Основы векторного и тензорного анализа

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А.А. НОВАКОВИЧ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Часть I I
для студентов бакалавриата
Ростов-на-Дону
2007
Учебно-методическое пособие разработано кандидатом физикоматематических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной
физики ЮФУ А.А. Новаковичем.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук,
профессор Л. А. Бугаев.
Компьютерный набор и верстка
А.А. Новакович.
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и
вычислительной физики физического факультета ЮФУ,
протокол № 12 от 27 ноября 2007 г.
2
СОДЕРЖАНИЕ:
1. Криволинейные системы координат .…………………………………стр. 4
2. Векторы и тензоры. Их преобразования при поворотах
системы координат ………………………………………...…………..стр. 9
3. Действия над тензорами ………………………………………………стр. 18
4. Свойства тензоров второго ранга ……….…………………………….стр. 25
5. Символ Леви-Чивита ………………………….………………………стр. 33
6. Преобразование тензорных величин при инверсии ………..………..стр. 37
7. Элементы тензорного анализа …………….………………………….стр. 42
Литература………………………………………………………………стр. 47
3
1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
Нередко удобно определять положение точки в пространстве не декартовыми
координатами,
а
тремя
другими
величинами
q1 ,
q2 ,
q3 ,
более
соответствующими характеру решаемой задачи. Эти величины называют
криволинейными координатами.
Если наложить должные ограничения на
область изменения криволинейных координат, то можно добиться взаимно
однозначного соответствия между переменными xi и qi : qi  qi  x1, x2 , x3  или
xi  xi  q1 , q2 , q3  ,
i  1,2,3 .
Поверхности, описываемые уравнением
qi  x1, x2 , x3   const , называются координатными. Линии пересечения двух
координатных поверхностей называются координатными линиями. Понятно,
что вдоль координатной линии изменяется только одна из трех криволинейных
координат. Если координатные линии в каждой точке пространства взаимно
перпендикулярны, криволинейные координаты называются ортогональными.
Примерами ортогональных криволинейных координат являются сферическая
система координат  q1  r , q2   , q3    и цилиндрическая система координат
 q1   , q2   , q3  z  .

*
*
*

Введем в каждой точке пространства орты e1 , e2 , e3 , направленные по
касательным к координатным линиям в сторону возрастания соответствующих
переменных
qi .
перпендикулярны:
В
ортогональных
e ,e   
*
i
*
j
координатах
эти
орты
взаимно
ij
Определим частную производную радиус-вектора r  r  q1 , q2 , q3  по
координате qi . Приращение вектора dr при малом изменении переменной qi
*
направлено вдоль орта ei :
dr  H i dqi ei* ,
4
r
 H i ei*
qi
так что
Положительные величины H i называются коэффициентами Ламе.
2
x j
 x j 
r
Учтя, что r   x j e j , получим:
  e j . Отсюда H i2   
 .
qi
j  qi 
j
j qi
Квадрат расстояния ds 2 между двумя бесконечно близкими точками
выражается через квадраты коэффициентов Ламе по формуле:
2


r
ds   dr , dr    
dqi    H i2 dqi2
i
 i qi

2
Если провести через две бесконечно близкие точки координатные
поверхности,
то
они
ограничат
бесконечно
малый
прямоугольный
параллелепипед с длинами ребер dli  H i dqi . Грани этого параллелепипеда
имеют площади: df1  H 2 H 3 dq2 dq3 , df 2  H 3 H1dq3dq1 , df3  H1 H 2 dq1dq2 ,
а объем выражается формулой:
dV  H1 H 2 H 3dq1dq2 dq3 .
В ортогональной криволинейной системе координат выражение для
градиента скалярного поля  имеет следующий вид:
grad   
i
1  *
ei
H i qi
(1.1)
Дивергенция векторного поля a в ортогональной криволинейной системе
координат определяется по формуле:
div a 
   a1H 2 H 3    a2 H 3 H1    a3 H1H 2  
1




H1 H 2 H 3 
q1
q2
q3

(1.2)
Ротор векторного поля a в ортогональной криволинейной системе координат
можно записать через определитель:
5
H1e1*
rot a 
1

H1 H 2 H 3 q1
H1a1
H 2e2*
H 3e3*

q2

q3
H 2 a2
H 3a3
(1.3)
Результат действия оператора Лапласа на скалярное поле определяется, как
 =div grad  . Из приведенных выше формул для градиента и дивергенции
непосредственно следует его выражение в криволинейной ортогональной
системе координат.
 
   H 2 H 3     H 3 H1     H1H 2   
1


 .




H1H 2 H 3  q1  H1 q1  q2  H 2 q2  q3  H 3 q3  
(1.4)
Задачи.
1.1 Для сферической и цилиндрической систем координат найти уравнения
координатных поверхностей и координатных линий.
1.2 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в
сферической системе координат. (Для сферической системы координат
x1  r sin cos  , x2  r sin sin  , x3  r cos ).
Решение задачи 1.2
Искомая величина равна сумме квадратов полных
дифференциалов декартовых координат ds   dx1    dx2    dx3  . Для
2
2
их вычисления используем формулу dxi 
2
xi
 q dq .  q  r, q
j
j
В результате получим
2
1
2
  , q3   
j
ds 2   sin cos dr  r cos cos d  r sin sin  d  
2
 sin sin  dr  r cos sin  d  r sin cos d 
2
  cos dr  r sin d  . Раскроем
2
скобки и упростим выражение. Итого: ds  dr  r d  r sin
2
6
2
2
2
2
2
 d 2
1.3 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в
цилиндрической системе координат. (Для цилиндрической системы координат
x1   cos  , x2   sin  , x3  z ).
Решение задачи 1.3
Вычислим сумму квадратов полных дифференциалов
декартовых координат: ds 2   dx1    dx2    dx3  
2
 cos d    sin  d 
2
2
2
  sin  d    cos d   dz 2  d  2   2d 2  dz 2
2
1.4 Найти коэффициенты Ламе для сферической и цилиндрической систем
координат.
Решение задачи 1.4
Искомые значения коэффициентов Ламе легко найти,


используя их определение  ds 2   H i2dqi2  и ответы к задачам 1.2 и 1.3.
i


Для сферической системы координат:
H1  H r  1,
H 2  H  r ,
H3  H  r sin .
Для цилиндрической системы координат:
H1  H   1,
H 2  H   ,
H3  H z  1.
1.5 Записать формулы для длин ребер, площадей граней и объема бесконечно
малого параллелепипеда, ограниченного координатными плоскостями,
в
сферической и цилиндрической системах координат.
1.6 Получить формулы для градиента скалярного поля  в сферической и
цилиндрической системах координат.
Решение задачи 1.6 для сферической системы координат.
Подставим в
выражение (1.1) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:
grad  
 * 1  *
1  *
er 
e 
e
r
r 
r sin 
1.7 Получить формулы для дивергенции векторного поля a в сферической и
цилиндрической системах координат.
7
Решение задачи 1.7 для сферической системы координат.
Подставим в
выражение (1.2) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:
2
1   r ar 
1   sin  a 
1 a
div a  2


r
r
r sin 

r sin  
1.8
Получить формулы для ротора векторного поля a
в сферической и
цилиндрической системах координат.
1.9 Получить формулы для лапласиана скалярного поля  в сферической и
цилиндрической системах координат.
Решение задачи 1.9
Подставим в выражение (1.4) соответствующие
коэффициенты Ламе. В итоге получим для сферической системы координат:
1   2  
1
 
 
1
 2
  2  r

 sin 

r r  r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2
Соответственно для цилиндрической системы координат:
1     1  2   2 
 
 2

 2
2
      
z
1.10 Найти grad   r  ,   r  в сферической системе координат для функций:
 
а)   r   3r , б)   r   r  2r , в)   r   sin r
2
3
2
2
1.11 Найти grad    , z  ,    , z  , grad     ,     в цилиндрической
системе координат для функций:
а)    , z     z ,
2
2
 .
б)      sin 
8
2
2. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ. ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПРИ ПОВОРОТАХ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
Пусть O и O  две декартовы системы координат, повернутые друг
относительно друга, с базисными векторами (ортами)  e1 , e2 , e3  ,  e1, e2 , e3  ,
образующими правые ортонормированные тройки. Поскольку системы




координат O и O  декартовы, то ei , e j   ij и ei, ej   ij .
Здесь
1, i  j
0, i  j
 ij - символ Кронекера.  ij  
Произвольный вектор a можно разложить подобно радиус-вектору по
ортам обеих систем координат:
a  a1e1  a2e2  a3e3   a j e j  a j e j
j
a  a1e1  a2 e2  a3e3   aj ej  aj ej
j
(Данные выражения записаны с использованием правила Эйнштейна, которое
подразумевает суммирование по парам повторяющихся индексов, в то время
как знак суммы опускается. Это правило будет использовано в дальнейшем).
Величины ai и ai называются компонентами вектора a и являются
ортогональными проекциями данного вектора на орты ei и ei :
ai   ei , a  , и ai   ei, a  .
Установим связь между проекциями вектора на различные базисные
орты:


ai   ei, a    ei   a j e j     ei  e j  a j  U i j a j  U i j a j
j
j

 j
9
(2.1)


где U i j  ei, e j - матричные элементы матрицы поворота
U  .
Если
объединить компоненты ai в одностолбцовую матрицу  a  , а компоненты ai
в одностолбцовую матрицу  a  , то закон преобразования компонент вектора
можно записать в матричных обозначениях:
 a   U  a 
Задание. Убедиться в справедливости последнего равенства, раскрыв в явном
виде произведение матриц.
Докажем, что матрица U  ортогональна, т.е. U 
T
 U  U 
T
ij
j
jk
U   1 :
 U j i U j k    ej  ei  ej  ek  
j
j

 
     ej  ei  ej  , ek    ei , ek    i k
 j

 

При выводе мы воспользовались свойствами скалярного произведения и тем,
что
  e , e  e  e , поскольку левая часть равенства представляет собой
j
i
j
i
j
разложение базисного орта ei по базисным ортам ej .
Задание. Докажите, что U U   1
T
С учетом закона преобразования компонент вектора при повороте
системы координат можно дать следующее определение вектора:
Вектором называется трехкомпонентная величина, компоненты которой
преобразуются при повороте системы координат так же, как компоненты
радиус-вектора по правилу (2.1) с помощью матрицы поворота U  .
Такое определение вектора допускает обобщение на случай величин с
числом компонент, большим трех. Так возможны девятикомпонентные
10
величины, компоненты которых нумеруются двумя векторными индексами
ai j , каждый из которых пробегает независимо значения 1,2,3. Возможны 27-и
компонентные величины, компоненты которых ai j k
нумеруются тремя
векторными индексами. Наконец, возможны 3 N - компонентные величины,
компоненты которых нумеруются N векторными индексами
ai1 i2 i3 .....iN
(векторные индексы i1 , i2 ,..., iN независимо пробегают множество значений
1,2,3). Если компоненты этих многокомпонентных величин преобразуются по
законам:
ai j  U i kU j n ak n  U i kU j n ak n
k ,n
ai j k 
U U
il
U k n al mn  U ilU j mU k n al mn
jm
l ,m ,n
ai1 i2 ... iN 

U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN  U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN
j1 j2 .. jN
то эти многокомпонентные величины называются тензорами соответственно
второго, третьего и N-ранга. Ранг тензора определяется числом векторных
индексов, нумерующих его компоненты. Максимальное число независимых
компонент тензора ранга N равно 3 N в случае трехмерного пространства.
Вопрос. Чему равно число независимых компонент тензора ранга N в случае
двумерного пространства?
Компоненты тензора второго ранга естественно объединяются в
квадратную матрицу со следующим законом преобразования матричных
элементов:
ai j  U i kU j n ak n  U i k ak nU j n   U i k ak n U n j
T
k ,n
или
k ,n
k ,n
 a   U  a U 
T
11
,
где  a  и  a  квадратные матрицы с матричными элементами ai j и ai j .
Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр нулевого. Ранг тензора также называют тензорной размерностью, или
валентностью.
Задачи.
2.1 Найти матрицу преобразования системы декартовых координат U  на
плоскости при повороте на угол  .
Решение задачи 2.1 Матричные элементы искомой матрицы вычисляются как


скалярные произведения U i j  ei, e j , здесь индексы i,j принимают только
два значения: 1 или 2. Так как все орты по определению имеют единичные
модули, каждое скалярное произведение равно косинусу угла между
соответствующими ортами. Нарисуйте на листе бумаги пояснительный чертеж
и убедитесь, что углы между парами базисных орт e1, e1 и e2 , e2 одинаковы и
равны углу поворота  . Поэтому U11  U 22  cos  . Угол между ортами e1, e2
равен
 2   , и соответственно U12  cos  2     sin  . Угол между
ортами e2 , e1 равен  2   , поэтому U 21  cos  2      sin  .
2.1.1. Убедиться, что определитель матрицы U  равен 1.
2.1.2 Убедиться, что матрица U  ортогональна, т.е. U U   1 , где
T
U 
T
-транспонированная матрица, а 1 -единичная матрица.
2.1.3 Убедиться, что U 3  - матрица поворота на угол  3  1   2
совпадает с произведением матриц
U1 
и
U 2  ,
матрицами поворота на углы 1 и  2 соответственно.
12
которые являются
2.1.4.
Убедиться, что матрица поворота U 2  на угол  совпадает с
матрицей U1   U1  , где U1  - матрица поворота на угол  .
1
T
2.2 Найти матрицу поворота U  в трехмерном пространстве относительно
заданной координатной оси на угол  .
2.2.1 Вокруг оси Oz
Решение задачи 2.2.1 Очевидно, что базисные орты e1, e2 , повернутой вокруг
оси Oz системы координат, лежат в Oxy плоскости исходной координатной
системы. Выше (см. задачу 2.1) мы уже вычислили скалярные произведения
 e, e  для i,j=1 и 2. Фактически мы нашли соответствующие им матричные
i
j
элементы
искомой
U11  U 22  cos ,
матрицы
повороты
в
U12  U 21  sin  .
трехмерном
пространстве:
Для нахождения остальных
матричных элементов заметим, что базисные орты e1, e2 ортогональны орту
e3 , поэтому U13  U 23  0 . После выполнения поворота вокруг оси Oz
направление аналогичной оси новой системы координат не изменится, т.е. орт
e3  e3 .
Оставшиеся матричные элементы вычисляются тривиально:
U 3 j   e3 , e j    e3 , e j    3 j (j=1,2,3).
Выпишем явный вид матрицы
поворота вокруг оси Oz:
 cos 
U     sin 
 0

sin 
cos 
0
0
0 
1 
2.2.2 Вокруг оси Ox
Решение задачи 2.2.2 во многом аналогично решению предыдущей задачи.
Приведем в качестве ответа явный вид искомой матрицы поворота:
13
0
1
U    0 cos 
 0  sin 

0 
sin  
cos  
2.2.3 Вокруг оси Oy
2.3 Найти матрицу поворота U  в трехмерном пространстве на углы Эйлера.
Углы Эйлера определены следующим образом: вначале проводится поворот на
угол  вокруг оси Oz , затем производится поворот на угол  вокруг новой
оси Ox , а после этого производится поворот на угол  вокруг новой оси
Oz .
2.3.1
U 
Доказать, что матрица
произведения трех матриц
может быть записана в виде
U   U3 U 2 U1  ,
где матрица
соответствует повороту на угол  вокруг оси Oz , матрица
U1 
U 2 
соответствует повороту на угол  вокруг новой оси Ox , матрица U 3 
соответствует повороту на угол  вокруг новой оси Oz .
Решение задачи 2.3.1 Рассмотрим вектор с компонентами ai , заданными в
исходной системе координат Oxyz . Объединим его компоненты в матрицу,
состоящую из одного столбца
a
(в так называемый вектор-столбец).
Компоненты этого вектора в новой системе координат Oxyz , повернутой
вокруг оси Oz на угол  ,
 a   U1  a  .
вычислим как матричное произведение
Давайте рассматривать повернутую систему координат как
новую исходную, и совершим далее поворот вокруг ее оси Ox на угол  .
Компоненты вектора в новой, повернутой системе координат Oxyz
вычислим как матричное произведение  a   U 2  a   U 2 U1  a  .
14
Матрица поворота U 2  составлена из косинусов углов между ортами новой
исходной, и новой повернутой координатных систем. Для ее вычисления мы
фактически должны повторить решение задачи 2.2.2 и получить в результате
ту же матрицу с заменой угла  на  . Давайте примем систему координат
Oxyz за новую исходную, и выполним последний поворот вокруг оси Oz
на угол  . Компоненты вектора в системе координат Oxyz теперь
 a   U 3  a   U 3 U 2 U1  a  .
вычисляются как
Матрица
U 3 
составлена их косинусов углов между соответствующими
ортами. Она совпадает с матрицей поворота вокруг оси Oz, найденной в ходе
решения задачи 2.2.1, с заменой угла  на  .
Итого: U   U 3 U 2 U1  .
Приведем для справки явный вид матрицы поворота на углы Эйлера  ,  ,  .
 cos 
U     sin 
 0

sin 
cos 
0
0  1
0
0 
 0 cos
1 
 sin 

 cos  cos   sin  cos sin 
   sin  cos   cos  cos sin 

sin  sin 

0  cos  sin  0 

sin  
  sin  cos  0  
cos 
0
1 
 0
cos  sin   sin  cos  cos 
sin  sin  
 sin  sin   cos  cos  cos  cos  sin  
 sin  cos 
cos 
2.3.2 Доказать, что U U   1 .
T
2.3.3 Выразить матрицу обратного преобразования через произведение
матриц поворотов вокруг осей Ox и Oz.
2.4 Найти матрицу U  для следующих углов Эйлера:
2.4.1
   / 3,
 ,
  /2
2.4.2
   / 4,
   / 2,
 
2.4.3
 ,
   / 3,
  /2
15
2.4.4
   / 3,
   / 4,
  /6
2.4.5
  2 / 3,
   / 6,
  /3
2.4.6
  4 / 3,
   / 2,
  /6
2.5 В случае двумерного пространства вычислить компоненты вектора bi в
системе координат повернутой на угол 
по сравнению с исходной.
Компоненты вектора и угол  следующие:
2.6
2.5.1
b1  1, b2  2,    / 6
2.5.2
b1  3, b2  1,    / 3
2.5.3
b1  5, b2  2,    / 4
2.5.4
b1  1, b2  4,    / 6
2.5.5
b1  2, b2  7,    / 2
2.5.6
b1  4, b2  1,    / 3
В случае двумерного пространства вычислить компоненты тензора
второго ранга ai j в системе координат, повернутой на угол  по сравнению с
исходной. Компоненты тензора и угол  следующие:
2.6.1
a11  1, a12  2, a21  3, a22  5,    / 3
2.6.2
a11  1, a12  4, a21  2, a22  1,    / 4
2.6.3
a11  3, a12  1, a21  2, a22  6,    / 6
2.6.4
a11  5, a12  2, a21  1, a22  1,    / 2
2.6.5
a11  2, a12  1, a21  2, a22  3,    / 3
2.6.6
a11  0, a12  6, a21  2, a22  4,    / 2
2.7 В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти
компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол  вокруг оси Ox
16
по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол  следующие:
2.7.1 b1  1, b2  2, b3  3,    / 3
2.7.2 b1  4, b2  1, b3  5,    / 2
Решение задачи 2.7 дается общей формулой:
0
 b1   1
 b    0 cos 
 2 
 b   0  sin 
 3 
0  b1 

sin  
b
2
 

cos  
 b3 
Для конкретного варианта, указанного в пункте 2.7.1 получаем
0
 b1   1
 b    0
12
 2 
 b  
 3  0  3 2
2.8
0  1  
1

  

3 2  2    1  3 3 2 
  

1 2   3    3  3 2 
В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти
компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол  вокруг оси Oy
по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол  следующие:
2.9
2.8.1
b1  2, b2  1, b3  5,   2 / 3
2.8.2
b1  3, b2  1, b3  2,    / 4
В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти
компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол  вокруг оси Oz
по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол  следующие:
2.10
2.9.1
b1  2, b2  4, b3  1,    / 4
2.9.2
b1  5, b2  2, b3  3,    / 2
В случае двумерного пространства найти компоненты тензора  i j в
системе координат, повернутой относительно исходной на угол  .
17
3. ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ.
Перечислим возможные действия над тензорами, в результате которых
возникают также тензорные величины.
1. Если все компоненты некоторого тензора умножить на одинаковую
скалярную величину, в результате получится новая многокомпонентная
величина, являющаяся тензором того же ранга, что и исходный тензор.
2.
Покомпонентное сложение двух тензоров одинакового ранга дает
компоненты тензора, называемого суммой исходных тензоров и имеющего тот
же ранг. Складывать тензоры различных рангов недопустимо.
3. Если каждая компонента одного тензора ранга N умножается на
всевозможные
компоненты
второго
тензора
ранга
многокомпонентная величина, являющаяся тензором ранга
M,
возникает
N+M. Данная
операция называется операцией внешнего произведения тензоров.
4. Если из компонент тензора ранга N
A
i1 i2 ...ik ...i p ...iN
 выбрать такие
компоненты, у которых нумерующие индексы в двух позициях (скажем k и p)
одинаковы
A
i1 i2 ...( ik i )...( i p i )...iN
 , и равны некоторой величине i, после чего
сложить выбранные компоненты, отвечающие возможным значениям индекса
i, т.е. i=1,2,3, при неизменных нумерующих индексах в других позициях, то
полученная многокомпонентная величина:
A
i1 i2 ...( ik i )...( i p i )...iN
 Ai1 i2 ...ik 1 ik 1...i p 1 i p 1...iN
i
является тензором ранга N-2. Такая операция называется сверткой тензора по
индексам, занимающими позиции k и p. Например
a
ii
i
 C,
a
iik
 Sk ,
i
a
k ii
i
18
 Tk
Задание. Показать, что число различных вариантов сверток тензора ранга N
равно C N2 .
5. Многокомпонентная величина, полученная из исходного тензора ранга
N путем перестановки его индексов, является тензором того же ранга.
Например, из компонент тензора второго ранга ai j можно составить новый
тензора
второго
ранга
bi j  a j i . Симметричным называется тензор,
компоненты которого не изменяются при перестановке индексов.
ai j  a j i
Аналогично, если при перестановке любой пары индексов у любой
компоненты тензора возникает компонента, равная исходной по величине и
противоположной по знаку, тензор называется антисимметричным.
Задание. Убедиться в том, что в трехмерном пространстве возможны
антисимметричные тензоры только 2-го и 3-го рангов.
Для доказательства того, что в результате перечисленных выше действий
над тензорами вновь возникают тензоры, необходимо убедиться в том, что
компоненты последних преобразуются при преобразовании координат по
тензорному закону. Докажем, например, что при свертке тензора 3-го ранга
ai j k возникает тензор ранга (3-2)=1, т.е. вектор. Свернем тензор ai j k ,
например, по первому и второму индексам. Для этого отберем из 27 компонент
ai j k те, у которых два первых индекса одинаковы  ai i k  и просуммируем по
ним при фиксированном значении индекса k. Мы получим три компоненты
a
iik
.
(k=1,2,3).
Чтобы
доказать,
что
эти
компоненты
являются
i
компонентами вектора, необходимо проверить, что они преобразуются по
векторному закону. Выполним свертку тензора aii k в другой системе
19
координат, которая повернута относительно исходной, и получим:
 aii k 
i



U
U
   i j i p Uk m a j p m
j , p ,m  i
U i jUi pU k m a j p m 
i , j , p ,m
В силу ортогональности матрицы преобразования U  имеем:
U
Ui p   j p
ij
i
С учетом этого получаем:
 aii k 
i


  j pU k m a j p m  U k m   a j j m 
j , p ,m

m
j

Отсюда следует, что данная свертка при повороте системы координат
преобразуется
по
закону
преобразования
компонент
вектора,
что
и
требовалось доказать.
Задачи.
3.1 Даны скаляр b и тензор третьего ранга ai j k . Доказать ,что b  ai j k - тензор
третьего ранга.
3.2
Даны тензоры второго ранга ai j и bi j . Доказать, что ai j  bi j - тензор
второго ранга.
Решение задачи 3.2 Выполним покомпонентное сложение этих тензоров в
повернутой системе координат. ai j  bij 
U
kl
ik
U jl akl  U ikU jl bkl . Или,
kl
ai j  bij  U ikU jl  akl  bkl  . Отсюда следует, что сумма данных тензоров
kl
при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования
компонент тензора второго ранга, что и требовалось доказать.
20


3.3 Даны векторы ai и bi . Доказать, что множество величин ai  b j образуют
тензор второго ранга. Такой тензор иногда называют диадой.
Решение задачи 3.3 Составим множество аналогичных величин из компонент
ai
векторов
a  b    U
i
j

bi
и
ik
k
в
повернутой
системе
координат


ak  U jl bl   U ikU jl ak  bl  . Отсюда следует, что
 l
 kl
внешнее произведение двух векторных величин при повороте системы
координат преобразуется по закону преобразования компонент тензора
второго ранга, что и требовалось доказать.
3.4 Даны вектор ai и тензор второго ранга bi j . Доказать, что множество


величин ai  b j k образуют тензор третьего ранга.
3.5
Дан вектор ai . Показать, что сумма
a
i
не является скалярной
i
величиной. (Т.е. не имеет тензорную природу).
Решение задачи 5.5.
Рассмотрим конкретный пример, и убедимся, что
указанная сумма изменится при повороте системы координат. Пусть в
исходной системе координат компонента вектора ai  1,1,1 . Модуль данного
вектора
a
2
i
 3 . Повернем систему координат так, чтобы новая ось OX
i
была параллельна данному вектору. Очевидно, что в такой системе координат
его компоненты
a
i
ai 


3,0,0 . В исходной системе координат сумма
 3 , а в новой, соответственно:
i
3.6 Дан тензор второго ранга
 a 
i
3.
i
ai j . Доказать, что множество величин,
задаваемых равенствами b j i  ai j , образует тензор второго ранга.
21
3.7 Дан тензор третьего ранга ai j k . Доказать, что множество величин
b j i k  ai j k образуют тензор третьего ранга.
3.8 Даны скаляр a и вектор bi . Доказать, что трехкомпонентная величина
 a  bi  не является величиной тензорной природы.
3.9
Доказать, что свертка тензора второго ранга ai j является скаляром:
a
ii
 ai i  C . Такая свертка часто называется следом тензора ai j .
i
Замечание. Здесь и в дальнейшем знаки сумм будут зачастую опускаться, и
использоваться правило суммирования Эйнштейна.
3.10 Даны тензоры второго ранга ai j и bi j . Доказать, что множество величин
a
ij
 bk m  образуют тензор четвертого ранга.
3.11 Найти вектор ci  ai  bi и вектор di  3ai , где векторы ai и bi равны:
3.11.1
a  1,2,3 ,
b   3, 1,2 
3.11.2
a   5,4,2 ,
b   1,2,8
3.11.3
a   2,3,6 ,
b   4, 2,1
3.11.4
a   1,0,3 ,
b   2, 4,6 
3.12 Найти тензор ci j  ai j  bi j и тензор di j  4ai j , где ai j и bi j являются
тензорами в двумерном пространстве и их компоненты равны:
3.12.1 a11  1, a12  2, a21  3, a22  5
b11  1, b12  4, b21  2, b22  1
3.12.2 a11  3, a12  1, a21  2, a22  6
b11  5, b12  2, b21  1, b22  1
3.12.3 a11  2, a12  1, a21  2, a22  3
22
b11  0, b12  6, b21  2, b22  4
3.13 Вычислить след тензоров ai j и bi j , где тензоры ai j и bi j определены в
задании 3.12
3.14 В двумерном пространстве заданы векторы ai и bi , а так же тензоры
второго ранга ci j и d i j . Найти тензорную размерность приведенных ниже
величин и вычислить все их компоненты:
3.14.1 ai b j
3.14.2 ai bi
3.14.3 ai c j k
3.14.4 bi d j k
3.14.5 ci i
3.14.5 d j j
3.17.6 ai ci j
3.14.7 ai c j i
3.14.9 ai c j j
3.14.10 bi di j
3.14.11 bi d j i
3.14.12 bi d j j
3.14.13 ci j d j k
3.14.14 c j i d j k
3.14.15 cii d j j
3.14.16 ci j di j
Компоненты векторов ai и bi и тензоров ci j и di j заданы ниже:
a1  1, a2  2, b1  3, b2  1
c11  3, c12  1, c21  2, c22  6
d11  5, d12  2, d 21  1, d 22  1
3.15 Тоже, что и в задании 3.14, но для других векторов ai и bi и тензоров ci j
и d i j с компонентами:
a1  2, a2  1, b1  4, b2  2
c11  1, c12  3, c21  5, c22  7
23
d11  0, d12  2, d 21  4, d 22  6
3.16 Тоже, что и в задании 3.14, но для других векторов ai и bi и тензоров ci j
и d i j с компонентами:
a1  1, a2  3, b1  5, b2  3
c11  2, c12  0, c21  3, c22  4
d11  1, d12  1, d 21  3, d 22  2
3.17 В случае двумерного пространства убедиться, что след тензора второго
ранга (сумма диагональных элементов тензора) в системе координат,
повернутой на угол  относительно исходной, равен следу тензора в исходной
системе координат.
3.18 В случае трехмерного пространства доказать, что след тензора второго
ранга одинаков во всех системах координат.
Решение задачи 3.18 Вычислим след тензора в повернутой системе координат.
В данном примере мы не будем опускать символ суммирования по индексам.
 a  U U
ii
ij
i
i
ik
a jk . Используя далее свойство ортогональности матрицы
jk
U U
поворота
ij
ik
  jk ,
 a   
получим
ii
i
i
jk
a jk 
jk
11a11  12 a12  13 a13   21a21   22 a22   23 a23   31 a31  32 a32  33 a33 .
Так компоненты единичного тензора
 jk равны единице при совпадающих
значениях индексов, и равны нулю в случае несовпадения значений индексов,
в данную сумму может внести вклад только первое, пятое и девятое слагаемые.
Итого
 a   
ii
i
jk
jk
a jk  a11  a22  a33   aii .
i
3.19 Доказать, что множество величин (свертка) ai j j образует вектор, если
ai j k -тензор третьего ранга.
24
3.20 Доказать, что множество величин (свертка) ai j j k образует тензор второго
ранга, если ai j k m -тензор четвертого ранга.
4. СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА.
Свойства
тензоров
второго
ранга
ai j
эквивалентны
свойствам
квадратной матрицы  ai j  , построенной из компонент тензора.
Тензор второго ранга ai j называется симметричным, если для любых
ai j  a j i .
индексов i и j выполняется равенство:
Тензор второго ранга bi j называется антисимметричным, если для
любых индексов i и j выполняется равенство: bi j  b j i .
Произвольный тензор второго ранга ci j можно представить в виде
суммы симметричного и антисимметричного тензоров:
ci j  ai j  bi j
где
1
ai j  ci j  c j i  ,
2
1
bi j  ci j  c j i 
2
Вектор x называется собственным вектором симметричной квадратной
матрицы Â , а  - ее собственным значением, если выполняется условие:
Âx   x
или
 a11 a12
a
 21 a22
a
 31 a32
a13  x1 
 x1 


a23  x2     x2 

x 
a33 
 x3 
 3
25
В тензорной алгебре направление, задаваемое вектором x называется
главным направлением тензора Â , а  -главным значением тензора.
Система уравнений, из которой находятся главные направления и
главные
значения
тензора
является
системой
линейных, однородных
уравнений относительно компонент вектора x , которая имеет отличное от
нуля решение только при условии :
det Aˆ   Iˆ  0
или
где
Iˆ
a11  
a12
a13
a21
a22  
a23
a31
a32
a33  
0
- единичная матрица. Раскрывая определитель, получаем для
нахождения
главных
(собственных)
значений
тензора
алгебраическое
уравнение третьей степени (т.е. кубическое уравнение).
Можно доказать, что в случае симметричного тензора полученное
уравнение всегда имеет три вещественных корня. Возможно, что некоторые из
них, совпадают по величине. (В этом случае корни называются кратными или
вырожденными.)
Если все корни различны, каждому из них однозначно
соответствуют
направления
в
направлениями
тензора.
случае
В
пространстве,
называемые
вырожденных
корней
главными
возникает
неоднозначность в выборе главных направлений. Так в случае двукратного
вырождения
координат,
корня
существует
перпендикулярная
плоскость,
третьему
проходящая
главному
через
начало
направлению,
все
направления на которой являются главными. Если вырождение трехкратное,
то любые направления в пространстве являются главными. Аналогично, в
случае тензоров на плоскости (двумерное пространство) возможны либо два
разных вещественных корня, либо эти корни совпадут.
26
В согласии со сказанным, главные направления (главные оси)
симметрического тензора второго ранга всегда можно выбрать взаимно
ортогональными.
Эти
направления
выбираются
однозначно
в
случае
невырожденных главных значений и неоднозначно в случае вырождения. В
системе главных осей тензор диагонален, а на его главной диагонали стоят
главные (собственные) значения.
ai j  i i j
(Следует иметь в виду, что в данном случае суммирование по индексу i не
подразумевается).
Для геометрической иллюстрации указанных свойств симметричного
тензора
второго
ранга
удобно
ввести
понятие
характеристической
поверхности тензора. Ее уравнение имеет вид уравнения, определяющего
поверхность второго порядка:
ai j xi x j  1
Если все главные значения тензора одинаковы 1  2  3 , то такой
тензор называется шаровым. Шаровой тензор пропорционален единичному и
имеет одинаковый вид во всех системах координат. Характеристическая
поверхность шарового тензора есть сфера. Если два главных значения
одинаковы, а третье отлично от них 1  2  3 , то тензор называется
симметрическим. Его характеристическая поверхность является поверхностью
вращения. Если все три собственные значения различны, то такой тензор
называется асимметрическим, а его характеристическая поверхность является
поверхностью второго порядка общего вида.
Если все главные значения тензора положительны, то тензор называется
положительно определенным. Если все главные значения отрицательны, то
тензор называется отрицательно определенным. В этих случаях при
27
построении характеристических поверхностей надо выбирать разные знаки в
правой части уравнения поверхности (плюс для положительно определенного
тензора и минус для отрицательно определенного). И в том, и в другом
случаях характеристическая поверхность тензора есть эллипсоид (шар в случае
1  2  3 , эллипсоид вращения в случае 1  2  3 и эллипсоид общего вида
в случае 1  2  3 ).
Если некоторые собственные значения тензора положительны, а
некоторые отрицательны, то тензор называется знаконеопределенным. Его
характеристической поверхностью является гиперболоид с двумя листами,
отвечающим двум знакам в правой части уравнения для характеристической
поверхности.
Для вычисления собственных значений симметричного тензора второго
ранга в трехмерном пространстве удобно воспользоваться следующим
приемом. Преобразуем уравнение, определяющее собственные значения
det ai j   i j  0
 3  a 2  b  c  0
Замена переменной   x  a /3 приводит к кубическому уравнению
к виду:
относительно величины x , в котором отсутствует квадратичный член.
(Удобно обозначить коэффициенты нового уравнения как –3p и 2q. В случае
трех вещественных корней величина p > 0)
x3  3 px  2q  0
Корни этого уравнения могут быть найдены по формуле:
1
 q  2 n 
xn  2 p sin  arcsin 

;
 p p 
3

3




n  xn  a / 3
28
n  1,2,3
Ее доказательство основано на использовании известного выражения для
синуса тройного аргумента:
sin3  3sin   4sin 3  .
Запишем данное
выражение как тождество: 4sin 3   3sin   sin3  0 . Сделав в кубическом
уравнении замену x  2 p  z , получим 8 p pz  6 p pz  2q  0 , или
3
4 z 3  3z  q
 p p   0.
Сравнение
данного
уравнения
с
тригонометрическим тождеством позволяет найти все его корни как z  sin n ,
где sin3 n  q

 q  2 n
1

p p . Отсюда следует, что n  arcsin 
 p p 
3
3



и соответственно: xn  2 p sin  n , где n=1,2,3. (Конец доказательства).
Собственные векторы симметрического тензора ai j , принадлежащие
( n)
собственному значению  n , находим как xi  M1i , где M1i -
миноры
матрицы ai j  n i j с данным собственным значением  n .
Задачи.
4.1
Разложить в двумерном случае тензор второго ранга
ci j на сумму
симметричного ai j и антисимметричного bi j тензоров. Компоненты тензора
ci j равны:
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.1.6
c11  1, c12  2, c21  3, c22  5
c11  1, c12  4, c21  2, c22  1
c11  3, c12  1, c21  2, c22  6
c11  5, c12  2, c21  1, c22  1
c11  2, c12  1, c21  2, c22  3
c11  0, c12  6, c21  2, c22  4
29
4.2
Разложить тензор второго ранга
ci j на сумму симметричного ai j и
антисимметричного bi j тензоров, где ci j равны
 2 3 2 
4.2.1  1 2 4 
6 2 7 


6 4 7 
4.2.2  2 7 8 
5 4 3 


 3 5 1 
4.2.3  3 4 9 
3 1 0


 3 6 11 
4.2.4  2 1 7 
 1 3 5 


Решение задачи 4.2.1.
Используем
1
ai j  ci j  c j i 
2
1
bi j  ci j  c j i  .
2
компонент
и
симметричного
и
для данного разложения
формулы:
Непосредственное вычисление
антисимметричного
тензоров
дает:
a11  1/ 2  (2  2)  2 , a12  a21  1/ 2  (3  1)  2 , a13  a31  1/ 2  (2  6)  2 и т.д.
b11  1/ 2  (2  2)  0 , b12  b21  1/ 2  (3  1)  1 , b13  b31  1/ 2  (2  6)  4 и т.д.
Ответ:
2 2 2 
 0 1 4 


aij   2 2 1 , bij   1 0 3 
 2 1 7 
4 3 0




4.3 Для симметричного тензора ai j на плоскости:
4.3.1 Найти собственные значения.
4.3.2 Найти собственные векторы.
4.3.3 Проверить ортогональность собственных векторов.
4.3.4 Найти орты системы координат, связанной с главными осями.
4.3.5 Записать матрицу поворота к главным осям.
4.3.6 Записать вид тензора в главных осях.
4.3.7 Построить характеристическую поверхность.
Произвести вычисления для тензоров с компонентами:
а)
a11  9, a12  2, a21  2, a22  6
30
б)
a11  3, a12  9, a21  9, a22  3
в)
a11  0, a12  3, a21  3, a22  6
г)
a11  1, a12  2, a21  2, a22  1
4.4 Разложить тензор ci j на сумму симметричного ai j и антисимметричного
bi j тензоров. Для симметричного тензора ai j :
4.4.1 Найти собственные значения.
4.4.2 Найти собственные векторы.
4.4.3 Проверить ортогональность собственных векторов
4.4.4 Найти орты системы координат, связанной с главными осями.
4.4.5 Записать матрицу поворота к главным осям.
4.4.6 Записать вид тензора в главных осях.
4.4.7
Классифицировать
тензор
(шаровой,
симметрический,
асимметрический, положительно, отрицательно определенный или
знаконеопределенный).
Произвести вычисления для тензоров ci j с компонентами:
a)
 9 3 2 
 3 2 4 


 2 4 6 


в)
 3 5 6 
 3 1 3 


 6 3 2 


Решение задачи 4.4.1(а)
б)
 3 9 5 
 9 3 4 


 5 4 3 


г)
 2 6 1
 6 3 1


 1 1 3 


Симметричная часть указанного тензора
9
 9 0 2 
aij   0 2 0  . Составим уравнение det 0
 2 0 6 
2


31
0
2
2
0
0
6
0
Раскрыв определитель, получим  2      2  15  50   0 . Нахождение корней
этого уравнения 1  2 , 2  5 , 3  10 решает поставленную задачу.
Решение задачи 4.4.2(а)
Проведем вычисление компонент собственного
вектора, принадлежащего собственному значению   2 . Для этого следует
 9 0 2  x1 
 x1 

 
решить уравнение  0 2 0 
 x2     x2  . Подставив   2 , распишем его
 2 0 6  x 
x 

 3 
 3
 9 x1  2 x3  2 x1

как систему трех линейных уравнений  2 x2  2 x2
. Отсюда следует, что
2 x  6 x  2 x
1
3
3

x1  x3  0 , x2   . (Здесь  - любое вещественное число, не равное нулю)
Аналогично, для   5 находим x3  2 x1   , x2  0 . И, наконец, для   10
компоненты собственного вектора x1  2 x3   , x2  0 .
Решение задачи 4.4.4(а)
вектора
x     0, a,0  ,
1
Используем найденные выше три собственных
x     b,0,2b  ,
x     2c,0, c  ,
2
3
принадлежащих
соответственно собственным значениям 2, 5, 10. Орты системы координат,
связанной с главными осями тензора, по определению, это собственные
векторы с модулями, равными единице. Очевидно, что при a  1 , b  c  1
5,
собственные векторы имеют единичные модули. Поэтому, искомые орты
имеют вид:

e1   0,1,0  , e2  1
Решение задачи 4.4.5(а)
5 ,0,2


5 , e3  2
5 ,0, 1 5



Искомая матрица поворота U ij  ei, e j , здесь ei -
орты системы главных осей тензора, e j -орты системы координат, в которой
заданы компоненты тензора. Учитывая, что e1  1,0,0  , e2   0,1,0  , e3   0,0,1


вычислим все возможные скалярные произведения ei, e j . В итоге мы
32
1
0 
 0


получим матрицу поворота U ij   1 5 0 2 5  , по строкам которой


 2 5 0 1 5 
расположены компоненты орт системы главных осей тензора. Как у любой
матрицы поворота ее определитель равен 1. В ряде случаев возможен
результат
(–1).
Тогда,
для
построения
матрицы
поворота
требуется
дополнительно изменить направление одного из орт.
Решение задачи 4.4.6(а) Выполним поворот в систему главных осей тензора.
Его компоненты в повернутой системе координат вычисляются как матричное
произведение
 a   U  a U 
T
.
Воспользуемся
матрицей
поворота,
найденной в ходе решения предыдущей задачи, и вычислим матричное
произведение
1
0   9 0 2   0 1 5
 0


1
1
5
0
2
5
0
2
0
0






 2 5 0 1 5   2 0 6   0 2 5
5  2 0 0 

0    0 5 0 

 
1 5   0 0 10 
2
В системе главных осей тензор диагонален, а на его главной диагонали
расположены главные (собственные) значения.
4.5 Какая характеристическая поверхность отвечает тензору, у которого
одна (две) главных значения равны 0?
5. СИМВОЛ ЛЕВИ-ЧИВИТА.
В трехмерном пространстве символ Леви-Чивита ei j k есть полностью
антисимметричная многокомпонентная величина, меняющая знак при
33
перестановке любой пары индексов. Все компоненты символа Леви-Чивита,
имеющие два или три одинаковых индекса, равны нулю. Например,
e122  e333  e131  0 .
Компонента
выбирается равной
e123
1. Тогда все
компоненты, отличные от нуля, равны:
e123  e231  e312  1
e321  e213  e132  1
Символ Леви-Чивита ei j k не меняет своего значения при циклической
перестановке индексов:
ei j k  e j k i  ek i j
Символ Леви-Чивита ei j k можно также определить как смешанное
произведение ортов правой координационной тройки:

ei j k  ei , e j , ek 

Задание. Убедиться, что векторное произведение двух векторов a и b может
быть записано в виде:
 a , b   ei ei j k a j b k


Задание. Убедиться, что ротор векторной величины A может быть записан в
виде:
rot A  , A  ei ei j k  j Ak  ei ei j k

Ak
x j
Для произведения двух символов Леви-Чивита с последующей сверткой по
одному индексу в каждом символе имеет место следующая формула:
ei j k eil m   j l  k m   j m k l
Задание.
Проверить предыдущее равенство для конкретных значений
индексов j,k,l,m.
Для решения ряда нижеследующих задач необходимо учесть тождества:
34
i xk 

xk   i k
xi
ii  3
Задачи.
5.1 Вычислить:
5.1.1 ei j j
5.1.2 ei j k ek l m
5.1.3 ei j j ei k m
5.1.4 ei j k ek j m
5.1.5 ei j k ei j m
5.1.6 ei j k ei m j
5.1.7 ei j k ek l mem n q
5.1.8 ei j k ek l mel i n
Решение задачи 5.1.5. Используем формулу для свертки:
ei j k eil m   j l k m   j m k l . Положим далее значение индекса l  j и выполним
свертку по паре индексов j . ei j k ei j m   j j k m   j m k j  3 km   km  2 km .
Здесь использовано, что
 j j  11   22   33  3 и  j m k j   km .


5.2 Записать формулу для смешанного произведения трех векторов a , b , c  ,
использую символ Леви-Чивита.
5.3 Получить формулу преобразования двойного векторного произведения
 
a, b , c    b  a, c   c a, b , используя символ Леви-Чивита.
  
Решение задачи 5.3. Запишем выражение для i -ой компоненты двойного
векторного произведения  a, b , c   как свертку eijk a j b , c  . С учетом, что

k

i
b , c   eklmbl cm , получим  a , b , c    eijk a j eklmbl cm  ekij eklm a j bl cm .

k
   i


Далее, ekij eklm a j bl cm   il jm   im jl a j bl cm   il  jm a j bl cm   im jl a j bl cm 
 jm a j bi cm   jl a j bl ci  a j bi c j  a j bj ci  bi a j c j  ci a j bj . Или, что
35
 
эквивалентно  a , b , c    bi  a , c   ci a , b .
 
 i
5.4 Преобразовать выражения, используя символ Леви-Чивита.
5.4.1
5.4.3
 a,b  , c , d  
 a,b  ,a, c 
5.4.2  a, b  , c , d  


5.4.4   a, b  ,  a, c 




5.4.5 rot  a, b 
5.4.6 rot f  A
5.4.7 div  a, b 
5.4.8 rot rot A
5.4.9 rot rot  a , b 
5.4.10 rot grad f
5.4.11 div rot A
Решение задачи 5.4.6. Воспользуемся выражением для ротора
 
rot fA  ei eijk
A

f
 fAk   ei eijk Ak  ei eijk f k .
x j
x j
x j
В силу определения grad f  e j
что ei eijk
f
f
, или  grad f  j 
, отсюда следует
x j
x j
A
A
f
Ak   grad f , A и ei eijk f k  f ei eijk k  f  rot A .
x j
x j
x j
 
Итого: rot fA   grad f , A  f  rot A


5.5 Вычислить, используя символ Леви-Чивита:
5.5.1 rot  a, r , b , r   ,


где a и b - постоянные векторы.
5.5.2 rot  , r  ,
где  - постоянный вектор.
5.5.3 div  , r  ,
где  - постоянный вектор.
5.5.4 rot r
36
5.5.5 rot  f (r )r 


5.5.6 rot  f (k r ) ,
где  и k - постоянные векторы.
5.6 Показать, что определитель матрицы ai j можно записать в виде
ai j  em n p a1m a2 n a3 p .
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ ИНВЕРСИИ.
До сих пор мы рассматривали преобразование тензоров только при
повороте системы координат. В этом случае выведенная в разделе 2 матрица
преобразования U  ортогональна. Из условия ортогональности U  U   1
T
следует, квадрат определителя матрицы U  равен 1, а сам определитель
det U  1 .
Поворот системы координат на конечный угол можно
рассматривать как суперпозицию ряда поворотов на малые углы. Поскольку
матрица поворота на малый угол близка к единичной матрице, ее определитель
равен 1. Матрица поворота на конечный угол строится как произведение
матриц поворотов на малые углы, поэтому ее определитель тоже равен 1, т.е.
при любых поворотах на конечный угол det U  1 .
Ортогональные преобразования, для которых выполняется последнее
равенство, называются собственными. Если определитель равен -1, то такие
преобразования называются несобственными. Несобственные преобразования
возникают при последовательном проведении поворота и инверсии системы
координат.
При
инверсии
направления
противоположные:
37
всех
ортов
изменяются
на
ei  ei
так что матрица преобразования системы координат в случае инверсии равна:
 1 0 0 
U 0    0 1 0 
 0 0 1


det U 0  1 , Таким образом, любое ортогональное
Отсюда ясно, что
преобразование, матрица которого равна U 0 U  , где U  - матрица поворота,
имеет определитель равный –1.
Закон преобразования компонент истинных тензоров при любых
ортогональных
преобразованиях
координат
(как
собственных,
так
и
несобственных) имеет вид:
ai1 i2 ... iN 

U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN  U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN
j1 j2 .. jN
При решении ряда физических задач, помимо истинных тензоров
необходимо вводить в рассмотрение псевдотензоры, т.е. многокомпонентные
величины, закон преобразования которых имеет вид:
ai1 i2 ... iN  det U

U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN  U i1 j1U i 2 j2 ...U iN jN a j1 j2 ... jN
j1 j2 .. jN
Этот закон преобразования не отличается от закона преобразования
тензора в случае собственных ортогональных преобразований при det U  1 ,
но
в
случае
несобственных
преобразований
истинные
тензоры
и
псевдотензоры преобразуются по разному закону.
Псевдотензор
первого
ранга
называется
псевдовектором.
Псевдовекторы нередко называют аксиальными векторами, а истинные
векторы полярными. Если представить вектор, как направленный отрезок, то
псевдовектор следует считать отрезком параллельным заданной линии, но не
имеющим определенного направления. Направление отрезка,
38
соответствующего псевдовектору, обычно доопределяют с учетом той
координатной тройки, которая используется при работе.
Псевдовектором
является векторное произведение двух истинных векторов, определенное по
правилу правой руки, если используется правая система координат, так как
направление отрезка в этом случае определяется выбором именно правой
тройки ортов координатной системы.
Псевдовекторами являются, например, момент импульса и момент силы,
магнитный дипольный момент, напряженность магнитного поля. Истинными
векторами являются радиус-вектор, сила, скорость, ускорение, напряженность
электрического поля.
Символ Леви-Чивита, является псевдотензором третьего ранга. Для
проверки этого утверждения найдем компоненты символа Леви-Чивита ei j k в
иной декартовой системе координат, считая, что этот символ преобразуется по
закону преобразования псевдотензора третьего ранга:
ei j k  det U
U
U j mU k p en m p
in
n, m, p
Рассмотрим это равенство для случая, если i=1, j=2, k=3. Согласно задаче
5.6 сумма, фигурирующая в правой части последнего равенства, является
определителем матрицы
U  .
Отсюда ясно, что
   det U
e123

2
 1.
Антисимметричность символа Леви-Чивита enmp относительно перестановки
любой пары индексов n,m,p автоматически влечет антисимметричность
величин ei j k , определенных законом преобразования псевдотензора третьего
ранга. Поэтому, величины ei j k  1,
для i,j,k=123,231,312 и ei j k  1 для
i,j,k=213,132, 321 и равны нулю в случае, если значения индексов совпадают.
Таким образом, компоненты символа Леви-Чивита не зависят от выбора
39
системы
координат,
что
согласуется
с их
определением,
если
они
преобразуются как псевдотензор третьего ранга.
Действия над тензорами, описанные в разделе 3, обобщаются на случай
псевдотензоров:
1. Покомпонентное сложение возможно в случае, когда оба слагаемых
являются
тензорами
или
псевдотензорами
одинакового
ранга.
Покомпонентное сложение тензоров и псевдотензоров одинакового ранга в
физических уравнениях принципиально возможно. Но “закон природы”,
описанный такими уравнениями, не симметричен относительно зеркальных
отражений.
2. Внешнее произведение тензора и псевдотензора дает псевдотензор
суммарного ранга. Внешнее произведение двух псевдотензоров дает тензор
суммарного ранга.
3. Операция свертки псевдотензора по паре одинаковых индексов дает
псевдотензор ранга, на два меньше исходного.
4. При перестановке индексов в псевдотензоре получается псевдотензор того
же ранга.
Задачи.
6.1 Найти матрицу преобразования, включающую вначале поворот на 90 0
вокруг оси Oz, а затем инверсию.
Решение
задачи
6.1
Искомая
матрица
преобразования
 1 0 0 
 cos 
произведение двух матриц:  0 1 0  и   sin 
 0 0 1
 0



sin 
cos 
0
строится
как
0
0  .
1 
Правая матрица определяет преобразование системы координат при повороте
вокруг оси OZ на угол  . (См решение задачи 2.2.3). Левая матрица –
40
определяет преобразование системы координат при инверсии.
Найдем их
произведение для конкретного значения угла поворота    2 ,
 1 0 0  0 1 0   0 1 0 
  1 0 0 

1
0
0
U    0 1 0 

 

 0 0 1 0 0 1   0 0 1 


 

6.2 Как преобразуются компоненты псевдовектора при инверсии?
Решение
задачи
псевдовектора
U 0 ij   ij .
6.2
При
инверсии
преобразуются
по
системы
закону
координат
компоненты
ci  det U 0 U 0 ij c j ,
где
Учитывая, что определитель матрицы U 0  равен –1, получим
ci   ij c j  ci . При инверсии системы координат компоненты псевдовекторов
не изменяются ( в отличие от векторов, компоненты которых изменят знак ).
6.3 Даны: ai истинный вектор и bi - псевдовектор. Чем является их векторное
произведение - вектором или псевдовектором?
6.4
Даны: ai , bi и ci - истинные векторы. Что представляет собой их


смешанное произведение a , b , c  ?
6.5 Даны: ai и bi - истинные векторы, ei j k - псевдотензор Леви-Чивита. Что
представляет собой многокомпонентная величина ei j k a j bk ? Почему? Какие
операции производятся при получении этой величины?
Решение задачи 6.5 В результате выполнения свертки по двум парам индексов
j,k внешнего произведения псевдотензора 3-го ранга ei j k и тензора 2-го ранга
a j bk должен получиться псевдотензор 1-го ранга (псевдовектор). Убедимся в
этом. Выполним такую свертку в иной декартовой координационной системе
ei j k aj bk   det U
jk

U ilU jmU kn elmnU jp a pU kqbq . Мы воспользовались
l ,m ,n , p ,q
41
законами преобразования компонент символа Леви-Чивита и векторов. Учтем
ортогональность матрицы преобразования
U
U jp   mp ,
jm
U
U kq   nq ,
kn
k
j
и просуммируем по индексам j,k. В результате получим:
ei j k aj bk  det U

U il  mp nq elmn a p bq  det U
l ,m ,n , p ,q
U e
a b
il lmn m n .
l ,m ,n
Данное выражение можно записать более компактно как ci  det U
U
c
il l ,
l
где ci  ei j k a j bk .
Что и
подтверждает законность операций внешнего
произведения и свертки, в результате которых получается псевдотензор 1-го
ранга ei j k a j bk .
6.6
Даны: ai - псевдовектор, ei j k - псевдотензор
Леви-Чивита. Что
представляет собой многокомпонентная величина ei j k ak ? Почему?
6.7 Даны: ai - истинный вектор, bi - псевдовектор. Что представляет собой
величина ak bk ? Почему?
7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА.
Закон преобразования компонент радиус-вектора r ( x1 , x2 , x3 ) при
ортогональном преобразовании декартовой системы координат имеет тот же
вид, что и закон преобразования любого вектора (см. раздел 2):
xi  U ij x j
j
Рассмотрим новые координаты  x1, x2 , x3  как функции координат
42
x1 , x2 , x3 (т.е. xi  xi( x1 , x2 , x3 ) ),
мы видим, что:
xi
 Ui j
x j
Матрица обратного преобразования определяется матричными элементами:
U i j
1

xi
xj
Поскольку матрица U  ортогональна, то
U i j  U i j  U j i
1
T
таким образом, в случае ортогональных преобразований:
xi x j

x j xi
Теперь можно строго доказать, что частные производные скалярного
поля  в каждой точке пространства являются компонентами векторного поля
grad  .
равны:
Компоненты градиента в новой системе координат
  x1, x2 , x3 
.
xi
x1, x2 , x3 
  x1, x2 , x3    x1 , x2 , x3  .
При этом
Переходя от новых координат  xi , к исходным координатам  xi  получаем:
  x1, x2 , x3    x1 , x2 , x3  x j xi 



 Ui j
xi
x j
xi x j x j
x j
Итак, мы видим, что величины:  xi в самом деле, преобразуются по
закону преобразования векторных величин.
 2
Аналогично доказывается, что многокомпонентные величины
и
xi xk
ui x j , где ui - компоненты векторного поля, являются тензорами второго
43
ранга. Тензор второго ранга ui x j
в общем случае не является ни
симметричным, ни антисимметричным тензором. Его, однако, можно
представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:
u i 1  u i u j  1  u i u j 
 


 

x j 2  x j xi  2  x j xi 
u j 
1  u
Антисимметричный тензор второго ранга pij   i 
 имеет три
2  x j xi 
отличные от нуля компоненты.
Вследствие этого бывает удобно вместо
тензора pi j ввести псевдовектор, определенный равенством: si  ei j k pk j .
Симметричный тензор
1  u i u j 


 удобно представить в виде суммы
2  x j xi 
шарового тензора и симметричного тензора, имеющего нулевой след (тензора
девиации Dij ):
1  u i u j   1  u i u j  1 uk  1 uk
1


 Di j   i j divu

 
  i j
  i j
2  x j
xi   2  x j
xi  3
xk  3
xk
3
Для тензорного поля Ti1 i2 ...i N ( x1 , x2 , x3 ) N-го ранга справедлива обобщенная
теорема Остроградского-Гаусса.

V iN
Ti1 i2 ...iN
xiN
dV    Ti1 i2 ...i N dSiN
(7.1)
S iN
Задачи.
7.1.
Доказать,
что
многокомпонентная
симметричным тензором второго ранга.
44
величина
 2
xi xk
является
7.2. Дан вектор ui . Доказать, что многокомпонентная величина
u i
является
x j
тензором второго ранга.
7.3 Показать, что si  ei k j p j k  ei k j
u j
xk
1  u i u j 

.
2  x j xi 
  rot u i , здесь pij  
7.4 Доказать, что тензор девиации имеет нулевой след: Di i  0 .
u j  1 uk
1  u
Решение задачи 7.4 Свернем тензор девиации Di j   i 
  i j
2  x j xi  3 xk
по индексам i,j. Учитывая, что величина свертки единичного тензора  ii  3 ,
1  u
u  1 u
u
u
получим Di i   i  i    i i k  i  k  0 .
2  xi xi  3 xk xi xk
7.5 Векторное поле u имеет компоненты: u  (2 x  3 y, 4 x  3z, x  y  z) .
Найти компоненты тензора девиации Dij
Решение задачи 7.5
Вычислим значения всех частных производных ui x j .
Получим: u1 x1  2 , u1 x2  3 , u1 x3  0 , u2 x1  4 , u2 x2  0 ,
u2 x3  3 , u3 x1  1 , u3 x2  1 , u3 x3  1 . С учетом значения величины
свертки uk xk  2  0  1  1 , найдем компоненты тензора девиации
5 3 1 2 1 2 
1  u i u j  1 u i 1  u i u j  1

Di j  

 

2  .
  i j
   i j   1 2 1 3
2  x j xi  3
x j 2  x j xi  3
1 2
2
4 3 

2
2
7.6 Задано векторное поле u в двумерном пространстве: u  ( xy, x  y ) .
Найти компоненты тензора девиации Di j в точках: a) x=1, y=2; b) x=0, y=1.
Найти собственные значения и собственные векторы тензора девиации в этих
точках.
Решение задачи 7.6 В двумерном пространстве тензор девиации имеет вид:
45
u j  1 uk
1  u
.
Di j   i 
  i j
2  x j xi  2
xk
Индексы i,j в данном случае принимают
значения только 1 и 2. След единичного тензора  i i  2 , отсюда следует что
Di i  0 . Вычислим значения всех частных производных ui x j . Получим:
u1 x1  x2 , u1 x2  x1 , u2 x1  2 x1 , u2 x2  2 x2 . Свертка uk xk   x2 .
 3 x 2 3 x1 2 
Компоненты тензора девиации Di j   2
 . В точке с координатами
3
x
2

3
x
2
 1
2

x1  1, x2  2 компоненты D11   D22  3 , D12  D21  3 2 .
значения
det
3
32
1,2
данного
тензора
находим
как
корни
Собственные
уравнения
32
3 5
 0 , или (3   )(3   )  9 4  0 , отсюда 1,2  
.
3  
2
Подставив поочередно найденные собственные значения в уравнение,
3  
определяющее компоненты собственных векторов, 
 32
3 2   E1   0 
,
 
3     E2   0 
найдем 3 2  E1   3    E2 . Собственные векторы находятся с точностью до
общего множителя, поэтому можно задать значение компоненты E2  1, что
дает значение компоненты E1  2  2 3 . Итого, векторы с компонентами
2 

5 , 1 являются собственными векторами тензора девиации в заданной
точке
двумерного пространства
и принадлежат собственным значениям
1,2   3 5 2 , соответственно.
7.7
Доказать обобщенную теорему Остроградского-Гаусса для тензорного
поля Ti1 i2 ...i N ( x1 , x2 , x3 ) N-го ранга.
Указание: Умножить обе части равенства (7.1) на произвольный постоянный
46
тензор Ai1 i2 ...iN 1 ранга (N-1) и выполнить свертку по индексам i1 i2 ...iN 1 .
ЛИТЕРАТУРА
1. И.В.Савельев. Основы теоретической физики. Т.1.- М.: Наука, 1975.
2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.
3. В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.М.: Наука, 1970.
4. А.И.Борисенко, И.Е.Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления.- Харьков: Вища школа, 1986.
5. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ - М.: Наука, 1967.
47