ФМЭ, 2007

ФМЭ, 2007-2008 уч.г.
Микроэкономика, модуль-5
___________________________________________________________________________
Семинары № 6-7
1. Разбор проверочной работы №6.
Тема. Введение в теорию международной торговли.
Задача 1.
Две страны, обладающие одинаковыми множествами производственных возможностей,
заданными неравенством X 2  Y 2  200 имеют различные коллективные функции
полезности: у страны А функция такова U A  2 X A  3Y A , а у страны В - U B  3 X B  2Y B .
Ответьте на вопросы:
А) Каковы равновесные цены на товары у обеих стран, если страны находятся в состоянии
автаркии (т.е. не торгуют с внешним миром)?
Б) Заинтересованы ли страны в торговле друг с другом? Обоснуйте свой ответ.
В) Предположим, страны решили торговать. Какими, в таком случае, будут равновесные
цены и выпуски продукции у стран А и В? Повлияет ли вступление в торговлю на
благосостояние населения этих стран?
Решение:
А) В равновесии в закрытой экономике должны выполняться следующие условия:
pX
 MRT XY
pY
p
(2) X  MRS XY
pY
(3) XC = XP, YC = YP
(1)
(рациональность производителей)
(рациональность потребителей)
(уравновешенность рынков)
Из уравнения (2) следует, что равновесные (относительные) цены в состоянии автаркии
p XA 2
p XB 3
составляют A  (в стране А) и B  (в стране B).
pY 2
pY
3
2
A
 - т.е.,
Б) Да, страны заинтересованы в торговле. В состоянии автаркии MRS XY
3
2
потребители страны А готовы обменять одну единицу X на
единицы Y. Однако при
3
3
торговле со страной B они могли бы менять одну единицу X на единицы Y!
2
Аналогичное рассуждение можно провести в отношении страны B.
В) Вначале, найдем объемы производства благ X и Y в обеих странах при международной
торговле. Поскольку множества производственных возможностей обеих экономик
выпуклы, условия рациональности производителей выглядят следующим образом:
 pWX
xPi
i

MRT

 W
XY
y Pi i = {A, B}
 pY
( x i ) 2  ( y i ) 2  200
P
 P
pWX
Для удобства, обозначим W как pW. Выразим из первого уравнения системы yip и
pY
подставим во второе уравнение:
200
200( pW ) 2
1 200( pW ) 2
200
( xPi ) 2
i
i

;
x


y



200
P
P
W 2
W
W 2
W 2
1
1 ( p )
p
1 ( p )
1  ( pW ) 2
(p )
1 W 2
(p )
Теперь рассмотрим оптимальное потребление благ в каждой из стран. Заметим, что
равновесное соотношение цен при международной торговле должно лежать в интервале
2 3
pW  ( ; ) . Поскольку товары X и Y в обеих странах являются совершенными
3 2
A
B
 p W  MRS XY
субститутами, и для любого pW из этого интервала MRS XY
,
( xPi ) 2 
потребители каждой страны захотят потреблять то благо, которое будет приносить
им большую предельную полезность на вложенный в это благо доллар.
Так, в стране А будут потреблять только благо Y:
MU XA pWX
MU XA MU YA
A
W
MRS XY  p 

 W  W
MU YA pYW
pX
pY
Следовательно, xCA  0 , а yCA находится из уравнения национального бюджетного
ограничения:
pWX xCA  pYW yCA  pWX xPA  pYW yPA  pYW yCA  pWX xPA  pYW yPA  yCA  pW xPA  yPA
Подставив в это уравнение найденные выше выражения для xPA и yPA , получим:
yCA  pW
200( pW ) 2
200

W 2
1 ( p )
1  ( pW ) 2
В свою очередь, жители страны B будут потреблять только благо X. Следовательно,
yCB  0 , а xCB находится из уравнения национального бюджетного ограничения:
yPB
p x p y  p x p y p x  p x p y x x  W
p
B
Подставляя в это уравнение найденные выше выражения для xP и yPB , получим:
W
X
B
C
xCB 
W
Y
B
C
W
X
B
P
200( pW ) 2
1
 W
W 2
1 ( p )
p
W
Y
B
P
W
X
B
C
W
X
B
P

200
1
  pW  W
W 2
1 ( p )
p

W
Y
B
P
B
C
B
P

200

W 2
 1 ( p )
Итак, мы выразили оптимальные объемы производства и потребления X и Y в обеих
странах через относительные цены этих благ. В равновесии мировые рынки товаров
должны быть уравновешены: мировой объем потребления X должен равняться мировому
объему производства X, и т.д.. Чтобы найти равновесное соотношение мировых цен,
приравняем совокупный избыточный спрос на товар X к нулю (мировой рынок Y при этом
окажется уравновешен в силу уравновешенности платежных балансов стран):

1
z X  xCA  xCB  xPA  xPB  0   pW  W
p


200
200( pW ) 2


2
0
W 2
1  ( pW ) 2
 1 ( p )
Решим это уравнение:
 W
1 
200
200
1
1
 p  W 
 2 pW
 0  pW  W  2 pW  0  pW  W  pW  1
W 2
W 2
p  1 ( p )
1 ( p )
p
p

Подставляя найденные цены в выражения для xPA , xPB , yPA и yPB , получим:
xPA  xPB  yPA  yPB  10 .
Так как КПВ строго вогнуты, а равновесные мировые цены отличны от тех, что
существовали в странах А и B в состоянии автаркии, вступление в торговлю повышает
благосостояние обеих стран.
Задача 2.
Множество производственных возможностей экономики некоторой страны можно задать
неравенством X 2  Y 2  169 , где X и Y - объемы выпускаемых товаров в этой
экономике. Коллективная функция полезности населения данной страны имеет вид
U ( X , Y )  min 12 X ,5Y  . Найдите:
p
А) Отношение равновесных цен X , если первоначально страна находится в состоянии
pY
автаркии (т.е. не торгует с внешним миром),
Б) После вступления в торговлю с другой страной, производящей те же товары, страна
стала выпускать X  12, Y  5 . Можно ли утверждать, что отношение мировых цен
отлично от отношения цен автаркии? Обоснуйте свой ответ.
В) Уровень благосостояния населения оценивается величиной U ( X *, Y *) , где X * и Y * решения задачи коллективного потребителя. Найдите отношение уровней благосостояния
населения страны до и после начала торговли.
Решение:
А) Общее равновесие в состоянии автаркии может быть найдено путем максимизации
коллективной функции полезности на множестве производственных возможностей, то
есть:
max min{ 12 X ;5Y }
X ,Y
 2
 X  Y 2  169
Заметим, что коллективная полезность жителей этой страны максимизируется при
двух условиях: 12 x  5 y и X 2  Y 2  169 (последнее – в силу монотонности
предпочтений). Решив систему из этих двух уравнений, мы найдем равновесные объемы
производства и потребления в состоянии автаркии (в отсутствие международной
торговли xC=xP, yC=yP):
12 x  5 y
144 2
169
169
 x2 
x  169  x 

 5; y  12;
 2
2
144
169
25
 x  y  169
1
25
25
Отношение равновесных цен можно найти из условия рациональности производителей:
pX

pY
MRTXY

( 5;12)
x
y

5
12
( 5:12)
Б) Да, можно. Поскольку в равновесии при международной торговле условие
рациональности производителей (см. п. (А) выше) также должно выполняться,
12
отношение мировых цен должно равняться
.
5
В) Уровень коллективной полезности в состоянии автаркии равен min{ 12 * 5;5 *12}  60 .
Чтобы найти уровень коллективной полезности при международной торговле, нам
вначале потребуется найти объемы потребления X и Y. Сделаем это, максимизируя
коллективную функцию полезности при национальном бюджетном ограничении:
min{ 12 X C ;5YC }

max
X ,Y
 C C

12 X C  5YC  12 *12  5 * 5  169
Вновь, коллективная полезность жителей этой страны максимизируется при двух
условиях: 12 X C  5YC и 12 X C  5YC  169 . Решим систему из этих двух уравнений:
12 X C  5YC
169
169 *12 169
 12 X C  12 X C  169  X C 
;YC 

;

24
24 * 5
10
12 X C  5YC  169
Таким образом, уровень коллективной полезности при международной торговле равен
12 *169 5 *169 169
min{
;
}
 84,5 .
24
10
2
U
84,5
В итоге, W 
.
UA
60
Задача 3.
Рассматривается экономика некоторой страны, в которой производятся товары x и y по
технологиям x  Lx и y   L y , где L x и, соответственно L y - труд, используемый в
производстве товаров, а капитал в производстве не применяется (  ,  - некоторые
положительные константы). Всего в экономике запас труда равен L .
А) Найдите множество производственных возможностей этой экономики и отношение
равновесных цен в состоянии автаркии.
Б) Известно, что коллективная функция полезности данной страны имеет вид
U ( x, y )  xy . Каким будет спрос на товары x, y , если страна не торгует с внешним миром?
В) Страна выходит из изоляции и участвует в международной торговле. Пусть теперь
p *
отношение мировых цен p*  x отлично от отношения цен, полученных в пункте а).
py *
Избыточный спрос на товар x определяется z x  xc  x p , где xc и x p - объемы,
потребляемые и объемы, производимые в данной экономике, соответственно. Найдите
зависимость p*  p * ( z x ) , т.е. обратную функцию избыточного спроса. Рассмотрите
случаи обоих знаков избыточного спроса.
Решение:
А) Найдем уравнение КПВ. По определению, в любом наборе, лежащем на КПВ, невозможно
увеличить производство одного товара, не сократив производство другого. Поскольку обе
производственные функции монотонно возрастают по L, этому свойству удовлетворяет любой
набор, при производстве которого имеющиеся запасы труда используются полностью, то есть:
LX  LY  L . Тогда уравнение КПВ можно найти из системы:
 x  LX
 x  L X
x
x


 y   ( L  )  L 
 y  LY


 y   ( L  LX )
L  L  L
Y
 X
Итак, множество производственных возможностей описывается неравенством
x
y  L 
.

Заметим, что для найденной КПВ MRT XY постоянна и равна

. В результате, в состоянии

автаркии в любом внутреннем равновесии из условия рациональности производителей вытекает,
что
pX

 MRT XY  . При угловых равновесиях соотношение цен невозможно указать, не зная
pY

коллективных предпочтений.
Б) Видимо, имеется в виду «объем спроса», т.е. «объем потребления». Найдем равновесие в
состоянии автаркии. Его можно найти, максимизировав коллективную функцию полезности
на множестве производственных возможностей:
max xy
 X ,Y

x
 y  L 


Ввиду строгой монотонности и строгой выпуклости предпочтений, решение этой задачи
должно лежать на КПВ и удовлетворять условию касания коллективной кривой безразличия и
КПВ, т.е.:
y 
 MRS XY  MRT XY
 x  
 y
L
L


 y  L 
y
;x 

x
 
2
2
 y  L 
 y  L  x




В) Вступая в международную торговлю, страна максимизирует стоимость производимого ею
набора товаров при мировых ценах. Поскольку MRT XY постоянна, если соотношение мировых
цен отлично от такового в состоянии автаркии, национальным производителям выгодно
полностью специализироваться на производстве какого-то одного товара. Отсюда:


pWX

pWX

L при pW  
0 при pW  


Y
Y
и
xP  
y


P
W
W
0 при p X  
L при p X  


pYW 
pYW 
Поскольку коллективная функция полезности имеет вид Кобба-Дугласа, мы можем
воспользоваться готовыми выражениями для функций спроса:
W
1 pW
1 pWX xP  pYW yP
X x P  pY y P
xC 
,
.
y

C
2
pW
2
pYW
X
Отсюда, функция избыточного спроса на X:
 pWX L
L
pWX



L


при

 2 pW
W
2
pY


z x  xc  x p   W X
W
 pY L при p X  
 2 pWX
pYW 
pW
Перепишем эту функцию, обозначая WX как pW:
pY
 L


 2
zx  
 L
W

2 p





при
pW 
при
pW
Отсюда, обратная функция избыточного спроса:


L
   при z x   2
p
 L при z x  L
 2 z x
2