Программу разработала: Турова Ольга Валентиновна аместитель директора по учебной работе,

Программу разработала: Турова Ольга
Валентиновна
аместитель директора по учебной работе,
учитель математики ГКСУВУПКЗТ «Очерская
специальная общеобразовательная школа
для обучающихся с девиантным (общественно
опасным) поведением»
Программа спецкурса "Скрещивающиеся прямые".
Оглавление.
Введение.
2
1 Материал к спецкурсу "Скрещивающиеся прямые".
3
1.1 Скрещивающиеся прямые и плоскости, их содержащие.
1.2 Нахождение общего перпендикуляра между скрещивающимися
прямыми.
4
1.3 Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
1.4 Нахождение расстояния и общего перпендикуляра между
6
скрещивающимися прямыми координатно – векторным методом.
7
1.5 Упражнения.
9
1.6 Справочный материал.
11
2. Организация занятий по преподаванию спецкурса.
2.1 Содержание курса и требования к уровню подготовки учащихся.
12
2.2 Рекомендации учителю.
12
2.3 Варианты контрольной и лабораторной работы. Вопросы к
15
зачёту
1
Введение.
Скрещивающиеся прямые, относятся к одному из способов взаимного расположения
прямых в пространстве, знакомство с которым проходит в курсе стереометрии 10 класса.
В школьных учебниках рассмотрены основные понятия, связанные с этой темой. Но такие
понятия, как общий перпендикуляр и расстояние между скрещивающимися прямыми
представлены
достаточно
кратко,
хотя
их
нахождение
является
важной
стереометрической задачей. Предлагаемый спецкурс даёт возможность детально
рассмотреть некоторые рациональные способы нахождения общего перпендикуляра и
расстояния между скрещивающимися прямыми, что позволяет лучше отработать навыки
решения задач.
Альтернативный способ решения таких задач даёт векторно – координатный метод,
рассмотренный в данном спецкурсе, который в школьных учебниках не применяется, но
часто является более рациональным и удобным.
Этот спецкурс значительно расширяет круг задач учебника, т.к. скрещивающиеся прямые
в задачах здесь рассматриваются не изолированно, а вписываются в многогранники, что
способствует развитию пространственных представлений, а также позволяет более
качественно подготовиться к ЕГЭ.
2
1 Материал спецкурса.
1.1 Скрещивающиеся прямые и плоскости, их содержащие.
Определение и признак скрещивающихся прямых, а также некоторые свойства
плоскостей, содержащих скрещивающиеся прямые, вы можете вспомнить, пролистав
школьный учебник или справочный материал данного спецкурса.
Ещё один способ взаимного расположения плоскостей, содержащих скрещивающиеся
прямые, в школьных учебниках не приводится, но для полноты знаний темы необходим.
Теорема 1. Для любых двух скрещивающихся прямых существуют две перпендикулярные
плоскости такие, что одна из них содержит одну
из данных прямых, а вторая плоскость другую.
Доказательство.
Пусть а и b данные скрещивающиеся прямые. Из признака
скрещивающихся прямых следует, что существует плоскость α,
содержащая прямую а и пересекающаяся с прямой b . Докажем, что
существует плоскость β, содержащая прямую b и перпендикулярная
плоскости α (рис. 1).
Если b
┴
Рис. 1
α, то возьмём в качестве плоскости β любую плоскость,
проходящую через прямую b. Если b не перпендикуларно α, то,
опустив из всех точек прямой b перпендикуляры на α, получим, что
они
заполняют
плоскость,
проходящую
через
b
и
перпендикулярную α. Это и есть искомая плоскость β (рис. 2).
Замечание. Чтобы построить плоскость β достаточно взять точку В
Рис. 2
 b, провести прямую b', проходящую через В, перпендикулярно
плоскости α, провести через b и b' плоскость β (рис. 3)
Примером
расположения
скрещивающихся
прямых
в
перпендикулярных плоскостях служат скрещивающиеся
Рис. 3
диагонали двух смежных граней куба: АВ’ и BC’ –
скрещиваются (рис.4); АВ'  (АВВ'); ВС'  (ВСС'); (ABB') 
(BCC').
Изученная теорема1, а также ранее изученные способы
взаимного
расположения
плоскостей,
содержащих
скрещивающиеся прямые, и признак скрещивающихся
прямых
позволяют
рассмотреть
наиболее
часто
Рис. 4.
применяемые в задачах способы изображения любых двух скрещивающихся прямых а и b
на плоскости:
3
1) Расположить эти прямые на паре параллельных плоскостей (рис. 5а);
2) Расположить эти прямые на паре перпендикулярных плоскостей (рис. 5б);
3) Одну прямую расположить в плоскости, пересекающей другую прямую в точке, не
принадлежащей первой прямой (рис. 5в);
4) Одну прямую расположить в плоскости, параллельной второй прямой (рис. 5г);
5) Связать данные прямые с различными многогранниками (рис. 5д).
а)
б)
в)
г)
д)
Рис.5.
1.2 Нахождение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых
Для дальнейшего изучения материала понадобятся знания определения общего
перпендикуляра и расстояния между скрещивающимися прямыми, которые можно найти
в §17 п.150 учебника А.В. Погорелова Геометрия 7 – 11 или в справочнике курса.
Существует много различных способов нахождения общего перпендикуляра между
скрещивающимися прямыми, из которых можно выделить три наиболее рациональных.
Итак, пусть даны две скрещивающиеся прямые a и b.
Первый способ нахождения их общего перпендикуляра связан с
существованием
пары
параллельных
плоскостей
α
и
β,
содержащих эти прямые соответственно (рис. 6).
Пусть a' является проекцией а на плоскость β и a'∩b в точке В.
Пусть прямая с проходит через В, перпендикулярно  . с∩а и А
– их точка пересечения. Очевидно, что АВ искомый общий
Рис. 6
перпендикуляр.
Пример1 АBCDA'B'C'D' – куб. Найти общий перпендикуляр
прямых АВ и B'C' (рис. 7).
Решение: АВ  (АВС), B'C'  (A'B'C'), (АВС) (A'B'C'). Прямая
ВС является проекцией B'C' на плоскость (АВС), прямые ВС и
Рис.7
АВ пересекаются в точке В, ВВ'  (АВС), следовательно, ВB' -
Рис. 8
4
Рис. 8
искомый общий перпендикуляр.
Для изучения двух других способов нахождения общего перпендикуляра, проведём
плоскость α1  b, тогда прямая а может проходить либо параллельно этой плоскости, либо
пересекать её.
Второй способ нахождения общего перпендикуляра связан с первым случаем. Пусть а α1,
тогда можно провести плоскость α, проходящую через а и перпендикулярную b (рис. 8).
Поэтому сразу будем рассматривать случай, когда существует плоскость α, проходящая
через прямую а перпендикулярно b. Если А точка пересечения прямой b с плоскостью α,
то все прямые, проходящие в плоскости α через точку А, будут перпендикулярны b. Из
них нужно выбрать ту, которая перпендикулярна а. А это планиметрическая задача.
Опускаем из точки А перпендикуляр АВ. Он и является искомым.
Пример 2 В кубе АBCDA'B'C'D' найти общий перпендикуляр прямых A'C' и B'D (рис. 9).
Решение: В'D  (A'C'B) (это утверждение можете проверить
самостоятельно) A'C'  (A'C'B), О – точка пересечения В'D с
плоскостью (A'C'B) и является центром треугольника A'C'B.
Следовательно, ОК искомый общий перпендикуляр, где К
точка пересечения диагоналей грани A'B'C'D'.
Третий способ рассматривает случай, когда прямая а
пересекает плоскость α. Пусть А точка их пересечения и В
точка пересечения прямой b с плоскостью α, a' – проекция а
на α (γ – проецирующая плоскость) (рис.10). Если отрезок ВС
Рис. 9
 a', то точка С является проекцией некоторой точки D а на
плоскость α. Так как CD b, то перпендикуляр DK, опущенный
из D на прямую b, равен ВС. Так как DK BC, тоDK  a. Итак
DK – общий перпендикуляр прямых а и b и DK = ВС.
Замечание: Этот способ, связанный с данным расположением
прямых относительно плоскости α является самым сложным.
Рис. 10
Поэтому в решении задач такого типа для наглядности полезно
использовать планиметрические чертежи проекций прямых а и b на плоскость α, где
наиболее просто найти отрезок равный и параллельный общему перпендикуляру.
Пимер 3. В кубе АBCDA'B'C'D' найти общий перпендикуляр прямых A'B и B'D' (рис.11).
Решение: Обозначим диагональную плоскость (AA'C'C) через α. Прямая B'D'  α и
пересекает её в точке О, где О - точка пересечения диагоналей грани A'B'C'D'. A'E –
проекция A'B на плоскость α (докажите это самостоятельно), тогда опущенный из точки О
5
перпендикуляр ОL на прямую
A'E и будет отрезком, равным и
параллельным
общему
перпендикуляру прямых A'B и
б)
B'D'.
Легко заметить, что из данных
рассуждений
Рис. 11
а)
полного
представления о нахождении общего перпендикуляра мы не получили, а нашли лишь
отрезок равный и параллельный ему. Нахождение же самого общего перпендикуляра
таким геометрическим способом достаточно затруднительно. Для решения подобной
задачи гораздо удобней использовать векторно координатный метод, знакомство с
которым состоится несколько позже.
1.3 Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми напрямую связано с
нахождением их общего перпендикуляра. Это подтверждает следующая теорема.
Теорема 2. Расстояние между ближайшими точками двух
скрещивающижся
прямых
по
их
общему
перпендикуляру
кратчайшее.
Доказательство:
пусть
АВ
общий
перпендикуляр
данных
скрещивающихся прямых а и b, α и β параллельные плоскости
соответственно их содержащие: а  α; b  β (рис. 12). Докажем, что
длина АВ меньше расстояния между любыми точками прямых а и
Рис. 12
b. Пусть С и D любые точки, принадлежащие прямым а и b
соответственно. Точка С' проекция С на плоскость β. Очевидно, что CC' = АВ. Т.к.
треугольник CC'D прямоугольный, то СС' < CD. Итак АВ< CD.
Следуя
теореме,
можно
заключить,
что
для
нахождения
расстояния
между
скрещивающимися прямыми достаточно найти длину их общего перпендикуляра или
отрезка, ему равного. Часто нахождение расстояния решается как планиметрическая
задача. Легко это заметить, находя длину отрезка OL в примере 3 предыдущего пункта,
если задать длину ребра куба, равной 1 (рис. 11 б). Все необходимые вычисления сделайте
самостоятельно.
Обобщая
способы
нахождения
общего
перпендикуляра
скрещивающимися прямыми можно составить схему.
6
и
расстояния
между
а) Расположить а и b в параллельных плоскостях и
воспользоваться способом 1.
б) Найти длину полученного отрезка или длину
а и b данные
общего перпендикуляра этих плоскостей.
скрещивающиеся
прямые.
а) Найти плоскость, перпендикулярную одной пямой и
а) Нахождение
общего
содержащую другую. Использовать способ 2.
б) Найти длину полученного отрезка.
перпендикуляра
б) Нахождение
расстояния
а)Найти плоскость α, перпендикулярную одной
прямой и пересекающую другую. Использовать
способ 3.
б)Рассмотреть проекции прямых на плоскость α.
Найти расстояние между проекциями.
1.4 Нахождение общего перпендикуляра и расстояния между скрещивающимися
прямыми векторно – координатным методом.
Для применения этого метода необходимы знания основных действий над векторами и
признак скрещивания прямых в векторном варианте.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые l1 = (A, ā) и l2 = (B, b )
c точками А и В, принадлежащим этим прямым соответственно.
Для нахождения общего перпендикуляра достаточно найти
точки M и N, в которых он эти прямые пересекает ( M  l1; N
l2 ) (рис. 13).
Педставим вектор MN в виде MN = MA + AB + BN , где
Рис. 13
MA =  a , BN = β b , а AB обозначим через m .
Для нахождения M и N достаточно найти неизвестные коэффициенты α и β. Используя
свойства скалярного произведения перпендикулярных векторов, получаем:
7
1) MN  a ,  MN  a = 0. Следовательно, (  a + β b + m ) a = 0. Упрощая, получаем:
 a 2 + ( m a ) + β ( a b ) = 0.
2) MN  b , MN  a = 0, аналогично получаем:  ( a b ) + ( m b ) + β b 2 = 0.
Искомые коэффициенты найдутся при решении системы уравнений:
 (a b )  (m b )  b 2  0
 2
a  (m a )   (a b )  0
Эта система имеет единственное решение т.к. если бы
а
2
2
b = b
2
а2
ba
= 2 , то a 2 b
аb
b
2
= ( a b )2, т.е.
2
a cos  , где  - угол между векторами a и b . Отсюда следует cos  = 
1, т.е. угол  равен 0 или  , но тогда а b, что невозможно, ибо прямые скрещиваются.
Зная коэффициенты  и β, легко найти положение точек M и N на прямых l1 и l2, а значит
и общий перпендикуляр
вектора MN т.е. d =
MN. А расстоянием между прямыми l1 и l2 является длина
2
MN .
Замечание. Для применения векторно – координатного метода в решении задач,
скрещивающиеся прямые необходимо поместить в какой – либо вазис и выразить векторы
a , b и m через базисные. Если базисные векторы единичные и перпендикулярные, то
скалярное
произведение
вычисляется
легко:
сумма
произведений
одноимённых
координат.
Пример (Вернёмся к примеру 3 пункта 1.2)


Выберем масштаб так, чтобы АВ = 1. Тогда в качестве базиса В = i ; j; k , возьмём i =
AD ;
j = AB ; k = AA ' (рис.14).
Пусть MN искомый общий перпендикуляр.
NM = NB + BB ' + B M , где NB =  АВ ; В М = βB'D'

NM =  АВ + BB ' + β B' D' . Выразим векторы АВ , BB '
и B'D’ через базисные:
АВ = j - k ,  АВ = 0;1;1;
BB ' = k ,  BB ' = 0;0;1;
B'D' = i - j ,  B'D' = 1;1;0, 
NM =  ( j - k ) + k + β( i - j ).
Т.к NM  АВ и NM  B'D’, то составляем систему:
8
Рис. 14
 ( j  k ) 2  k ( j  k )   (i  j )( j  k )  0
Упрощая эту систему, получаем:

 ( j  k )(i  k )  k (i  j )   (i  j ) 2  0
2    1

  2   0
 = 2 3 ; β = 13 . Следовательно NB = 2 3 АВ , В М = 13 B'D’ – эти векторы
определяют положение точек M и N на прямых A'B и D'B.
NM = 1


1
+ 1 j + 1 k ,  NM = 1 ; 1 ; 1 . M N =
.
3 j
3
3
3 3 3
3
1.5 Упражнения.
1.1 1. В пространстве даны три попарно скрещивающиеся прямые. Докажите, что
существует единственный параллелепипед, три ребра которого лежат на этих прямых .
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти пару параллельных и пару перпендикулярных
плоскостей, содержащих скрещивающиеся прямые а) АА1 и DC; б) D1B1 и АС.
3.На ребре CD и B1C1куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки M и N – середины
этих рёбер. О – точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1. Найти: а) пару
перпендикулярных плоскостей, содержащих скрещивающиеся прямые АО и MN; б) пару
параллельных плоскостей, содержащих скрещивающиеся прямые D1B и MN.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти плоскость, перпендикулярную прямой А1С и
содержащую прямую B1D1. Определите взаимное расположение прямых А1С и B1D1.
1.2 5.На изображениях многогранников (рис. 15) даны две скрещивающиеся прямые а и
b. Найти их общий перпендикуляр и выполнить его построение. а), г), д), е) – куб, в)
правильная прямоугольная призма, б) пирамида, в основании которой, лежит
равнобедренный прямоугольный треугольник. Ребро пирамиды, исходящее из вершины
прямого угла основания, перпендикулярно плоскости основания.
1.3 6. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, Е – середина ребра ВВ1. Найти расстояние
между прямыми ЕС и А1В.
7. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, К – середина ребра DD1. Найти расстояние между
прямыми СК и А1D1.
8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = АА1 = а, AD = 2a. На рёбрах
СС1 и АD взяты соответственно точки P и Q – такие, что CP:CC1 = AQ:AD = 1:3, а на
9
рёбрах АВ и А1В1 взяты соответственно точки R и S – середины этих рёбер. Найти
расстояния между прямой В1С1 и следующими прямыми: а) PQ; б) PR; в) PS .
9. Высота SO правильной пирамиды SABC равна стороне её основания и равна а. На
ребре SC взяты точки P1, P2 и P3 – такие, что CP1 = P1P2 = P2P3 = P3S. Найти расстояние
между прямой АС и следующими прямыми:а) DP1; б) DP2; в) DP3.
10. На ребре СС1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P1 и P2
– такие, что CP1=P1P2 = P2C1. Найти расстояние между следующими парами прямых: а)
B1C и DP1; б) B1C и DP2.
11. Найти расстояние между диагональю куба с ребром 1 и скрещивающейся с ней
диагональю грани .
12. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС с гипотенузой с и
острым углом АВС, равным 300 . боковая грань, проходящая через катет АС,
перпендикулярна к плоскости основания, а две другие образуют с ней угол, также равный
300. Определить расстояние между SB и АС .
13. Два противоположных ребра прямоугольной пирамиды соответственно равны 6 см. и 8
см., а каждое из остальных рёбер по 13 см. определить расстояние между
скрещивающимися рёбрами этой пирамиды .
1.4 14. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС, длина
стороны которого равна 4 2 . Боковое ребро SC перпедикулярно к плоскости основания и
имеет длину 2. Найти общий перпендикуляр и расстояние между скрещивающимися
прямыми,одна из которых проходит через точку S и середину ребра ВС, а другая проходит
через точку С и середину ребра АВ .
15. Определить расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного
тетраэдра с ребром а .
16. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный прямоугольный АВС, длина
гипотенузы которого равна 4 2 . Боковое ребро пирамиды SC перпедикулярно к
плоскости основания и имеет длину 2. Найти общий перпендикуляр и расстояние между
скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра
АС, а другая через точку С и середину ребра АВ .
17 АВСD – правильный тетраэдр с ребром 1. Найти общий перпендикуляр и расстояние
между прямой, проходящей через точку А и середину ребра ВС, и прямой, проходящей
через вершину D и середину ребра АВ .
10
18. Решить векторно – координатным методом упражнения к пункту 4.1.3 .
а)
г)
б)
в)
д)
Рис.15
е)
Ответы.
6.
1
2а
а 10
2а 13
а 2
а 6
3а 34
а 11
1
. 7.
. 8. а)
; б)
; в)
. 9. а)
; б)
; в)
. 10 а)
; б)
3
5
5
13
6
6
34
11
5
а 14
6
с 10
11.
. 12.
. Для решения этой задачи можно достроить пирамиду до
7
6
20
прямоугольной призмы. 13. 12 см. или 4.8 см. .14.
2 3
а 10
2
. 15.
. 16.
. 17.
3
10
3
2
.
35
1.6 Справочный материал.
Скрещивающиеся прямые.
Определение скрещивающихся прямых. Скрещивающимися называются прямые, которые
не лежат ни в какой одной плоскости.
Признаки скрещивающихся прямых. 1) если одна из двух скрещивающихся прямых лежит
в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на
первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
2) (Векторный) Для того, чтобы прямые (А, а ) и (В, b ) были скрещивающимися,
необходимо и достаточно, чтобы векторы а , b и АВ составляли базис.
11
Свойства плоскостей,содержащих скрещивающиеся прямые. 1) Через любую из двух
скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
2) Через любые две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные
плоскости, содержащие эти прямые. Эта пара плоскостей единственна.
Определение
общего
перпендикуляра
двух
скрещивающихся
прямых.
Общим
перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих
прямых, являющийся перпендикулярным каждой из них .
Теорема о существовании общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Две
скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и притом только один. Он
является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти
прямые.
Определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстоянием между
скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
Угол между скрещивающимися прямыми. 1) Углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися параллельными им прямыми. Этот угол не
зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые .
2) (В векторах) Угол между двумя скрещивающимися прямыми равен углу между их
определяющими векторами.
Перпендикулярность скрещивающихся прямых. Скрещивающиеся прямые называются
перпендикулярными если угол между ними равен 900.
2 Организация занятий по преподаванию спецкурса.
2.1 Содержание курса и требования к уровню подготовки учащихся.
Спецкурс "Скрещивающиеся прямые" включает в себя следующие разделы:
1. Скрещивающиеся прямые и плоскости, их содержащие;
2. Нахождение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых;
3. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми;
4. Векторно – координатный метод нахождения общего перпендикуляра и расстояния
между скрещивающимися прямыми.
Целью изучения спецкурса являются:
-
Дополнительное изучение различных способов нахождения общего перпендикуляра и
расстояния между скрещивающимися прямыми;
-
Отработка навыков решения задач на скрещивающиеся прямые в многогранниках;
12
-
Развитие пространственных представлений учащихся;
-
Воспитание культуры чертежа.
В результате изучения предложенного курса, предполагается сформировать у учащихся
определённые знания, умения и навыки, касающиеся этой темы.
Предлагается следующий перечень знаний и умений по спецкурсу.
Скрещивающиеся прямые и плоскости, их содержащие.
Знать:
-
способы взаимного расположения плоскостей, содержащих скрещивающиеся прямые;
-
способы изображения скрещивающихся прямых на плоскости.
Уметь:
-
применять свойства плоскостей, содержащих скрещивающиеся прямые в задачах;
-
изображать скрещивающиеся прямые на плоскости.
Нахождение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.
Знать:
-
определение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых;
-
способы его нахождения;
-
теорему о существовании общего перпендикуляра.
Уметь:
-
решать задачи на нахождение общего перпендикуляра между скрещивающимися
прямыми.
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Знать:
-
определение расстояния между скрещивающимися прямыми;
-
теорему о кратчайшем расстоянии между скрещивающимися прямыми.
Уметь:
-
- решать задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Векторно – координатный метод нахождения общего перпендикуляра и расстояния между
скрещивающимися прямыми.
Знать:
-
способ нахождения общего перпендикуляра и расстояния между скрещивающимися
прямыми векторно – координатным методом.
Уметь:
-
применять векторно – координатный метод в решении задач на нахождение общего
перпендикуляра и расстояния между скрещивающимися прямыми.
13
2.2 Рекомендации учителю.
Разработанный курс ориентирован на учащихся 10 – 11 классов средней школы. Его
можно включить в более широкий факультативный курс по стереометрии или
рассматривать отдельно. Также некоторые материалы курса могут быть использованы
учителем на уроках.
Перед изучением курса у учащихся должны быть сформированны следующие опорные
знания:
-
основные понятия по теме "Скрещивающиеся прямые";
-
признаки и свойства перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей;
-
представления об основных многогранниках (куб, параллелепипед, призма, пирамида).
Данный курс может преподаваться, на усмотрение учителя как в 10 классе (лучше в
третьей и четвёртой четвертях), так и в 11 классе при организации повторения или при
подготовке к экзаменам и поступлению в ВУЗ. Он рассчитан на 7 учебных часов.
Рекомендуется следующая учебная программа спецкурса "Скрещивающиеся прямые".
№ занятия
Тема
Количество
часов
1
Скрещивающиеся прямые и плоскости их содержащие.
1
Нахождение общего перпендикуляра двух
2
скрещивающихся прямых.
1
Нахождение расстояния между скрещивающимися
3
прямыми.
1
Решение задач.
4
Векторно – координатный метод нахождения общего
1
5
перпендикуляра и расстояния между скрещивающимися
1
прямыми.
Решение задач. Выполнение лабораторной работы.
6
Контрольная работа. Зачёт.
1
7
1
В дополнение к занятиям спецкурса учащиеся могут самостоятельно провести
исследования и выполнить работы на темы:
14
1) Способы нахождения расстояния и угла между скрещивающимися прямыми;
2) Особенности описанного параллелепипеда, зависящие от скрещивающихся рёбер
вписанной пирамиды.
3) Нахождение объёма треугольной пирамиды с помощью её скрещивающихся рёбер и
расстояния между ними;
4) Нахождение объёма ортоцентрического тетраэдра с помощью его скрещивающихся
рёбер и расстояния между ними.
Формулировки задач к работам смотрим в приложении 2.
2.3. Варианты контрольной работы. Лабораторная работа. Вопросы к зачёту.
Контрольная работа.
I вариант.
1. На ребре CD и В1С куба ABCDA1B1C1D1 , с ребром 1, взяты соответствено точки P и Q
– середины этих рёбер. Найти расстояние между прямыми B1D и PQ.
2. В правилльной треугольной пирамиде ABCD, с основанием ABC, все рёбра равны а.
Найти а) общий перпендикуляр; б) расстояние между прямыми AD и BC. Решение
выполнить векторным методом.
II вариант.
1. На ребре B1C1 и AB куба ABCDA1B1C1D1 ,с ребром 1, взяты соответственно точки Q и
R – середины этих рёбер. Найти расстояние между прямыми АС1 и RQ.
2. В правильной треугольной пирамиде ABCD, с основанием ABC, все рёбра равны а.
Найти а) общий перпендикуляр; б) расстояние между прямыми AС и BD. Решение
выполнить векторным методом.
Лабораторная работа . Нахождение общего перпендикуляра и расстояния между
скрещивающимися прямыми.
Задача: В кубе ABCDA1B1C1D1 , на ребре ВС взята точка К – середина этого ребра. Найти
общий перпендикуляр и расстояние между прямыми АК и В1С. Ребро куба равно 1.
Ход работы:
-
Выполнить построение чертежа к задаче;
-
решить задачу геометрическим и векторным методом;
-
сделать вывод о том, какой из способов даёт в данной задаче, более точный результат в
нахождении общего перпендикуляра;
-
на изображении куба выполнить построение общего перпендикуляра.
Вопросы к зачёту.
15
1. Дать определение скрещивающихся прямых.
2. Назвать признаки скрещивающихся прямых.
3. Перечислить свойства плоскостей, содержащих скрещивающиеся прямые.
4. Назвать способы изображения скрещивающихся прямых на плоскости.
5. Дать определение общего перпендткуляра и расстояния между скрещивающимися
прямыми.
6. Назвать основные способы расположения скрещивающихся прямых и плоскостей для
нахождения общего перпендикуляра.
7. Описать способы нахождения общего перпендикуляра (кроме векторного).
8. Описать способ нахождения общего перпендикуляра и расстояния векторно –
координатным методом.
9. Доказать теорему о кратчайшем расстоянии между скрещивающимися прямыми.
16
Литература.
1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 10 – 11. – М;.
2. Бескин Л. Н. Стереометрия. Пособие для учителя;
3. Гусев А. В. и др. Практикум по элементарной математике . Геометрия
4. Ионин Ю. И. Вычисление расстояний и углов
5. Карамзин М. Л. Расстояние между прямыми // Квант. - 1972. - №11. - с. 52-51.
6. Кушнер Н. А. Полезные свойства элементов тетраэдра
7. Погорелов А. В. и др. Геометрия 7 – 11 .
8. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии.
9. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе..
10. Шарыгин И. Ф. Об одном методе нахождения расстояния и угла между
скрещивающимися прямыми // Математика в школе.
11. Шувалова Э. Координатный метод .
17