Предпочтения и полезность

Микроэкономика (продвинутый уровень)
Предпочтения и полезность
Потребительское множество X (если не сказано иное, в заданиях считаем X  RN )
Аксиома полноты: для любых двух наборов x и y из X должно выполняться следующее: либо
x~
 y , либо y ~
 x.
Аксиома транзитивности: для любых трех наборов x , y и z из X , если x ~
 y иy~
 z , то
x~
 z.
Отношение предпочтения, удовлетворяющее аксиомам полноты и транзитивности, в дальнейшем
будем называть рациональным.
Функцией полезности, представляющей предпочтения ~
 , определенные на множестве X,
называют функцию u: X→R такую, что для любых наборов x и y из X соотношение x ~
 y имеет
место тогда и только тогда, когда u ( x)  u ( y ) .
Замечание: любое положительное монотонное преобразование v( x )  f ( u( x )) , где f (  ) строго
возрастающая функция также представляет исходные предпочтения.
Утверждение
Если предпочтения ~
 , определенные на X, представимы с помощью функции полезности u(  ) , то
эти предпочтения являются рациональными.
Доказательство базируется на вышеприведенных определениях. Сделать самостоятельно!
Рациональности предпочтений достаточно для существования функции полезности, если X состоит
из конечного числа элементов (проверить самостоятельно!), но недостаточно для гарантрованного
существования функции полезности в общем случае. См. в MWG пример c лексикографическими
предпочтениями.
Отношение предпочтения ~
 , определенное на множестве X, непрерывно, если для любого
элемента x  X множества y  X : y ~
 x и y  X : y ~
 x являются замкнутыми.
Утверждение.
Пусть предпочтения ~
 , определенные на X, рациональны и удовлетворяют аксиоме
непрерывности. Тогда существует непрерывная функция полезности u( x ) , представляющая эти
предпочтения.
Предпочтения ~
 , определенные на X, являются строго монотонными, если для любых двух
наборов x и y из X таких, что y  x и y  x имеем y  x .
Предпочтения ~
 , определенные на X, являются слабо монотонными, если для любых двух
наборов x и y из X таких, что y  x имеем y ~
 x.
Предпочтения ~
 , определенные на X, являются монотонными, если для любых двух наборов x и
y из X таких, что y  x имеем y  x .
Предпочтения ~
 , определенные на X, являются локально ненасыщаемыми, если для любого
x  X и любого   0 существует y  X такой, что x  y   и y  x , где x  y  ( xi  y i ) 2 .
i
 , определенные на множестве X, являются выпуклыми, если для любых
Предпочтения ~
z и y~
x , y , z  X таких, что x ~
 z при любом 0    1 .
 z имеем x  (1  ) y ~
Предпочтения ~
 , определенные на множестве X, являются строго выпуклыми, если для любых
z и y~
x , y , z  X таких, что x ~
 z и y  x имеем x  (1  ) y  z при любом 0    1 .
Моделирование потребительского выбора
Задача максимизации полезности
Свойства маршалловского спроса x( p , I ) .
1) однородность степени ноль относительно цен и дохода: xp, I   x( p, I ) для любого   0 ;
2) если предпочтения локально ненасыщаемые, то маршалловский спрос удовлетворяет
бюджетному ограничению в форме равенства: для любого x  x( p , I ) имеем px  I ;
3) если предпочтения выпуклы, то x( p , I ) – выпуклое множество;
4) если предпочтения строго выпуклы, то для каждой пары ( p ,I ) множество x( p , I ) – состоит из
одного элемента, т.е. x( p , I ) является функцией спроса
5) +дополнительные свойства в случае дифференцируемости (позже)
Свойства косвенной функцией полезности v( p , I ) .
1) однородность степени ноль относительно ( p , I ) : v( p ,I )  v( p , I ) для всех   0 ;
2) не убывает по доходу; строго возрастает по доходу, если предпочтения локально ненасыщаемы;
3) не возрастает по ценам;
4) квазивыпукла по ( p , I ) , т.е. множество ( p, I ) : v( p, I )  v  - выпукло при любом v ;
5) непрерывна при p  0 и I  0 ;
~
v( ~
p, I )
~
~
 0 , то выполняется тождество Роя
6) если v(p,I) – дифференцируема при ( p , I )  0 и
I
~
~
v( ~
p, I ) v( ~
p, I )
~
~
.
xi ( p, I )  
pi
I
Задача минимизации расходов
Свойства компенсированного спроса x ( p, u ) .
1) однородность степени ноль относительно цен: xp, u   x( p, u ) для любого   0 ;
2) если u(  ) – непрерывная функция и u  u (0) , то ограничение задачи минимизации расходов
выполняется как равенство: для любого x *  x( p, u ) имеем u ( x * )  u ;
3) если предпочтения выпуклы, то множество x ( p, u ) – выпукло;
4) если предпочтения строго выпуклы, u(  ) – непрерывная функция и u  u (0) , то множество
x ( p, u ) состоит из одного элемента, т.е. отображение является функцией компенсированного спроса;
5) имеет место закон компенсированного спроса: для любых x   x( p , u ) и x   x( p , u ) имеем
( p   p )( x   x )  0 .
6) +дополнительные свойства в случае дифференцируемости (позже)
Свойства функции расходов e( p ,u ) .
1) однородность первой степени относительно цен: e( p ,u )  e( p ,u ) для всех   0 ;
2) не убывает (в случае непрерывности u () и u  u (0) ) возрастает по u ;
3) не убывает по ценам;
4) вогнута по ценам;
5) непрерывна;
e( p, u )
6) если e( p ,u ) – дифференцируема при p , то имеет место лемма Шепарда xi ( p, u ) 
.
pi
Все свойства нужно уметь доказывать. Некоторые доказательства будут приведены на
лекции/семинаре, остальные сделать самостоятельно (если не получается, то можно посмотреть в
учебнике).