Анализ искажений в картографических проекциях и

Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова
(технический университет)
О.А.ПАВЛОВА, В.И.ПАВЛОВ
КАРТОГРАФИЯ
Практикум
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2001
УДК 528.9 (075.80)
КАРТОГРАФИЯ: Практикум / О.А.Павлова, В.И.Павлов;
Петербургский горный ин-т. СПб, 2001. 67 с. ISBN 5-94211-032-8.
Санкт-
В учебно-методическом пособии изложены краткие теоретические сведения и представлен комплекс лабораторных заданий по следующим темам: анализ
искажений в картографических проекциях; анализ уравнений картографических
проекций; способы картографического изображения; определение длин линий,
определение площадей; определение объемов; оценка взаимосвязи между явлениями, изображенными на картах. Приведены методические разработки по каждому
заданию и образцы их выполнения.
Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм
обучения специальностей 300100 «Прикладная геодезия» и 311100 «Городской кадастр».
Табл.15. Ил.16. Библиогр.: 9 назв.
Рецензенты: кафедра картографии Санкт-Петербургского государственного ун-та; доц. В.И.Гусев (СПГГИ)
ISBN 5-94211-032-8
2

Санкт-Петербургский горный
институт им. Г.В.Плеханова, 2001 г.
ВВЕДЕНИЕ
Практикум составлен в соответствии с программой курса
«Картография», который читают студентам специальностей 300100
«Прикладная геодезия» (очная и заочная формы обучения) и 311100
«Городской кадастр». Основная цель курса – научить студентов правильно понимать сведения, приведенные на географических картах,
и пользоваться картами в научных исследованиях и практической
деятельности.
Пособие содержит семь заданий. Задания 1, 2 и 3 направлены на изучение математической основы карт, теории искажений и
способов картографического изображения; задания 4-7 иллюстрируют возможности картографического метода исследования.
Для каждого задания указывается его цель, порядок работы и
конкретный пример выполнения. Приведена основная учебная литература по темам, предусмотренная программой курса. Даны варианты заданий для самостоятельной работы.
Практикум предполагает широкое использование картографических произведений, главным образом различных общегеографических и тематических карт и атласов
Лабораторные работы выполняются в два этапа: под руководством преподавателя в институте и самостоятельно во внеучебное время. Необходимые для такой работы сведения студенты могут
получить из данного пособия. Для студентов-заочников лабораторные работы проводятся во время зачетно-экзаменационной сессии.
3
ЗАДАНИЕ 1
Анализ искажений в картографических проекциях
и построение эллипса искажений
Цель работы – научиться определять искажения масштабов
длин, углов и площадей на географических картах и графически
представлять эти искажения.
Общие сведения
Карте присущи искажения длин, площадей, углов и форм.
Искажения длин выражаются в том, что масштаб длин на карте изменяется при переходе от одной точки к другой, а также по разным
направлениям в данной точке. Искажения площадей состоят в том,
что в разных местах карты масштаб площадей различен, поэтому
нарушаются соотношения площадей различных географических
объектов. Искажения углов заключаются в том, что углы между
направлениями на карте не равны соответствующим углам на поверхности эллипсоида и, следовательно, не равны соответствующим
углам на местности. Искажения форм выражаются в том, что фигуры объектов на карте не подобны фигурам соответствующих географических объектов на местности.
Все виды искажений связаны друг с другом, и изменение
любого из них влечет за собой изменение других.
Показателем искажений длин в данной точке по данному
направлению является частный масштаб длин , выраженный в долях главного масштаба о. Частный масштаб  изменяется в данной
точке в зависимости от направления. По одному из направлений 
имеет наибольшее значение, обозначим его а, по другому –
наименьшее значение, обозначим его b. Эти два направления взаимно перпендикулярны, и их называют главными направлениями. Поскольку в каждой точке карты можно провести меридиан и параллель, особо выделяют частные масштабы длин по меридианам m и
4
по параллелям n. Иногда в качестве показателей искажения длин
берут не значения масштабов , а, b, m, n, а их отличие от единицы,
т.е.
Va  a  1 ; Vb  b  1 ; Vm  m  1 ; Vn  n  1 .
Этот показатель называют относительным искажением длин и часто выражают в процентах.
Показателем искажения площадей является частный масштаб площадей р, выражаемый в долях главного масштаба площадей, равного  o2 . Иногда пользуются показателем относительного
искажения площадей Vp = p – 1 в процентах.
В качестве показателя искажения углов на карте принято использовать  – наибольшее значение искажения углов. Наименьшее
искажение углов в данной точке карты всегда равно нулю. Для характеристики угла между изображениями на карте линий меридианов и параллелей используется показатель . Поскольку на шаре или
на эллипсоиде вращения меридианы и параллели пересекаются под
прямым углом, а на карте в общем случае их изображения пересекаются под углом , используется понятие искажение угла между
меридианом и параллелью:     90 .
Для оценки искажений на карте производят следующие операции: в узловой точке пересечения меридиана и параллели, в которой нужно определить показатели искажений, измеряют длины дуг
меридиана и параллели, а также угол  между ними; делят длины
этих дуг на карте на действительные значения длины (на эллипсоиде). Полученные численные масштабы по меридиану и параллели
делят на главный масштаб о и таким образом вычисляют частные
масштабы длин по меридиану m и по параллели п, которые являются
показателями искажения длин по этим линиям.
Наиболее полно все виды искажений в данной точке карты
можно представить в виде эллипса искажений. Эллипс искажений в
данной точке карты изображает бесконечно малый круг на поверхности эллипсоида. Его полуоси а и b, они ориентированы по главным направлениям. Форма эллипса характеризует искажения углов
и форм: они искажены тем больше, чем больше эллипс отличается
5
от окружности. Площадь эллипса пропорциональна искажению
площадей, и, тем она больше, чем больше искажены площади.
Для построения эллипса искажения на карте необходимо выбрать его условный масштаб. Для этого радиус ro бесконечно малого
кружка, взятого на поверхности эллипсоида, при изображении его на
карте в масштабе о принимают равным какому-либо конечному
значению, например, оro = 1 см. Тогда все величины, используемые
для построения эллипса искажения, также примут конечные значения. Например, если а = 2,73; b = 0,87; m = 1,36; n = 15,4, то при
умножении на 1 см, мы получим а = 2,73 см и т.д.
Размер и характер искажений, которые каждый эллипс демонстрирует, следует относить к точке карты, в которой находится
центр эллипса.
Вопросы теории искажений рассмотрены в работах [3, 5, 8].
Порядок выполнения работы
Задание. На карте масштаба о в точке М с координатами ,
 вычислить искажения и построить эллипс искажений.
Порядок вычисления искажений следующий:
1. Определить масштаб т по меридиану карты:
m
l
,
o L N , 
(1)
где l – длина дуги меридиана с долготой  между параллелями с широтами N и , измеряемая на карте в сантиметрах; L(N ,) – длина
дуги меридиана на эллипсоиде.
Величина L( N , ) может быть получена из выражения
L( N , )  X N  X  , где ХφN и Хφ – длины дуг меридиана от экватора
до соответствующей параллели, выписываются из картографических
таблиц (прил.1) или вычисляются по формуле
L( N , )  0,00003 (sin 8 N  sin 8)  0,02198 (sin 6 N 
 sin 6)  16,82807 (sin 4 N  sin 4)  160036 ,480 (sin 2 N 
6
 sin 2)  111134 ,86(N  ) .
2. Определить масштаб п по параллели карты:
n
k
,
o L
(2)
(3)
где k – длина дуги параллели с широтой  между меридианами с
долготами  и W, измеряемая на карте в сантиметрах; L – соответствующий элемент параллели на поверхности эллипсоида,
(  W )
;
(4)
180 
r – радиус параллели, берется из картографических таблиц (прил.2).
Значение L может быть также вычислено по формуле
Lr
L
a cos 
1  e
2
sin 2 

1
2
(  W )
,
180 
(5)
где a  6378245 м, e2  6,6934216  103 (элементы эллипсоида Красовского).
Найденные значения L(N,) и L из метров нужно перевести
в сантиметры.
3. Непосредственно на карте в точке М измерить транспортиром угол  между изображением меридиана с долготой  и параллели с широтой .
4. Определить масштабы по главным направлениям (а –
наибольший масштаб в точке М, b – наименьший):
A  a  b  m 2  n 2  2mn sin  ;
B  a  b  m 2  n 2  2mn sin  ;
a
(6)
A B
A B
; b
.
2
2
Необходимо отметить, что если угол  = 90, т.е. меридианы
и параллели пересекаются под прямым углом, то главные направле7
ния, масштабы по которым а и b, совпадают с направлениями меридианов и параллелей карты.
5. В точке М масштаб площади
p  mn sin  или p  ab .
(7)
6. Найти наибольшее искажение углов  по формулам
sin
 аb
 a b
или tg 
.

2 2 аb
2 ab
(8)
7. Для ориентировки эллипса искажения относительно меридианов и параллелей сетки найти азимут  большой полуоси эллипса
искажений:
t gβ 
b
а
a 2  m2
.
m2  b2
(9)
Большая полуось a эллипса искажений всегда расположена
внутри острого угла между меридианом и параллелью карты. Если
на карте меридианы и параллели пересекаются под прямым углом,
то главные направления совпадают с направлениями меридиана и
параллели.
8. Определить относительное искажение длин и площадей в
данной точке в процентах:
Vm  m  1100 , Vn  n  1 100 , Va  a  1100 ,
Vb  b  1100 , V р   р  1100 .
Для расчета значения частных масштабов воспользуемся соотношением  m  mo ,  n  no ,  a  a o , b  b o . Например,
если
m = 1,1682,
то частный масштаб
по
меридиану
m = 1: 500 000  1,1682 = 1: 428 009.
Порядок построения эллипса искажений следующий:
1. Выписать все частные масштабы в точке М: а, b, m, n.
2. Выбрать условный масштаб эллипса искажений (например, oro = 0,5 см) и на это значение умножить все частные масштабы. Получим а, b, m, n в сантиметрах.
8
3. В точке М от северного направления меридиана в пределах острого угла между меридианом и параллелью отложить угол .
Полученное направление – большая ось эллипса искажения. По ней
от точки М в обе стороны отложить отрезки а (полуоси). В точке М
перпендикулярно большой оси провести малую ось (по ней масштаб
минимальный). На этой линии отложить полуоси b. По меридиану
от точки М на север и на юг отложить отрезок m, по параллели на
запад и на восток от точки М отложить отрезок n. Полученные точки
соединить плавной кривой. Это и будет эллипс искажений.
Пример выполнения задания
Задание. На карте в масштабе о = 1 : 150 000 000 в точке М
с координатами  = 30,  = 120 вычислить искажения и построить
эллипс искажения. Фрагмент картографической сетки представлен
на рис.1.
Вычисление искажений:
1. Определим масштаб т по меридиану карты. Измерим на
карте длину дуги меридиана:
l = 3,1 см = 3,1 10-2 м .
o
60
Выпишем из картографических таблиц значения Х:
X60 = 6 654 189,1 м;
o
90
o
120
o
150
o
= 3 334016,7 м.
150
o
60
o
60
ll
X30 = 3 320 172,4 м;
L(N, ) = X60 – X30 =
o
180
М
M
o
30
o
30
k
k
По формуле (1) получим
m
o
o
0
2
3,1  10  15  10
 1,39 .
3334016 ,7
7
0
Рис.1. Фрагмент картографической сетки
карты в масштабе 1:150 000 000
9
2. Определим масштаб n по параллели карты. Измерим на
карте длину дуги параллели
k = 2,1 см = 2,1  10-2 м.
Выпишем из картографических таблиц r30 = 5528349 м и вычислим по формуле (4) длину дуги параллели на эллипсоиде:
L  5528349  0,5236  2894636 ,7 м .
В результате по формуле (3) получим
n
2,1  10 2  15  10 7
 1,09 .
2894636 ,7
3. Измерим угол  между изображением меридиана и параллели:   105  ,     90  15 .
4. По формуле (6) определим масштабы по главным направлениям: А = 2,46, В = 0,44, а = 1,45, b = 1,01.
5. По формуле (7) определим масштаб площади: р = 1,46.
6. По формуле (8) найдем наибольшее искажение углов:
 = 2036.
7. По формуле (9) найдем азимут  большой полуоси эллипса искажений:  = 1645.
8. Определим относительные искажения длин: Va = 45 %, Vb =
= 1 %, Vm = 39 %, Vn = 9 %; относительное искажение площадей 46 %.
Найдем численные значения частных масштабов:
– по меридиану 1: 107 913 660,
– по параллели 1: 137 614 670,
o
– максимальный
1:
120
120
103 448 270,
– минимальный
1:

m
a
148
514
850.
o
b
30 30
Построение эллипса искаn
n
жений.
Для построения эллипса исb
a
m
кажений возьмем oro = 1 см, тогда
получим a = 1,45 см, b = 1,01 см,
m = 1,39 см, n = 1,09 см.
На рис.2 представлен эллипс
Рис.2. Эллипс искажений
10
искажений, построенный по полученным данным. Угол  отложен
влево от северного направления меридиана.
Задание для самостоятельной работы
По карте «Географического атласа» для 6-го класса
(М: Главное управление геодезии и картографии, 1988) в
масштабе 1 : 75 000 000 на с.2-3
определить искажения и построить эллипс искажения в
точках с координатами, указанными в таблице.
Номер
точки
1

λ
20°
160
2
40
160
3
60
160
4
20
180
5
40
180
6
60
180
ЗАДАНИЕ 2
Анализ уравнений картографических проекций
Цель работы - по заданным уравнениям картографической
проекции определить: а) масштабы по меридианам и параллелям
сетки; б) масштаб площади; в) ортогональность сетки; г) группу
проекций по характеру искажений; д) вид сетки меридианов и параллелей.
Общие сведения по теории искажений в картографических
проекциях рассмотрены в предыдущем задании.
Порядок выполнения работы
Картографическая проекция задана уравнениями
x  f1 ,   , y  f 2 ,   .
1. Определить масштабы по меридианам m и параллелям n.
Для этого найти частные производные от уравнений проекции:
11
x
y
x
y
, x 
, y 
, y 
.




Тогда получим значения масштабов
x 
m  e R , n  q R cos  ,
(1)
где e  x2  y2 , q  x2  y2 ; R – радиус земного шара.
2. Масштаб площади определяется формулой
p  H ( R cos ) ,
2
(2)
где H  x y  x y .
3. Угол между меридианом и параллелью  найти по формуле
tg  Н F ,
(3)
где F  x x  y y .
Если F = 0, то tg   , а угол  = 90, т.е. меридианы и параллели ортогональны. Если F  0, то целесообразно определить искажение угла между меридианом и параллелью сетки     90 :
tg   F H .
(4)
4. Определить группу проекций по характеру искажений. По
характеру искажений картографические проекции могут быть отнесены к равноугольным, равновеликим или произвольным, среди которых, в свою очередь, выделяются равнопромежуточные проекции:
а) равноугольной является проекция, у которой выполняются
два условия: F = 0 и m = n, т.е. сетка ортогональна, а масштабы по
меридианам и параллелям равны;
б) равновеликой является проекция, у которой р = 1;
в) произвольной является проекция, у которой не выполняются перечисленные выше условия. При этом если F = 0, а m = 1 или
n = 1, то такая проекция будет равнопромежуточной.
5. Определить вид меридианов и параллелей. В общем случае, когда параллели и меридианы картографической сетки изображаются кривыми линиями, их уравнения имеют вид соответственно
12
F1  x, y,   0 и F2  x, y,    0 .
Пример выполнения задания
Задание. Провести анализ картографической проекции, заданной уравнениями: x  R , y  R cos  .
Вычислим характеристики искажений:
1. Масштабы по меридианам m и параллелям n рассчитаем
по формулам (1):
x  R , y   R sin  ,
x  0 , y  R cos  ,


e  x2  y2  R2 1  2 sin 2  ,
q  x2  y2  R 2 cos2  ,
m  1  2 sin 2  , n  1 .
Из полученных выражений следует, что масштаб по меридианам зависит и от широты, и от долготы; на среднем меридиане
при  = 0 масштаб m = 1, т.е. этот меридиан изображается без искажений. С удалением от экватора и от среднего меридиана масштаб m
увеличивается. Все параллели изображаются без искажений, так как
масштаб по параллели – величина постоянная и равна единице.
2. Масштаб площади р рассчитаем по формуле (2):
H  x y  x y  x y  R2 cos  , p  1 .
3. Определим ортогональность сетки:
F  x y  y y  y y  R2 sin  cos  .
Сетка меридианов и параллелей не является ортогональной,
так как F  0 . Искажение угла между изображением меридианов и
параллелей можно оценить по формуле (4):
tg   sin  .
13
С увеличением широты и долготы искажение угла ε увеличивается.
4. Определим группу проекций по характеру искажений.
В примере F  0, m  n, т.е. проекция не является равноугольной.
Условие равновеликости H  R 2 cos  (р = 1) выполнено, т.е. данная
проекция является равновеликой.
5. Вид сетки меридианов и параллелей определяется уравнениями проекции. Уравнение x  R является уравнением параллелей, так как x является функцией одного аргумента – широты. В то
же время это уравнение прямой, параллельной оси y. Что касается
меридианов, то из уравнений проекции можно получить
x
 x

y  R cos   или y  R sin  90   .
R
 R

Последнее уравнение является уравнением меридиана и в то
же время уравнением синусоиды. Таким образом, меридианы являются синусоидами, симметричными относительно прямолинейного
среднего меридиана и делящими параллели на равные отрезки
(n = 1). При значении   90 , т.е. на полюсе, все меридианы пересекаются в одной точке.
Вопросы анализа уравнений картографических проекций
рассмотрены в работах [3, 7, 8].
Задание для самостоятельной работы
Выполнить анализ уравнений картографических проекций,
указанных в таблице.
Номер задания
1
14
Уравнения проекции
x  R sin  ,
y  R
Номер задания
Уравнения проекции
4
x   R cos  cos  ,
y  R cos  sin 
2
x  Rctg cos  ,
y  Rctg sin 
5
3
x  R sin  ,
y  Rtg
6
x  Rtg ,
y  R
x  2 Rtg

2
,
y  R
ЗАДАНИЕ 3
Способы картографического изображения
Цель работы – научиться пользоваться тематическими
картами.
Общие сведения
На географических картах показывают явления, отличающиеся характером размещения в пространстве. Существуют явления,
локализованные по пунктам (населенные пункты, предприятия), на
линиях (дороги, реки) и на площадях. По характеру распространения
явления могут быть сплошными, непрерывными и постоянно изменяющимися в пространстве (рельеф, атмосферное давление) и массовыми, рассредоточенными (посевные площади, животные). Для
изображения качественных и количественных особенностей этих
явлений, их взаимосвязей, перемещения и развития во времени применяют различные способы картографического изображения: локализованные значки, локализованные диаграммы, точечный способ,
линейные знаки, изолинии и псевдоизолинии, знаки движения, качественный фон, ареалы, картодиаграммы и картограммы.
Способ локализованных значков используют для указания
местоположения объектов, локализованных в конкретных пунктах
местности, но не выражающихся в масштабе карты. Они употребляются для изображения населенных пунктов, промышленных и
сельскохозяйственных предприятий, месторождений полезных ископаемых и т.п. Наиболее применим этот способ для экономических
карт при передаче явлений социально-экономического характера.
Значки как основное графическое средство этого способа
могут быть геометрическими (круги, квадраты), буквенными (Fe, Ni)
и наглядными (символические и натуралистические). Форма и цвет
значков отражают качественные различия объектов. Количественные различия передаются размером значков. При этом используют
15
различные количественные шкалы: абсолютные или условные, которые, в свою очередь, могут быть непрерывными и ступенчатыми.
Способ локализованных диаграмм широко применяют для
картографирования природных процессов в основном на климатических и гидрологических картах. Диаграммы используют для изображения сезонных, непрерывных или имеющих периодические колебания явлений. По характеру размещения эти явления могут быть
как отнесены к определенным точкам, так и локализованы на площади и иметь сплошной характер распространения.
Типичные сюжеты локализованных диаграмм: годовой ход
температуры, количество осадков, распределение годового стока,
динамика снежного покрова, направление, сила и повторяемость
ветра, морских течений. Основное графическое средство – диаграммный значок, построенный в декартовой или в полярной системе
координат.
Точечный способ используют для изображения массовых,
рассредоточенных (рассеянных) явлений, требующих количественной характеристики. При точечном способе в легенде указывают
«вес» точки (например, одна точка соответствует такому-то количеству голов скота, такой-то площади посевов). «Вес» точки подбирают таким, чтобы точки не сливались между собой, он может иметь
абсолютное и относительное значение. Попытка сохранить особенности размещения точек в районах с резко контрастной плотностью
приводит к введению нескольких весовых значений. При размещении точек на карте используют разные законы размещения: статистический (требующий равномерной в пределах территории группировки точек) и географический (требующий реальной группировки
точек в соответствии с самим явлением).
Применяемое графическое средство – значок (точка, кружок, плюс, минус). Использование значков разных цветов позволяет
передать качественные различия явлений, а также их динамику.
Способ качественного фона показывает подразделение
территории (ее районирование) по тем или иным признакам. Он передает качественные характеристики явлений, имеющих на земной
поверхности распространение сплошное (например, почвенный покров) или массовое, рассеянное (например, население).
16
Применение способа качественного фона обязательно предполагает разработку классификаций явлений и подразделение всей
территории на однородные в качественном отношении участки. Если смена одного явления другим происходит постепенно через переходную зону (например, изменение национального состава), то на
картах для переходной зоны применяется чересполосная или «шашечная» окраска.
Применяемые графические средства: цвет, штриховка и различные значки, заполняющие контур. При подборе цветов стремятся, чтобы сходные в качественном отношении явления имели близкие цвета. Есть целый ряд карт с унифицированной легендой (геологические, почвенные, геоботанические). На одной карте возможно
применение двух способов качественного фона при условии, что
одно из изображаемых явлений получает цветовую окраску, а другое
показано штриховкой. Способ легко сочетается с другими способами картографического изображения.
Способ ареалов показывает области распространения какого-либо явления, например вида животных или растений. Картографируемое явление может иметь в пределах выделенной территории
распространение непрерывное (например, покровное оледенение)
или рассеянное (например, животные определенного вида). Различают абсолютные и относительные ареалы: абсолютным называют
ареал, вне которого данное явление не встречается; относительный
ареал более узок и охватывает территорию, в пределах которой рассматриваемое явление обладает какими-то определенными свойствами (например, район месторождений каменного угля, имеющих
промышленное значение).
Многообразие приемов оформления ареалов (цвет, штриховка, линии различного типа и цвета, наглядные значки и др.) позволяет сочетать на одной территории несколько видов ареалов, перекрывающих друг друга. Ареалы могут сопровождаться количественными показателями, передающими суммарную величину явления либо его среднюю интенсивность. В качестве основного способ ареалов применяется на зоогеографических картах и некоторых
картах растительности. Некоторые ареалы можно рассматривать как
частный случай качественного фона.
17
Способ линейных знаков применяют для передачи геометрических линий (например, административных границ), для изображения объектов линейного протяжения, не выражающихся по своей
ширине в масштабе карты (дороги, реки и др.), для показа основного
направления объектов, занимающих на карте определенную площадь (направления горных хребтов и др.).
Графические средства – линии различных вариантов. Рисунок
и цвет линий могут передавать качественные различия явлений
(например, виды путей сообщения), ширина знака – их количественные особенности (например, ширину рек). Иногда линейными знаками изображается изменение явления во времени, например административные границы на разные даты. Возможны варианты размещения линейных знаков: по оси действительного положения линейного
объекта (на топографических картах), в виде штриховой или цветовой
ленты, вынесенной в сторону от объекта (на тематических картах).
Способ изолиний. Псевдоизолинии. Способ изолиний применяют для изображения явлений непрерывных (т.е. распространенных на всю картографируемую территорию) и постепенно изменяющихся в пространстве. В качестве основного он употребляется для
изображения рельефа на гипсометрических картах, а также для характеристики температуры, осадков, давления и других показателей
климата на климатических картах. Большинство изолиний имеют
названия: горизонтали, изобаты, изогиеты, изотермы, изобары, изохроны и пр. Возможно сочетание нескольких систем изолиний на
одной карте. Наглядность способа повышается при применении послойной окраски между изолиниями. При этом промежутки между
линиями закрашивают, передавая насыщенностью цвета размер явления. В некоторых случаях в качестве основного графического
средства используют только послойную окраску, снимая сами изолинии. Наглядность этого способа связана со шкалой сечения изображаемой поверхности. Интервалы сечений зависят от диапазона
величин, масштаба и назначения карты. Они могут быть постоянными и переменными, при этом важно сохранить те изолинии, которые определяют качественные различия в размещении явления.
Принцип изолиний иногда применяют для картографирования явлений, лишенных непрерывности и постепенности изменения,
18
например: для показа численности населения, процента пахотных
земель и др. В этом случае используются показатели, относящиеся
не к определенным точкам, а к площади какого-либо территориального деления (административного, регулярной геометрической сетки
или другим территориальным ячейкам). Значения показателя относят
к точкам, располагаемым в центрах принятых территориальных ячеек.
По этим данным проводят линии равного значения показателя – псевдоизолинии. Поверхности, образуемые ими, иногда называют статистическими. Они удобны для изучения закономерностей пространственного размещения, взаимосвязей и динамики природных и социально-экономических явлений, в частности корреляций, т.е. взаимозависимостей, не имеющих строго функционального характера.
Способ знаков движения служит для показа различных перемещений, относящихся как к области природных явлений (ветры,
морские течения, перелеты птиц и т.п.), так и к области социальноэкономических явлений (миграция населения, перевозка грузов и
т.п.). Кроме того, он используется для отображения различных связей (культурных, экономических). В зависимости от назначения карты и особенностей картографируемых явлений этим способом можно передавать полную характеристику изучаемого явления: путь,
способ, направление, скорость, качество, мощность, структуру движущегося явления.
При этом основным графическим средством для отображения
движения и связей служит вектор: истинный (имеет точку приложения и направление) и условный. Ленты (полосы) применяются для
отображения мощности и структуры движущегося явления. Передача
качественных характеристик связана с цветом, штриховкой, внутренней структурой знака; количественных показателей – с размером вектора или ленты, с оперением стрелок вектора. Знаки движения могут
точно передавать маршруты перемещений или произвольно указывать начало и конец движения, что упрощает и обобщает картину (передача электроэнергии, вывоз капиталов, экономические связи).
Способ картодиаграммы применяют для показа рассеянных явлений посредством диаграмм, размещенных внутри территориальных ячеек. Диаграммы передают суммарную абсолютную количественную характеристику явления, пространственно локализуя
19
статистические данные. Для диаграмм наиболее употребим геометрический значок (структурный, суммарный). Диаграммы бывают
линейными, площадными, объемными и звездными. Наиболее простыми являются линейные, но они громоздки. Площадные и объемные более компактны. Наиболее информативными и удобными являются площадные диаграммы.
Способ картодиаграммы внешне напоминает способ локализованных значков, но по существу они различны. Совмещая в пределах ячейки несколько диаграмм, получаем возможность характеризовать явление во времени. Количественные характеристики связаны с размером знака, качественные передаются цветом, штриховкой, внутренней структурой.
Способ картограммы применяют для изображения интенсивности какого-либо явления в каждой территориальной единице.
Основным графическим средством являются фоновые окраски или
штриховки, интенсивность которых фиксируется в шкале картограммы и соответствует интенсивности картографируемого явления.
Способ картограммы используют на картах, составленных по статистическим данным, относящимся к территориальным единицам
(странам, областям, кантонам и т.п.). Встречаются структурные картограммы, показывающие процентное соотношение компонентов
явления в пределах территориальной единицы.
Достоинством способа картограмм является простота построения и восприятия. Однако этот способ обладает и существенным недостатком: скрывает неоднородность распространения явления внутри территориальных единиц, создавая ложное представление о резкой смене характеристики явлений на их границах. Качество картограммы улучшается при характеристике явлений по мелким территориальным единицам. Разработаны модификации способа картограммы (способ квадратов, градусных полей, метод пятен).
В этом случае границы территориальных единиц иногда снимают.
Вполне правдоподобную характеристику явления картограмма передает только тогда, когда сеть территориального деления
местности, принятая для статистического подсчета, соответствует
естественному районированию территории по данному признаку.
Например, при построении картограммы глубины вертикального
20
расчленения рельефа подсчет показателей производится по орографическим районам.
Разные способы изображения явлений на специальных картах по графическому оформлению часто очень сходны. Так, например, фоновая окраска, штриховка, внутренняя структура применяются на картах, выполненных методами изолиний и качественного
фона, методами картограммы и ареалов. Значками разного вида могут быть оформлены карты, составленные способами локализованных значков, ареалов и картодиаграмм. Ареалы, показанные точками, внешне напоминают точечный метод и т.д.
Для точного определения использованного на карте способа
изображения целесообразно тщательно изучить легенду карты и
проанализировать характер распространения данного явления. Возможные варианты применения способов картографического изображения приведены в таблице.
Характер
размещения
явления
Суть явления
Локализованный Состояние в некоторый
момент времени
по пунктам
( в «точках»)
Перемещение (движение)
Локализованный
на линиях
Употребляемые способы изображения
Способ локализованных значков
Знаки движения (часто в сочетании
со способом локализованных значков)
Изменение во времени
Способ локализованных значков;
локализованные диаграммы
Состояние в определенный момент времени
Линейные знаки
Перемещение (движение) Сочетание линейных знаков, иногда
совместно со знаками движения;
изолинии
Локализованный
на площадях
Изменение во времени
Совмещение линейных знаков
Состояние в определенный момент времени
Качественный фон; изолинии; совокупность локализованных диаграмм;
ареалы
Перемещение (движение) Сочетание ареалов; изолинии; знаки
движения
21
Изменение во времени
Характер
размещения
явления
Рассеянный
Изолинии; совокупность локализованных диаграмм
Окончание таблицы
Суть явления
Употребляемые способы изображения
Состояние в определенный момент времени
Точечный способ; качественный фон;
ареалы; картодиаграммы и картограммы (при суммарной характеристике по территориальным единицам)
Перемещение (движение) Сочетание ареалов; знаки движения
Сплошной
Изменение во времени
Точечный способ; сочетание ареалов;
картодиаграммы и картограммы (при
суммарной характеристике по территориальным единицам)
Состояние в определенный момент времени
Качественный фон; изолинии, совокупность локализованных диаграмм
Перемещение (движение)
Знаки движения
Изменение во времени
Изолинии; совокупность локализованных диаграмм
Применение различных способов картографического изображения рассмотрено в работах [6, 8].
Порядок выполнения работы
Задание. Проанализировать и описать предложенную преподавателем карту:
1. Изучив легенду и содержание карты, определить вид карты в зависимости от ее специализации (климатическая, экономическая и т.д.) и тип в зависимости от широты темы и степени обобщения содержания (аналитическая или частная, синтетическая, комплексная).
2. Указать, какие явления показаны на данной карте, определить способы их изображения и использованные при этом графиче22
ские средства. При определении способов следует исходить из характера размещения данного явления в пространстве.
Пример выполнения задания
Задание. Проанализировать и описать экономическую карту
Севера европейской части России из «Географического атласа для
учителей средней школы» (М: Главное управление геодезии и картографии, 1985).
Результаты работы представим в виде текста: По содержанию
карта является общеэкономической. На ней показаны районы
сельскохозяйственной специализации способом качественного
фона. Ареалами выделены значительные площади посевов отдельных культур, очаги сельского хозяйства на севере, места распространения важнейших промысловых рыб. Все указанные ареалы являются относительными. Основными графическими
средствами являются цвет и штриховка.
Промышленные центры показаны способом локализованных
значков. Их относительное значение передано значками трех
размеров. Цвет значка указывает ведущую отрасль промышленности. Для наиболее крупных промышленных пунктов применяются суммарные, структурные значки. Промышленное производство
кружев привязано к многочисленным мелким населенным пунктам, поэтому здесь целесообразно применен способ ареала.
Значками отмечены места добычи полезных ископаемых.
По графическому оформлению наиболее разнообразны
ареалы. Границы ареалов обозначены на карте контуром, буквенными, геометрическими и натуралистическими значками в
зависимости от знания.
Таким образом, все способы картографического изображения применены обоснованно.
Задание для самостоятельной работы
Для одного из указанных ниже наборов тематических карт
«Атласа географического справочного» (М.: Главное управление
геодезии и картографии, 1987) определить способы картографического изображения и дать их краткую характеристику:
1. Население (с.18), Воздушный транспорт (с.70).
23
2. Машиностроение и металлообработка (с.46), Картофель.
Бахчевые культуры (с.63).
3. Уральский экономический район (с.99), Здравоохранение
(с.75).
4. Зарубежная Европа (с.27), Международные торговофинансовые связи (с.24).
5. Сельское хозяйство (с.22), Транспорт (с.23).
6. Цветная металлургия (с.18), Африка (с.40).
ЗАДАНИЕ 4
Определение длин линий
Цель работы – научиться измерять длины линий на географических картах мелких масштабов и обрабатывать полученные результаты, используя различные методы.
Общие сведения
Определение длин линий по картам имеет большое значение
для многих отраслей науки и практики, использующих в своей работе данные о форме и протяженности географических объектов. При
определении длин извилистых линий возникают две задачи:
1) измерение извилистой линии по карте;
2) переход от результатов измерения к длине этой линии в
натуре с учетом изменения масштаба длин, генерализации и других
факторов.
При учете изменения масштаба длин в пределах карты необходимо установить средний масштаб для измеряемой линии и
умножить на него результаты непосредственных измерений на карте.
Основными инструментами для измерения длин линий являются циркули-измерители и курвиметры. Использование этих инструментов требует определения цены деления шкалы курвиметра
или цены раствора циркуля-измерителя d . Под ценой деления (рас24
твора) инструмента понимается число метров или километров, соответствующее этому делению на данном участке карты с учетом ее
частного масштаба и деформации бумаги.
Для определения d необходимо измерить на карте линию,
длина которой в натуре известна. В качестве такой линии обычно
выбирается длина дуги меридиана или параллели. Если выбрана
длина дуги меридиана, то цена деления инструмента d рассчитывается из соотношения
d  L ( N ,  S ) n ,
(1)
где L(N ,S ) – длина дуги меридиана в метрах или километрах
между параллелями с широтами φN и φS ; n – число отложений (делений) инструмента в измеренной дуге меридиана.
Значение L( N ,  S ) может быть получено из выражения,
L( N , S )  X  N  X  S , где ХφN и ХφS – длины дуг меридиана от экватора до соответствующей параллели, выписываются из картографических таблиц (прил. 1) или вычисляются по формуле
L( N , S )  0,00003 (sin 8 N  sin 8S )  0,02198 (sin 6 N 
 sin 6s )  16,82807 (sin 4 N  sin 4S )  160036 ,480 (sin 2 N 
 sin 2s )  111134 ,86(N  S ) .
(2)
Если в качестве линии, длина которой в натуре известна, использована длина дуги параллели L, то d получим из соотношения
d = L n . Здесь L – соответствующий элемент параллели между меридианами с разностью долгот ∆λ на поверхности эллипсоида:
L  r / 180 , где r – радиус параллели, берется из картографических таблиц, прил.2.
Значение L может быть также вычислено по формуле
a cos 
L
(1 
1
e 2 sin 2 ) 2

,
180
(3)
где a  6378245 м; e2  6,6934216  103 (элементы эллипсоида Красовского).
25
На картах крупных и средних масштабов отрезки прямых и
ломаных линий измеряют с помощью циркуля-измерителя и поперечного масштаба.
Труднее обстоит дело с измерением длин извилистых линий:
рек, береговых линий и пр. Приближенные результаты измерений
извилистых линий можно получить с помощью курвиметра. Для более точных измерений рекомендуется использовать циркулиизмерители с малыми растворами: 1,0; 1,5; 2,0; 4,0 мм.
При измерении линии курвиметром вращением колесика
приводят стрелку циферблата на нулевой отсчет, устанавливают колесико на начальную точку, проводят им по измеряемой линии и
прочитывают на циферблате число измеренных сантиметров. Курвиметр не позволяет измерить извилистую линию с большой точностью. Точность измерений курвиметром зависит от извилистости
линии и колеблется от 2 до 10 %. Для исключения просчетов все измерения рекомендуется проводить дважды – в прямом и обратном
направлениях.
При измерении с помощью циркулей-измерителей иглу измерителя устанавливают в начальную точку кривой и подсчитывают
число отложений в пределах измеряемой линии. Во избежание просчетов число отложений измерителя подсчитывают при обводе кривой в прямом nпр и обратном nобр направлениях, затем определяют
nср. Таким образом, длина линии
l  dnср .
(4)
При измерении длин извилистых линий с помощью циркулей-измерителей фактически измеряется не сама извилистая линия,
а ломаная, получаемая при многократном отложении измерителем
отрезков, равных размеру его раствора. Очевидно, чем меньше раствор измерителя, тем больше длина ломаной линии будет приближаться к истинной длине измеряемой извилистой линии.
Вопросами изыскания надежных способов учета извилистости
при измерении длин кривых линий по картам занимались многие
исследователи (А.А.Тилло, Н.М.Волков, И.А.Стрельбицкий,
Ю.М.Шокальский, А.К.Маловичко, Г.И.Знаменщиков, Ф.А.Черняева,
Ю.С.Фролов и др.). Большинство способов определения длин извилистых линий основано на измерении их поочередно двумя циркулями26
измерителями с различны1,00 1,01 1,03 1,05 1,07 1,11 1,13 1,17
ми растворами (например, 1
и 4 мм) и вычислении по
результатам этих измерений
приведенных длин линий.
Метод Ю.М.Шокальского. Измеряя некоторые реки азиатской части
России циркулями с разными растворами, Ю.М.Шокальский построил графики
зависимости полученных
1,24
1,29 1,32 1,35
длин рек от размеров рас- 1,20
творов циркулей-измерителей. Эти графики были использованы для получения
поправок за извилистость,
значения которых определялись визуально по особо
составленной шкале извилистости.
При измерении извилистых линий методом
Ю.М.Шокальского линия
Рис.1. Образцы извилистых линий ГГИ.
разбивается на отдельные На кривых указаны значения коэффициентов
участки по степени их изизвилистости
вилистости. Каждый участок измеряется специальным циркулем с постоянным раствором,
равным 1,3 мм. Полученная длина линии по каждому участку умножается на поправочный коэффициент k , соответствующий извилистости измеряемого участка.
Ю.М.Шокальский предложил пять образцов извилистых линий. В 1961 г. картографическим отделом Государственного гидрологического института (ГГИ) была разработана новая таблица образцов и коэффициентов извилистости k (рис.1).
27
Таким образом, методом Ю.М.Шокальского длина извилистой линии может быть определена из выражения
l  kdn ,
(5)
где k – коэффициент извилистости; d – цена раствора циркуляизмерителя; n – число отложений циркуля в измеряемой линии.
Метод Н.М.Волкова. Длина извилистой линии, измеряемой
по карте данного масштаба, возрастает по мере уменьшения раствора циркуля. Если отложить на графике по оси абсцисс значения d, а
по оси ординат соответствующие им значения l, то получим кривую,
удовлетворяющую уравнению параболы. При уменьшении размера
раствора, в пределе стремящегося к нулю, можно получить действительную, или приведенную, длину lпр линии с учетом всех ее извилин и изгибов.
Измерив одну и ту же линию дважды циркулем с растворами
d1 и d 2 ( d1 < d 2 ), получим два значения длины линии – l1 и l2
( l1 > l2 ):
l1  lпр   d1 ; l2  lпр   d2 ,
где  – коэффициент, зависящий от извилистости линии,

l1  l2
.
d 2  d1
Окончательно приведeнная длина линии
lпр  l1 
d1
d 2  d1
(l1  l2 ) .
(6)
Метод А.К.Маловичко. Для определения аналитической зависимости между длинами линий l1 и l2 , полученными с использованием циркулей с растворами d1 и d 2 , и приведенной длиной извилистой линии lпр используются правильные геометрические линии. А.К.Маловичко для определения lпр предложил аппроксимировать извилистые линии окружностями. Тогда приведенная длина
28
1
1
lпр  l1  (l1  l2 )  k (l1  l2 ) ,
3
3
(7)
где k  (0,5n1  n2 ) (n1  n2 ) ; n1 и n2 ( n1 > n2 ) – число отложений
измерителя при определении длин l1 и l2 .
Метод Ю.С.Фролова. Дальнейшие изыскания в области
определения аналитических зависимостей между длинами, полученными из измерений, и приведенными длинами для правильных геометрических линий привели к использованию для приведения линии, состоящей из сопряженных полуокружностей. В этом случае
lпр  l1  k (l1  l2 ) ,
(8)
где l1  d1n1 ; l2  d 2 n2 ; k  1 (t 2  1) ; n1 и n2 – число отложений измерителя при определении l1 и l2 ; t  d 2 d1 .
Так же, как и в других методах, в методе Ю.С. Фролова выполняются соотношения между ценами делений растворов измерителей d1 < d 2 и полученными длинами l1 > l 2 . Значения коэффициентов k приведены в табл.1.
Таблица 1
t
1,5
1,6
1,7
1,8
k
0,80
0,64
0,53
0,45
t
1,9
2,0
2,1
2,2
k
0,38
0,33
0,29
0,26
t
2,3
2,4
2,5
2,6
k
0,23
0,21
0,19
0,17
t
2,7
2,8
2,9
3,0
k
0,16
0,15
0,14
0,13
Редуцированная длина. Вычисленное значение lпр представляет собой длину извилистой линии на карте, от которой необходимо перейти к действительной длине линии в натуре. Исследование закономерности изменения длин извилистых линий с изменением масштабов карт, на которых производятся измерения, показало
наличие параболической связи между этими параметрами. Учитывая
это, Н.М.Волков предложил определять длину линии на местности
как бы в масштабе 1:1.
Приведенная к масштабу 1:1, или редуцированная, длина
lред может быть найдена из решения двух уравнений:
29
lред  lN1  ( N1  1) ; lред  lN 2  ( N2  1) ,
где l N1 и l N 2 – результаты измерения длин по картам, масштабы которых 1: N1 и 1: N 2 ( N1 < N 2 );  – некоторый постоянный коэффициент, зависящий от степени генерализации линии.
Тогда   (lN1  lN 2 ) ( N2  N1 ) , а редуцированная длина
линии
lред  l N1 
N1  1
N 2  N1
(l N1  l N 2 ) .
(9)
В формулу Волкова нами внесено исправление, поскольку в
исходном варианте не выполнялось естественное соотношение
lред  l N1 при N1  1 .
Определение суммарной длины извилистых линий. При
работе с картами часто появляется необходимость подсчета суммарной длины линий на некотором участке (например, эрозионной сети
в речном бассейне или суммы длин изолиний на определенной территории). Для этой цели используются вероятностные способы, основанные на применении различных прозрачных палеток. Если
наложить на карту палетку с сеткой квадратов со стороной d (рис.2),
то суммарная длина извилистых линий  l будет пропорциональна
числу пересечений m, подсчитанному по карте:  l  0,25dm .
30
Относительная погрешность измерения обычно составляет
3-5 %, но иногда может достигать 10 %. Для повышения
точности
палетку
накладывают неоднократно
(рис.3) и определяют сумму
пересечений  m . Тогда
Точки пересечения

, (10)
1
где N – число наложений
палетки.
Сторона квадрата
палетки d должна вычисляться по методике определения цены раствора циркуля-измерителя.
Рис.2. Схема измерения суммарной длины
извилистых линий с помощью вероятностной
палетки
22,50
N
 l  4N d  m
450
0
67,5
Рис.3. Разные положения палетки при четырехкратных измерениях
Вопросы определения длин извилистых линий рассмотрены
в работах [1, 4, 8].
Порядок выполнения работы
Задание. Определить длину географического объекта.
Порядок работы по определению длин извилистых линий
следующий:
31
1. Найти d1 – цену раствора циркуля-измерителя. Для этого
выписать из картографических таблиц (прил. 1) длину дуги меридиана L( N ,  S ) или параллели L на участке, где находится измеряемая извилистая линия. Дуга измеряется меньшим из двух выбранных растворов циркуля-измерителя в прямом и обратном направлениях и вычисляется nср. Цена раствора определяется по формуле (1).
Если линия имеет значительную протяженность, следует разбить ее
на несколько частей и для каждой определить цену раствора циркуля.
2. Тем же раствором циркуля измерить извилистую линию,
т.е. подсчитать число отложений данного раствора в прямом и обратном направлениях по этой линии. Найти пср.
3. Вычислить l1 по формуле (4).
4. То же самое проделать при другом растворе циркуля, вычислить d2, l2.
5. Вычислить приведенное значение lпр по формулам (6),
(7), (8).
Пример 1 выполнения задания
Задание. Определить длину р.Сясь с помощью курвиметра
по карте Ленинградской области масштаба 1: 1 750 000
Определение длины выполним в два этапа:
1. С помощью картографических таблиц получим длину дуги
меридиана L( N ,  S ) между параллелями с широтами S  59  ,
 N  60 :
X59 = 6542,78 км; X60 = 6654,19 км;
L( N ,  S ) = 6654,19 – 6542,78 = 111,41 км.
2. Результаты измерений по карте дуги меридиана и р.Сясь
запишем в ведомость (табл.2). Далее в ней по формулам (1) и (4) вычислим значения d и l .
Таблица 2
Объект измерения
32
nпр
nобр
nср
D, км
l, км
Меридиан
59°– 60°
0,65
0,67
0,66
р.Сясь
0,98
0,96
0,97
111,41
 168,80
–
0,66
–
168,80  0,97  163,73
Длина р.Сясь, измеренная курвиметром, равна 163,73 км.
Пример 2 выполнения задания
Задание. Определить длину р.Сясь с помощью циркуляизмерителя по карте Ленинградской области масштаба 1: 1 750 000
Определение длины выполним по методу Ю.С.Фролова.
1. Длину дуги меридиана L( N ,  S ) между параллелями с
широтами S  59  ,  N  60 определим с помощью картографических таблиц:
X59 = 6542,78 км; X60 = 6654,19 км;
L( N ,  S ) = 6654,19 – 6542,78 = 111,41 км.
2. Результаты измерений по карте дуги меридиана и р.Сясь
запишем в ведомость (табл.3). Далее там же по формулам (1) и (4)
вычислим значения d и l.
Таблица 3
Объект
Раствор
измерения
nпр
Меридиан
59°– 60°
33,5 33,5 33,5
2 мм
р.Сясь
Меридиан
59°– 60°
р.Сясь
49
3 мм
nобр
49
nср
31
l, км
111,41
 3,32
33,5
–
3,32  49  162,68
49
21,5 21,5 21,5
31
d , км
31
111,41
 5,18
21,5
–
5,18  31  160,58
33
3. Приведенную длину по методу Ю.С.Фролова определим
по формуле (8). Значения l1 = 162.68 км, l2 = 160.58 км возьмем из
ведомости. Далее рассчитаем коэффициенты t = 1,56, k = 0,70.
Длина р.Сясь lпр  164,15 км.
Задание для самостоятельной работы
По атласу для 10-го класса «Экономическая и социальная
география мира» (М.: Главное управление геодезии и картографии,
1996) определить длины рек:
1) Везер (с.28);
2) Эльба (на территории Германии) (с.28);
3) Рейн (на территории Германии) (с.28);
4) Янцзы (с.33);
5) Хуанхэ (с.33).
Определить длину береговой линии о.Хоккайдо (с.34).
ЗАДАНИЕ 5
Определение площадей
Цель работы – научиться измерять площади географических
объектов на картах различных масштабов и обрабатывать полученные результаты.
Общие сведения
Под определением площади какого-либо участка по карте
следует понимать совокупность измерительных и вычислительных
работ, в результате которых получают площадь участка в натуре (в
квадратных метрах, километрах, гектарах). Следует помнить, что
определяется площадь не физической поверхности участка местности, а этого участка на поверхности эллипсоида.
34
Рис.1. Полярный планиметр
1 – счетное колесо с верньером; 2 – каретка со счетным механизмом; 3 – полюсный рычаг; 4 – конец полюсного рычага с грузом;
5 – ручка; 6 – острие обводного рычага; 7– обводной рычаг;
8 – шарнир; 9 – циферблат счетного механизма
Точные измерения возможны лишь по картам в достаточно
крупных масштабах (не мельче 1:100 000). Однако на практике возникает необходимость в получении приближенных значений площадей, и в этом случае измерения могут быть выполнены по картам
более мелких масштабов. В настоящее время для определения площадей практически используются механический (планиметрирование), графический (различного вида палетки), фотоэлектрический, а
также аналитический способы.
Планиметрирование. Планиметр представляет собой специальный прибор для определения площадей по картам или планам.
Наиболее часто используется полярный планиметр (рис.1), состоящий из двух рычагов: полюсного и обводного. Полюсный рычаг
имеет на одном конце груз с острием, а на другом – отросток с шариком. Шарик вкладывается в полушаровое углубление обводного
рычага, и, следовательно, обводной рычаг может вращаться вокруг
оси, проходящей через центр шарика, на отростке полюсного рычага. Полюсный рычаг, в свою очередь, может вращаться вокруг оси,
проходящей через острие на его конце. Острие полюсного рычага
называется полюсом планиметра.
35
0
2
3 4
5 6
36
1
Существенной частью планиметра является счетный механизм (рис.2), который располагается на обводном рычаге. Он состоит из колеса с делениями, вращающегося на оси, параллельной обводному рычагу. Для отсчитывания по колесу служит верньер. Ось
колеса при помощи «бесконечного» винта сопряжена с циферблатом. Циферблат имеет указатель. Полярные планиметры бывают с
одним и с двумя счетными механизмами.
Планиметры различаются по способу закрепления механизма на обводном рычаге. Планиметры, у которых счетный механизм
не может изменять своего положения относительно обводного рычага, называются планиметрами с постоянными рычагами. Планиметры, у которых составные части дают возможность передвигать счетный механизм и тем самым менять длину обводного рычага, называются планиметрами с передвижным рычагом. На конце обводного
рычага находится обводной шпиль или обводная лупа.
При обводе планиметром фигуры на листе бумаги колесо
счетного механизма катится по бумаге. Целые обороты колеса определяются по циферблату, имеющему десять делений (каждое деление соответствует одному
обороту). Колесо счетного
механизма разделено на деся1
21
тые и сотые доли, а по вернь10
3
31
3
еру отсчитываются тысячные
7
0
доли оборота. Таким образом,
8 9
2
отсчет состоит из четырех
44
23
цифр и выражается в тысячных долях окружности колеРис.2. Счетный механизм планиметра
(отсчет 6246)
сика счетного механизма.
Первая цифра берется по ука- 1 – верньер; 2 – счетный ролик; 3 – ободок
счетного ролика; 4 – циферблат
зателю циферблата, вторая и
третья – с колеса по нулю верньера, четвертая отсчитывается по
верньеру.
Работа с планиметром. Для определения площади фигуры
нужно установить планиметр так, чтобы полюс находился вне фигуры, а точка обвода – где-либо на контуре фигуры, и взять по счетному механизму отсчет а0. Затем выполнить обвод контура фигуры,
ведя точку обвода против хода часовой стрелки, и после возвращения планиметра в исходное положение взять по счетному механизму
второй отсчет аn. Если определить разность отсчетов и умножить
ее на цену деления планиметра с, то получим площадь измеряемой
фигуры:
S  c(аn  a0 ) .
(1)
Значение цены деления планиметра c , можно определить
путем обведения фигуры, площадь S0 которой известна. Чтобы при
измерении планиметром получить надежные результаты, полезно
иметь в виду ряд правил:
1. План или карта, по которым определяется площадь, должна быть положена на горизонтальный стол, бумага должна быть выпрямлена, натянута на столе и укреплена.
2. Длина обводного рычага выбирается в зависимости от
максимальных размеров измеряемых фигур (при небольших размерах фигур рычаг следует брать короче).
3. При установке полюса фигура должна быть предварительно бегло обведена планиметром, чтобы убедиться, что это действие
не встретит неожиданных затруднений, при этом угол между рычагами не должен существенно отличаться от прямого (не должен
быть менее 40º и более 140º).
4. Начальное положение планиметра должно быть выбрано
так, чтобы в начале обвода колесо вращалось медленно.
5. Обвод следует производить осторожно, с одинаковой скоростью и большим вниманием, чтобы учесть все изгибы контура.
6. Полезно обводить фигуру в прямом и обратном направлениях и из результатов брать среднее.
37
Техническую ошибку измерения планиметром при соблюдении перечисленных правил приближенно можно принять равной
1:1 000, или 0,1 %.
Для средней квадратической ошибки определения площадей,
выраженной в делениях планиметра, Н.М.Волков предложил использовать следующую формулу:
m  0,68  0,28 an  a0 .
(2)
Расхождение между значениями площади фигуры в делениях
планиметра, полученными при двух обводах, не должно превосходить 3m.
Для учета искажений проекции и деформации бумаги цену
деления планиметра с следует вычислять из обвода одного или нескольких квадратов километровой сетки или трапеции, ограниченной меридианами и параллелями, в пределах которых располагается
измеряемый участок, по формуле
c  S0 (an  a0 ) ,
(3)
где S0 – известная площадь квадрата километровой сетки или трапеции в квадратных километрах, полученная для квадрата по оцифровке километровой сетки, для трапеций – из картографических таблиц (прил.3); а0 и аn – отсчеты по счетчику планиметра до и после
обвода квадрата или трапеции.
Графический способ определения площадей. Для определения площадей фигур произвольной конфигурации используются
различного вида палетки на пластике или бумажной основе (рис.3).
При использовании квадратной палетки площадь отыскивается по формуле
S = a2n,
(4)
где а – сторона квадрата палетки, выраженная в масштабе карты;
n – число квадратов, попавших в пределы контуров; части квадратов, попавших на границы контуров, оцениваются на глаз.
38
а
б
a
d
г
R
в
a
Рис.3. Виды палеток для определения площадей: а – сетка квадратов, б – сетка
параллельных линий, в – точечная квадратная сетка, г – точечная гексагональная
сетка
Для определения значения а палетка накладывается на одну
из линий картографической или километровой сетки. Зная длину
дуги меридиана L( N ,  S ) или параллели L и число пересечений N
клеток палетки с этой линией на карте, можно найти
aL N.
(5)
Можно сразу определить площадь квадрата палетки а2. Для
этого палетка накладывается на трапецию картографической сетки,
39
образованную линиями меридианов и параллелей, или на квадрат
километровой сетки. Подсчитывается число квадратов n палетки,
попавших в пределы трапеции. Площадь трапеции S0 берется из
прил. 3 картографических таблиц, тогда
a 2  S0 n .
(6)
При работе с палеткой, состоящей из системы параллельных
линий, с помощью измерителя или линейки подсчитывается длина
отрезков, отсекаемых контуром измеряемого участка. Площадь пропорциональна их суммарной длине: S  d  l (где  l – сумма длин
отрезков, заключенных внутри контура; d – расстояние между линиями палетки; обе величины выражаются в масштабе данной карты).
Палетка, состоящая из точек, расположенных по квадратной
сетке, представляет собой лишь видоизмененный вариант квадратной палетки, поскольку каждая точка является центром квадрата.
Подсчет площади ведется по формуле (4), как и для квадратной палетки, но здесь а – расстояние между точками, а n – их число. Если
точка попадает на контур измеряемого участка, то ее суммируют с
весом 0,5, т.е. две точки, лежащие на контуре, считают за одну.
Точки могут быть расположены не по квадратной сетке, а по
сетке шестиугольников. Такая палетка предпочтительней, поскольку
шестиугольники обычно лучше вписываются в неправильный контур измеряемой фигуры. Для расчета и построения гексагональных
палеток используется соотношение d  0,866 R (где R – расстояние
между точками палетки в строке; d – расстояние между строками).
Площадь, подсчитанная с помощью гексагональной палетки,
определяется по формуле
S  0,866 R2n .
(7)
Необходимо отметить, что при выборе параметров палетки (в
сетке квадратов – густоту линий, в точечных палетках – расстояния
между точками) нужно учитывать, прежде всего, размеры и конфигурацию самих контуров. Эмпирические расчеты показали, что для измерения площади с ошибкой 1,5 % необходимо разместить в пределах
контура примерно 100 точек. А.В.Маслов вывел эмпирическую зави40
симость для средней квадратической ошибки определения площадей
палетками разных конфигураций (кроме гексагональных):
mp  0,03 S .
(8)
Вопросы определения площадей по географическим картам
рассмотрены в работах [1, 4, 8].
Порядок выполнения работы
Задание. Определить площадь географического объекта.
Порядок работы по определению площадей географических
объектов с помощью планиметра следующий:
1. При измерении площади территории, вытянутой по меридиану, разбить ее на отдельные участки, границами которых являются параллели. Если территория вытянута по параллели, ее площадь можно измерять как единое целое.
2. Для каждого участка определить цену деления планиметра с.
Для этого найти по таблицам (прил.3) площадь S0 соответствующей
трапеции, затем измерить площадь этой трапеции планиметром дважды в прямом и обратном направлениях. Взяв среднее из разностей
отсчетов при двух измерениях Δаср, найти цену деления по формуле (3).
При использовании палетки определить площадь одного
квадрата палетки. Для этого подсчитать количество квадратов (точек) в соответствующей трапеции на карте n1, повернуть палетку и
повторить подсчет. Получить n2. Найти nср и получить площадь
квадрата палетки по формуле (6).
3. Измерить планиметром площади всех участков. Для каждого взять среднее значение разности отсчетов из двух обведений.
При использовании палетки подсчитать значения n1 и n2 в
пределах каждого участка при двух положениях палетки. Взять
среднее значение nср.
4. Найти площадь каждого участка, измеренного планиметром, по формуле (1); при использовании палетки – по формуле (4).
Площадь контура равна сумме площадей его участков:
k
S   Si
i 1
(где k – количество отдельных участков).
41
Пример 1 выполнения задания
Задание. Определить площадь Костанайской области по
карте масштаба 1:4 000 000 с помощью планиметра.
Определим площадь в два этапа:
1. Определение цены деления планиметра с выполним в ведомости (табл.1).
Таблица 1
Трапеция:
широта,
долгота
52°–54°
 = 2°
50°–52°
 = 2°
48°–50°
 = 2°
Направление
обвода
а0
аn
Δа

1505
1712
207





Δаср
c, км2
204,5
1712
1510
202
1510
1280
230
1280
1520
240
1260
1530
270
1530
1261
29885, 22
 146,13
204,5
235
31236 ,90
 132,92
235
269,5
32549 ,06
 120 ,77
269 ,5
269
2. Определение площадей S участков Костанайской области
выполним в ведомости (табл.2).
Таблица 2
Участок
между параллелями
Направление
обвода
а0
аn
Δа
52°–54°

8122
8910
788
8910
8119
791
50°–52°


2529
3087
558
3087
2530
557
48°–50°


0741
1078
338
1078
0746
332

Площадь области
42
Δаср
S, км2
789,5
146,13  789,5  115369,63
557,5
132,92  557,5  74102,90
335
120,77  335  40457,95
Площадь области
S  S52 54  S50 52  S 48 50  115369 ,63  74102 ,90  40457 ,95 
 229930 ,48 км 2 .
Пример 2 выполнения задания
Задание. Определить площадь Костанайской области по
карте масштаба 1:4 000 000 с помощью палетки-клетчатки (0,5 см).
Определим площадь в два этапа:
1. Определение площади одного квадрата палетки а2 выполним в ведомости (табл.3).
Таблица 3
Трапеция: широта,
долгота
n1
Количество квадратов
п2
пср
52°–54°,
 = 2
74
73
73,5
50°–52°,
 = 2
76
76
76
48°–50°,
 = 2
80
а2, км2
29885, 22
 406,60
73,5
31236,9
 411,01
76
78
79
32549,06
 412,01
79
2. Определение площадей участков Костанайской области
выполним в ведомости (табл.4).
Таблица 4
Участок между
параллелями
Количество квадратов
N1
n2
nср
S, км2
52°–54°
278
288
283
406,60·283 = 115067,80
50°–52°
185
175
180
411,01·180 = 73981,80
48°–50°
105
93
99
412,01· 99 = 40788,99
43
Площадь области
S  S52 54  S50 52  S 48 50  115067 ,80  73981,80  40788 ,99 
 229838 ,59 км 2 .
Задание для самостоятельной работы
По атласу для 10-го класса «Экономическая и социальная
география мира» (М.: Главное управление геодезии и картографии,
1996) определить площади следующих территорий: 1) Турция (с.32);
2) Иран (с.32); 3) Монголия (с.33); 4) о. Хоккайдо (с.34); 5) о. Хонсю
(с.35); 6. Индия (с.37).
ЗАДАНИЕ 6
Определение объемов
Цель работы – научиться определять объемы объектов или
явлений, отображаемых на географических картах, используя различные методы.
Общие сведения
При работе с гипсометрическими, геолого-структурными,
гидрологическими, климатическими и другими тематическими картами часто возникает необходимость подсчета объема каких-либо
объектов или явлений. Эти подсчеты особенно важны при изучении
баланса веществ в природе, например при определении объемов
снесенного и отложенного материалов, количества осадков, поверхностного и подземного стоков, объема озерных или океанических
котловин.
Для получения объемов географических объектов или явлений используют аналитический, графический (с помощью кумулятивной кривой), вероятностно-статический методы.
44
Аналитический
метод. Этот метод использует в качестве исходных данных площади
поверхностей горизонтальных сечений географических объектов, коРис.1. Схема определения объемов способом
торые могут быть опреусеченных конусов (а) и способом призм (б)
делены в результате картометрических
работ.
Если объект изображен на карте в изолиниях, то его объем V можно
представить как сумму объемов отдельных слоев Vi, заключенных
между плоскостями сечений.
Для вычисления объемов чаще всего используют способы
конусов и призм. В их основе лежит замена исходного объекта,
независимо от его сложности, совокупностью простых геометрических тел, например усеченных конусов в способе конусов или призм
в способе призм (рис.1).
Обозначив высоты (глубины) горизонтальных сечений
h0…h i…h n, площади соответствующих им сечений p0…p i…p n, получим объем Vi слоя, имеющего высоту h i + 1 – h i, площадь нижнего основания p i и площадь верхнего основания p i + 1. Найдем объем способом призм
а
б
dh
Vi 
hi 1  hi
( pi  pi 1 )
2
и способом конусов
Vi 
hi 1  hi
( pi  pi 1  pi pi 1 ) .
3
Объем верхней части объекта Vв вычисляется как объем конуса:
Vв 
hn1  hn
pn ,
3
где h n + 1 – максимальная высота (глубина) объекта.
45
2
S, км
90 100S, км
вая
Таким образом, рассматривая общий объем как сумму объемов отдельных слоев, по способу призм имеем
 hi
h h
( pi  pi 1 )  n 1 n pn ,
2
3
n 1 h
i 1
V
i 0
(1)
по способу конусов
 hi
( pi  pi 1 
3
n 1 h
i 1
V
i 0
pi pi 1 ) 
hn 1  hn
pn .
3
(2)
Если высота сечения изолиний на карте постоянна и равна h,
то объем по способу призм
h
1
V  [ p0  2( p1  p2  ...  pn 1 )  pn ]  pn h ,
2
3
(3)
а по способу конусов
h
V  [ p0  2( p1  p2  ...  pn1 )  pn  p0 p1 
3
1
 p1 p2  ...  p n1 pn ]  pn h,
3
(4)
где Δh – высота конуса, завершающего объект.
Площади сечений могут быть определены любым из известных в картометрии способом.
Указанные способы были разработаны для вычисления объемов «простых» географических объектов: холмов, гор, котловин и
т.д., площади горизонтальных сечений которых определяются по
крупномасштабным картам с достаточно частым сечением рельефа.
В этих ситуациях подобная аппроксимация естественна и погрешности методов не выходят за пределы допустимых значений.
Графический метод. Данный метод измерения объемов
требует предварительного построения кумулятивной кривой. Для
этого на карте тем или иным способом измеряют площади всех высотных ступеней, заключенных между соседними изолиниями, затем
подсчитывают накопленные значения площадей. После этого строят
график, на котором по оси ординат откладывают интервалы высот46
2
ных ступеней, а по оси
абсцисс – накопленные
площади.
Соединив
точки на графике плавной кривой, получают
кумуляту, или интегральную кривую распределения высот (глубин). Известными примерами кумуляты является гипсографическая
(рис.2), батиграфическая и батигипсографическая кривые (рис.3).
С
помощью
гипсографической (батиграфической) кривой решается и другая задача картометрии:
определение средней высоты горных массивов, стран, материков и
средней глубины морей и океанов. Средняя высота (глубина) объекта определяется из выражения Нср= V S (где V – объем объекта; S –
накопленная площадь).
Площадь, ограниченная
кумулятивной
H, км
кривой и ординатами ее
8
крайних точек, соответ6
ствует искомому объе4
му. Ее можно измерить
2
0,825кмкм
непосредственно
на
HН
ср.ср
==
0,825
0
0
графике и выразить в
-2
принятом для графика
Нср
= =-3,8
-3,8 кмкм
Hср.
масштабе.
-4
Например, необ-6
ходимо измерить запасы
-8
воды в снежном покрове
-10
2
S, млн.км
млн.км2
100
0
400 S,
200
300
по карте Республики
Коми (рис.4).
Рис.3. Батигипсографическая кривая
47
а
а
бб
350
300
250
200
150
100
0
0 80 160 км
50
0
17
160
150
0
220
170
20
240
15
0
120
0
13
16 140
18 0
0
-5
h, 10 км
32
28
24
20
16
12
8
4
3
2
3 км2
p, 10
10 км
р,
Рис.4. Карта запасов воды в снежном покрове на территории Республики Коми (а)
и кумулятивная кривая, построенная по карте для определения объема (б)
Масштаб рис.4, а: 1 см = 4  10-5 км  50 · 103 км2 = 2 км3.
Площадь фигуры, ограниченная линией графика и осями координат, 33,36 см2 . Тогда
V = 33,36·2 км3 = 66,72 км3.
Вероятностно-статистический метод. Этот метод определения объемов основан на использовании различных типов объемных палеток. Его основная идея заключается в представлении рассматриваемого объекта в виде суммы n-го количества косоусеченных призм с основаниями в виде квадратов (рис.5) или других правильных многоугольников, например шестиугольников.
Средняя высота zi каждой призмы определяется по карте в
центре основания призмы путем линейной интерполяции между
значениями изолиний.
Объем всего объекта, вычисляемый по результатам измерений квадратной и гексагональной палетками, соответственно
n
Vк  p  zi
i 1
и
n
Vг  0,866 R 2  zi ,
i n
(5)
где р – площадь основания палетки в масштабе карты; R – расстояние между точками.
48
аa
A
бб
B
A
A
60
z
50
C
30
40
20
C
D
D
Рис.5. Фрагмент карты (а) и блок-диаграмма, иллюстрирующая
вероятностно-статистический способ определения объемов (б)
Данный метод определения объемов не требует непосредственного измерения площадей по картам. Достаточно разместить
на карте сетку равноотстоящих точек, определить zi в каждой точке,
просуммировать полученные значения и умножить сумму на площадь основания палетки.
Вопросы определения по картам объемов географических
объектов рассмотрены в работах [1, 4].
Порядок выполнения работы
Задание 1. Определить объем объекта или явления аналитическим методом.
Порядок работы при определении объема объекта или явления аналитическим методом следующий:
1. Обозначить изолинии измеряемого объекта или явления,
начиная с наименьшего, h0, …, hi, …, hn, а соответствующие им площади горизонтальных сечений р0, …, pi, …, рn.
2. С помощью планиметра определить площадь каждого слоя
рi, предварительно вычислив цену деления планиметра с. В качестве
известной площади использовать квадрат километровой сетки карты
или площадь трапеции. Измерения выполнить дважды и взять среднее значение.
3. Вычислить объем по формуле (1) или (2).
49
Задание 2. Определить объем объекта или явления графическим методом.
Порядок работы при определении объема объекта или явления графическим методом следующий:
1. Как и в предыдущем способе обозначить изолинии и площади соответствующих горизонтальных сечений, измерить планиметром площадь каждого слоя.
2. На координатной плоскости отложить по оси ординат высоты слоев h0, …, hn, а по оси абсцисс соответствующие слоям площади p0, …, pn, выбрав предварительно удобные вертикальный и
горизонтальный масштабы. Соединить полученные точки плавной
линией.
3. Вычислить объем по формуле
V = cf
(6)
где с – цена квадрата со стороной 1–2 см, построенного на графике,
определяется как произведение его сторон в соответствующем масштабе; f – площадь фигуры, ограниченная осями абсцисс, ординат и
линией графика.
Задание 3. Определить объем объекта или явления вероятностно-статистическим методом.
Порядок работы при определении объема объекта или явления вероятностно-статистическим методом следующий:
1. Переснять на кальку изолинии и их отметки.
2. Наложить кальку на точечную палетку и перевести точки
на кальку.
3. Определить отметку каждой точки путем линейной интерполяции между ближайшими значениями изолиний.
n
4. Просуммировать полученные отметки точек  zi .
i 1
5. Вычислить объем по формуле (5), где p  S0 n , км2; S0 –
площадь квадрата километровой сетки или трапеции, взятая из картографических таблиц (прил.3); п – количество точек палетки, попавших в квадрат километровой сетки или в трапецию карты.
50
Пример выполнения задания
Задание. Определить объем массы земли по топографической карте 1 : 25 000 (рис.6) аналитическим, графическим и вероятностно-статистическим методами.
Аналитический метод определения объема
1. Определим цену деления планиметра с и запишем данные
в ведомость (табл.1).
3
4
0
11
10
10
10
0
3
7
16
18
10
15
10
5
8
8
4
23
13
15
7
12
8
5
15
20
14
0
10
18
16
22
20 26
208
24 15
10 14
5
19
0
0
16
0
19
0
3
200
3
2
11
9
2
19
5
18
13
2
1
0
13
17
0
10
10
12
5
4
5
0
0
17
18
10
4
20
69
81
8 3
128
15 7
6 171
17
10
0
9
0
5
123
59
42
23
9
 = 738 м3
 = 738 м 3
Рис.6. Фрагмент топографической карты 1 : 25 000 с сеткой точек,
в которых определены значения zi.
51
Таблица 1
Этап
Направление
работы обвода квадрата
1
2

а0
аn
Δа
0850
1064
214
Δаср
209

1064
0860
204
c, км2
1, 00
 0,0047
209
2. Определим площадь слоев и запишем данные в ведомость
(табл.2).
Таблица 2
Этап Направление
работы обвода слоев
1
2
3
4
5
6
7







9


10

8
a0
an
Δа
8577
9487
910
9487
8567
920
8572
9259
687
9259
8582
677
8598
8042
553
8042
8591
549
8599
8830
231
8830
8595
235
8741
8790
49
8790
8740
50
Δаср
p, км2
915
p0 = 0,0047  915  4,37
682
p1 = 0,0047  682  3,26
551
p2 = 0,0047  551  2,63
233
p3 = 0,0047  233  1,11
49,5
p4 = 0,0047  49,5  0,23
3. Вычислим объем способом призм. При высоте сечения
изолиний h = 5 м и высоте завершающего конуса h  3 м по формуле (3) объем
V
52
0,005
0,23
(4,37  6,52  5,26  2,22  0,23) 
 0,003  0,046 км3.
2
3
Графический метод определения объема
По результатам измерения площадей р высотных слоев h,
полученных в табл.2, построить
кумулятивную
h, 10-3 км
кривую (рис.7). По оси
абсцисс 1 см соответствует
площади 0,5 км2. По оси
ординат 1 см равен высоте
слоя 2,5  10-3 км. Площадь,
ограниченная кривой и
ординатами ее крайних
точек, равна 37 см2. Таким
образом, по формуле (6)
искомый объем
S, км2
Рис.7. Кумулятивная кривая
V = 0,00125  37 = 0,046 км3.
Вероятностно-статистический метод определения объема
Вычислим площадь основания квадрата палетки
p = 1 км2/16 = 0,0625 км2.
Найдем сумму высот косоусеченных призм
 zi = 738 м = 0,738 км.
По формуле (5) общий объем
V = 0,0625 км2 · 0,738 км = 0,046 км3.
Задание для самостоятельной работы
По «Атласу БССР» (Минск: Изд-во АН БССР, 1958) определить объемы:
1) сток за весенний и летний сезоны (карта 37);
2) сток за осенний и зимний сезоны (карта 37);
3) годовой сток (карта 36);
4) атмосферные осадки (карта 31).
53
ЗАДАНИЕ 7
Оценка взаимосвязи между явлениями, изображенными
на картах
Цель работы – установить взаимосвязи между различными
явлениями, отображаемыми на географических картах, используя
корреляционный анализ.
Общие сведения
Приемы математической статистики предназначены для изучения по картам пространственных и временных статистических
совокупностей и образованных ими статистических поверхностей.
Статистической совокупностью называются массовые, качественно
однородные множества случайных явлений или величин. В математической статистике термином «случайные» обозначают такие явления или величины, которые сложным образом зависят от множества
факторов, так что суммарный результат их взаимодействий нельзя
предсказать с полной уверенностью, а можно лишь прогнозировать
с некоторой вероятностью.
В статистических исследованиях по картам нашли применение основные приемы математической статистики. Это, прежде всего, изучение характера распределения явлений, изображенных на
карте. Такие исследования связаны с вычислением разного рода
обобщающих статистик, к которым относятся средние величины и
показатели разнообразия.
Самое широкое применение в картографических исследованиях находит аппарат корреляционного анализа, позволяющий установить взаимосвязи между различными явлениями по одной карте
или серии карт. Форма и теснота связей между двумя явлениями,
имеющими на карте количественную характеристику, оцениваются
с помощью коэффициента корреляции r или корреляционного отношения  (для случая криволинейной связи). Теория корреляции
54
позволяет установить также взаимосвязи между несколькими явлениями с помощью коэффициента множественной корреляции R.
Вычисление коэффициента корреляции и построение поверхностей регрессии и отклонений. Для характеристики взаимосвязи между двумя явлениями, изображенными на двух разных картах, используется безразмерная величина, называемая коэффициентом корреляции r. Он вычисляется, если связь между явлениями А и
В близка к прямолинейной.
Числовые значения коэффициента корреляции  1  r  1 .
Если r = 1 или r = –1, то это указывает на полную прямую или обратную связь. Когда r  0 , связь между явлениями отсутствует. При
r  0,7 связь считается существенной.
Для расчета показателя связи с обеих карт необходимо получить две выборки. С этой целью на карты строго координированно
помещают палетку равноотстоящих или случайных точек. В каждой
точке снимаются количественные значения ai и bi явлений А и В.
К выборкам с карт предъявляются определенные требования.
Выборки должны быть достаточно большими (не менее
30 значений), характерными для данного явления, охватывающими
всю занимаемую площадь.
Прежде чем приступить к определению тесноты связи, необходимо получить представление о форме связи, для чего строится
график, на котором по значениям ai и bi наносятся точки (i – номер
точки, изменяющийся от 1 до n). Точки на графике образуют поле
корреляции, по виду которого можно судить о форме и тесноте связи. Если разброс точек велик, то это свидетельствует об отсутствии
связи между явлениями. Если же поле точек вытягивается в виде
полосы, значит, связь существует, и чем уже полоса, тем связь теснее. Если полоса прямая, то связь между явлениями прямолинейная
и она может быть оценена с помощью коэффициента корреляции
n
 (ai  a )(bi  b )
r  i 1
n a b
,
(1)
где a и b – средние арифметические величины,
55
n 
a    ai  / n ,
 i 1 
n 
b    bi  / n ;
 i 1 
(2)
 a ,  b – средние квадратические отклонения,
n
n

a    (ai  a ) 2  / n , a    (bi  b ) 2  / n ;
i 1

i 1

(3)
n – число пар данных, полученных с карт.
Когда в расчетах используются выборки с многозначными
числами, вычисления становятся достаточно трудоемкими. Существуют два пути упрощения расчетов:
1. Группировка данных в особую таблицу и вычисление r по
специальным формулам.
2. Использование упрощенных данных и упрощенных схем
вычисления.
Рассмотрим подробнее второй способ, особенно удобный,
когда n  50 . В этом случае r можно вычислять по преобразованной
формуле
 n
 
ai bi  / n   a b
 
 i 1
 
,
r
 a b
(4)
 n 2  
 n 2  
2
где  a    ai  / n   a ; b    bi  / n   b 2 .
 i 1  
 i 1  
При использовании упрощенной схемы вычислений все исходные данные, снимаемые с карт, записываются в ведомость (см.
пример выполнения задания).
Приближенное значение средней квадратической ошибки
коэффициента корреляции подсчитывают по формуле
r  (1  r 2 )
n.
(5)
Регрессионный анализ позволяет установить, как изучаемое
явление изменяется под воздействием одного или нескольких влияющих на него факторов. По уравнению регрессии можно построить
56
регрессионную поверхность, аналогичную по сути фоновой поверхности. Она показывает, как меняется в пространстве явление в зависимости от факторов, учтенных в уравнении.
Если между явлениями А и В существует линейная связь, то
уравнение регрессии имеет вид
bi  f (a)  kai  c ,
(6)
где k  r b  a ; c  b  ka .
Подставляя значения ai, находим bi поверхности регрессии,
наносим их на карту, проводим изолинии. Поверхность регрессии
показывает, как изменялось бы явление В, если бы оно зависело
только от А.
Далее в каждой точке вычисляют отклонения фактических
значений bi от расчетных: bi  bi  bi . Нанеся их на карту, получим
поверхность отклонений, которая отражает влияние случайных факторов.
Вопросы оценки взаимосвязи между явлениями рассмотрены
в работах [1, 2, 9].
Порядок выполнения работы
Задание. Вычислить коэффициент корреляции для явлений
А и В и построить линию регрессии.
Оценка взаимосвязи между двумя явлениями производится
в следующей последовательности:
1. На карты двух явлений наложить координированно палетки случайных точек.
2. Снять и записать в ведомость (см. таблицу) значения ai и bi
исследуемых явлений в каждой точке.
3. По значениям ai и bi нанести на график точки и визуально
оценить форму и тесноту взаимосвязи между явлениями А и В.
4. Вычислить средние арифметические величины по формулам (2), где n – число точек палетки в исследуемом контуре.
5. Вычислить средние квадратические отклонения  a и  b
по формулам (3).
57
6. Вычислить коэффициент корреляции по формуле (1) или
по формуле (4) упрощенной схемы.
7. Оценить коэффициент корреляции по формуле (5). Связь
существует, если r  3r .
8. Определить параметры уравнения регрессии k и c и вычислить уравнение линейной регрессии по формуле (6).
9. На графике построить линию регрессии.
Пример выполнения задания
Задание. Вычислить коэффициент корреляции и построить
линию регрессии для явлений: выпадение осадков в миллиметрах в
год (А) и сток с поверхности в миллиметрах толщины слоя (В). На
рисунке показаны карты этих явлений.
Используем упрощенную схему вычисления. На карты А и В
поместим сетку точек (п = 36). В этих точках снимем значения явлений a i и bi . Для упрощения вычислений разделим значения ai и bi
на 100 и, округлив их до десятых, поместим в ведомость. Далее туда
впишем значения ai2 , bi2 и произведения ai bi .
а a
B
A
60
400
350
300
б
50
40
30
20
60
б
аa
400
350
300
250
0
10 20 30 40 50 60 70
bb
Карты явлений А и В (а) и поле корреляции в случае прямолинейной связи (б)
58
Затем производим подсчеты по формулам (2):
a  129,6 / 36  3,60 ,
b  16,1 / 36  0,45 .
Вычислим средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции по формулам (4):
470 ,23
a 
36
 3,60 2  0,31 ; b 
r
7,93
36
 0,45 2  0,13 ;
59,49 / 36  3,60  0,45
 0,83 .
0,31  0,13
Оценим коэффициент корреляции по формуле (5):
 r  (1  0,832 ) / 35  0,05 .
Определим параметры уравнения регрессии по формулам (6):
k = 0,83  0,13 / 0,31= 0,348; с = 0,45 –0,348  3,6 = –0,80.
Коэффициент с необходимо умножить на 100, чтобы привести его в соответствие с исходными значениями bi . Составим уравнение регрессии: bi  0,348 ai  80 .
На графике по значениям ai и bi нанесены 36 точек и построена соответствующая линия регрессии.
2
2
n
ai
bi
ai
bi
a i bi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4,1
4,1
4,1
4,0
4,0
3,9
3,9
4,0
4,1
3,8
0,7
0,6
0,6
0,6
0,6
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
16,81
16,81
16,81
16,00
16,00
15,21
15,21
16,00
16,81
14,44
0,49
0,36
0,36
0,36
0,36
0,25
0,36
0,36
0,36
0,36
2,87
2,46
2,46
2,40
2,40
1,95
2,43
2,40
2,46
2,48
59
Окончание таблицы
2
2
n
ai
bi
ai
bi
a i bi
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
3,8
3,8
3,8
3,7
3,6
3,8
3,8
3,8
3,6
3,5
3,5
3,5
3,4
3,4
3,5
3,6
3,5
3,2
3,1
3,1
3,1
3,0
3,0
0,5
0,4
0,4
0,4
0,4
0,5
0,6
0,6
0,5
0,4
0,3
0,3
0,3
0,3
0,5
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,2
0,2
0,3
14,44
14,44
14,44
13,69
12,96
14,44
14,44
14,44
12,96
12,25
12,25
12,25
11,56
11,56
12,25
12,96
12,25
10,24
9,61
9,61
9,61
9,0
9,0
0,25
0,16
0,16
0,16
0,16
0,25
0,36
0,36
0,25
0,16
0,09
0,09
0,09
0,09
0,25
0,36
0,25
0,16
0,09
0,04
0,04
0,04
0,09
1,90
1,52
1,52
1,48
1,48
1,90
2,28
2,8
1,80
1,40
1,05
1,05
1,02
1,02
1,75
2,16
1,75
1,28
0,93
0,62
0,62
0,60
0,90
Задание для самостоятельной работы
По «Атласу океанов. Тихий океан» (Л.: Главное управление
навигации и океанографии МО СССР, 1974) вычислить коэффициент корреляции и построить линию регрессии.
1. Температура воды на поверхности (февраль) – А (с.129).
Плотность воды на поверхности (февраль) – В (с.168).
2. Температура воды на поверхности (август) – А (с.135).
Плотность воды на поверхности (август) – В (с. 169).
60
3. Соленость воды на глубине 25 м (август) – А (с.157). Скорость звука на глубине 25 м (август) – В (с.185).
4. Плотность воды на глубине 50 м (февраль) – А (с.173).
Скорость звука на глубине 50 м (февраль) – В (с.186).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Берлянт А.М. Картографический метод исследования. М.: Изд-во МГУ,
1988. 252 с.
2. Бочаров М.К. Методы математической статистики в географии. М.:
Недра, 1971. 371 с.
3. Вахрамеева Л.А. Математическая картография / Л.А.Вахрамеева,
Л.М.Бугаевский, З.Л.Казакова. М.: Недра, 1986. 286 с.
4. Волков Н.М. Принципы и методы картометрии. М.: Изд-во АН СССР,
1950. 328 с.
5. Картографические таблицы / УНГС ВМФ. Л., 1957. 189 с.
6. Салищев К.А. Картоведение. М.: Изд-во МГУ, 1990. 400 с.
7. Соловьев М.Д. Математическая картография. М.: Недра, 1969. 288 с.
8. Справочник по картографии. М.: Недра, 1988. 428 с.
9. Червяков В.А. Концепция поля в современной картографии. Новосибирск, 1978. 149 с.
61
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Длины дуг меридианов X от экватора до параллели с широтой ,
длины дуг параллелей через 30 по долготе

0 0
30
1 0
30
2 0
30
3 0
30
4 0
30
5 0
30
6 0
30
7 0
30
8 0
30
9 0
30
10 0
30
11 0
30
12 0
30
13 0
62
Длина дуги
меридиана
Х от экватора
до параллели
с широтой ,
м
0
55 288
110 576
165 865
221 153
276 442
331 732
387 022
442 312
497 603
552 895
608 188
663 482
718 777
774 072
829 369
884 668
939 967
995 268
1 050 571
1 105 875
1 161 180
1 216 488
1 271 797
1 327 108
1 382 421
1 437 737
Длина дуги
параллели
в 30
по долготе,
м
55 661
55 659
55 652
55 642
55 627
55 608
55 585
55 558
55 526
55 490
55 450
55 406
55 358
55 305
55 249
55 188
55 123
55 053
54 980
54 902
54 8215
54 735
54 645
54 551
54 452
54 350
54 243

Длина дуги
меридиана
Х от экватора
до параллели
с широтой ,
м
Длина дуги
параллели
в 30
по долготе,
м
13 30 '
14 0
30
15 0
30
16 0
30
17 0
30
18 0
30
19 0
30
20 0
30
21 0
30
22 0
30
23 0
30
24 0
30
25 0
30
26 0
30
1 493 054
1 548 373
1 603 695
1 659 019
1 714 346
1 769 675
1 825 006
1 880 341
1 935 678
1 991 017
2 046 360
2 101 706
2 157 054
2 212 406
2 267 760
2 323 118
2 378 479
2 433 844
2 489 212
2 544 583
2 599 958
2 655 336
2 710 718
2 766 103
2 821 493
2 876 886
2 932 283
54 133
54 0185
53 899
53 776
53 649
53 518
53 383
53 244
53 101
52 953
52 802
52 647
52 488
52 324
52 157
51 986
51 811
51 632
51 449
51 262
51 071
50 877
50 678
50 476
50 270
50 060
49 846
Продолжение приложения

Длина дуги
меридиана
Х от экватора
до параллели
с широтой ,
м
Длина дуги
параллели
в 30
по долготе,
м
27 0
30
28 0
30
29 0
30
30 0
30
31 0
30
32 0
30
33 0
30
34 0
30
35 0
30
36 0
30
37 0
30
38 0
30
39 0
30
40 0
30
41 0
30
42 0
30
2 987 683
3 043 088
3 098 497
3 153 910
3 209 326
3 264 747
3 320 172
3 375 602
3 431 035
3 486 473
3 541 915
3 597 362
3 652 813
3 708 268
3 763 728
3 819 193
3 874 662
3 930 135
3 985 613
4 041 096
4 096 584
4 152 076
4 207 573
4 263 074
4 318 580
4 374 091
4 429 607
4 485 128
4 540 654
4 596 184
4 651 719
4 707 259
49 628
49 407
49 182
48 953
48 720
48 484
48 244
48 000
47 753
47 502
47 247
46 989
46 727
46 462
46 193
45 921
45 645
45 365
45 083
44 796
4 507
44 213
43 917
43 617
43 314
43 007
42 698
42 385
42 068
41 749
41 426
41 100

Длина дуги
меридиана
Х от экватора
до параллели
с широтой ,
м
Длина дуги
параллели
в 30
по долготе,
м
43 0
30
44 0
30
45 0
30
46 0
30
47 0
30
48 0
30
49 0
30
50 0
30
51 0
30
52 0
30
53 0
30
54 0
30
55 0
30
56 0
30
57 0
30
58 0
30
4 762 804
4 818 354
4 873 908
4 929 468
4 985 032
5 040 602
5 096 176
5 151 755
5 207 339
5 262 928
5 318 521
5 374 120
5 429 723
5 485 331
5 540 944
5 596 562
5 652 185
5 707 813
5 763 445
5 819 082
5 874 723
5 930 370
5 986 021
6 041 677
6 097 337
6 153 002
6 208 672
6 264 346
6 320 025
6 375 708
6 431 395
6 487 087
40 771
40 439
40 104
39 765
39 424
39 080
38 732
38 382
38 029
37 672
37 313
36 951
36 587
36 219
35 848
35 475
35 009
34 721
34 340
33 956
33 569
33 180
32 788
32 394
31 998
31 598
31 197
30 793
30 387
29 978
29 567
29 154
63
Окончание приложения

Длина дуги
меридиана
Х от экватора
до параллели
с широтой ,
м
Длина дуги
параллели
в 30
по долготе,
м
59 0
30
60 0
30
61 0
30
62 0
30
63 0
30
64 0
30
65 0
30
66 0
30
67 0
30
68 0
30
69 0
30
70 0
30
71 0
30
72 0
30
73 0
30
74 0
30
6 542 783
6 598 484
6 654 189
6 709 898
6 765 612
6 821 329
6 877 051
6 932 777
6 988 506
7 044 240
7 099 978
7 155 719
7 211 465
7 267 214
7 322 967
7 378 723
7 434 483
7 490 247
7 546 014
7 601 784
7 657 558
7 713 335
7 769 116
7 824 899
7 880 686
7 936 475
7 992 268
8 048 063
8 103 862
8 159 663
8 215 467
8 271 273
28 738
28 320
27 900
27 478
27 054
26 628
26 200
25 769
25 337
24 903
24 466
24 028
23 588
23 146
22 703
22 257
21 810
21 362
20 911
20 459
20 005
19 550
19 094
18 635
18 176
17 715
17 252
16 789
16 324
15 857
15 390
14 921
64

Длина дуги
меридиана
Х от экватора
до параллели
с широтой ,
м
Длина дуги
параллели
в 30
по долготе,
м
75 0
30
76 0
30
77 0
30
78 0
30
79 0
30
80 0
30
81 0
30
82 0
30
83 0
30
84 0
30
85 0
30
86 0
30
87 0
30
88 0
30
89 0
30
90 0
8 327 082
8 328 893
8 438 707
8 494 523
8 550 341
8 606 162
8 661 984
8 717 809
8 773 635
8 829 463
8 885 293
8 941 125
8 996 958
9 052 793
9 108 629
9 164 467
9 220 306
9 276 146
9 331 987
9 387 830
9 443 673
9 499 517
9 555 362
9 611 207
9 667 053
9 722 900
9 778 747
9 834 594
9 890 442
9 946 290
10 002 137
14 451
13 980
13 508
13 035
12 561
12 086
11 610
11 133
10 655
10 176
9 697
9 217
8 736
8 254
7 772
7 289
6 806
6 322
5 837
5 353
4 867
4 382
3 896
3 409
2 923
2 436
1 949
1 462
975
487
0
Приложение 2
Радиус параллелей r , м

0° 0'
30
1 0
30
2 0
30
3 0
30
4 0
30
5 0
30
6 0
30
7 0
30
8 0
30
9 0
30
10 0
30
11 0
30
12 0
30
13 0
30
14 0
30
15 0
30
16 0
30
r

r

r
6 378 245
6 378 004
6 377 280
6 376 074
6 374 385
6 372 215
6 369 562
6 366 428
6 362 812
6 358 714
6 354 135
6 349 076
6 343 536
6 337 516
6 331 017
6 324 039
6 316 582
6 308 647
6 300 234
6 291 345
6 281 979
6 272 138
6 261 822
6 251 031
6 239 768
6 228 032
6 215 824
6 203 145
6 189 996
6 176 379
6 162 293
6 147 740
6 132 722
6 117 239
17 0
30
18 0
30
19 0
30
20 0
30
21 0
30
22 0
30
23 0
30
24 0
30
25 0
30
26 0
30
27 0
30
28 0
30
29 0
30
30 0
30
31 0
30
32 0
30
33 0
30
6 101 292
6 084 882
6 068 011
6 050 680
6 032 890
6 014 642
5 995 938
5 976 778
5 957 166
5 937 101
5 916 585
5 895 620
5 874 208
5 874 208
5 830 046
5 807 299
5 784 112
5 760 484
5 736 419
5 711 918
5 686 982
5 661 614
5 635 815
5 609 587
5 582 932
5 555 852
5 528 349
5 500 426
5 472 083
5 443 324
5 414 149
5 384 562
5 354 565
5 324 159
34 0
30
35 0
30
36 0
30
37 0
30
38 0
30
39 0
30
40 0
30
41 0
30
42 0
30
43 0
30
44 0
30
45 0
30
46 0
30
47 0
30
48 0
30
49 0
30
50 0
30
5 293 347
5 262 132
5 230 514
5 198 498
5 166 085
5 133 278
5 100 079
5 066 490
5 032 514
4 998 153
4 963 410
4 928 288
4 892 790
4 856 916
4 820 671
4 784 058
4 747 078
4 709 735
4 672 031
4 633 970
4 595 553
4 556 784
4 517 666
4 478 202
4 438 394
4 398 246
4 357 760
4 316 940
4 275 789
4 234 309
4 192 505
4 150 378
4 107 933
4 065 171
65
Окончание приложения
66

r

r

r
51 0
30
52 0
30
53 0
30
54 0
30
55 0
30
56 0
30
57 0
30
58 0
30
59 0
30
60 0
30
61 0
30
62 0
30
63 0
30
64 0
4 022 098
3 978 715
3 935 026
3 891 034
3 846 744
3 802157
3 757 278
3 712 109
3 666 654
3 620 918
3 574 902
3 528 611
3 482 047
3 435 216
3 388 120
3 340 762
3 293 147
3 245 277
3 197 158
3 148 791
3 100 182
3 051 333
3 002 248
2 952 932
2 903 387
2 853 618
2 803 629
64 30
65 0
30
66 0
30
67 0
30
68 0
30
69 0
30
70 0
30
71 0
30
72 0
30
73 0
30
74 0
30
75 0
30
76 0
30
77 0
30
2 753 423
2 703 003
2 652 376
2 601 542
2 550 508
2 499 276
2 447 851
2 396 237
2 344 437
2 292 455
2 240 296
2 187 964
2 135 462
2 082 794
2 029 966
1 976 980
1 923 841
1 870 552
1 817 119
1 763 545
1 709 834
1 655 990
1 602 018
1 547 922
1 493 706
1 439 374
1 384 930
78 0
30
79 0
30
80 0
30
81 0
30
82 0
30
83 0
30
84 0
30
85 0
30
86 0
30
87 0
30
88 0
30
89 0
30
90 0
1 330 378
1 275 724
1 220 970
1 166 122
1 111 183
1 056 158
1 001 051
945 866
890 608
835 280
779 888
724435
668 926
613 365
557 756
502 104
446 413
390 687
334 931
279 149
223 345
167 524
111 690
55 847
0
Приложение 3
Площади одноградусных сфероидических трапеций
(    1)

S0, км2

S0, км2

S0, км2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
12 308,89
12 305,24
12 297,95
12 287,00
12 272,42
12 254,19
12 232,32
12 206,82
12 177,70
12 144,96
12 108,61
12 068,66
12 025,11
11 977,98
11 927,27
11 873,01
11 815,20
11 753,86
11 688,99
11 620,63
11 548,78
11 473,45
11 394,68
11 312,48
11 226,86
11 137,85
11 045,48
10 949,75
10 850,71
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
10 748,37
10 642,76
10 533,90
10 421,83
10 306,58
10 188,16
10 066,62
9 941,98
9 814,29
9 683,56
9 549,84
9 413,17
9 273,58
9 131,10
8 985,79
8 837,67
8 686,79
8 533,19
8 376,92
8 218,01
8 056,52
7892,49
7 725,96
7 556,99
7 385,62
7 211,92
7 035,91
6 857,67
6 677,23
6 494,66
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
6 310,02
6 123,34
5 934,71
5 744,16
5 551,76
5 357,57
5 161,66
4 964,06
4 764,87
4 564,12
4 361,90
4 158,26
3 953,26
3 746,97
3 539,47
3 330,80
3 121,05
2 910,28
2 698,55
2 485,94
2 272,51
2 058,34
1 843,50
1 628,04
1 412,05
1 195,60
978,76
761,59
544,17
326,58
108,87
67
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ..................................................................................................................
3
Задание 1. Анализ искажений в картографических проекциях и построение
эллипса искажений .................................................................................................
4
Задание 2. Анализ уравнений картографических проекций ...............................
11
Задание 3. Способы картографического изображения ........................................
15
Задание 4. Определение длин линий.....................................................................
24
Задание 5. Определение площадей .......................................................................
34
Задание 6. Определение объемов ..........................................................................
43
Задание 7. Оценка взаимосвязи между явлениями, изображенными на картах
53
Библиографический список ...................................................................................
60
Приложения ............................................................................................................
61
68