Метод Мора

Лекция №4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МОРА
(энергетический метод определения перемещений)
При определении перемещений методом Мора рассматривается равенство работы внешних и
внутренних сил на вызванных ими перемещениях. Работа сил на соответствующих им перемещениях
в свою очередь является потенциальной энергией деформации системы.
Внешние силы, приложенные к телу, совершают работу на вызванных ими перемещениях, при
этом в теле накапливается энергия деформации, т.е. потенциальная энергия. За счет накопленной
энергии при разгрузке тела происходит восстановление его первоначальных размеров.
Рассмотрим, например, действие сосредоточенной силы Р, статически приложенной к
консольной балке (рис. 1, а).
Р
Р
А
В
=В
Р
В
Рис. 1, а
0


Рис. 1, б
При нагружении балка изгибается и точки ее оси получают поперечные перемещения. При этом
сила Р производит работу на перемещении  по направлению ее действия. Если материал балки
является линейно-упругим, то перемещение  прямо пропорционально силе:
(1)
P  k 
Где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала балки, от ее
размеров и формы поперечного сечения.
График зависимости (1) представляет собой наклонную прямую, проведенную через начало
координат (рис. 1, б).
Работа силы численно равна площади диаграммы растяжения (заштрихованного треугольника на
рис. 1, б).
A
1
P
2
(2)
Каждому виду нагрузки соответствует свое перемещение, на котором она производит работу.
Сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение по направлению ее действия,
сосредоточенному моменту – угловое перемещение или угол поворота поперечного сечения
стержня, в котором приложен момент.
Работу внешних сил, приложенных к балке или стержневой системе, можно выразить через
внутренние усилия в стержнях.
В поперечных сечениях стержней могут действовать три внутренних усилия – изгибающий
момент М, поперечная сила Q и продольная сила N.
Если вырезать из стержня бесконечно малый элемент ds , то в его торцевых сечениях действуют
внутренние усилия, показанные на рис. 2.
M
N
M
Q
Q
ds
Рис. 2
N
Лекция №4
Для каждого элемента внутренние усилия можно рассматривать как внешние нагрузки,
производящие работу на соответствующих деформациях элемента.
Рассмотрим балку, находящуюся под действием произвольных нагрузок (рис. 3, а).
q
P
А
а)
С
 c  1 p
P1  1
А
б)
B
B
С
ℓ
Рис. 3
Состояние балки под действием заданных нагрузок назовем грузовым или действительным
состоянием.
Допустим, требуется определить прогиб балки в некоторой точке С.
Приложим в этой точке по направлению искомого перемещения единичную силу P1  1 , т.е.
создадим единичное или вспомогательное состояние (рис.3, б).
В поперечных сечениях балки действует три внутренних усилия – изгибающий момент М,
поперечная сила Q и продольная сила N.
Вырежем из балки бесконечно малый элемент ds и рассмотрим действующие в его торцевых
сечениях внутренние усилия (рис. 2).
Воспользуемся принципом независимости действия сил и вычислим раздельно работу каждого
усилия.
Введем обозначения:
Q p , N p , M p - внешние силы по отношению к элементу ds ;
Q1 , N1 , M 1 - внутренние силы по отношению к элементу ds .
1. Продольные силы вызывают взаимные осевые перемещения поперечных сечений (рис. 4),
величина которых равна удлинению (укорочению) элемента.
ds + d(s)
N p – нормальная сила в сечении S, вызванная внешними
Nр
N1
N1
Nр
нагрузками, соответствующими грузовому состоянию
системы;
d ( s ) – удлинение элемента;
N1 – внутреннее продольное усилие в сечении S,
вызванное действием единичной силы P1  1 .
ds
Рис. 4
По закону Гука: d (s) 
N p  ds
.
EF
Работа продольной силы N1 на перемещении d ( s ) равна
Лекция №4


AN   N1  d (s)   N1 
N p  ds
EF
E  F - жёсткость при растяжении/ сжатии.
0
(3)
0
2. Изгибающие моменты вызывают взаимный поворот поперечных сечений элемента (рис. 5).
O
M p - изгибающий момент в сечении S, вызванный
внешними нагрузками, соответствующими грузовому
состоянию системы;
M1 - внутренний момент в сечении S, вызванный
действием единичной силы P1  1 ;
d p - угол взаимного поворота сечений под действием
внешних
нагрузок,
соответствующих
грузовому
Mр состоянию системы;
 p - радиус кривизны оси балки под действием внешних
нагрузок;
O - центр кривизны.
dр
p
Mр
M1
M1
ds
Рис. 5
Учитывая, что при изгибе балки его нейтральный слой сохраняет свою первоначальную длину, и
используя выражение для кривизны изогнутой оси балки (без учета знака)
Mp
1

,
p E  I
умножив обе части которого на ds , получим величину угла взаимного поворота сечений
ds M p  ds
d p 

p
EI
Работа момента M1 на угловом перемещении d p равна


AM   M1  d p   M1 
M p  ds
EI
E  I - жесткость при изгибе.
0
(4)
0
3. Поперечные силы вызывают взаимный сдвиг поперечных сечений элемента (рис. 6).
dy
Q p - поперечная сила в сечении S, вызванная внешними
Qр
Q1
Q1
Qр
нагрузками,
соответствующими
грузовому
состоянию
системы;
Q1 - внутренне поперечное усилие в сечении S, вызванное
действием единичной силы P1  1 ;
dy - деформация сдвига.
ds
Рис. 6
Аналогично выводу формулы (3) получим выражение для определения работы поперечной силы
на деформациях сдвига:
Лекция №4

AQ  k   Q1 
Qp  ds
(5)
GF
где G - модуль упругости материала балки при сдвиге;
G  F - жёсткость при сдвиге;
k - безразмерный коэффициент, зависящий от формы сечения балки и учитывающий
неравномерность распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения
изгибаемой балки.
Например,
 для прямоугольного сечения
k6
5
 для круглого сечения
k  10
9
 для двутаврового сечения
k 1
f стенки
0
k  1 ВСЕГДА!
4. Работа внешней единичной силы P1  1 на вызванном ею перемещении 1 p равна
A1 p  P1  1 p  1  1 p  1 p
(6)
Применив вариационный принцип Лагранжа (если упругая система находится в равновесии, то
суммарная работа всех внешних и внутренних сил на любых малых возможных перемещениях равна
нулю), получим
A1 p  AN  AM  AQ
(7)
Подставив выражения (3), (4), (5) и (6) в выражение (7), получим



N N
M Mp
Q Q
(8)
1 p   1 p ds   1
ds   k  1 p ds
EF
EI
GF
0
0
0
В общем виде выражение (8) будет иметь вид



n
n
n
N N
M Mp
Q Q
(9)
ip    i p dx    i
dx    k  i p dx
EI
GF
j 1 0 E  F
j 1 0
j 1 0
Формула (9) называется формулой Мора.
В формуле (9)
j  1,2,3...n - номер стержня;
 - длина стержня;
Ni , M i , Qi - внутренние усилия в стержнях, вызванные действием единичной силы Pi  1 или
единичного момента M i  1 , прикладываемых по направлению искомого перемещения. В первом
случае  ip является линейным, а во втором – угловым.
усилия в стержнях,
соответствующих грузовому состоянию.
N p , M p , Qp -
возникающие
под
действием
внешних
нагрузок,
Таким образом, для определения с помощью формулы Мора перемещений в балке или
стержневой системе от действия заданных нагрузок производится расчет системы на действие
заданных нагрузок и определяются усилия N p , M p , Q p грузового состояния. Затем по направлению
искомого перемещения прикладывается единичная сила или единичный момент и определяются
вызываемые их действием внутренние усилия Ni , M i , Qi . После чего, выражения для усилий
подставляются в формулу (9) и производится интегрирование в пределах длины стержня  и
суммирование результатов интегрирования по всем стержням системы.
Лекция №4
Если в результате вычислений величина  ip оказалась положительной, то направление
перемещения совпадает с направлением действия единичной нагрузки, а если отрицательной – то
оно противоположно этому направлению.
АНАЛИЗ МЕТОДА МОРА
Для шарнирно-стержневых систем, стержни которых работают на растяжение или сжатие
(например, для ферм), отличено от нуля только одно слагаемое формулы Мора:
n  N N
ip    i p dx
j 1 0 E  F
При расчете балок и стержневых систем, работающих в основном на изгиб (например, рам),
можно с достаточной степенью точности использовать только слагаемое, содержащее изгибающие
моменты:
n  M M
p
ip    i
dx
EI
j 1 0
Для стержней с криволинейной осью интегрирование в формуле Мора должно производиться по
длине дуги оси стержня.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА МОРА ПЕРЕМНОЖЕНИЕМ ЭПЮР
ПО ПРАВИЛУ А.К. ВЕРЕЩАГИНА
Для балок и стержневых систем, состоящих из прямых стержней, внутренние усилия единичных
состояний Ni , M i , Qi являются линейными функциями или на протяжении каждого стержня или на
его отдельных участках.
Внутренние усилия грузового состояния N p , M p , Q p могут иметь произвольные законы
изменения по длине стержней.
Если балки и стержни имеют при этом постоянные или ступенчато постоянные жесткости
E  F , E  I , G  F , то вычисление интегралов в формуле Мора может быть произведено с помощью
эпюр внутренних усилий.
Рассмотрим, например, эпюры изгибающих моментов M p и M i в прямом стержне постоянной
жесткости (рис. 7).
y
d   ( x)  dx
(x)
Грузовая эпюра
С
x
функция, а единичная
является линейной.
dx
xc
0
с
ℓ
a
b
Рис. 7
M p   (x) -
(x)
x
произвольная
эпюра
M i   (x)
Лекция №4
b
ip  
a
Mi  M p
EI
b
dx    ( x)  ( x)dx
(10)
a
АЛГОРИТМ ВЫВОДА
1. Строим графики функций  (x ) и  (x) .
2. На графике функции  (x ) выделим элементарную полоску d , площадь которой будет равна
 ( x)  dx .
3. На графике функции  (x) покажем ординату  c , расположенную под центром тяжести
фигуры, образованной функцией  (x ) , горизонтальной осью и прямыми x  a и x  b .
Если функция  (x) имеет вид  ( x)  mx  n , то  c  mxc  n
4. Подставим в выражение (10) выражение  ( x)  mx  n и получим
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
ip   [mx  n]   ( x)dx  m    ( x)  x  dx  n    ( x)dx  m   xd  n   d  m  S y  n  
Таким образом, получили
 ip  m  S y  n  
Так как S y    xc , то
 ip  m  S y  n    m    xc  n    (m  xc  n)     c  
Т.е.  ip   c   .
Таким образом, интеграл от произведения двух функций равен произведению площади
криволинейной эпюры и ординаты прямолинейной, расположенной под центром тяжести
криволинейной эпюры.
Результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных –
отрицательным.
При использовании правила А.К. Верещагина сложные эпюры необходимо разбить на простые
фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести.
Результат «перемножения» двух трапеций (рис.8) можно представить в виде следующей
формулы:

   (2ac  2bd  ad  bc) .
6
b
a
c
d
ℓ
Рис. 8
Правило Верещагина нельзя применять в случае, когда обе эпюры являются нелинейными
(например, для стержней с криволинейной осью). В этом случае при определении перемещений
методом Мора производится аналитическое или численное вычисление интегралов в формуле (9).
Лекция №4
ПРИМЕР РАСЧЕТА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МОРА
Дано:
q
A
B
ℓ
q  2
2
1 q   2 q  3
  

3
2
6
Mp
Найти:
1. Определить вертикальные перемещения
точки В.
2. Определить угловое перемещение (угол
поворота) в точке В.
Используемые обозначения:
M1 - момент от единичной безразмерной
силы;
Mp
- момент от нагрузки (грузовой момент);
1 p
- вертикальное перемещение в точке В;
2 p
- угол поворота в точке В.
X1  1
3

4
ℓ
M1

4
X2 1
1
1
M2
1 p  

M1  M p
dx
EI
1 q   2 q  3
  

- площадь криволинейной эпюры
3
2
6
3
 B   - ордината прямолинейной эпюры.
4
Значит
q  3 3
q  4
1 p    B 
 
6 4
8
M Mp
2 p   2
dx
EI

2 p    B 
q  3
q  3
1 
6
6