4.1. Силы в механике

Тема 4. Понятие силы. Силы в природе.
§4.1. Силы в механике
Основные силы, действие которых рассматривает механика Ньютона
следующие:
Сила всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения: все тела притягивают друг друга. Сила
(всемирного тяготения), с которой две материальные точки притягивают друг
друга, пропорциональна произведению масс этих точек и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Математическое выражение закона всемирного тяготения имеет вид:
F 
m1m2
,
r2
(0.1)
здесь   6,670 1011 м3 кг  с 2 – гравитационная постоянная.
Физический смысл гравитационной постоянной
G
состоит в
следующем: она показывает силу, с которой притягивается материальная
точка массой 1кг к другой такой же точке, находящейся на расстоянии
одного метра. Векторная форма записи закона всемирного тяготения такова:

mm 
F12   1 2 2 e12 ,
r
(0.2)

здесь F12 сила, действующая на первую материальную точку со стороны

второй, e12 - единичный вектор, направленный от первой точки ко второй
(рис.2.1).
Рис.2.1. К закону всемирного тяготения.
Вычисление силы, с которой притягиваются тела произвольной
формы, представляет собой сложную математическую задачу, которая имеет
аналитическое представление:

dm 
F    dm1  2 2 e12 ,
r
V1
V2 12
(0.3)

интегрирование ведется по объему V1 первого и второго V2 тела, r12 радиус-
вектор, направленный из элементарной массы
dm1
первого тела к
элементарной массе dm1 второго тела.
Расчеты на основании соотношения (2.5) показывают, что формулу
(2.3) можно использовать в случае взаимодействия шаров, в этом случае
величина r равна расстоянию между центрами шаров. Формулу (2.3) можно
применять при учете гравитационного взаимодействии шарообразной Земли
и тела произвольной формы, которое можно считать материальной точкой по
сравнению с размерами Земли.
Закон всемирного тяготения позволил теоретически обосновать три
эмпирических закона Кеплера, описывающие движение планет:
1. Траектория планеты представляет собой эллипс, в одном из
фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает
одинаковые площади.
3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как
кубы больших полуосей их орбит.
Сила всемирного тяготения, называемая также гравитационной силой
является одной из фундаментальных сил в природе. Универсальный характер
силы тяготения обуславливает ее большую роль в явлениях природы.
Приведем дополнительно некоторые характеристики силы всемирного
тяготения.
Напряженность поля тяготения
Сила тяготения действует на тела посредством гравитационного поля.
Гравитационного поле существует в пространстве вокруг любого тела,
имеющего массу, и проявляется в том, что на любое тело, помещенное в
него, действует сила всемирного тяготения. Одной из динамических
характеристик
гравитационного
поля
является
напряженность

G
гравитационного поля. Она характеризует его интенсивность и численно
равна отношению гравитационной силы, действующей на тело, к массе этого
тела:

 F
G .
m
(0.4)
Как следует из формулы (2.6), напряженность гравитационного поля
численно равна силе, действующей на тело единичной массы, помещенной в
некоторую точку поля. Из (2.4) следует, что напряженность поля, созданного
массой m на расстоянии r0 от него:

m
G   2 er ,
r0
(0.5)

здесь er – орт радиус-вектора, проведенного из тяготеющего центра – точки
m в данную точку поля, знак "минус" указывает, что вектор напряженности
гравитационного поля совпадает по направлению с силой притяжения,
действующей со стороны тела m .
Как
видно
из
(2.4)
и
(2.6),
размерность
напряженности
гравитационного поля и ускорения свободного падения совпадают. Более
того, вблизи поверхности Земли, когда r0  RЗ , они численно равны G  g .
Однородным полем сил называют поле, в каждой точке которого на
тело действует одна и та же сила. В общем случае поле тяготения является
центральным полем: вектор напряженности в нем направлен к силовому тяготеющему центру. Поле тяготения можно считать однородным только
тогда, когда движение происходит в небольших областях пространства.
Силовое поле, в частности гравитационное, может быть наглядно
изображено при помощи силовых линий (рис.2.2). Вектор напряженности
поля в каждой точке пространства направлен по касательной к силовым
линиям.

Рис.2.2. Напряжённость G гравитационного поля.
Потенциал поля тяготения
Второй характеристикой гравитационного поля является скалярная
физическая величина – потенциал гравитационного поля.
Потенциалом гравитационного поля  ГР в некоторой его точке N
называют
физическую
величину,
равную
отношению
работы
сил
гравитационного поля, совершенной при перемещении тела m из этой точки
на бесконечно большое расстояние (говорят – на бесконечность), к массе
перемещенного тела:
 ГР 
Расчеты
показывают,
что
AN
.
m
потенциал
гравитационного
поля,
созданный телом массой M на расстоянии R от него равен:
 ГР  
M
.
R
Существует иное определение понятия потенциал. Потенциал поля
тяготения может быть определен как энергетическая характеристика
гравитационного
поля:
потенциал
гравитационного
поля
 ГР
равен
отношению потенциальной энергии тела в поле тяготения, помещенного в
данную точку поля, к массе m этого тела.
 ГР 
U
,
m
здесь U – потенциальная энергия тела массой m в данной точке поля. При
таком определении физический смысл потенциала определяют как величину
численно равную потенциальной энергии тела единичной массы в данной
точке поля.
Между потенциалом гравитационного поля и его напряженностью
существует определенная связь. Работа, совершаемая гравитационным полем
при перемещении тела массой m его из положения 1 в положение 2 равна
убыли потенциальной энергии тела:
A12  U1  U 2  m1  2   m  U .
(0.6)
Используя определение напряженности гравитационного поля (2.6),
можно записать:


F  mG .
 
По определению работы имеем: dA12  Fdr . Используя последнее
соотношение и (2.8) запишем:
 
 
Fdr  mGdr  dU  md ГР .
Отсюда следует, что

d
G   ГР .
dr

Производная d ГР dr
(0.7)
представляет собой первую производную
гравитационного потенциала по направлению. Ее называют градиентом
потенциала и обозначают следующим образом:
d ГР
  grad ГР   ГР .
dr

Напряженность гравитационного поля – G направлена в сторону
убывания потенциала  , этим объясняется знак "–" в формуле (2.9).
Сила тяжести
Сила тяжести – это сила всемирного тяготения, действующая на тело,
находящееся в поле тяготения Земли.
FT  G
mM З
,
RЗ  h2
(0.8)
здесь М З – масса Земли, RЗ – ее радиус и h – высота тела над поверхностью
Земли. Если выполнено условие h  RЗ , то, пренебрегая h , приходят к
формуле:
FT  G
mM З
.
RЗ2
(0.9)
Постоянную величину GM З RЗ2 принято обозначить через g , тогда
(2.11) принимает вид:
FТ  mg ,
(0.10)
g  9,81 м с 2 – ускорение свободного падения. Это утверждение носит имя
"закон Галилея".
Закон Галилея: все тела в одном и том же поле тяготения движутся с
одинаковым ускорением.
Величина g зависит от формы Земного шара (слегка сплюснутого), от
ее вращения вокруг своей оси, что приводит к зависимости
g
от
географической широты местности.
Большое число практических задач связано с рассмотрением
движения тела в поле сил тяжести. К ним относятся задачи о теле,
брошенном под углом к горизонту, а также частные случаи – свободное
вертикальное движение вверх или вниз.
Все соотношения, полученные в рамках рассматриваемой главы,


годны для этого случая с заменой а на g .
Механическая связь. Реакция связи
Механической связью называют любое ограничение на положение
или движение материальной точки (тела).
Механические связи могут быть реализованы при помощи опорных
плоскостей, шарниров, нитей, стержней и других тел. Ограничения на
положение и движение возникают за счет сил, действующих со стороны
связей.
Реакцией связи называют силу, вызванную взаимодействием тела со
связью.
Идеальной механической связью называют связь, реакция которой
направлена по нормали к ее поверхности.
На рисунке 2.3 показано тело m2 , с наложенной на него

идеальной связью. В этом случае реакция связи R2 направлена по нормали к
склону BC . Тело m1 движется под действием неидеальной связи. При

скольжении тела по шероховатой (не идеальной) поверхности вектор R1
отклоняется от нормали в сторону, противоположную движению. Реакцию


связи R1 принято разлагать на две составляющие: Fn – нормальную реакцию

связи и F – тангенциальную, или касательную. Нормальную составляющую
реакции связи, как правило, обозначают N , касательная составляющая

реакции связи является силой трения FТР .
Рис.2.3. Тело 1 находится под воздействием реальной связи,
тело 2 – идеальной.
Сила трения
Внешним
трением
называют
механическое
сопротивление,
возникающее в плоскости касания прижатых друг к другу тел при их
относительном перемещении.
Отметим, что внутренним трением называют трение между частями
одного итого же тела, например между слоями жидкости или газа. По
характеру движения различают внешнее трение скольжения и качения. Сила

трения FТР – это сила, направленная противоположно относительному
перемещению данного тела. Если относительное движение представляет


собой скольжение, то возникает сила трения скольжения FТР равная F
(рис.2.3).
Величина
этой
силы
зависит
от
величины
нормальной
составляющей реакции опоры Fn  N :
FТР  Fn  N ,
(0.11)
где  – коэффициент трения скольжения, величина которого определяется
экспериментально, он зависит от материала соприкасающихся тел и от
качества обработки
их
поверхностей;
но
очень
слабо
зависит от
относительной скорости движения тел, и в большинстве случаев этой
зависимостью пренебрегают. Коэффициент трения скольжения не зависит от
площади соприкосновения тел. Обратим внимание на то, что соотношение
(2.13) записывается только в скалярной форме.
Сила трения покоя возникает между двумя соприкасающимися

неподвижными телами. Предположим (рис.2.4), что к телу m кроме силы R

приложена сила f , направленная параллельно поверхности соприкосновения
тел. Если сила f не превышает некоторого значения f 0 , то тело m остается в
покое. Это означает, что на него со стороны опоры действует сила трения

покоя, равная и противоположно направленная к f (уравновешивающая ее).
Сила трения покоя увеличивается согласованно с внешней силой f , до тех
пор, пока не достигнет значения f 0 .
Рис.2.4.
Таким образом, сила f не вызовет движения тела m, при условии, что
f  0 Fn ,
0
– коэффициент трения покоя, который несколько больше, чем
коэффициент трения скольжения.
Вес
Весом, или силой веса, называют силу, с которой тело давит на опору
или растягивает подвес.
Укажем сразу, что вес (силу веса), как правило, не удается определить
непосредственно. Для этого необходимо составить уравнение второго закона
Ньютона для опоры, что, зачастую, невозможно. В таких случаях уравнение
динамики Ньютона записывают для движущегося тела, находят реакцию
опоры (подвеса), после чего на основании третьего закона Ньютона приходят
к заключению, что вес тела численно равен силе реакции опоры (подвеса).
Рассмотрим пример нахождения веса. На некоторой опоре (рис.2.5),

опускающейся с ускорением а , находится тело массой m .
Рис.2.5. К определению веса тела на опоре.
Уравнение второго закона Ньютона для тела m имеет следующий
вид:

 
ma  mg  R ,



здесь входят сила тяжести тела mg , N – реакция опоры, a – ускорение опоры
(и тела). Это уравнение в проекции на ось Y имеет вид
ma  mg  R .
Решая уравнение относительно R , имеем:
R  mg  ma  mg  a  .
(0.12)
Таким образом, на тело со стороны опоры действует сила реакции R ,
в соответствии с третьим законом Ньютона, тело действует на опору с силой

P,
по величине равной R , но противоположно направленная. Таким образом,
вес тела равен p  mg  a .
Вес возникает лишь тогда, когда вертикальная составляющая
ускорения, с которым движется тело, отлично от g . Состояние тела,
движущегося с ускорением g , называется состоянием невесомости.
Из соотношения (2.4) следует, что вес покоящегося или движущегося
равномерно и прямолинейно тела по величине равен силе тяжести. При
условии, что тело находится в свободном падении в поле силы тяжести и
 
a  g , вес тела
равен нулю. Такое состояние называется невесомостью.
Сила упругости. Закон Гука
Рис.2.6. К закону Гука.

Пусть к пружине АВ (рис.2.6) приложена постоянная сила F . Под ее
воздействием пружина растянется до некоторой длины, и дальнейшей

деформации ее происходить не будет. Это означает, что некоторая сила F1

компенсирует внешнее воздействие. Сила F1 – сила упругости, возникшая в
пружине при ее деформации.
Рис.2.7. Односторонне растяжение и сжатие.
Аналогично: стержень длиной L0 и сечением S , к которому

приложены растягивающие или сжимающие силы Fi (рис.2.7) испытывает,
соответственно, растяжение или сжатие.
Рассмотрим воображаемое сечение C стержня. Для равновесия части

стержня AC на его правое основание должна действовать сила F3 , которая

компенсирует силу F1 . Таким образом, в результате деформирования стержня
в нем возникают упругие силы, обеспечивающие взаимодействие частей
тела.
Механическим

напряжением
называют
величину
равную
отношению силы F к величине площади поперечного сечения:
 F S.
(0.13)
В случае растяжения стержня механическое напряжение называют
натяжением, в случае сжатия – давлением.
Закон Гука: для не слишком больших упругих деформаций
механическое напряжение пропорционально относительному удлинению
(или относительному сжатию)
 E
L
.
L0
(0.14)
Постоянная величина Е называется модулем Юнга, она зависит
только от материала деформируемого тела и его физического состояния.
Если соотношение (2.16) разрешить относительно силы F , то
получим формулу
F
ES
L  kL ,
L0
(0.15)
где через k обозначен, постоянный для данного тела коэффициент ES L0 .
коэффициент упругости.
Абсолютной деформацией растяжения (сжатия) называют величину
L  L  L0 равную разности длины деформированного тела и его начальной
длины.
Закон Гука часто формулируют следующим образом: сила
упругости пропорциональна величине абсолютной деформации.
Закон Архимеда: на тело, погруженное, погруженное в жидкость или
газ, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и
равная весу вытесненной жидкости (газа).
Численное значение силы Архимеда определяется соотношением:
FA   Ж ( Г ) gV Ж ( Г ) ,
(0.16)
здесь  Ж ( Г ) - плотность жидкости или газа, g – ускорение свободного
падения, V Ж ( Г ) – объем жидкости или газа, вытесненный телом.