§ 2

§ 2. Функция Эйлера.
Определение 1. Функцией Эйлера  (m) называется функция,
определяющая для каждого натурального числа m количество
неотрицательных чисел, меньших m и взаимно простых с m .
Очевидно, что число  (m) равно количеству чисел, которые образуют
ПрСВ по модулю m .
Примеры.  (1)  1 ,.  (2)  1,  (3)  2 ,  (4)  2 ,  (5)  1 ,,  (6)  2 ,
 (7)  6 ,  (25)  20 .
Свойства функции Эйлера.
1°. Если p - простое число, то  ( p)  p  1 .
Действительно, среди чисел 0,1,2,..., p  1 взаимно простых с p будет
p 1.
2°. Если p - простое число, то  ( p k )  p k  p k 1  p k 1 ( p  1) .
Действительно, среди чисел
1,2,3,..., p  1, p; p  1, p  2,...,2 p  1,2 p;2 p  1,...,3 p;3 p  1,..., p 2 ,..., p k 1 p  p k
в каждой группе (а групп p k 1 ) взаимно простых с p k содержится ( p  1 )число, а всего и будет p k 1  ( p  1) .
Определение 2. Числовая функция f (n) называется мультипликативной, если для каждого натурального n функция f (n)  0 и для всех
взаимно простых натуральных чисел n и m (то есть n, m  1 )
f ( n  m)  f ( n )  f ( m) .
Мультипликативные функции имеют следующие свойства: 1) если
f (n) - мультипликативная функция, то
f (1)  1 ; 2) если
f (n) мультипликативная функция и n1 , n2 ,..., nk - попарно взаимно простые, то
f (n1  n2  ...  nk )  f (n1 )  f (n2 )  ...  f (nk ) ;
произведение
мультипликативных
функций есть мультипликативная функция.
Примеры.  (n),  (n),  (n) - мультипликативные функции.
3°. Функция Эйлера  (m) является мультипликативной функцией, то
есть если n, m  1 , то
 ( n  m)   ( n )   ( m) .
Доказательство. Пусть n, m  1 , подсчитаем количество натуральных
чисел, меньших mn и взаимно простых с mn . Для этого все числа от 1 до
mn разместим в виде таблицы:
1,
2,
3,
…
…
m;
k,
…
m 1,
m 2,
m  3, …
mk,
2m ;
…
2m  1 ,
2m  2 ,
2m  3 , …
2m  k ,
3m ;
………………………………………………………………………….
( s  1) m ;
…
sm  1 ,
sm  2 ,
sm  3 , …
sm  k ,
…………………………………………………………………………
(n  1)m  1 ,
(n  1)m  2 ,
(n  1)m  3 , … (n  1)m  k ,
…
nm .
65
Взаимно простыми с произведением mn будут, очевидно, те и только те
числа, которые взаимно простые и с n , и с m . В каждой строке таблицы
 (m) чисел, взаимно простых с m , в каждом столбце таблицы  (n) чисел,
взаимно простых с n .
4°. Если каноническое разложение числа m имеет вид m  p1k p2k ... psk ,
то
1
s

i 1

 (m)  m 1 
2
s
1
.
pi 
5°. (Тождество Гаусса) Сумма значений функций Эйлера для всех
делителей d j числа m равна m :   (d j )  m .
j
Пример 1. Сколько натуральных чисел взаимно простых с 528 и не
превосходящих это число?
Решение. Используя мультипликативность функции Эйлера и формулу
 ( p )  p  p 1 , где p - простое число, вычислим функцию Эйлера:
 (528)   (24  3  11)   24   3   11  24  23  3  1  11  1  8  2  10  160 .
Пример 2. Вычислить а)  288 ; б)  30 .

1
p
Решение. а) Так как 288  25  32 , то по формуле  (m)  m   1  
pm


1 
2 

1
3
 288  288  1    1    96 .
1
1
1
б) Так как 30  2  3  5 , то  30  30  1    1    1    8 или
 30   2   3   5  1 2  4  8 .

2 
3 
5
Упражнения.
№1. а) Дайте определение функции Эйлера.
б) Какими основными свойствами обладает функция Эйлера.
в) Напишите выражение для  (m) по каноническому разложению
числа m .
№2. Выпишите все классы вычетов по модулю 20 и найдите число
классов вычетов, взаимно простых с 20. Сравните ответ с данными,
полученными по формуле Эйлера.
№3. Представить графически изменения функции Эйлера, где n ─ натуральное число.
№4. Напишите тождество Гаусса. Чему равна сумма:
а)  1   2   3   6   9   18 ;
б)  1    p     p 2   ...    p n  ?
№5. Вычислите:
а)  11, 169, 512 ; б)  13, 961, 3125 ;
в)  144, 2000, 168; г)  1000, 125, 360, 1001 .
66
№6. Сколько существует положительных правильных несократимых дробей
вида
a
при заданном числе b ?
b
№7. Найдите число всех положительных правильных несократимых дробей
a
со знаменателем b  2,3,4,5,6,7,8,9,10 .
b
№8. Доказать, что при m  3 значение  m - число четное.
№9. Докажите, что если nd , то число натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих с n наибольшим общим делителем число d , равно
n
   . Найдите это число, если а) n  300 , d  20 ; б) n  350 , d  15 ;
d
в) n  1665 , d  37 ; г) n  1476 , d  41.
вида
№10. Докажите:
 m   p, еслиm, p   p;
 m  p   
а)
 m    p  1, еслиm, p   1, где p  простое число .
б)  4  n  2   2  n  1 ;
в)  2k   2k 1 ,   p k   p k 1    p  ,  mk   mk 1   m , где k - натуральное;
 m 
Найдите критерий для каждого из этих случаев.
2   m 
г)  2  m   
2   n , при n,2   1
д)  4  k   

2   2  т , при n,2   2
№11. а)  k  n    k  n  

, где d  k , n ;
 d 
б)  k  n   d    m , где d  k , n и m  k , n.
№12. Покажите, что сумма S  чисел, взаимно простых с числом n и
меньших n , вычисляется по формуле: S   n   n  .
1
2
№13. Решите уравнения:
а)  11n   13310 ;  7n   294 ;  5n   100 ;
б)  3n  5k   600 ;  2  3  13   1792 ;
в)  2  n   3  n;  3  n   5  n ;
г)  n    n ;  n    n ;  n    n ;  n    n ;
1
1
1
2
2
3
4
3
д)  n  14 ;  n  8 ;  n  12 .
№14. Доказать, что  m  N , a, m  1 имеет место сравнение a L ( m)  1(mod m) ,
где L(m) - обобщенная функция Эйлера, определенная для всех натуральных значений m следующим образом:
L(1)  1 , а при m  1
67
 1
L (m)  НОК [ p1 1


  p1  1, p2 2 1  p2  1,..., ps s 1   ps  1] ,

где m  p1 1  p2 2  ...  ps s - каноническое разложение числа m .
№15. Доказать, что al ( m)  1(mod m) при всех a , взаимно простых с m , где
 L(m), при m не делящимся на 8

l ( m)   1
.
 2  L(m), при m делящимся на 8
№16. Доказать, что существует составные модули m , такие, что при всех a
взаимно простых с m имеет место сравнение a m 1  1(mod m) . Найти
несколько таких значений m .
№17. Доказать, что a существует бесконечное множество составных
чисел m таких, что a m 1  1(mod m) (Дюпарк, 1955 г.)
№18. (Лиувилль) Пусть n - четное число. Тогда
 (1)
d
d n
n
   0 .
d 
№19. (Лиувилль) Пусть d1 пробегает все нечетные делители числа n , а d 2 -
n
 n
n
все четные делители числа n . Тогда имеем         .
2
d n  d1 
d n  d2 
1
n
№20. (Дирихле) Имеет место формула
n
2
  s    s   2  (n
s 1
1
2
 n) .
№21. Докажите, что в последовательности Фарея Fn количество чисел
n
равно
 k   1 .
k 1
68