Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя образовательная школа №1

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя образовательная школа №1
имени генерал – лейтенанта Б.П. Юркова
г.Зверева Ростовской области.
Задачи прикладного содержания
в заданиях ЕГЭ по математике
(методические рекомендации к решению заданий № 11)
Часть1.
учитель математики МБОУ СОШ №1
им. Б.П. Юркова
Куц Фёдор Иванович
г. Зверево
2015 г.
Методические рекомендации к решению задач прикладного содержания.
В работе рассмотрено решение задач № 11 (В12) из книги «3000 задач с ответами по
математике» под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.
1.Линейные уравнения.
2.Линейные неравенства.
3.Квадратичная функция.
4.Квадратные уравнения.
5.Квадратные неравенства.
6.Степенные неравенства.
7.Дробно - рациональные неравенства.
8.Иррациональные уравнения.
9.Иррациональные неравенства.
10.Показательные уравнения.
11.Показательные неравенства.
12.Логарифмические уравнения.
13.Логарифмические неравенства.
14.Тригонометрические неравенства.
15.Формулы с дискретными значениями переменных.
1.Линейные уравнения
№ 1.1 (512). При температуре 0℃ рельс имеет длину l0= 20 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по
закону l(t)=l0(1+ 𝛼 ∙ t°), где 𝛼 = 1,2∙10-5 (℃)-1 – коэффициент теплового расширения, t° температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ
выразите в градусах Цельсия.
Решение. Из условия задачи следует, что рельс должен удлиниться на 3 мм = 0,003м. Длина
рельса станет равной l = 20,003 м.
Используя закон теплового расширения l(t)=l0(1+ 𝛼 ∙ t°) , имеем:
20,003 =20 ∙(1+1,2∙10-5∙ t°).
Решим полученное уравнение.
20,003 = 20 + 2,4∙10-4∙ t°; 2,4∙10-4∙ t° = 0,003; 2,4∙10-4∙ t° = 3∙10-3; 2, 4 ∙ t° = 30; t° = 12,5.
Ответ.12,5.
№ 1.2.Автомобиль разгоняется с места с постоянным ускорением a = 0,2 м/с2 и через
некоторое время достигает скорости v = 10 м/с. Какое расстояние к этому моменту прошел
автомобиль? Ответ выразите в метрах.
Скорость v, пройденный путь l, время разгона 𝑡 и ускорение a связаны соотношениями: v =
𝑎𝑡 2
at, l = 2 .
Решение. Найдем время из уравнения 10 = 0,2𝑡; 𝑡 = 50(с).
Пройденный путь равен l =
Ответ 250.
0,2∙502
2
= 250 (м).
2. Линейные неравенства
№ 2.1 (515). Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу,
переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб.,
постоянные расходы предприятия f = 7000000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль
предприятия (в рублях) вычисляется по формуле
𝜋(q) = q(p -v) - f.
Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором
месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 500000 руб.
Решение. Из условия задачи следует, месячная операционная прибыль предприятия будет не
меньше 500000 руб., поэтому выполняется неравенство 𝜋(q) ≥ 500000.
Но 𝜋(q) = q(p -v) - f. Следовательно, имеем неравенство: q(p -v) – f ≥ 500000. По условию p =
600 руб., v = 300 руб., f = 7000000 руб. Подставляя числовые данные, имеем: q(600 -300) –
700000 ≥ 500000; 300 q ≥ 1200000; q ≥ 4000.
Наименьшее решение неравенства q = 4000.
Ответ. 4000.
3.Квадратичная функция.
№ 3.1 (518) После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет
время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по
формуле h = 5t2, где h – расстояние в метрах, t - время падения в секундах. До дождя время
падения камешков составляло 0,8 с. На сколько должен подняться уровень воды после
дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
Решение. Так как уровень воды в колодце повышается, то время падения камешков
уменьшатся на 0,2 с и составит 0,8 - 0,2 = 0,6(с).
До дождя расстояние до воды было: h = 5∙0,82 =5∙0,64 =3,2 (м).
После дождя расстояние до воды было: h = 5∙0,62 =5∙0,36 =1,8 (м).
Следовательно, уровень воды повыситься на 3,2 - 1,8 = 1,4(м).
Ответ.1,4.
№ 3.2. Самые красивые мосты – вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной
провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста,
называются вантами.
На рисунке изображена схема одного вантового моста. Введем систему координат; ось Оу
направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох направим вдоль полотна моста,
как показано на рисунке. В этой системе координат цепь моста имеет уравнение
y = 0,0056 x2 – 0,672x +24, где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты,
расположенной в 100 метрах от пилона, ответ дайте в метрах.
Решение.Найдем значение данной функции при x = 100: y(100) = 0,0056∙1002 – 0,672∙100 +
24 = 56- 67,2 + 24 = 12,8 .
Ответ. 12,8.
4.Квадратные уравнения.
№ 4.1 (528). В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран.
После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем,
g
выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 – √2g𝐻kt + 2 k2t2, где t - время в
секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 20 м – начальная высота столба воды ,
1
k = 50 - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g – ускорение свободного
падения (считайте g = 10м/c2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется
четверть первоначального объема воды?
Решение. Так как в баке останется четверть первоначального объема воды, то высота столба
1
g
воды составит H(t) = 4 ∙20 = 5 (м). Найдем t из уравнения H(t) = H0 – √2g𝐻kt+ 2 k2 t2
1
.Подставляя числовые значения H0 = 20 м, k = 50, g = 10м/c2, H(t) = 5 м в уравнение, получим:
20 – √2 ∙ 10 ∙ 20 ∙
𝑡
2
1
t+
50
10
2
1 2
𝑡
2
( ) t2 = 5; 5∙ ( ) −20 ∙
50
50
𝑡
50
+15 = 0;
𝑡
(50) − 4 ∙ 50 + 3 = 0.
𝑡
Введем новую переменную х = 50, тогда уравнение примет вид: х2 - 4х +3 = 0.
Корни которого: х1 =1 и х2 = 3.
Возвращаясь к переменной t , получим: t1=50 и t2 = 150.
Исходя из физического смысла задачи, можно сделать вывод, что четверть первоначального
объема воды в баке останется через 50 секунд после открытия крана.
Ответ. 50.
№ 4.2(531). В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран.
После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем,
выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at2 + bt + H0, где H0 = 4,5 м – начальный
1
3
уровень воды,a = 200 м/с2, b = 10 м/с – постоянные, t - время в минутах, прошедшее с
момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ
приведите в минутах.
Решение. Если вся вода вытечет, то высота столба воды составит H(t) =0 м. Найдем t из
1
3
уравнения at2 + bt + H0 = 0.Подставляя числовые значения, где H0 = 4,5 м, a = 200 м/с2, b = 10
1
3
м/с в уравнение, получим: 200t2 - 10t+ 4,5= 0; t2 - 60t + 900 = 0;
(t - 30)2 = 0; t = 30.
t = 30с = 0,5 мин.
Вода будет вытекать из бака в течение 0,5 мин.
Ответ. 0,5.
№ 4.3 (545). Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью 𝜗0= 17
м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 2 м/с2. За t секунд после начала
𝑎𝑡 2
торможения он прошел путь S = 𝜗0t - 2 (м). Определите время, прошедшее от момента
начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 60 метров. Ответ
выразить в секундах.
Решение. Так как после начала торможения автомобиль прошел путь S= 60 м, то 𝜗0t 60. Подставляя я числовые значения 𝜗0= 17 м/с, a = 2 м/с2 в уравнение, получим:
5𝑡 2
𝑎𝑡 2
2
20t - 2 = 60; t2 - 8 t + 12 = 0. Откуда t1 = 2, t2 = 6.
Исходя из физического смысла задачи, можно сделать вывод, что время, прошедшее от
момента начала торможения, составило 2 с.
=
Ответ.2.
5.Квадратные неравенства.
№ 5.1(520). Зависимость объема спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятиямонополиста от цены p (тыс.руб.) задается формулой q = 70 - 5p. Выручка предприятия за
месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q∙p. Определите наибольшую цену p, при
которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Решение. По условию задачи месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб.,
поэтому выполняется неравенство r(p) ≥ 24 ; q∙p ≥ 240;
(70 -5p)∙p ≥ 240.
2
2
Решим полученное неравенство - 5p + 70 p ≥ 240; p -14p +48 ≤ 0.
Корнями квадратного уравнения p2 -14p +48 = 0 являются числа p1 = 6, p2 = 8.
(p - 6)(p - 8) ≤ 0; 6≤ p ≤ 8.
Наибольшая цена 8 тыс. руб.
Ответ.8.
№ 5.2.(523). Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) =1,6 + 8t
– 5t2 , где h -высота в метрах,t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько
секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?
Решение. По условию задачи мяч будет находиться на высоте не менее 3 м, значит
выполняется неравенство h ≥ 3 или 1,6 + 8t – 5t2 ≥ 3.
Решим полученное неравенство: - 5t2 +8t – 1,4 ≥ 0; 5t2 - 8t +1,4 ≤ 0.
Решим уравнение 5t2 - 8t +1,4 = 0.
D = b2 - 4ac = 82- 4∙5∙1,4 = 64 - 28 = 36.
t1,2 =
t1 ==
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
8−6
2∙5
=
8±√36
=
2∙5
8+6
= 0,2 , t2 =
2∙5
8±6
2∙5
.
= 1,4.
5(t-0,2)(t- 1,4) ≤ 0; 0,2 ≤ t ≤ 1,4.
Мяч находился на высоте не менее 3 м с момента времени 0,2 с до момента времени 1,4 с, то
есть в период времени 1,4 – 0,2 = 1,2 (с).
Ответ.1,2.
№ 5.3(526).Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальном
плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно
не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не
будет выливаться, если сила её давления воды на дно будет положительной во всех точках
траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила
𝜗2
давления, выраженная в паскалях, равна P = m( 𝐿 − g) , где m – масса воды в
килограммах, 𝜗- скорость движения ведерка в м/с, L - длина веревки в метрах, g –
ускорение свободного падения (считайте g = 10м/c2).С какой наименьшей скоростью надо
вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 90 см? ответ
выразите в м/с.
𝜗2
Решение. По условию задачи P ≥ 0 или m( 𝐿 − g) ≥ 0.
С учетом числовых значений L= 90 см = 0,9 м, g = 10м/c2 и m > 0 неравенство примет вид :
𝜗2
0,9
- 10 ≥ 0; 𝜗2 ≥ 9.
Исходя из физического смысла задачи 𝜗 ≥ 0, поэтому неравенство примет вид
𝜗 ≥ 3.Наименьшее решение неравенства 𝜗 = 3(м/с).
Ответ.3.
№ 5.4 (492). Зависимость температуры ( в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для
нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на
исследуемом интервале температур дается выражением T(t) = T0+ bt + at2,где T0 = 1350 К, a =
-15 К/мин2, b = 180 К/мин .Известно, что при температуре нагревателя выше 1650 К прибор
может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите ( в минутах), через какое
наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор?
Решение. Очевидно, прибор будет работать при T(t) ≤ 1650 (К), то есть должно выполняться
неравенство: T0+ bt + at2 ≤ 1650. С учетом числовых данных T0 = 1350К, a = -15К/мин2, b =
180К/мин, имеем: 1350 + 180 t - 15 t2 ≤ 1650; t2 - 12t + 20 ≥ 0.
Корни квадратного уравнения t2 - 12t + 20 = 0: t1 =2 , t2 =10.
Решение неравенства: t ≤ 2,
t ≥10.
Согласно смыслу задачи, решение неравенства принимает вид: 0 ≤ t ≤ 2,
t ≥10.
Нагреватель нужно отключить через 2минуты.
Ответ. 2.
№ 5.5 (534). Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к
1
горизонту. Траектория полета камня описывается формулой y = ax2 + bx, где a = - 600 м-1, b =
4
- постоянные коэффициенты, x(м) – смещение камня по горизонтали, y(м) – высота камня
над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м
нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
15
Решение. По условию задачи высота камня над землей будет составлять не менее 10 метров
(высота стены 9 м и над стеной не менее 1 метра), поэтому выполняется неравенство y ≥ 10
1
4
или ax2 + bx ≥ 10. С учетом числовых данных a = - 600 м-1, b = 15 неравенство примет вид: 1
600
4
x2 + 15x ≥ 10; x2 - 160x + 6000 ≤ 0.
Корнями квадратного уравнения x2 - 160x + 6000 = 0 являются значения x1 = 60 и x2 = 100.
(x - 60)(x - 100) ≤ 0;
60 ≤ x ≤ 100.
Наибольшее решение неравенства x = 100. Камнеметательную машину необходимо
расположить на расстоянии 100 метров от крепостной стены.
Ответ.100.
№ 5.6 (496). Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно
наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, измеряется со
𝛽𝑡 2
временем по закону 𝜑 = 𝜔𝑡 + 2 , где 𝜔= 20°/мин – начальная угловая скорость вращения
катушки, а 𝛽= 8°/мин2 – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен
проверить ход его намотки не позже, чем угол намотки 𝜑 достигнет 1200°. Определите
время (в минутах) после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен
проконтролировать её работу.
Решение. Рабочий может не проверять ход намотки кабеля до того момента, когда угол
намотки 𝜑 ≤ 1200°,т.е. 𝜔𝑡 +
𝛽𝑡 2
2
неравенство примет вид: 20𝑡 +
≤ 1200°. С учетом того, что 𝜔 = 20°/мин, 𝛽 = 8°/мин2,
8𝑡 2
2
≤ 1200.
20t + 4t2 ≤ 1200; t2 + 5t – 300 ≤ 0.
Найдем корни уравнения t2 + 5t – 300 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, имеем: t1∙ t2 = - 300, t1+ t2 = -5.
Откуда: t1 = -20, t2 = 15.
Вернемся к неравенству: (t +20)(t – 15) ≤ 0, откуда -20 ≤ t ≤ 15, с учетом смысла задачи (t ≥
0), имеем: 0 ≤ t ≤ 15.
Рабочий должен проверить работу лебедки не позже, чем через 15 минут после начала её
работы.
Ответ. 15.
№ 5.7 (498). Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 𝜗0= 58 км/ч, выезжает из
него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением а = 8 км/ч2.
𝑎𝑡 2
Расстояние от мотоциклиста до города определяется выражением S = 𝜗0t+ 2 . Определите
наибольшее время (в минутах), в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне
функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не
далее, чем 30 км от города.
Решение. Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи пока S ≤
30, т.е. 𝜗0 t +
58t +
8𝑡 2
2
𝑎𝑡 2
2
≤ 30. С Учетом того, что 𝜗 = 58 км/ч, а = 8 км/ч2 неравенство примет вид:
≤ 30 или 58t + 4t 2 - 30 ≤ 0.
Найдем корни уравнения 4t2 + 58t – 30 = 0.
D = 582 - 4∙ 4 ∙(-30) = 3364 + 480 = 3844.
t1,2 =
t1 =
− 58±√3844
2∙4
− 58+62
8
=
− 58±62
8
= 0,5; t2 =
.
− 58−62
8
= - 15.
Вернемся к неравенству: (t – 0,5)(t + 15) ≤ 0, откуда -15 ≤ t ≤ 0,5, с учетом смысла задачи (t ≥
0), имеем: 0 ≤ t ≤ 0,5.
Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи в течение 0,5 часа
или 30 минут.
Ответ.30.
№ 5.8 (504).Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из
трёх однородных соосных цилиндров: центрального – массой m = 4 кг и радиуса R = 5 см,
двух боковых массой M = 2 кг, и радиусом R + h каждый. При этом момент инерции
(𝑚+2𝑀)𝑅 2
катушки (в кг∙ см2) относительно оси вращения определяется выражением I =
2
M(2Rh + h2). При каком максимальном значении ( в см) момент инерции катушки не
превышает предельных для неё 250 кг∙ см2?
+
Решение. По условию задачи момент инерции катушки относительно оси вращения не
превышает предельного значения 250 кг∙ см2, поэтому выполняется неравенство: I ≤ 250, т.е.
(𝑚+2𝑀)𝑅 2
+ M (2Rh + h2) ≤ 250. С учетом того, что m = 4 кг, R = 5 см, M = 2 кг, неравенство
2
примет вид:
(4+2∙2)∙52
2
+ 2∙ (2∙5∙h + h2) ≤ 250. После упрощения, имеем:
h2 +10h – 150 ≤ 0.
Найдем корни уравнения h2 +10 h – 75 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, имеем: h 1∙ h 2 = - 75, h1+ h 2 = -10.
Откуда: t1 = -15, t2 = 5.
Вернемся к неравенству: (t +15)(t – 5) ≤ 0, откуда -15 ≤ t ≤ 5, с учетом смысла задачи (t ≥ 0),
имеем: 0 ≤ t ≤ 5.
Момент инерции катушки относительно оси вращения не превышает предельного значения
250 кг∙ см2 при максимальном h = 5см.
Ответ. 5.
№ 5.9(502). Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью 𝜗0= 21 м/с
и тормозящий с постоянным ускорением а = 3 м/с2 , за время t секунд после начала
𝑎𝑡 2
торможения проходит путь S = 𝜗0t - 2 . Определите (в секундах) наименьшее время,
прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль
проехал не менее 60 метров.
Решение. Так как автомобиль проехал не менее 60 метров после начала торможения, то S ≥
60,то есть 𝜗0t 21t -
3𝑡 2
𝑎𝑡 2
2
≥ 60. С учетом того, что 𝜗 = 21 м/с, а = 3 м/с2 неравенство примет вид:
≥ 60 или 42t - 3t 2 - 120 ≥ 0, 3t 2 - 42t + 120 ≤ 0, t 2 - 14t + 40 ≤ 0.
2
Найдем корни уравнения t2 - 14t + 40 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, имеем: t1∙ t2 = 40, t1+ t2 = 14.
Откуда: t1 = 4, t2 = 10.
Вернемся к неравенству: (t - 4)(t - 10) ≤ 0, откуда 4 ≤ t ≤ 10.
Наименьшее время, прошедшее от момента начала торможения, равно t = 4с.
Ответ.4.
Литература.
1) ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семенов, И. В.
Ященко и др. / под ред. А.Л. Семенова, И. В. Ященко - М.; Издательство «Экзамен». 2013
г.
2) Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ 2014. Математика. Учебное
пособие. / А.В. Семенов, А. С. Трепалкин, И. В. Ященко и др. / под ред. И. В. Ященко ;
Московский Центр непрерывного математического образования. - М.; Интеллект- Центр,
2014 г.
3) Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В12. Задачи прикладного содержания
www.alexlarin.net