22 x  5  8( x  )( x  )  (1  4 x)( 2 x  5)
4
2
.
Ответ: 1  4 x 2 x  5.
6. Разложите многочлен a 2  5ab  6b 2 на множители.
Решение: рассмотрим выражение a 2  5ab  6b 2 как квадратный трехчлен относительно
переменной а. Найдем его корни:
5b  7b a1  6b a2  b
a 2  5ab  6b 2  0 , D  25b 2  24b 2  49b 2 , a 
,
,
2
Поэтому a 2  5ab  6b 2  a  6ba  b .
Ответ: a  6ba  b .
7. Разложите многочлен x 3  xyz  x 2 z  y 2 z  y 3 на множители.
Решение: сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы кубов:
x 3  xyz  x 2 z  y 2 z  y 3  x 3  y 3  xyz  x 2 z  y 2 z  x  y  x 2  xy  y 2  z x 2  xy  y 2 
 x 2  xy  y 2 x  y  z  .
Ответ: x 2  xy  y 2 x  y  z  .




 


6

 

8. Разложите многочлен a 2  x 2  a 2 x 2  4ax  1 на множители.
Решение: выделим полный квадрат в данном выражении следующим образом:
a 2  x 2  a 2 x 2  4ax  1  a 2  x 2  a 2 x 2  2ax  2ax  1 
 (a 2  2ax  x 2 )  (a 2 x 2  2ax  1)  (a  x) 2  (ax  1) 2  (a  x  ax  1)( a  x  ax  1) .
Ответ: a  x  ax  1a  x  ax  1 .
9. Разложите многочлен x 4  x 2  1 на множители.
Решение: выделим полный квадрат в данном выражении следующим образом:


2


x 4  x 2  1  x 4  2x 2  1  x 2  x 2  1  x 2  x 2  1  x x 2  1  x
Ответ: x 2  1  x x 2  1  x .



7

1.2.2. Тренировочные упражнения.
Задание №1.2.1
1. Разложите многочлен 4m  81 на множители.
2
Ответ:
2. Разложите многочлен 9 x 2 
1
на множители.
9
Ответ:
3. Разложите многочлен x 3  3x 2  3  x на множители.
Ответ:
4. Разложите многочлен x 5  x 4  x  1 на множители.
Ответ:
5. Разложите многочлен 5a 3 c  10a 2  6bc  3abc 2 на множители.
Ответ:
6. Разложите многочлен
1 3
a  1000 на множители.
27
Ответ:
7. Разложите многочлен y 3  3 y 2  3 y  1 на множители.
Ответ:
8. Разложите многочлен  125a 3  45ab 4  150a 2 b 2 на множители.
Ответ:
9. Разложите многочлен b 2 c 2  4bc  b 2  c 2  1 на множители.
Ответ:
10. Разложите многочлен ( x 2  xy  y 2 ) 2  ( x 3  y 3 ) 2 на множители.
Ответ:
1 
1

Ответы к заданию №1.2.1: 1. 2m  92m  9 . 2.  3 x   3 x   . 3. x  3x  1x  1 .
3 
3

10
1
 1

2
3
4. x  1x  1 x 2  1 . 5. ac  2 5a 2  3bc . 6.  a  10  a 2  a  100  . 7.  y  1 . 8.
3
3
 9






 5a 5a  3b 2 . 9. bc  b  c  1bc  b  c  1 . 10. x 2  xy  y 2
2
8
 1  x  y 1  x  y  .
2
Задание №1.2.2
Базовый уровень
4
4
1. Разложите многочлен 81b  16a на множители.
1) (9b 2  4a 2 ) 2 ;
3) (3b  2a)(3b  2a)(9b 2  4a 2 ) ;
2
2
2) (9b 2  4a 2 ) 2 ;
4) (3b  2a) (3b  2a) .
2. Разложите многочлен x 2  ax  a 2 y  axy на множители.
1) (a  x)( x  ay ) ;
3) ( x  1)( ay  1) ;
2) (a  x)( x  ay ) ;
4) (a  x)( ay  1) .
3. Разложите многочлен 4m 3  m 4  m  4 на множители.
1) (4  m)( m  1)( m 2  m  1) ;
3) (m  4)(m 2  1) ;
3
2) (m  4)(m 3  1) ;
4) . (m  4)( m  2)
4. Разложите многочлен m13  mn12 на множители.
1) m(m  n12 ) ;
3) n(m 4  n 4 )( m 8  m 4 n 4  n 8 ) ;
12
2) m(m 4  n 4 )( m 8  m 4 n 4  n 8 ) ;
4) m (m  n) .
5. Разложите многочлен (2 x  5 y) 2  9 x 2 на множители.
1) (5 x  y )( x  5 y ) ;
3) (5 x  y )( x  3 y ) ;
2) 5(5 y  x)( x  y ) ;
4) (2 x  5 y )( 2 x  5 y ) .
6. Разложите многочлен (a 2  6ab) 2  81b 4 на множители.
1) (a  3b) 2 (a 2  6ab) ;
3) (a  3b) 2 (a 2  6ab  9b 2 ) ;
2
2) (a  3b) 2 (a  3b) 2 ;
4) (a  3b) (a  3b) .
Повышенный уровень
7. Разложите выражение (3a  5b)  6a(3a  5b)  9a 2 на множители.
2
Ответ:
1
3
8. Разложите многочлен 1 x 3 y  6 x 2 y 2  6 xy3 на множители.
3
4
Ответ:
9. Разложите многочлен a 2  b 2  x 2  y 2  2ax  2by на множители.
Ответ:
10. Разложите многочлен b 4  b 2  1 на множители.
Ответ:
2
4 
9 
Ответы к заданию №1.2.2: 1. 3. 2. 1. 3. 1. 4. 2. 5. 2. 6. 3. 7. 25b . 8. xy x  y  . 9.
3 
4 
2
2
x  a  y  bx  a  y  b . 10. b  b  1 b  b  1 .
2



9
Тест №1.2.1
Отметьте правильный ответ в заданиях А1 – А6.
А1. Раскройте скобки (a  5b  1)( a  5b  1) .
1) a 2  5b  10b 2  1 ;
3) a 2  10b 2  5b  1 ;
2
2
2) a  25b  10b  1 ;
4) a 2  5b  b 2  1 .
А2. Разложите на множители a 3  2a 2  a  2 .
1) (a  1)( a  1)( a  2) ;
3) (a 2  1)( a  2) ;
2
2) (a 2  1)( a  2) ;
4) (a  1)( a  1) .
2 2
3
3
А3. Найдите значение выражения a b  ab  b  a при а = 0,8 b = 0,64.
1) 1;
2) 0;
3) 0,64;
4) 0,56
А4. Разложите на множители 2a 3  28a 2 b  98ab 2 .
1) 2a (a  7b)( a  7b) ; 2) 2a(a  7b) 2 ;
3) 2a(a  7b) 2 ;
4) 2a(7a  b) 2
А5. Квадратом двучлена a n  1 является многочлен
1) a n  1 ;
2) a 2 n  2a n  1;
3) a 2 n  2a n ;
4) a 2 n  a n  1
А6. Кубом двучлена a n  2 является многочлен
1) a 3n  6a 2 n  12a n  8 ;
3) a 3n  6a n  8 ;
3n
2n
n
2) a 3n  8 ;
4) a  3a  3a  8 .
Ответом в заданиях В7 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной
дроби число.
В7. Найдите значение выражения (5x  11) 2  (5x  9) 2  2(5x  11)(9  5x) при х = 6,58
Ответ:
В8. Найдите значение M, при котором выражения (3x  8) 2  (6 x  1) 2  (2 x  4) 2  M
является квадратом двучлена
Ответ:
В9. Найдите значение выражения ( x 2  xy  y 2 ) 2  ( x 2  xy  y 2 ) 2 при х = 2,43 y = 2,43.
Ответ:
3
2
В10. Найдите наименьшее значение у, при котором выражение 4 y  12 y  9 y равно 0.
Ответ:
Ответы теста №1.2.1: А1. 2. А2. 1. А3. 2. А4. 2. А5. 2. А6. 1. В7. 4. В8. – 45. В9. 0. В10. –
1,5.
10
Тест №1.2.2
Отметьте правильный ответ в заданиях А1 – А6.
А1. Раскройте скобки ( x  3 y  1)( x  3 y  1) .
1) x 2  9 y 2  1 ;
2) x 2  9 y 2  6 y  1 ;
3) x 2  9 y 2  6 y  1 ;
2
2
4) x  9y .
2
2
А2. Разложите многочлен a n  anx  x  ax на множители
3) (an  x)( a  x) ;
1) (ax  n) 2 ;
2) (ax  n)( ax  n) ;
4) (ax  n)( an  x) .
3
2
1
1
А3. Найдите значение выражения 8 xy  24 y  7axy  21a при a 
; x  9; y  .
17
3
1) 0;
2) 1;
3) 4,5;
4) 3
А4. Разложите многочлен 75 x 2 y  90 xy 2  27 y 3 на множители
1) (5x  y) 2 5 y ;
3) y 2 (5 x  3 y)(5 x  3 y) ;
2
2
2) 3 y (5 x  3 y) 2 ;
4) y (5 x  3 y ) .
n
А5. Квадрат двучлена b  1 равен
1) b 2 n  2 ;
2) b 2 n  2b n  2 ;
3) b 2 n  2b n  1 ;
А6. Куб двучлена b n  2 равен
1) b 3n  6b 2 n  12b n  8 ;
2) b 3n  8 ;
3) b 3n  4b 2 n  4b n  8 ;
3n
2n
n
4) b  b  b  8 .
4) b 2 n  1
Ответом в заданиях В7 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной
дроби число.
В7. Найдите значение выражения (k  1) 2 (13  k )  (k  1) 2 (9  k )  44k при k = 1,97
Ответ:
В8. При каком значении k выражение (4b  7) 2  (3b  8) 2  (12b  5)(12b  5)  k является
квадратом двучлена?
Ответ:
В9. Найдите значение выражения ( x 3  y 3 ) 2  ( x 2  xy  y 2 ) 2 , если х + у = –1
Ответ:
В10. Найдите наименьшее значение z, при котором выражение 16 z 3  24 z 2  9 z равно 0.
Ответ:
Ответы теста №1.2.2: А1. 2. А2. 3. А3. 1. А4. 2. А5. 3. А6. 1. В7. 4. В8. – 72. В9. 0. В10. –
0,75.
11
1.3. Сокращение дроби.
Основное свойство алгебраической дроби: для любых значений a, b, c ñ  0 :
a ac

b bc .
1.3.1. Примеры с решениями.
21m 2
1. Сократите дробь: 14mn .
21m 2 3m  7m 3m
Решение:
при m  0 .


14mn 2n  7m 2n
21m 2 3m
при m  0 .

Ответ:
14mn 2n
2. Сократите дробь:
Решение:
b  0.
Ответ:
b 2 k 1c 3
b 2 k 3 c k  3
b 2 k 1c 3
.
b 2 k 3 c k  3
b 2 k 1 c 3
b2
 2 k 3  k 3  b 2 k 1( 2 k 3)  c 3( k 3)  b 2 k 12 k 3  c 3k 3  b 2  c k  k при
b
c
c
b 2 k 1c 3
b2
при b  0 .

b 2 k 3 c k  3 c k
c 3  18c 2
.
c 4  3c 3  9c 2
c 3  18c 2
c 2 (c  18)
c  18
Решение: 4
при ñ  0 .
 2 2
 2
3
2
c  3c  9c
c (c  3c  9) c  3c  9
3. Сократите дробь:
c 3  18c 2
c  18
 2
Ответ: 4
при ñ  0 .
3
2
c  3c  9c
c  3c  9
10b 3  640
.
b 3  4b 2  16b
10b 3  640
10(b 3  64)
10(b  4)(b 2  4b  16) 10(b  4)



Решение: 3
b
b  4b 2  16b b(b 2  4b  16)
b(b 2  4b  16)
4. Сократите дробь:
Ответ:
10b 3  640
10(b  4)

.
3
2
b
b  4b  16b
y 2  5 y  126
.
y 2  5 y  36
Решение: разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь теоремой о
( y  14)( y  9) y  14
разложении квадратного трехчлена на множители, тогда получим

( y  9)( y  4)
y4
при y  9 .
5. Сократите дробь
Ответ:
y 2  5 y  126 y  14

при y  9 .
y4
y 2  5 y  36
12
1.3.2. Тренировочные упражнения.
Задание №1.3
3a  15ab
.
6ab
2
1. Сократите дробь:
Ответ:
2. Сократите дробь
4k 2  p 2
 p  2 k 2
.
Ответ:
2 3k 1
3. Сократите дробь k 1 .
8
Ответ:
4. Сократите дробь
4  2a  a 2
.
a3  8
Ответ:
5. Сократите дробь
x16  x 23  x 30
.
x 9  x 30
Ответ:
6. Сократите дробь
y 2  7 y  30
y 2  8 y  15
Ответ:
7. Сократите дробь
6a 2  7 a  3
.
2  a  15a 2
Ответ:
8. Сократите дробь
27 2 k 1
.
9 3k 1
Ответ:
9. Сократите дробь
( x  1) 3  1
.
x3  1
Ответ:
x 4  3x 3  9 x 2
10. Сократите дробь
.
x 3  27
Ответ:
a  5b
1
1
x7
2k  p
Ответы к заданию №1.3: 1.
при a  0 . 2.
. 3.
. 4.
. 5.
при
2b
a2
32
2k  p
1  x7
2a  3
1
x2
x2
y  10
при y  3 . 7. 
при a  . 8. 243. 9.
. 10.
.
x  0 . 6.
5a  2
3
x 1
x3
y 5
13
Тест №1.3
Отметьте правильный ответ в заданиях А1 – А6.
2
А1. Сократите дробь: a  16 .
1) a  4 ;
4a
2)  a  4 ;
15a 2  10ab
А2. Сократите дробь:
.
8b 2  12ab
5a
5a
1) 
;
2)
;
4b
4b
27m 3  1
А3. Сократите дробь:
.
9m 2  3m  1
1) 3m  9 ;
3m  1
2)
;
3m  1
10 k
А4. Сократите дробь: k  2 k 1 .
2 5
5
10 k
1) k ;
2)
;
2
2
А5. Сократите дробь:
1)
1 y
;
5 y
3) a  4 ;
3) 
5
;
4
3) 3m  1 ;
4)
1
.
4a
4)
5
.
4
4) 1 .
3)
5k
;
2k
4)
5
.
4
3)
y 1
;
5 y
4)
y 1
.
y5
y 2  3y  2 .
 y 2  7 y  10
2)
1 y
;
y5
b 2  3b
.
b 2  6b  9
1
b3
1
b
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2
b
b3
b3
(b  3)
Ответом в заданиях В7 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной
дроби число.
А6. Сократите дробь:
В7. Сократите дробь:
8b 3  125c 3
.
6b 2  13bc  5c 2
Ответ:
2 2
В8. Сократите дробь: a b  7ab  10 .
ab  5
Ответ:
В9. Сократите дробь:
144a 2  25b 2
.
25b 2  120ab  144a 2
Ответ:
В10. Сократите дробь
a 2  bc  b 2  ac .
ab  c 2  ac  b 2
Ответ:
2
2
Ответы теста №1.3: А1. 2. А2. 1. А3. 3. А4. 4. А5. 3. А6. 4. В7. 4b  10bc  25c . В8. ab  2 .
3b  ñ
12a  5b
В9.
. В10. a  b .
12a  5b
bc
14
1.4. Сумма и разность дробей.
a b ab a b ab
 
 
;
c c
c
c c
c .
Для выполнения сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями,
необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать предыдущее правило.
m
pn
p
mq
Например:
и
, то есть знаменатели разные. Тогда рассмотрим дроби
и
n
qn
q
nq
– эти дроби равны исходным, но у них равные знаменатели. Сумма (разность) дробей
pn  mq  pn  mq 

 .
тогда будет
qn
 qn 
Если дроби имеют равные знаменателями, то
1.4.1. Примеры с решениями.
4a  3b  7 a  1

.
3a
3a
4a  3b  7 a  1 4a  3b  7  a  7 3a  3b a  b




Решение:
.
3a
3a
3a
3a
a
ab
Ответ:
.
a
( 2a  b) 2
b2

2. Найдите сумму дробей
.
ab
ba
( 2a  b) 2
b2
( 2a  b) 2
b2
( 2a  b) 2  b 2 ( 2a  b) 2  b 2






Решение:
a b
ba
a b
a b
a b
a b
(2a  2b)( 2a  b  b) 2(a  b)  2a


 4a при a  b  0 .
ab
a b
Ответ: 4a при a  b  0 .
ab ac

3. Найдите разность дробей
.
ab
ac
a  b a  c c(a  b) b(a  c) ac  bc  ab  bc ac  ab a(c  b)







Решение:
ab
ac
abc
abc
abc
abc
abc
cb

при a  0 .
bc
cb
Ответ:
при a  0 .
bc
a2  b2
4. Выполните действия
a b.
ab
a2  b2
a 2  b 2  (a  b) 2 a 2  b 2  a 2  2ab  b 2
2ab
a b 


Решение:
.
ab
ab
ab
ab
2ab
Ответ: 
.
ab
x  2y
x  2y
 2
5. Найдите разность дробей 2
.
2
x  2 xy  y
x  y2
x  2y
x  2y
( x  2 y )( x  y )  ( x  2 y )( x  y )



Решение:
2
( x  y )( x  y )
( x  y)
( x  y) 2 ( x  y)
1. Найдите разность дробей

x 2  2 xy  xy  2 y 2  x 2  2 xy  xy  2 y 2
2 xy

.
2
( x  y) ( x  y)
( x  y) 2 ( x  y)
15
Ответ:
2 xy
.
( x  y) 2 ( x  y)
a2
18  2a 2
3a(a 2  a  15)
.
 2

a  3 a  3a  9
a 3  27
a2
18  2a 2
3a(a 2  a  15)
Решение:



a  3 a 2  3a  9
a 3  27
a 2 (a 2  3a  9)  (a  3)(18  2a 2 )  3a(a 2  a  15)


(a  3)( a 2  3a  9)
6. Выполните действия

a 4  3a 3  9a 2  18a  2a 3  54  6a 2  3a 3  3a 2  45a a 4  2a 3  27a  54


(a  3)( a 2  3a  9)
(a  3)( a 2  3a  9)


a 3 a  2  27a  2 a  2 a 3  27

 a  2 при a  3 .
a 3  27
a 3  27
Ответ: a  2 при a  3 .
2
1
 2
7. Выполните действия
.
2
2x  x  1 x  x  2
Решение: разложим на множители квадратные трехчлены:
2 x 2  x  1  (2 x  1)( x  1) ; x 2  x  2  ( x  2)( x  1) .
2
1
2( x  2)  (2 x  1)
3
Поэтому
.



2 x  1x  1 ( x  2)( x  1) (2 x  1)( x  1)( x  2) (2 x  1)( x  1)( x  2)
3
Ответ:
.
(2 x  1)( x  1)( x  2)

16
1.4.2. Тренировочные упражнения.
1. Найдите сумму: 13  5a  8b  3  a .
4a
Задание №1.4
Базовый уровень
4a
Ответ:
2. Найдите сумму: 10 y  1  1  2 y .
15 y
3y
Ответ:
3. Выполните действия:
5
1
1


3
2
14 x
21x y 4 xy 2
.
Ответ:
2
4. Найдите сумму: (m  n)  n .
2m
Ответ:
5. Найдите разность
1
2
.

2y 1 5y
Ответ:
6. Найдите разность x2  y  x  y 2 .
x  xy
Ответ:
7. Найдите разность
xy  y
x  2y
x  2y

x 2  2 xy  y 2 x 2  y 2
.
Ответ:
Повышенный уровень
2a  3c 2b  3a
bc  3ac
8. Выполните действия
.

 2
4a  2c 9a  3b 6a  2ab  3ac  bc
Ответ:
2
2
2
9. Выполните действия x  x  20  2 x  5 x  3  4  8 x  5 x .
x4
2x  3
x2
Ответ:
10. Выполните действие
6 x 2  17 x  10
x 3  2 x 2  9 x  18
.

4 x 2  12 x  7 (3  x)( 2 x 2  3x  14)
Ответ:
4  a  2b
2
m2  n2
30 y 2  4 xy  21x 2
. 2)
. 3)
.
4)
. 5)
à
5y
2m
84 x 3 y 2
y2
y
15a  b
2 xy
. 6) 2
при xy  0 . 7)
. 8)
при 2a  c  0 . 9) 5x  4
2
2
2
10 y  5 y
x y
x  y  x  y  18a  6b
при x  2; 1,5; 4 . 10) 1 при x  3,5; 0,5; 2; 3 .
Ответы к заданию №1.4: 1)
17
Тест №1.4
При выполнении заданий А1 – А6 обведите кружком номер правильного ответа.
a 1
 .
6t t
a 1
a6
6a  1
a  6t
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
6t
6t
6t
t
( a  b) 2
А2. Представьте в виде дробного выражения
 2a .
b
( a  b) 2
a2  b2
a 2  2b 2
a2  b2
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
b
b
b
b
b
a
a2

 2
А3. Представьте в виде дробного выражения
.
2a  2b b  a a  b 2
b
b
ba
ab
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2(b  a )
2( a  b )
2( a  b )
2( a  b )
А1. Представьте в виде дробного выражения
25 x 2  10 x  4 4  10 x  25 x 2

А4. Выполните действия
.
2  5x
2  5x
3) 10 x ;
5x  2
5x  2
1)
;
2)
;
5x  2
2  5x
m2
mn

А5. Представьте в виде дробного выражения
.
2
2m  2n
( m  n)
1
mn
m2  n2
1)
;
3)
;
2)
;
2(m  n)
2(m  n)
2(m  2n)
А6. Представьте в виде дробного выражения
4)
5x
.
5x  2
4)
m2  n2
.
2(m  n) 2
1
2
1
 2

.
2
( x  3)
x  9 ( x  3) 2
2x
( x  3) 2
3)
;
4)
.
( x  3)( x  3)
( x  3) 2
4x 2
( x  3) 2
;
2)
;
( x  3) 2 ( x  3) 2
( x  3) 2
Ответом на задания В7 – В10 должно быть дробное выражении или число,
записанное в виде десятичной дроби..
x y
2x
x y
 2

В7. Представьте в виде дробного выражения
.
2
2
( x  y)
x y
( x  y) 2
1)
Ответ:
В8. Представьте в виде дробного выражения
y2
y 3
 2
.
2
3
12  4 y  3 y  y
y  5y  6
Ответ:

x y
xy
1
 3

В9. Найдите значение выражения  2
2
3
x
x y
 x  xy  y
Ответ:
18


y 
1
при х = 2,08, y = 2,08.
В10. Найдите значение выражения
1
1
4ab
при а = 2,43,


2
2
( a  b)
( a  b)
( a  b) 2 ( a  b) 2
b = –1,57.
Ответ:
1
8 xy 2
Ответы теста №1.4: А1. 2. А2. 1. А3. 1. А4. 3. А5. 4. А6. 1. В7.
. В8.
.
2
2
y 3
( x  y) ( x  y)
В9. 2,08. В10. 0,125.
1.5. Произведение и частное дробей.
Умножение и деление дробей, возведение дробей в степень:
n
a c ac
a c ad  a 
an
 
: 
;
;    n .
b d bd
b d bc  b 
b
1.5.1. Примеры с решениями.
Примеры: Найдите произведение или частное дробей
9b 3 m
 .
1) Найдите произведение дробей: 
16 b 4
9b 3 m
9b 3 m
9m
 4 

Решение: 
.
4
16 b
16b
16b
9m
Ответ: 
.
16b
a n b n1
2) Найдите произведение дробей: n 2  n  2 .
b
a
n
n1
n
n1
n n1
a b
a b
ab
a nb n1n2 b3
 2.
Решение: n2  n2  n2 n2  n2 n2 
b
a
b a
a b
ana2
a
3
b
Ответ: 2 при b  0 .
a
a5 x4 a 4 x5
:
3) Найдите частное дробей:
.
18c 9 54c 8
a 5 x 4 a 4 x 5 a 5 x 4 54c 8 3a
:


Решение:
.
18c 9 54c 8 18c 9 a 4 x 5 xc
3a
Ответ:
при a  0 .
xc
bx  5 x 2 b 2  5bx
4) Найдите частное дробей:
.
:
30by
60 xy
bx  5x 2 b 2  5bx x(b  5x)  60 xy 2 x 2
Решение:
.
:


30by
60 xy
30by  b(b  5x) b 2
2x 2
Ответ: 2 при b  5x , y  0 .
b
19
27a 3  64b 3 9a 2  12ab  16b 2
.
:
b2  4
b 2  4b  4
27a 3  64b 3 9a 2  12ab  16b 2 27a 3  64b 3
b 2  4b  4
Решение.
:



b2  4
b 2  4b  4
b2  4
9a 2  12ab  16b 2
(3a  4b)(9a 2  12ab  16b 2 )(b  2) 2 (3a  4b)(b  2)
.


b2
(b  2)(b  2) 9a 2  12ab  16b 2
(3a  4b)(b  2)
Ответ:
при 9a 2  12ab  16b 2  0 , b  2 .
b2
5) Найдите частное дробей:


1.5.2. Тренировочные упражнения.
Задание №1.5
Базовый уровень
1) Найдите произведение дробей:
4 x 15 y 3
.

25 y 2 8 x 2
Ответ:
2) Найдите частное дробей:
8b 5 c 6 12b 4
.
:
33 x 4 55c 2 x 5
Ответ:
a 2  3ax ax  3x 2
3) Найдите частное дробей:
.
:
12 x
36a
Ответ:
4) Найдите произведение дробей:
15 x 3
x2  y2

.
x 2 y  y 3 10 x 2
Ответ:
5m 3 n 3
3m 3  24n 3

5) Найдите произведение дробей:
.
6m 2  12mn  24n 2
10m 4 n 3
Ответ:
6) Найдите частное дробей: (60a n b 3 ) :
24a n 1
.
b
Ответ:
7) Найдите частное дробей:
25a 5
10a 4 b
:
.
6a 3  6b 3 9a 2  9ab  9b 2
20
Ответ:
Повышенный уровень
x 2  7 x  10
x 2  25
x 2  2 x  35
.
:

x 2  5 x  14 x 2  9 x  14 x 2  5 x  14
8) Выполните действия:
Ответ:
9) Выполните действия:
a6  b6
a  3b
.
 2
2
2
a  a  3b  9b (a  b 2 ) 2  a 2 b 2
Ответ:
10) Выполните действия:
x 4  3x 2  1 x 2  x  1
: 2
.
x 3  27
x  3x  9
Ответ:
Ответы к заданию №1.5: 1)
a  3x . 4)
3y
10bc 8 x
3a 2
при y  0 . 2)
при bcx  0 . 3) 2 при a  0 ,
10 x
9
x
m  2n
5ab 4
15a
3x
при x  0 . 5)
при n  0 . 6) 
при ab  0 . 7)
при
4m
2
4a  b b
2y
ab  0 . 8) 1 при x  7;  5;  2; 2; 5; 7 . 9)
a2  b2
при a  3b , a 2  b 2  0 . 10)
a  3b  1
x2  x 1
при x 2  x  1  0 .
x3
Тест №1.5
При выполнении заданий А1 – А6 обведите кружком номер правильного ответа.
a 5 x 4 54c 8

А1. Найдите произведение дробей
.
18c 9 a 4 x 5
3ax
2x
3ac
1)
;
2)
;
3)
;
c
3ac
x
a 2  b 2 a 2  2ab  b 2
:
А2. Найдите частное дробей
.
25ab
50a 2
2b
2a ( a  b)
2b(a  b)
3)
;
1)
;
2)
;
( a  b) 2
b( a  b)
a ( a  b)
25a 5
9a 2  9ab  9b 2

.
6a 3  6b 3
10a 4 b
15b
15a
2)
;
3)
;
2( a  b )
4b(a  b)
4)
3a
.
xc
4)
2 ab
.
ab
4)
15
.
ab
А3. Упростите выражение
1)
5ab
;
3a(a  b)
21
m3n3
m 2  n 2 3m  3n
.

:
mn
m 3  m 2 n 6mn 3
mn
m( m  n )
2)
;
3)
;
mn
18
А4. Упростите выражение
1)
m2
;
6
3  6t
1  2t
4t 2  1
.

:
2t 2  4t  8 t 2  4t  4 8  t 3
t2
2
3) 
;
2)
;
t2
3(t  2)
4)
n2
.
12
4)
2t  1
.
t2
А5. Выполните действия
1)
3
;
2(t  2)
d 2  5d  4 d 2  16
.
:
d 2  5d  6 d 2  4
d 2
d 1
(d  1)( d  2)
(d  2)( d  3)
2)
;
3)
;
1)
;
4)
.
d 4
d 3
(d  3)( d  4)
(d  1)( d  4)
Ответом на задания В7 – В10 должно быть некоторое целое число или число,
записанное в виде десятичной дроби.
А6. Упростите выражение
В7. Найдите значение выражения
2 x 2  xy  6 y 2 2 x 2  7 xy  6 y 2
при x = –63 y = 126.
:
6 x 2  5 xy  y 2 3x 2  7 xy  2 y 2
Ответ:
x4  y4
2x  y
В8. Найдите значение выражения
при x = 62 y =
 3
2
2
2
4 x  2 x  y  y x  x y  xy 2  y 3
125.
Ответ:
В9. Найдите значение выражения
a 2  30cx  10ax  3ac a 2  100 x 2
:
при а = 0,3, x = 168 с
x 2  ax
a 2  ax
= 0,1.
Ответ:
x 2  7 x  10
x 2  25
x 2  2 x  35
:

10) Найдите значение выражения 2
при х = 63,29.
x  5 x  14 x 2  9 x  14 x 2  5 x  14
Ответ:
Ответы теста №1.5: А1. 4. А2. 1. А3. 2. А4. 2. А5. 1. А6. 1. В7. 0. В8. 31,5. В9. 0. В10. 1.
22
1.6. Тесты.
Тест №1.6.1
При выполнении заданий А1 – А7 обведите кружком номер правильного ответа.
a  x ax  x 2
А1. Упростите выражение
.
:
a
a2
a
x2
2)
;
1)
;
x
a
3)
ax
;
ax
6c 2
 3c .
3  2c
2c  3
1
9c
1)
;
2)
;
3)
;
2c  3
2c  3
2c  3
3x 2  2 x  5
А3. Сократите дробь
.
1 x2
3x  5
3x  5
x2 1
1)
;
3)
;
2)
;
x 1
x 1
x 1
m 2  n 2 2n

А4. Найдите произведение дробей
.
2mn m  n
mn
mn
mn
2)
;
3)
;
m
n
1) m  n ;
4)
a
.
ax
А2. Упростите выражение
m mn  n 2
.

n nm  n
mn
2)
;
mn
4) 
9c
.
2c  3
4) 
3x  5
.
x 1
4)
mn
.
2n 2
4)
mn
.
m
А5. Найдите разность дробей
1)
mn
;
n
А6. Найдите значение выражения
1) 1;
А7. Упростите выражение
1)
2 5 n 9 ;
3) 16;
4) 25.
2 n 3
4
16 n 1
4 n 3
2) 2
;
2
m2
;
n
3b(b  2)  (b  3) 2
при b = 0,0625.
2b 3  9b
2) 0;
5 n 1
3)
.
3)
4 3n  2 ;
1
4)  
2
5n 9
.
Ответом на задания В8 – В10 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде
десятичной дроби.
В8. Найдите значение выражения
9 n2
.
(3 n 3  3n  2 ) 2
Ответ:
В9. Найдите значение выражения
 1
9
2   4y2  9 
 при у = –2,5.

 : 1 


2
2 y  3   4 ó 2  9 
 2y  3 9  4y
Ответ:
 1  y k 2
1 
 k 1  при у = –212,5.
2 k 1
y 
 y
В10. Найдите значение выражения y 2 k 1 

Ответ:
23
Тест №1.6.2
При выполнении заданий А1 – А7 обведите кружком номер правильного ответа.
bm  b 2 m  b
А1. Упростите выражение:
.
:
m
m2
bm
m
b
m2
1)
;
2)
;
3) ;
4)
.
m
bm
mb
b
15b 2
А2. Упростите выражение
 5b .
3b  2
10b
5b(b  3)
3b  2
30b 2
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
3b  2
3b  2
b
3b  2
13 x  4 x 2  10
А3. Сократите дробь
.
x2  4
13 x  10
5  4x
4x  5
x2
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
x2
x2
x2
4x  5
4ac 2 a  c
А4. Найдите произведение дробей 2
.

a  c 2 ac
4c
4(a  c)
4c
4
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2
ac
ac
ac
(a  c)
a2  b2
b

.
2
2a  2ab a  b
a
2a
ab
a2  b2
1)
;
3)
;
4)
.
2)
;
ab
ab
2a
ab
(a  4) 2  2a(3a  4)
1
А6. Найдите значение выражения
при a   .
2
9
5a  16
1) –81;
2) 9;
3) –1;
4) 18.
3 n 1
n2
2
4
А7. Упростите выражение
n2
8
2 n 5
2 n 9
2n7
1) 2
;
2) 2
;
4) 2 3n  2 .
1
3)  
;
2
Ответом на задания В8 – В10 должно быть некоторое целое число или число, записанное
в виде десятичной дроби.
(5 n  5 n 1 ) 3
В8. Найдите значение выражения
.
125 n 1
А5. Найдите сумму дробей
Ответ:
В9. Найдите значение выражения
m 3  27
m3
3m  3 
 m3
:
 2

.
3
2
3m  18m  27m  3m  9 m  3m 9  m 2 
при m = 97.
Ответ:
В10. Упростите выражение x
3k 1
 1
2  x k 3 

  2 k  2  3k 1  .
x
x

Ответ:
Ответы теста №1.6.1: А1. 2. А2. 4. А3. 4. А4. 2. А5. 1. А6. 3. А7. 1. В8. 2,25. В9. 0,1. В10. 1.
24
Ответы теста №1.6.2: А1. 3. А2. 1. А3. 2. А4. 4. А5. 4. А6. 3. А7. 2. В8. 64. В9. 0,94. В10. 2.
1.7. Дополнительные упражнения.
Задание №1.7.1
Базовый уровень
1) Запишите выражения в виде многочлена стандартного вида:
(4n 3 m  3m 2 n)( n  m) .
Ответ:
2) Запишите выражения в виде многочлена стандартного вида:
( x  4)(2 x 2  3x  5)  (1  2 x)( x 2  5x  4) .
Ответ:
3) Запишите выражения в виде многочлена стандартного вида:
(20 x  1) 2  (21x  2) 2  (29 x  3)( 29 x  3)  14  44 x .
Ответ:
4) Запишите выражения в виде многочлена стандартного вида:
2
a
m 
 a  .
2

Ответ:
Ответы задания №1.7.1: 1) 4n 4 m  4n 3 m 2  3m 2 n 2  33m 3 n . 2) 4 x  16 . 3) 28. 4)
1
a 2 m  a m 1  a 2 .
4
Задание №1.7.2
Базовый уровень
1) Разложите многочлен на множители: a 2 b 3  a 2 b  b  b 3 .
Ответ:
2) Разложите многочлен на множители: 75b 2  48c 2 .
Ответ:
3) Разложите многочлен на множители: 128a 3 b  2ab 3 .
Ответ:
4) Разложите многочлен на множители: 4m 2  15n  9n 2  10m .
Ответ:
5) Разложите многочлен на множители: b n  2  b n 5 .
Ответ:
Ответы задания №1.7.2: 1) a  1a  1b  1b  1b . 2) 35b  4c 5b  4c  . 3)
2ab8a  b8a  b . 4) 3n  2m2m  3n  5 . 5) b n5 b  1 b 2  b  1 .

25

Задание №1.7.3
Базовый уровень
1) Сократите дробь:
5 x 2  12 x  4
.
6  3x
Ответ:
2) Упростите выражение: (m 2  n 2 ) 1  (n 1  m 1 ) .
Ответ:
3) Упростите выражение:
9x 2  4
2 x
x
.


2
2 x  5 x  2 3x  2 1  2 x
Ответ:
4a  4
a .
2
1
a
a
4) Упростите выражение:
Ответ:
a
b( a  b) 2

5) 2
a  b2
a4  b4
5x  2
mn
при x  2 . 2) 
при mn  0 ; m  n . 3)  2 при
3
mn
2 1
1
x   ; ; 2 . 4) 2  a при a  0; 2 . 5)
при a 2  b 2  0 ; a  b .
3 2
ab
Ответы задания №1.7.3: 1) 
Задание №1.7.4
Базовый уровень
a2 b2

4
9 при a  2 ; b   1 .
1) Найдите значение выражения
a
b
3
2

12 18
Ответ:
2) Найдите значение выражения
0,2m  n
при m  8 ; n  0,6 .
m2
2
n
25
Ответ:
8a 2  27b 3
2
3) Найдите значение выражения
при a  2,5 ; b   .
2
3
(2a  3b)  6ab
Ответ:
4) Найдите значение выражения
xa
ab
при x 
.
xb
ab
26
Ответ:
Ответы задания №1.7.4: 1) 3. 2) –1. 3) 7. 4)
a2
при a  b  0 .
b2
Задание №1.7.5
Повышенный уровень
1) Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида (a 4  a 3  a 2  a  1)(a  1) .
Ответ:
3
b

2) Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида   b m  .
3

Ответ:
3) Упростите выражение 27ab 2  (a  b) 2 (a  8b)  (a  2b) 3 .
Ответ:
2

a m1
a
 a
4) Упростите выражение   a m 

 a 2 m  .
3
3
 9

Ответ:
1
1
1 3
a  a 3m .
Ответы задания №1.7.5: 1) a 5  1 . 2) b 3m  b 2 m 1  b m  2  b 3 . 3) 0. 4)
3
27
27
Задание №1.7.6
Повышенный уровень
1) Разложите на множители: b 2  6b  9  25c 2 .
Ответ:
2) Разложите на множители: 9 x 2 y 2 ( x  y) 2  ( x 3  y 3 ) 2 .
Ответ:
3) Разложите на множители: 81a 2  49a 2 b 2  144ab  64b 2 .
Ответ:
4) Разложите на множители: x 3  x 2 z  xyz  y 2 z  y 3 .
Ответ:
Ответы задания №1.7.6: 1) b  5c  3b  5c  3 . 2)  x  y  x 2  4 xy  y 2 . 3)
9a  8b  7ab9a  8b  7ab . 4) x 2  xy  y 2 x  y  z  .
4


Задание №1.7.7
Повышенный уровень
27
1
1) Упростите выражение:
1
.
1
1
1
c
Ответ:
b
b2 
1

2) Упростите выражение:  2
.
 2
:
2
 b  2b  1 b  b  2  (2b  2)
Ответ:
3) Упростите выражение:
1
1
1
.


(a  b)(b  c) (b  c)( a  c) (c  a)(b  a)
Ответ:
4) Упростите выражение:
8n  3  4 n  3  2 n  1
1  4n
Ответ:
Ответы задания №1.7.7: 1) ñ  1 при ñ  1; 0 . 2) 8b  4 при b  2; 1 . 3) 0 при a  b ;
2
b  c ; a  c . 4) 

2
1
при n  0 .
n
2 1
n
Задание №1.7.8
Базовый уровень
1) Разложите многочлен на множители x 2  ax 2  y  ay  cx 2  cy .
1) ( x 2  1)(1  a  c) ; 2) (1  a  c)( x 2  y) ; 3) (1  a  c)( x  y ) ;
2) Разложите многочлен на множители 9  4 x 2 y 4 .
1) (3  2 xy)(3  2 xy) ; 2) (3  2 x 2 )(3  2 y 2 ) ; 3) (3  2 xy 2 ) 2 ;
38 2  17 2 16

3) Вычислите
72 2  16 2 15
1) 0,25;
2) 1;
3) 0,4;
2
 a  3a
3a  9   3 
  1   .
4) Упростите выражение  2
 2
 a  6a  9 a  9   a 
a3
a3
a
1)
;
2)
;
3)
;
a3
a
a3
m 2  6m  8
5) Сократите дробь
.
8  0,5m 2
m2
2m
m2
3)
;
1)
;
2)
;
m2
2  0,5m
0,5m  4
8 x 3  27 y 3
6) Упростите выражение 4 x  9 y 
2x  3 y
2
2
1)  6 xy ;
8 x  18 y
8x 2  y 2
2)
;
3)
;
2x  3y
3y  2x
2
4) (1  a  c)( x 2  y ) .
4) (3  2 xy 2 )(3  2 xy 2 ) .
4) 0,5.
4)
a3
.
a
4)
m2
.
0,5m  2
4)
6 xy
.
2x  3y
2
28
x2
9y2

( x  3 y ) 3 (3 y  x) 3
x  3y
x  3y
2)
;
3)
;
2
( x  3 y)
3y  x
7) Выполните сложение
1)
1
;
x  3y
4)
x2  9y2
.
( x  3 y) 3
Повышенный уровень
8) Найдите значение выражения
3a  2
18a
1


при а = 72,1.
3
9a  6a  4 27a  8 3a  2
2
Ответ:
36 n
2 2 n 1  3 n 1
9) Вычислите 2 n 3 2 n  2 :
.
3
2
6  12 n
Ответ:
10) Упростите выражение:
64 x 3k  48 x 2 k  12 x k  1
.
(4 x k  1) 3
Ответ:
11) Найдите значение выражения:
2a 2  7 a  6
a2

.
2
13a  6a  6 3a  2
Ответ:
12) Найдите значение выражения
2 x 3  x 2 y  2 xy 2  y 3
при х = 2,986, у = 2,986.
8 x 4  xy3  8 x 3 y  y 4
Ответ:
Ответы задания №1.7.8: 1) 2. 2) 4. 3) 1. 4) 2. 5) 1. 6) 1. 7) 2. 8) 0. 9) 27. 10) 1. 11) 0. 12) 0.
1.8. Дополнительные тесты.
Тест №1.8.1
При выполнении заданий А1 – А7 обведите кружком номер правильного ответа.
ab ab

А1. Упростите выражение
.
ab ab
1) 0;
 4ab
ab
a2  b2
3) 2
;
4)
.
2) 2
;
2
2
ab
a b
a b
А2. Разложите многочлен на множители: a 3 b  a 2  4ab  4 .
1) (ab  1)(a  2)a  2 ;
3) (a  1)( ab  1) 2 ;
2) (a 3  b)(a  b) ;
4) (a 2  1)(b 2  1) .
А3. Найдите произведение дробей
1)
1  2b
;
1  2b
2)
2b  1
;
b2
2b  4b 2 b  1
 2 .
b 1
2b
2b  1
3)
;
(b  1) 2
29
4)
1  2b
.
b
1
2
А4. Упростите выражение 2 b
.
b 1 1

b
b2
2
2
1) b  b  1 ;
2) b  b  1 ;
b
4) 1  b .
3) (1  b) 2 ;
6a  c  a 2  36c 2
 6a  c
А5. Упростите выражение  2
.
 2
 2
2
 a  6ac a  6ac  a  c
2) 1 ;
3) 12 ;
6a  c
1)
;
a
2a 2 b  a 3 2b 3  ab 2
.
:
72b n 2
48b n
2
a2
2) ;
3)
;
3
3b 2
4)
a2  c2
.
a2  c2
4)
2a 2
.
3
А6. Найдите частное дробей
1)
2 2
b ;
3
5
3
 x6 y8   z8 
А7. Представьте выражение в виде дроби  5    10 13  .
 z  x y 
y
z
x
xz
4) .
1) ;
2) ;
3)
;
z
y
y
y
Ответом на задания В8 – В10 должно быть некоторое целое число или число, записанное
в виде десятичной дроби.
 a 2 n 1 
В8. Найдите значение выражения  n  2 
b

n2
 b n 1
  2 n 7
a



n 1
3
 1 
 3  .
a b
Ответ:
2
 10  2 n 
 .
В9. Вычислите  n 1
n 1 
2

2


Ответ:
В10. Найдите такое значение n, при котором выражение (10 x  7) 2  (6 x  5) 2  n является
квадратом двучлена.
Ответ:
Тест №1.8.2
При выполнении заданий А1 – А7 обведите кружком номер правильного ответа.
mn mn

А1. Упростите выражение
.
mn mn
4mn
2
m2  n2
2m 2  2n 2
1) 2
;
3) 2
;
2) 2
;
4)
.
2
2
m n
m n
m  n2
m2  n2
А2. Разложите на множители 8a 4  24a 3  27a  81 .
1) (a  3)( a  3)( a 2  18) ;
3) (a 2  3)( 4a  3)( 2a  9) ;
2) (a  3)( a 2  3)a 2 ;
4) (a  3)( 2a  3)( 4a 2  6a  9) .
А3. Найдите произведение дробей
c  2 c  3c 2

.
c2
c2
30
1)
c
;
1  3c
2)
c3
;
3c
3)
1
2
А4. Упростите выражение 2 a
.
a 1 1

a
a2
1) a 2  a  1 ;
2) a 2  a  1 ;
1  3c
;
c
4) (c  2)c .
a
4) a  1 .
3) (a  1) 2 ;
9n 2  16m 2  3m  4n
3m  4n 
 2

.
2
7n
 4m  3mn 4m  3mn 
3) 2 ;
3m  4n
4m  3n
1)
;
2)
;
3m  4n
4m  3n
2x 2  3y 2 2x 2 y 3  3y 5
А6. Найдите частное дробей
.
:
160 x k 2
400 x k 1
5x
5 xy 3
10 x 2
1)
;
2)
;
3)
;
2y3
2
y2
А5. Упростите выражение
5
4)
2
.
n
2y3
4)
.
5x
3
 c 4   a 2b 2 
А7. Представьте выражение в виде дроби  3    7 
a b  c 
9
9
ac
ac
a c
b9
3)
;
1) 2 ;
2)
;
4)
.
b
b
ac
b
Ответом на задания В8 – В10 должно быть некоторое целое число или число, записанное
в виде десятичной дроби.
 x k 3 
В8. Найдите значение выражения  2 k 1 
y

2 k 1
 x k 5 
:  2 k 3 
y

2 k 3

y8
.
x18
Ответ:
1
 2  5n 
 .
В9. Вычислите  n 1
n 1 
5 5 
Ответ:
В10. Найдите наименьшее значение k, при котором выражение (17 x  5) 2  (15 x  4) 2  kx
можно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ:
Ответы теста №1.8.1: А1. 3. А2. 1. А3. 4. А4. 4. А5. 3. А6. 4. А7. 1. В8. 1. В9. 0,0625. В10.
1.
Ответы теста №1.8.2: А1. 1. А2. 4. А3. 3. А4. 4. А5. 3. А6. 1. А7. 2. В8. 1. В9. 2,4. В10. 2.
31