05-Глава-3-Дифференциальное

ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Определение производной, её геометрический и
физический смысл
Пусть функция y = f (x) задана на некотором интервале (a, b).
Возьмём два значения аргумента x  (a, b) и x + Δx  (a, b) и вычислим
в них значения функции y = f (x) и y + Δy = f (x + Δx) (рис. 37), а затем
составим отношение приращения функции к прирашению аргумента:
y f ( x  x)  f ( x)

.
(3.1)
y
x
x
О п р е д е л е н и е. Предел отy  f (x)
N
ношения приращения функции
f ( x   x)
к приращению аргумента, когда
касат.
y
M
приращение аргумента стремитf (x)
x

ся к нулю, называется производ
x
a
x
x x b
0
ной функции y = f (x) в точке x и
обозначается одним из симвоРис. 37
лов y  или f (x) :
f ( x  x)  f ( x)
y
или f ( x)  lim
.
(3.2)
y  lim
x 0
x  0 x
x
Производная f (x) , вычисленная по формуле (3.2) в произвольной
точке x  (a, b), есть некоторая новая функция, произведённая из данной функции f (x) с помощью предельного перехода. Если значение x
зафиксировать, полагая x = x0 , то значение f ( x0 ) есть число, равное
значению функции f (x) в точке x0 .
Проведём через две точки M (x, f (x)) и N (x + Δx, f (x + Δx)) прямую MN, называемую секущей, и обозначим через φ её угол наклона
(рис. 37). Тогда угловой коэффициент секущей kсек. будет равен значению
y f ( x  x)  f ( x)
.
(3.3)
kсек.  tg φ 

x
x
При x  0 точка N будет перемещаться по графику в точку M, а секущая MN будет поворачиваться вокруг точки M. Предельное положение секущей, когда точки M и N совпадут, называется касательной к
графику функции y = f (x) в точке M.
Обозначим через α угол наклона касательной, а через k = tg α –
её угловой коэффициент. Тогда согласно формулам (3.2) и (3.3)
y
f ( x  x)  f ( x)
k = tg α = lim tg φ = lim
 lim
 f ( x) . (3.4)
x 0 x
x 0
x  0
x
57
Следовательно, производная f (x) имеет геометрический смысл углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции
y = f (x) в точке M (x, f (x)).
Если точка M имеет фиксированные координаты ( x0 , f ( x0 )) , то
k = f ( x0 ) . Уравнение касательной как прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, примет вид:
y  f ( x0 )  f ( x0 )  ( x  x0 ) .
(3.5)
Рассмотрим физическую задачу о прямолинейном движении
материальной точки M по закону S = S (t), где t – время движения,
S (t) – путь, пройденный за время t. Положение точки M в моменты
времени t0 и t0 + Δt будет определяться пройденным путём S ( t0 ) и
S ( t0 + Δt) = S ( t0 ) + ΔS ( t0 ) (рис. 38).
Средняя скорость движения за время Δt буS (t 0   t )
дет равной отношению
S
S (t 0 ) S (t 0  t )  S (t 0 )
Vср.(t ) 

.
(3.6)
S (t 0 )
S (t 0 )
t
t
Рис. 38
Тогда мгновенная скорость точки в момент времени t0 есть предел
средней скорости при t  0 , который согласно формуле (3.2) равен
V (t0 )  lim Vср.(t )  lim
t 0
t 0
S (t0  t )  S (t0 )
 S (t0 ) .
t
(3.7)
Следовательно, производная от пути по времени имеет физический смысл мгновенной скорости при прямолинейном движении.
3.2. Дифференцируемость и непрерывность функции.
Формулы дифференцирования
Функция y = f (x), имеющая в точке x0 конечную производную
f ( x0 ) , называется дифференцируемой в точке. Если функция имеет
конечную производную f (x) в каждой точке интервала (a, b), то она
называется дифференцируемой на интервале. Операцию нахождения
производной называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства дифференцируемых функций, называют
дифференциальным исчислением.
Установим связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 ,
т. е. существует конечный предел
58
lim
x 0
 f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
 f ( x0 ) .

x

0
x
x
(3.8)
По теореме 1 п.2.8 о связи функции, её предела и бесконечно малой
функции отсюда получаем равенство
 f ( x0 )
 f ( x0 )   (x)   f ( x0 )  f ( x0 )  x   (x)  x,
x
(3.9)
где  (x) x


0 .
0
Переходя теперь к пределу при x  0 , получаем
lim  f ( x0 )  0 .
(3.10)
x 0
Согласно определению 2 п.2.10 непрерывности функции в точке
это означает, что f (x) непрерывна в точке x0 . Следовательно, если f (x)
дифференцируема на интервале (a, b), то она непрерывна на этом интервале.
В школьном курсе математики выведены формулы дифференцирования основных элементарных функций, которые обычно называют
таблицей производных.
Таблица производных
1
;
x
7) (sin x)  cos x ;
8) (cos x)   sin x ;
1
9) ( tg x) 
;
cos2 x
6) (ln x) 
1) (C )  0 , C – постоянное число;
2) ( x )    x1 ,
α – действительное число;
α = 1: ( x)  1 ;
α=
1
2

 1
:  x2  
 
 x   2 1 x ;
10) (ctg x)  

1
1
α  1 : ( x 1 )      2 ;
x
 x
11) (arcsin x) 
1
;
1  x2
1
12) (arccos x)  
;
1  x2
1
13) (arctg x) 
;
1  x2
1
14) (arcctg x)  
.
1  x2
3) (a x )  a x ln a , a  0 , a  1 ;
4) (e x )  e x ;
5) (log a x) 
1
;
sin 2 x
1
;
x ln a
59
3.3. Правила дифференцирования элементарных функций.
Производная неявной функции
Для нахождения производных элементарных функций, не указанных в таблице производных, используются правила дифференцирования, установленные в школьном курсе математики:
1) (u( x)  v( x))  (u  v)  u  v ;
(3.11)
2) (u( x)  v( x))  (u  v)  u  v  u  v ;
(3.12)
3) (C  u( x))  (C  u)  C  u ; C – постоянное число;
(3.13)
4) (u( x)  v( x)  w( x))  (u  v  w)  u  v  w  u  v  w  u  v  w ; (3.14)


 u ( x )   u  u   v  u  v
    
5) 
.
(3.15)
v2
 v( x)   v 
6) Т е о р е м а. Пусть y = f (u), где u = φ(x). Тогда производная
сложной функции y = f [φ(x)] находится по правилу:
y( x)  f u (u )  ux ( x) u ( x)  f u ( ( x))  ( x) ,
(3.16)
где нижний индекс указывает, по какой переменной находится производная.
Правило дифференцирования сложной функции в формуле (3.16)
можно сформулировать в виде «правила цепочки»: производная от
сложной функции f [φ(x)] по независимой переменной x равна производной от внешней функции f по промежуточной переменной u = φ(x),
умноженной на производную u  (x) от промежуточной переменной
по независимой переменной x.
Если сложная функция образована суперпозицией более двух
функций, то «правило цепочки» надо повторить соответствующее число раз.
Ч а с т н ы й с л у ч а й:


 C 
C

  C  u 1 ( x)  C  (1)  u  2 ( x)  u( x)   2
 u( x) . (3.17)
u ( x)
 u ( x) 
7) Если функция задана неявно, т. е. уравнением F (x, y) = 0, не
разрешённым относительно y, то для нахождения производной
y  y(x) нужно продифференцировать по переменной x уравнение
F (x, y (x)) = 0, рассматривая при этом y (x) как сложную функцию от x,
и полученное после этого уравнение разрешить относительно искомой
производной y  , которая будет выражаться через x и y.


60
П р и м е р. Найти y  , если x3 + y3 – 3xy = 0.

Р е ш е н и е. x 3  y 3  3xy  0  3x 2  3 y 2  y  3  (1  y  x  y)  0 




x 2  y 2  y  y  x  y  0  y  y 2  x  y  x 2  y 
y  x2
.
y2  x
3.4. Дифференциал функции. Производная функции,
заданной параметрическими уравнениями
Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , тогда её
приращение, согласно формуле (3.9) из п.3.2, имеет вид:
 f ( x0 )  f ( x0 )  x   (x)  x,  (x) x


0 .
0
(3.18)
Если f ( x0 )  0 , то первое слагаемое f ( x0 )  x является линейным
относительно Δx, т. е. первой степени относительно Δx, и при |Δx| < 1
составляет главную часть приращения, т. е.
(3.19)
 f ( x0 )  f ( x0 )  x .
О п р е д е л е н и е. Главная линейная часть f ( x0 )  x приращения функции называется дифференциалом функции f (x) в точке x0 и
обозначается символом
(3.20)
df ( x0 )  f ( x0 )  dx ,
где по определению обозначено dx  x .
Выясним геометрический смысл дифференциала функции в точке x0 ,
используя рис. 39. Согласно рисунку, дифференциал функции df ( x0 )
геометрически равен
y
приращению функции y = f (x) в точке
y  f (x)
касат.
x0 , вычисленному не
f ( x0   x)
по графику функции, а
 f ( x0 )
df ( x0 )  tg    x  f ( x0 ) dx

f ( x0 )
по графику каса x  dx

тельной, проведённой
x0   x
x0
x
0
в точке ( x0 , f ( x0 )) .
Рис. 39
Дифференциал df ( x0 ) вычисляется значительно проще приращения  f ( x0 ) , поэтому в приближённых вычислениях применяют равенство
 f ( x0 )  d f ( x0 )  f ( x0 )dx .
(3.21)
61
Дифференциал функции обладает всеми свойствами производной
и вычисляется по аналогичным формулам и правилам, указанным в
таблице производных и в правилах дифференцирования в п.3.2 и п.3.3.
Если дифференциал вычисляется в произвольной точке x  (a, b), то
формула (3.20) принимает вид
dy  f ( x)dx .
(3.22)
Отсюда следует равенство
dy
y 
 f (x) .
dx
(3.23)
dy
можно рассматривать
dx
как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx. Если зависимость между переменными x и y задана параметрическими уравнениями
Теперь обозначение производной y 
x  x (t ) , y  y (t ) ,
(3.24)
где t – независимая переменная, называемая параметром, то производная y(x) находится как отношение дифференциалов по формуле
dy y(t ) dt y(t )
.
(3.25)
y( x) 


dx x(t ) dt x(t )
Отсюда видно, что производная y(x) функции, заданной параметрическими уравнениями (3.24), выражается через параметр t как и
сама функция.
Например, пусть x = t3 + t + 1, y = t2 + 2. Тогда
y( x) 
(t 2  2)
2t
.
 2
3
(t  t  1) 3t  1
3.5. Производные высших порядков. Физический смысл
производной второго порядка
Пусть функция y = f (x) на интервале (a, b) имеет производную
y  f (x) , которая также является функцией от x. Назовём её производной первого порядка.
Если функция f (x) дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается символами
( y)  y  y (2) или
d  dy  dy d 2 y

.
 
dx  dx  dx dx 2
62
(3.26)
Производная от производной второго порядка, если она существует,
называется производной третьего порядка и обозначается

dy d  d 2 y  d 3 y

.
(3.27)
 
( y)  y ( 2)  y  y (3) или
dx dx  dx 2  dx3
 
Производной любого n-го порядка, или n-й производной, называется
производная от производной (n – 1)-го порядка:

d n y d  d n 1 y 
.
(3.28)
y ( n)  y ( n 1) или

dx n dx  dx n 1 
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Рассмотрим физический смысл производной второго порядка.
Пусть материальная точка M движется прямолинейно по закону
S = S (t) со скоростью V (t )  S (t ) , где t – время движения, S (t) – путь,


пройденный за время t. Тогда за время Δt скорость V (t ) получит приращение V  V (t   t )  V (t ) . Отношение
V
Wср.(t ) 
(3.29)
t
называется средним ускорением движения точки за время Δt. Предел
этого отношения при t  0 называется ускорением точки M в данный
момент времени t и обозначается W (t ) :
V
(3.30)
W (t )  lim
 V (t )  S (t )   S (t ) .
t 0 t
Таким образом, вторая производная от пути по времени имеет физический смысл ускорения точки при её прямолинейном и неравномерном движении. Если же точка движется равномерно, т. е. с постоянной
скоростью V (t) = const, то W (t) = (const)  0 .
З а м е ч а н и е. Производные 2-го порядка от функций, заданных
неявно и параметрически, определяются аналогично как производные
от производных 1-го порядка, но имеют гораздо более сложный вид.
3.6. Основные теоремы дифференциального исчисления
Рассмотрим теоремы, устанавливающие связь между отдельными
свойствами функций и их производными.
Т е о р е м а Ф е р м а. Пусть функция y = f (x) дифференцируема
на интервале (a, b) и в некоторой точке c  (a, b) имеет наибольшее или
наименьшее значение. Тогда производная функции в этой точке равна нулю:
(3.31)
f (с)  0 .
63
Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л (рис. 40).
Так как по геометрическому смыслу производной должно выполняться равенство
f (с)  tg , где α – угол наклона касательной, то геометрически теорема Ферма означает, что в точке наибольшего или наименьшего
(
)
x
c2 b
0 a c1
значения дифференцируемой на интервале
Рис. 40
функции касательная к её графику параллельна оси Ox.
Т е о р е м а Р о л л я. Пусть функция y = f (x) на отрезке [a, b]
удовлетворяет трём условиям: 1) f (x) непрерывна на отрезке [a, b];
2) f (x) дифференцируема на интервале (a, b); 3) на концах отрезка имеет равные значения f (a) = f (b).
Тогда существует хотя бы одна точка c  (a, b), в которой производная равна нулю: f (с)  0 .
Геометрический смысл
y
(рис. 41). Геометрически теорема
Ролля означает, что на графике
f ( a )  f (b )
дифференцируемой на интервале
функции, принимающей на концах
отрезка равные значения, всегда
]
[
найдётся хотя бы одна точка c 
x
0 a c1
b
c2
(a, b), в которой касательная паралРис. 41
лельна оси Ox.
Т е о р е м а Л а г р а н ж а. Пусть функция на отрезке [a, b] удовлетворяет двум условиям:1) f (x) непрерывна на отрезке [a, b]; 2) f (x)
дифференцируема на интервале (a, b).
Тогда найдётся точка c  (a, b), в которой выполняется равенство
f (b)  f (a )
f (с) 
.
(3.32)
ba
Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л (рис. 42). Согласно рисунку
y
f (b)  f (a )
касат.
 tg  , где α – угол наклона
ba
B хорда
f (b)
хорды AB, соединяющей концы графика
f (b )  f ( a )
на отрезке [a, b]. Геометрически теорема

A
f (a )
Лагранжа означает, что на графике дифba
ференцируемой на интервале функции
]
[
c
x
b
a
0
всегда найдётся точка, в которой касаРис. 42
тельная параллельна хорде AB.
y
64
В а ж н о е с л е д с т в и е. Формула (3.32), записанная в форме
(3.33)
f (b)  f (a)  f (c)  (b  a) , a  c  b ,
называется формулой Лагранжа. Она выражает конечное приращение
функции f (b) – f (a) через значение производной f (с) в некоторой
средней точке x = c интервала (a, b) и через длину отрезка [a, b]. Её
можно применить и к отрезку [x, x + Δx] бесконечно малой длины Δx.
Принимая x = a, x + Δx = b, получим b – a = Δx, f (b) – f (a) = Δf (x).
Формула Лагранжа в новых обозначениях принимает вид
(3.34)
 f ( x)  f (c)  x , x  c  x  x .
cx
  , где 0    1 , то c  x   x
Если дополнительно обозначить
x
и формула (3.34) примет вид
(3.35)
 f ( x)  f ( x   x)  x , 0    1 .
Формулы (3.34) и (3.35) выражают бесконечное малое приращение функции и также называются формулами Лагранжа.
f ( x)
представляет
 ( x)
собой неопределённость вида (0/0) или (∞/∞) при x  a , где a – фиксированное число или символ ∞. Тогда предел отношения функций
равен пределу отношения их производных:
f ( x)
f ( x)
.
(3.36)
lim
 lim
x  a  ( x)
x  a ( x)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему для неопределённости
вида (0/0) при x  a , где a – число. Для остальных случаев теорема
доказывается соответствующей заменой переменной.
Пусть lim f ( x)  f (a)  0 и lim  ( x)   (a)  0 . Применим форТ е о р е м а Л о п и т а л я. Пусть отношение
x a
x a
мулу Лагранжа (3.33) к функциям f (x) и  (x) на отрезке [a, x]. Тогда
f (c1 )  ( x  a)
f (c1 )
f ( x)
f ( x)  f ( a )
, (3.37)
lim
 lim
 lim
 lim
x  a  ( x)
x  a  ( x)   ( a )
x  a (c2 )  ( x  a)
x  a (c2 )
где a  c1  x и a  c2  x . При x  a из этих неравенств следует
c1  a и c2  a . Используя теперь теорему о пределе частного двух
функций и независимость предела функции от обозначения её переменной, получаем:
f (c1 ) lim f ( x)
f (c1 ) xlim
f ( x)
f ( x)
.
lim
 lim
 a
 x a
 lim
x  a  ( x)
x  a (c2 )
lim (c2 ) lim ( x) x  a ( x)
x a
x a
65
З а м е ч а н и е. Правило раскрытия неопределённостей, указанное
в теореме формулой (3.36), называется правилом Лопиталя. Если отf ( x)
ношение
вновь представляет собой неопределённость вида (0/0)
( x)
или (∞/∞), то правило Лопиталя можно применить повторно до исчезновения неопределённости:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
 0 / 0  lim
 0 / 0  lim
и т. п.
(3.38)
x  a ( x )
x  a ( x )
x  a ( x )
3.7. Определение монотонных функций. Достаточные
условия монотонности
О п р е д е л е н и е. Пусть функция y = f (x) определена на (a, b).
Если  x1, x2  (a, b), удовлетворяющих неравенству x1 < x2, выполняются условия:
1) f (x1) = f (x2), то y = f (x) называется постоянной на (a, b), т. е. y = C;
2) f (x1) < f (x2), то y = f (x) называется возрастающей на (a, b);
3) f (x1)  f (x2), то y = f (x) называется неубывающей на (a, b);
4) f (x1) > f (x2), то y = f (x) называется убывающей на (a, b);
5) f (x1)  f (x2), то y = f (x) называется невозрастающей на (a, b).
Указанные в пунктах 1) – 5) функции называются монотонными.
Достаточные условия монотонности формулируются в форме следующей теоремы.
Т е о р е м а. Пусть функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда, если  x  (a, b) выполняется условие:
1) f ( x)  0 , то f (x) постоянна на (a, b);
2) f ( x)  0 , то f (x) возрастает на (a, b);
3) f ( x)  0 , то f (x) убывает на (a, b).
Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л теоремы (рис. 43). По геометy
рическому смыслу производной f ( x)  tg , где
0

α – угол наклона касательной к оси Ox. Если угол
0

α острый, т. е. 0    , то tg   f ( x)  0 и

2
график функции возрастает на (a, b). Если же угол
x
0
Рис. 43

α тупой, т. е.
    , то tg   0 , f ( x)  0 и
2
график функции убывает. В отдельных точках графика может оказаться, что α = 0, тогда tg   f ( x)  0 , т. е. касательная параллельна оси
Ox, а функция принимает постоянное значение.
66
3.8. Экстремум функции. Необходимые и достаточные
условия экстремума
Рассмотрим схематический график некоторой функции на интервале (a, b). Из рис. 44 видно, что на (a, x1)  (x2, x3) функция возрастаy
ет, а на (x1, x2)  (x3, b) она убывает. Для точек x1, x2, x3, в которых характер монотонности меняется, вводится определение.
О п р е д е л е н и е. Если при переходе
через точку x0 слева направо функция изменяется от возрастания к убыванию, то точка
(
0 a x1 x2 x3 )b x x0 называется точкой максимума функции. Если
Рис. 44
же функция изменяется от убывания к возрастанию, то x0 называется точкой минимума. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значение функции в точке
экстремума называется экстремумом функции и обозначается символом f max ( x0 ) (максимум) и f min ( x0 ) (минимум).
На рис. 44 x1 и x3 являются точками максимума, а x2 – точкой минимума. Граничные точки x = a и x = b точками экстремума не могут
быть, так как слева от x = a и справа от x = b функция не задана. Таким
образом, понятие экстремума связано с достаточно малой окрестностью внутренней точки x0 интервала (a, b) и отличается от понятий
наибольшего и наименьшего значений функции, которые могут достигаться и в граничных точках отрезка.
Необходимые условия экстремума функции определяются значением её производной f (x) в точке x0.
Т е о р е м а 1. (Необходимое условие экстремума). Для того чтобы непрерывная функция y = f (x) имела экстремум в точке x0 необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась нулю f ( x0 )  0
или не существовала, т. е. f ( x0 )  ∞.
На рис. 44 в точках x1 и x3 выполняются условия f ( x1 )  0 и
f ( x3 )  0 ; такие точки называются точками гладкого экстремума. В
точке x2 выполняется условие f ( x2 )  ∞; такая точка называется точкой острого экстремума.
Равенства
(3.39)
f ( x0 )  0 и f ( x0 )  ∞
называются необходимыми условиями экстремума, а точки оси Ox, в
которых выполняются необходимые условия, называются критическими точками 1-го рода.
67
Наличие у функции критических точек 1-го рода, однако, не означает, что функция имеет в них экстремум, так как в точке экстремума
функция должна изменяться от возрастания к убыванию или, наоборот,
от убывания к возрастанию. Поэтому нужно использовать достаточные
признаки монотонности функции, позволяющие установить наличие
экстремума и его характер, т. е. максимум или минимум. Это приводит
к следующей теореме о достаточном условии экстремума.
Т е о р е м а 2. (Достаточное условие экстремума). Если x0 –
критическая точка 1-го рода функции y = f (x) и при переходе через неё
слева направо производная f (x) меняет свой знак с плюса на минус
(рис. 45), то x0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс (рис. 46),
то x0 – точка минимума.
Знак f ( x)
Знак f ( x)
y  f (x)



x0
x
y  f (x)

x0
x
Рис. 45
Рис. 46
З а м е ч а н и е. Геометрически достаточным условием существования экстремума функции y = f (x) в точке x0 является изменение углов наклона касательных к кривой y = f (x): с острых углов на тупые
углы при переходе через точку максимума и с тупых углов на острые
углы при переходе через точку минимума. Если указанного изменения
углов наклона касательных не происходит, то производная f (x) не
меняет знак и экстремума в критической точке 1-го рода нет.
3.9. Наибольшее и наименьшее значения функции
В практических приложениях важное значение имеют задачи на
нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме
Вейерштрасса она достигает на нём наибольшего и наименьшего значений. Это может произойти либо в точках экстремума, либо на концах
отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений на отрезке [a, b] рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1. Найти производную f (x) .
2. Найти критические точки 1-го рода, в которых f ( x)  0 или
f (x)  ∞.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка f (a ) и f (b) ; затем выбрать из них наибольшее значение fнаиб. и
наименьшее значение fнаим. и записать их в ответ.
68
Если функция непрерывна на некотором промежутке, не являющимся отрезком, то среди её значений может и не быть наибольшего
или наименьшего. Однако для любого промежутка (отрезка, конечного
или бесконечного интервала и полуинтервала) справедливо следующее
свойство непрерывных функций: если функция непрерывна на промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим
значением в случае минимума и наибольшим – в случае максимума.
3.10. Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точки перегиба
Пусть функция y = f (x) на (a, b) имеет непрерывные производные f ( x) , f ( x) . Рассмотрим два случая положения касательной относительно графика функции, показанные на рис. 47 и рис. 48.
y
y
f ( x)  0
f ( x )  0
f ( x)  0
f ( x)  0
f ( x )  0
f ( x)  0
0
(
a
)
b
x 0
(
a
)
b
x
Рис. 47
Рис. 48
О п р е д е л е н и е 1. График дифференцируемой на интервале
(a, b) функции y = f (x) называется выпуклым, если на этом интервале
он расположен ниже любой своей касательной (рис. 47), и называется
вогнутым, если он расположен выше любой своей касательной (рис. 48).
Нетрудно убедиться, что на интервале (a, b) производная f (x)
монотонно убывает на рис. 47 и монотонно возрастает на рис. 48. Используя достаточные условия монотонности функции, указанные в
теореме п.3.7, и применяя их к функции y = f (x) , установим достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции y = f (x).
Т е о р е м а 1. График функции y = f (x) является выпуклым на
интервале (a, b), если f ( x)  0 , и является вогнутым на этом интервале, если f ( x)  0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f ( x)  ( f ( x))  0 , то функция
f (x) убывает на интервале (a, b) и, согласно рис. 47, её график является выпуклым на этом интервале. Если же f ( x)  ( f ( x))  0 , то функция f (x) возрастает на интервале (a, b) и, согласно рис. 48, её график
вогнут на этом интервале. Теорема доказана.
О п р е д е л е н и е 2. Точка графика M0 (x0, f (x0)) назывется точ69
кой перегиба, если в ней выпуклость графика меняется на вогнутость
(рис. 49), или, наоборот, вогнутость меняется на выпуклость (рис. 50).
y
f ( x)  0
M0
f ( x)  0
f ( x0 )
0
x0
f ( x)  0
y
f ( x0 )
f ( x)  0
M0
x
0
x0
x
Рис. 49
Рис. 50
Из теоремы 1 и определения 2 следует, что абсцисса x0 точки перегиба есть критическая точка 1-го рода первой производной f (x) . Поэтому, если график функции y = f (x) имеет перегиб в точке M0 (x0, f (x0)), то
должно выполняться одно из двух условий: f ( x0 )  0 или f ( x0 )  ∞.
Точки оси Ox, в которых выполняется условие
(3.40)
f ( x)  0 или f (x)  ∞,
называются критическими точками 2-го рода функции y = f (x), а равенства (3.40) называются необходимыми условиями существования
точки перегиба графика функции.
Т е о р е м а 2. (Достаточное условие). Пусть x0  (a, b) – критическая точка 2-го рода функции y = f (x). Тогда, если f (x) меняет знак
при переходе через x0, то M0 (x0, f (x0)) есть точка перегиба.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, например, что f ( x0 )  0 при
x < x0 и f ( x0 )  0 при x > x0. Тогда по теореме 1 слева от точки x0 график выпуклый, а справа вогнутый, поэтому точка M0 (x0, f (x0)) является точкой перегиба графика функции по определению 2.
З а м е ч а н и е. Из рис. 49 и рис. 50 видно, что график функции с
одной стороны от точки перегиба расположен ниже касательной, а с
другой стороны – выше касательной, или наоборот. Поэтому точку
перегиба на графике принято показывать единичным отрезком касательной, которая в точке перегиба M0 (x0, f (x0)) пересекает график.
3.11. Асимптоты графика функции
Построение графика функции значительно упрощается, если
предварительно построить его асимптоты. Понятие асимптот вводится
для кривых, ветви которых уходят в бесконечность. Это может быть в
случаях, когда функция не ограничена в окрестности точки разрыва
или граничной точки промежутка, а также при x  ∞.
О п р е д е л е н и е 1. Прямая линия называется асимптотой
графика функции y = f (x), если расстояние d от точки M (x, f (x)), ле70
жащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении
точки M (x, f (x)) вдоль ветви графика в бесконечность.
Различают три вида асимптот: 1) вертикальные (рис. 51); 2)
горизонтальные (рис. 52); 3) наклонные (рис. 53).
y
xa
y
y
.
d
M ( x , f ( x ))
d
0
x
Рис. 51
x
0
.
y  kx  b
yb
d
.
M ( x , f ( x))
M ( x , f ( x))
Рис. 52
x 0
x
Рис. 53
О п р е д е л е н и е 2. Прямая (рис. 51) x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если хотя бы один из
односторонних пределов в точке a равен бесконечности:
lim f ( x)  ∞
x a 0
или
lim f ( x)  ∞.
x a  0
(3.41)
Из рис. 51 видно, что график функции имеет вертикальную асимптоту
x = a, если точка a есть точка разрыва 2-го рода или граничная точка
области определения функции.
О п р е д е л е н и е 3. Прямая (рис. 52) y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x), если существует конечный предел
(3.42)
lim f ( x)  b .
x 
З а м е ч а н и е. Если конечен лишь один из односторонних пределов lim f ( x)  b1 или lim f ( x)  b2 , то график функции имеет соx  
x 
ответственно правостороннюю y = b1 или левостороннюю y = b2 горизонтальную асимптоту. Если же b1 = b2, то асимптота называется двусторонней.
О п р е д е л е н и е 4. Прямая (рис. 53) y = kx + b называется
наклонной асимптотой графика функции y = f (x), если существуют
конечные пределы
f ( x)
,
(3.43)
b  lim [ f ( x)  kx] ,
k  lim
x  
x   x
или
f ( x)
,
(3.44)
b  lim [ f ( x)  kx] .
k  lim
x  
x   x
В первом случае получается правосторонняя наклонная асимптота, во втором – левосторонняя. При совпадении пределов (3.43) и
71
(3.44) прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой графика.
Если же хотя бы один из пределов в формулах (3.43) и (3.44) равен
бесконечности, то соответствующей наклонной асимптоты нет.
Из формул (3.42) – (3.44) нетрудно видеть, что горизонтальная
асимптота y = b является частным случаем наклонной асимптоты y = kx + b
при k = 0. Поэтому если в каком-либо направлении график имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной асимптоты, и наоборот, так как график функции не может одновременно неограниченно приближаться и к горизонтальной и к наклонной асимптотам при x  ∞.
3.12. План полного исследования функции и
построения её графика
Исследование функции и построение её графика целесообразно
выполнять в следующей последовательности.
1. Найти область определения функции и указать её точки разрыва, если они есть.
2. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или общего
вида.
3. Найти вертикальные асимптоты в точках разрыва функции и в
граничных точках, и исследовать поведение функции вблизи вертикальных асимптот по односторонним пределам.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности посредством
нахождения горизонтальных и наклонных асимптот.
5. Найти производную f (x) , интервалы монотонности, точки
экстремума и экстремумы функции.
6. Найти вторую производную f (x) , интервалы выпуклости и
вогнутости графика функции, а также точки перегиба.
7. Найти точки пересечения графика с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
8. На основании проведённого исследования построить график в
следующей последовательности: а) построить асимптоты; б) изобразить экстремумы, точки перегиба и точки пересечения графика с осями
координат; в) соединить указанные характерные точки гладкими кривыми с учётом интервалов монотонности функции, интервалов выпуклости и вогнутости графика и наличия асимптот.
З а м е ч а н и е. Построение графика следует проводить одновременно с исследованием функции.
72