L18-2

Волновое уравнение. Фазовая скорость волны.
Обсудим динамику волн в стержне, рассмотренных в предыдущем параграфе. Пусть, в
стержне распространяется поперечная волна. Мысленно выделим в стержне
цилиндрический элемент длиной
x , находящийся на расстоянии x от его левого
конца (рис. 18.2). Если обозначить в волновом поле смещение основания цилиндра с
координатой
x
в момент времени
t
через
  x, t  , то смещение
Рис. 18.2
основания
x x
будет
  x  x, t  .
В зависимости от разности этих величин
рассматриваемый цилиндрический элемент будет подвергаться деформации сжатия или
растяжения
(зависимость
  x, t 
-
нелинейная).
Определим
относительное
удлинение цилиндрического элемента

Преобразовав
  x  x, t 
   x  x, t     x, t 

x
x
в ряд по степеням
x,
(18.9´)
и считая
x
очень маленьким,
будем иметь

  x, t 
.
x
(18.9)
Согласно закону Гука, в стержне возникнет нормальное напряжение
  E  E
где
E
– модуль Юнга материала стержня.
Обычно

1,
так
что
из
элементарного цилиндра равным
(18.9´)
 2
t 2

,
x

, а массу –
(18.10)
x
и
можно
m   x ,
взять
где

ускорение
– плотность
стержня,  – площадь продольного сечения. Для применения второго закона Ньютона
к
рассматриваемому
элементарному
цилиндру
определим
равнодействующую
нормальных сил, действующих на него в данный момент времени:

 2
F     x  x     x   t  
 x   E 2  x ,
x
x
(18.11)
где для получения последнего выражения использован закон Гука (18.10).
Второй закон Ньютона дает
 2
 2
x 2  E x 2 ,
x
x
откуда
 2  x, t    2  x, t 
 
 0.
x 2
E
t 2
(18.12)
Полученное дифференциальное уравнение и есть волновое уравнение. Его общее
решение имеет вид
  x, t   f1  x  ut   f 2  x  ut  ,
где
f1
и
f2
(18.13)
– произвольные функции, а
u E 
(18.14)
- скорость продольной упругой волны.
Первый
член
общего
решения
волнового
уравнения
описывает
волну,
распространяющуюся по положительному направлению оси X, а второй член – в
противоположном направлении. Задав начальные и краевые условия, мы
конкретизируем вид решения (18.12). В примере полубесконечной струны (стержня) из
начального условия (18.1) получаем
f2  0 , а
f1  x  vt   A sin t  kx    .
То, что скорость продольных волн в упругой среде зависит от модуля Юнга, вполне
понятно, так как распространение продольных волн сопровождается деформациями
сжатия и растяжения среды. Подобным же образом можно показать, что скорость
упругой поперечной волны дается формулой
v G ,
(18.15)
где G – модуль сдвига среды, так как распространение поперечных упругих волн
связано с деформациями сдвига. Жидкости и газы лишены упругих свойств, связанных
с деформациями сдвига. По этой причине поперечные упругие волны в жидкостях
и газах распространяться не могут.
Энергия волны. Вектор Пойтинга.
Источник волн, деформируя примыкающие к нему объемы, непрерывно передает им
энергию, которая перемещает волну в среде.
Определим изменение энергии объема dV упругого стержня, обусловленного
распространением в нем плоской продольной волны
  x, t   A sin t  kx    .
(18.16)
В качестве объема dV выберем выделенный в предыдущем параграфе элементарный
цилиндр. Кинетическая энергия, приобретенная им в волновом поле, будет равна
dK  
v2
2
A2  2
dV  dm  
dx cos 2 t  kx    .
2
2
2
Изменение потенциальной энергии равно упругой
относительной деформацией ε элементарного цилиндра
энергии,
(18.17)
обусловленной
1
dU  E 2 dx
2
(18.18)
С другой стороны, пользуясь выражениями (18.5), (18.9) и
  A k cos t  kx    
2
2
2
2
k 2v2
2
v   t , получим
v2
v2
 2  ,
u
E
(18.19)
где для получения двух последних выражений мы воспользовались формулами (18.8)
и (18.14). Подставляя (18.19) в (18.18) будем иметь
1
dU  dT   v 2 dV .
2
(18.20)
Это свойство характерно для любой одномерной бегущей волны.
Изменение полной механической энергии рассматриваемого элементарного объема
будет
dE  dT  dU   v 2   A2 2 dV cos2 t  kx    .
Отсюда для плотности энергии плоской синусоидальной волны будем иметь
w
dE
  v 2   A2 2 cos 2 t  kx   
dV
.
(18.21)
Значит, кинетическая и потенциальная энергия волнового движения - периодические
функции от x, t . Они колеблются в одинаковой фазе с одинаковыми амплитудами,
равными
 A2 2 / 2 .
Эти закономерности верны для любой упругой волны независимо
от вида волнового фронта и деформации, так как они обусловлены механизмом
распространения упругой волны. Очень важно, что полная механическая энергия
волнового движения в любом объеме dV периодически меняется во времени. Это и
есть основное энергетическое различие колебательных и волновых движений,
поскольку в первом полная энергия постоянна (изменения кинетической и
потенциальной энергий происходят в противоположных фазах). Распространение
волны в упругой среде неразрывно связано с процессом передачи энергии от одних
участков среды к другим. Именно поэтому при волновом движении объемная плотность
энергии периодически меняется со временем в каждой точке среды.
Волна переносит энергию. Скорость распространения энергии в волне равна
скорости той поверхности, на которой плотность энергии имеет наибольшее значение.
В плоской гармонической волне, как следует из формулы
A2 2
1  cos 2 t  kx     ,
2
поверхность, на которой обьемная плотность энергии волны максимальна - w  wmax ,
определяется условием t  kx    0 , откуда следует, что скорость распространения
этой поверхности совпадает с фазовой скоростью волны u   / k . Скорость
w   A2 2 cos 2 t  kx     
переноса энергии, которая называется групповой скоростью волны, в общем
случае не совпадает е ее фазовой скоростью.
Перенос энергии волной характеризуется вектором Пойтинга или вектором
плотности потока энергии. Это - энергия, переносимая за единицу времени через
единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

dEuˆ
,
dtd  cos
(19.22)
где dE – энергия, перенесенная через площадь d за время dt . Понятно, что она
равна энергии, заключенной в заштрихованной области (рис. 18.3):
dE  wvdtd  cos .
Рис. 18.3
Учитывая последнее выражение в определении вектора Пойтинга, получим
  wuгр .
(18.23)
Значит, вектор Пойтинга – это произведение плотности энергии волны и
групповой скорости ее распространения.