Проект Многогранники - Электронные Образовательные
advertisement
Проект учащихся по теме: «Многогранники». Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран Рассел Введение Тема " Многогранники " одна из основных тем в школьном курсе геометрии. Эта тема имеет яркие приложения, в том числе в живописи, архитектуре. Кроме этого в ней, по образному выражению академика А.Д. Александрова сочетаются "Лёд" и "Пламя, т. е. живое воображение и строгая логика. Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники). Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Книга начинается с описания так называемых правильных многогранников, то есть многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами (Рис. 1), названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии. 1.Платоновы тела Платон (427-347 годы до н.э.) Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть 2 важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида. Действительно, можно сконструировать только пять правильных многогранников — платоновых тел — это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додэкаэдр. В таблице представлены параметры, полностью характеризующие эти многогранники. Первые четыре тела были описаны Платоном (около 420347 гг. до н.э.), хотя их знали и пифагорейцы за несколько веков до него. Предполагается, что додэкаэдр был открыт Гиппархом (? — после 127 г. до н.э.). Все платоновы тела встречаются в природе: тетраэдр, куб и октаэдр — как элементарные формы кристаллов, а икосаэдр и додэкаэдр — квазикристаллов; форму икосаэдра и додэкаэдра имеют также некоторые вирусы. Платон, а за ним и многие другие мыслители, включая Кеплера, связывали платоновы тела с «элементами всего сущего»: тетраэдр — с огнем, куб — с землей, октаэдр — с воздухом, икосаэдр — с водой и додэкаэдр — с космосом. Важнейшим свойством каждого из платоновых тел является высокая степень симметрии. 3 (а) (б) (в) (г) (д) Рис 1. Платоновы тела: (а) тетраэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»), (в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум») Начнем рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр (Рис.1-а). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. 4 Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (Рис.1-в). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр. Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (Рис.1-г). Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (Рис. 1-б). Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (Рис.1-д). Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны. Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками. Так, например, куб (Рис.1-б) и октаэдр (Рис.1-в) дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр (Рис.1-г) идодекаэдр (Рис.1-д). Тетраэдр (Рис.1-а) дуален сам себе. 5 Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен — ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много! 1.1 Числовые характеристики Платоновых тел Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней, сходящихся в каждой вершине, m, число граней Г, число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу В — Р + Г = 2, связывающего числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Указанные выше числовые характеристики приведены в Табл. 1. Таблица 1 Числовые характеристики Платоновых тел Многогранник Число сторон грани, m Число граней, сходящихся в вершине, n Число граней Г Число вершин В Число ребер Р Тетраэдр 3 3 4 4 6 Число плоских углов на поверхности У 12 Гексаэдр (куб) 4 3 6 8 12 24 Октаэдр 3 4 8 6 12 24 Икосаэдр 3 5 20 12 30 60 Додекаэдр 5 3 12 20 30 60 1.2 Космология Платона Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философских школой концепции Платона об устройстве мироздания. 6 Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел. тетраэдр огонь икосаэдр вода 7 октаэдр воздух гексаэдр земля додекаэдр вселенная Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр — Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб — Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр — Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания. Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы «стихий» настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомним, что консонансом называется приятное созвучие. В связи с этими телами уместно будет сказать, что такая система элементов, включавшая четыре элемента — 8 землю, воду, воздух и огонь, — была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества — твердым, жидким, газообразным и плазменным. Таким образом, представление о «сквозной» гармонии бытия древние греки связывали с ее воплощением в Платоновых телах. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на Началах Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая «идеальная» линия – прямая, а самый «идеальный» многоугольник – правильный многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничивать часть плоскости. Не случайно, что один из авторов открытия фуллеренов, Нобелевский лауреат Гарольд Крото в свой Нобелевской лекции начинает свой рассказ о симметрии как «основе нашего восприятия физического мира» и ее «роли в попытках его всестороннего объяснения» именно с Платоновых тел и «элементов всего сущего»: «Понятие структурной симметрии восходит к античной древности...» Кроме того, платоновым телам близки тела Кеплера-Пуансо, или правильные однородные невыпуклые многогранники 2. Архимедовы тела Известно еще множество совершенных тел, получивших название полуправильных многогранников или Архимедовых тел. У них также все многогранные углы равны и все грани – правильные многоугольники, но 9 несколько разных типов. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду. Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э) Множество Архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело – это тело с отрезанной верхушкой. Для Платоновых тел усечение может быть сделано таким образом, что и получающиеся новые грани и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр (Рис. 1-а) можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, и к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Таким путем могут быть получены пять Архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный гексаэдр (куб), усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр (Рис. 2). (а) (б) (в) 10 (г) (д) Рис 2. Архимедовы тела: (а) усеченный тетраэдр, (б) усеченный куб, (в) усеченный октаэдр, (г) усеченный додекаэдр, (д) усеченный икосаэдр В своей Нобелевской лекции американский ученый Смолли, один из авторов экспериментального открытия фуллеренов, говорит об Архимеде (287-212 гг. до н.э.) как о первом исследователе усеченных многогранников, в частности, усеченного икосаэдра, правда, оговариваясь, что возможно Архимед присваивает себе эту заслугу и, возможно, икосаэдры усекали задолго до него. Достаточно упомянуть найденные в Шотландии и датированные около 2000 г. до н.э. сотни каменных предметов (по всей видимости, ритуального назначения) в форме сфер и различных многогранников (тел, ограниченных со всех сторон плоскими гранями), включая икосаэдры и додекаэдры. Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук». Во времена Возрождения все Архимедовы тела одно за другим были «открыты» заново. В конце концов, Кеплер в 1619 г. в своей книге «Мировая гармония» («Harmonice Mundi») дал исчерпывающее описание всего набора архимедовых тел — многогранников, каждая грань которых представляет собой правильный многоугольник, а все вершины находятся в эквивалентном положении (как атомы углерода в молекуле С60). Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати Архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны поныне. 11 Архимедовы тела состоят не менее, чем из двух различных типов многоугольников, в отличие от 5 Платоновых тел, все грани которых одинаковы (как в молекуле С20, например). Конструирование Архимедового усеченного икосаэдра из Платонового икосаэдра Рис 3. Итак, как же сконструировать Архимедов усеченный икосаэдр из Платонова икосаэдра? Ответ иллюстрируется с помощью рис. 3. Действительно, как видно из Табл. 1, в любой из 12 вершин икосаэдра сходятся 5 граней. Если у каждой вершины отрезать (отсечь) 12 частей икосаэдра плоскостью, то образуется 12 новых пятиугольных граней. Вместе с уже имеющимися 20 гранями, превратившимися после такого отсечения из треугольных в шестиугольные, они составят 32 грани усеченного икосаэдра. При этом ребер будет 90, а вершин 60. Другую группу Архимедовых тел составляют два тела, именуемые квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчеркивает, что грани этих многогранников представляют собой правильные многоугольники 12 всего двух типов, многоугольниками причем другого каждая типа. грань Эти два одного типа окружена тела носят название ромбокубооктаэдром и икосододекаэдром (Рис. 4). (а) (б) Рис. 4. Архимедовы тела: (а) ромбокубооктаэдр, (б) икосододекаэдр (а) (б) Рис. 5. Архимедовы тела: (а) кубооктаэдр, (б) ромбоикосододекаэдр Наконец, существуют две так называемые «курносые» модификации – одна для куба (курносый куб), другая – для додекаэдра (курносый додекаэдр) (Рис. 6). (а) (б) Рис. 6. Архимедовы тела: (а) курносый куб, (б) курносый додекаэдр 13 3. Развитие теории многогранников В книге Венниджера «Модели многогранников» (1974) можно найти 75 различных моделей правильных многогранников. «Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии» — таково мнение русского математика Л.А. Люстернака, много сделавшего именно в этой области математики. Развитие этой теории связано с именами выдающихся ученых. Большой вклад в развитие теории многогранников внес немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (27. 12. 1572-15. 11. 1630). 3.1 Иоганн Кеплер Он родился в Вейль – дер – Штадте (Вюртемберг, Гермаш окончил монастырскую школу со степенью бакалавра. В 1599 окончил Тюбингенский университет, где занялся математикой и астрономией. Основной вклад Кеплера в науку — это, конечно, открытые им трех законов движения ( 27.12.1571планет, являющихся базой современной теоретической астрономии, да и 15.11.1630 ) немало послуживших Ньютону при создании его механики. Хотя научные интересы Кеплера были чрезвычайно широки, сам он всю жизнь считал себя математиком, подписываясь «математикус Кеплер». Он и был, безусловно, одним из самых выдающихся математиков своего времени. Кеплер определил классы многогранников, в частности тот, который мы называем архимедовыми телами, описал каждый из многогранников того или иного класса (некоторые — впервые). В своей книге «Мировая гармония» («Harmonice Mundi», 1619 г.) он математически доказал, что класс архимедовых тел исчерпывается тринадцатью многогранниками, и досконально описал каждый из них. На 14 рисунке Кеплера, иллюстрирующем этот класс (рис. 7, а), многогранник за номером 13 открыт им самим, остальные (включая усеченный икосаэдр) были описаны ранее художниками Возрождения. А вот используемый сегодня нами термин «усеченный икосаэдр» введен, по всей видимости, Кеплером. Рис. 7 Изображение класса архимедовых тел (а)и класса ппатоновых тел (б) из книги Кеплера «Мировая гармония». Любопытны «взаимоотношения» Кеплера с платоновыми телами (рис. 7, б). Уже в 1595 г., изучая систему Коперника и размышляя над числом планет, он приходит к выводу, что оно определяется числом платоновых тел. Конечно, если бы он знал об открытых в наше время сотнях малых планет, то мысль о подобном соотношении не пришла бы ему в голову; но тогда было известно лишь пять планет без спутников (Сатурн, Юпитер, Марс, Венера и Меркурий) плюс довольно проблематичное шестое тело — Земля. Не будем забывать и об умозрительно-религиозном воспитании Кеплера, базировавшемся на философских сочинениях Платона. В письме к своему учителю Мэстлину (1595 г.) Кеплер пишет: «Мы видим, что Бог 15 сотворил мировые тела в известном числе... До сотворения мира не было никакого числа... Число есть принадлежность вещей. Но ни в линии, ни в поверхности нет никакого числа — они представляют бесконечность; поэтому остаются только тела; но неправильные тела нужно отбросить как несвойственные благоустроенному созданию. Таким образом, остаются шесть тел: шар, или, лучше сказать, внутренность сферы, и пять правильных многогранников», то есть платоновых тел. Мысль о шести правильных телах в применении к числу планет казалась Кеплеру настолько правдоподобной, что он попытался на ее основе сформулировать закон, связывающий относительные расстояния планет от Солнца, и опубликовал его в 1597 г. в книге «Введение к космографическим исследованиям или Космографическая тайна» («Ргоdromos dissertationum cosmographicarum seu Mysterium cosmographicum»). Предполагаемый закон заключался в следующем. Представим себе сферу, радиус которой равен расстоянию Меркурия от Солнца, опишем вокруг этой первой сферы октаэдр, а вокруг этого октаэдра — вторую сферу; вокруг нее опишем икосаэдр, а вокруг него — третью сферу; продолжая таким образом описывать последовательно додэкаэдр и четвертую сферу, тетраэдр и пятую сферу и, наконец, куб и шестую сферу, мы найдем, что радиусы сфер от первой до представят расстояния шестой собой от включительно относительные Солнца Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитер а и Сатурна 16 Рис. 8 Изображение «Солнечной Системы из книги Кеплера «Введение к космографическим исследованиям или Космографическая тайна». Глядя на эту иллюстрацию Кеплера, понимаешь: в то время, чтобы изобразить такое, ученый обязан был быть мастером графики, а в данном случае — и скульптором. Кеплер изготовил трехмерную модель своей «Солнечной Системы» из цветной бумаги и надеялся также воспроизвести ее в серебре. Более двух лет заняли у Кеплера вычисления расстояний по его гипотезе о взаимосвязи числа планет и их орбит с числом платоновых тел, а также их многократная проверка. «Работая над этим, я твердо заучил расстояния и время обращения планет, так что мог наизусть производить различные их сочетания», — пишет Кеплер во «Введении...». Это исследование Кеплера дает нам богатую пищу для размышления о роли и судьбе гипотезы в научном познании. Как мы видим, Кеплер не боялся формулировать самые экстравагантные, фантастические гипотезы, но затем он с необыкновенным терпением начинал выводить все возможные следствия из той или иной гипотезы, употребляя многие годы на наблюдения, вычисления и проверку исходных гипотез. 17 По словам выдающегося французского ученого (астронома, физика, математика и метеоролога) и политического деятеля, популяризатора и историка науки (в частности, биографа Кеплера) Доминика Франсуа Араго (1786-1853), «без гипотез наука не может двигаться вперед — без них нельзя придумать ни одного опыта; но в обращении с гипотезами нужно быть добросовестным и допускать их в науку лишь после тщательной проверки. Кеплер всегда был верен этому правилу: от самых любимых своих гипотез он отказывался без всяких колебаний, если они не подтверждались наблюдением и вычислением». В конце концов, Кеплеру пришлось признать ошибочность гипотезы, высказанной во «Введении...». Ошибочность данной гипотезы, кстати, является красноречивым свидетельством того, что в науке прекрасное (с чисто эстетической точки зрения) все же не всегда оказывается правильным (глядя на рис. 14, отрицать эстетические достоинства ошибочной модели Кеплера невозможно). По мнению Фрэнсиса Бэкона, во «Введении...» Кеплер «напоминает жаворонка, взлетевшего к небу, но еще ничего не принесшего из своего полета». Тихо Браге советовал Кеплеру бросить его бесплодные фантазии и философствование и, не мудрствуя лукаво, заняться наблюдениями и их обработкой. Последовав этому совету, Кеплер наверняка избежал бы многих ошибок, но он не открыл бы тогда своих бессмертных законов, и преобразование древней астрономии выпало бы не на его долю. Зная все это, мы обязаны признать, что Кеплер не ошибался, назвав свой труд «Prodromos...» — предтеча. Книгу «Мировая гармония», в которой Кеплер впервые публикует полное описание класса архимедовых тел, он сам рассматривал как продолжение «Введения...». Это сочинение занимает особое место в истории науки прежде всего потому, что содержит третий закон Кеплера, в который отлились окончательно его размышления о числе, расстояниях, временах обращения и скоростях планет. Свое открытие Кеплер выражает 18 следующими словами: «Отношения между периодами обращения какихнибудь двух планет в точности равно полуторному отношению их средних расстояний, или радиусов их орбит». Именно это тот закон, который Кеплер, по его собственным словам, «предсказал» двадцатью двумя годами раньше, когда открыл соотношение небесных тел с пятью платоновыми телами, и на который намекал самим названием своего первого сочинения «...Космографическая тайна». Обращает на себя внимание «перекличка» названий книг Кеплера и Луки Пачоли: «Мировая гармония» и «Божественная пропорция», но в отличие от исключительно геометрического сочинения Пачоли, Кеплер пытается в своем труде сформулировать всеобщие принципы построения Мира, всех сторон Создания: геометрических (включая описание архимедовых тел), астрономических (в том числе подробное толкование третьего закона), астрологических, метафизических, музыкальных, социальных. Русский биограф Кеплера Е.А. Предтеченский (1860-1904) пишет: «Царящая в мире чудная гармония понималась Кеплером не в отвлеченном только смысле благоустройства, а звучала в его поэтической душе настоящей музыкой, которую мы могли бы понять не иначе, как совершенно войдя в круг его идей и проникшись его могучим энтузиазмом к дивному устройству мира и пифагорейским благоговением перед числовыми отношениями. В самом деле, разве не удивительно,что "прекрасное" для слуха зависит от строгого численного соотношения, например, между длинами струн, производящих звуки, — соотношения, открытого Пифагором? Но в Кеплере, несомненно, обитала часть души Пифагора, и мудрено ли, что он усматривал числовые соотношения в открытом и объясненном им планетном космосе? Чтобы понять, насколько разнообразно содержание этой книги, достаточно сказать, что Кеплер касался в ней и социального вопроса, видя его решение в гармоническом распределении земных благ...» 19 Рис. 9 «Конструирование» додекаэдра и ромбического додекаэдра(из книги Кеплера «Конспект астрономии Коперника»). «Мировую гармонию» Кеплер написал и издал в Линце, где он поселился в 1613 г., приняв должность учителя математики в гимназии, и прожил более десяти лет. За время пребывания Кеплера в Линце вышло и несколько других его сочинений. Так, одновременно с «Мировой гармонией» печатался «Конспект астрономии Коперника» в двух томах, выходивший выпусками в 1618, 1621 и 1622 гг. В то же время Кеплер продолжал работать над «Рудольфовыми таблицами», опубликованными только в 1627 г. Кстати, в «Конспекте астрономии Коперника» Кеплер вновь обращается к геометрии многогранников, в частности, вслед за Эвклидом предлагает способ «конструирования» додэкаэдра и ромбического додэкаэдра с помощью добавления своего рода «крыши» к каждой из шести граней куба (рис. 9). 20 Другим выдающимся вкладом Кеплера в геометрию многогранников является открытие им двух звездных правильных тел (рис. 10). (Всего их четыре; два других нашел французский математик Луи Пуансо в 1809 г.) В свое время он написал этюд «О снежинке», в котором высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и прародитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней». Кеплер первым начал изучать так называемые звездчатые многогранники, которые в отличие от Платоновых и Архимедовых тел являются правильными выпуклыми многогранниками. Рис. 10 Изображение двух звездчатых правильных многогранников из книги Кеплера «Мировая гармония». 21 Он открыл два звездных правильных тела (рис. 10). (Всего их четыре; два других нашел французский математик Луи Пуансо в 1809 г.) Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати Архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны поныне. Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников. В начале прошлого столетия (спустя почти 200 лет ) французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, в развитие работ Кеплера открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. Итак, благодаря работам Кеплера и Пуансо стали известными четыре типа таких фигур (Рис.11). Рисунок 11. Правильные звездчатые многогранники (тела Пуансо) 22 В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. Может возникнуть вопрос: «А зачем вообще изучать правильные многогранники? Какая от них польза?». На этот вопрос можно ответить: «А какова польза от музыки или поэзии? Разве все красивое полезно?». Модели многогранников, прежде всего, производят на нас эстетическое впечатление и могут использоваться в качестве декоративных украшений. Но на самом деле широкое проявление правильных многогранников в природных структурах послужило причиной огромного интереса к этому разделу геометрии в современной науке. История изучения и изображения многогранников, уходящая корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно «превращаясь» в историю науки о фуллеренах и технологии новых материалов на их основе или историю современной архитектуры. 4. Квазикристаллы Квазикристаллы – это новый класс твердых тел, полученный при поиске новых материалов в программе СОИ (стратегическая оборонная инициатива США). Экспериментаторам удалось попасть в очень узкую "температурную щель" и получить материалы с необычными новыми свойствами. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза). 12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters» израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство 23 существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить. Израильский физик Дан Шехтман Понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом», ключевым понятием дальнего порядка. Как подчеркивается в статье «Квазикристаллы» известного физика Д Гратиа, «это понятие привело к расширению кристаллографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в 24 мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике». Что же такое квазикристалл? Каковы его свойства и как его можно описать? Как упоминалось кристаллографии на выше, структуру согласно кристалла основному закону накладываются строгие ограничения. Согласно классическим представлениям, кристалл составляется ad infinitum из единственной ячейки, которая должна плотно (грань к грани) «устилать» всю плоскость без каких-либо ограничений. Как известно, плотное заполнение плоскости может быть осуществлено с помощью треугольников (Рис.12-а), квадратов (Рис.12-б) и шестиугольников (Рис.12-г). С помощью пятиугольников (пентагонов) такое заполнение невозможно (Рис.12-в). а) б) в) г) Рисунок 12. Плотное заполнение плоскости может быть осуществлено с помощью треугольников (а), квадратов (б) и шестиугольников (г) Таковы были каноны традиционной кристаллографии, которые существовали до открытия необычного сплава алюминия и марганца, названного квазикристаллом. Такой сплав образуется при сверхбыстром охлаждении расплава со скоростью 106К в секунду. При этом при дифракционном исследовании такого сплава на экране упорядоченная картина, характерная для симметрии икосаэдра, обладающего знаменитыми запрещенными осями симметрии 5-го порядка. Несколько научных групп во всем мире на протяжении нескольких последующих лет изучили этот необычный сплав посредством электронной 25 микроскопии высокого разрешения. Все они подтвердили идеальную однородность вещества, в котором симметрия 5-го порядка сохранялась в макроскопических областях с размерами, близкими к размерам атомов (несколько десятков нанометров). Согласно современным воззрениям разработана следующая модель получения кристаллической структуры квазикристалла. В основе этой модели лежит понятие «базового элемента». Согласно этой модели, внутренний икосаэдр из атомов алюминия окружен внешним икосаэдром из атомов марганца. Икосаэдры связаны октаэдрами из атомов марганца. В «базовом элементе» имеется 42 атома алюминия и 12 атомов марганца. В процессе затвердевания происходит быстрое формирование «базовых элементов», которые быстро соединяются между собой жесткими октаэдрическими «мостиками». Напомним, что гранями икосаэдра являются равносторонние треугольники. Чтобы образовался октаэдрический мостик из марганца, необходимо, чтобы два таких треугольника (по одному в каждой ячейку) приблизились достаточно близко друг к другу и выстроились параллельно. В результате такого физического процесса и образуется квазикристаллическая структура с «икосаэдрической» симметрией. В последние квазикристаллических десятилетия сплавов. было Кроме открыто имеющих много типов «икосаэдрическую» симметрию (5-го порядка) существуют также сплавы с декагональной симметрией (10-го порядка) и додекагональной симметрией (12-го порядка). Физические свойства квазикристаллов начали исследовать лишь недавно. Каково же практическое значение открытия квазикристаллов? Как отмечается в упомянутой выше статье Гратиа, «механическая прочность квазикристаллических сплавов резко возрастает; отсутствие периодичности приводит к замедлению распространения дислокаций по сравнению с обычными металлами … Это свойство имеет большое прикладное значение: применение икосаэдрической фазы позволит получить 26 легкие и очень прочные сплавы внедрением мелких частиц квазикристаллов в алюминиевую матрицу». В чем же квазикристаллов? состоит Прежде методологическое всего, открытие значение открытия квазикристаллов является моментом великого торжества «додекаэдро-икосаэдрической доктрины», которая пронизывает всю историю естествознания и является источником глубоких и полезных научных идей. Во-вторых, квазикристаллы разрушили традиционное представление о непреодолимом водоразделе между миром минералов, в котором «пентагональная» симметрия была запрещена, и миром живой природы, где «пентагональная» симметрия является одной из наиболее распространенных. И не следует забывать, что главной пропорцией икосаэдра является «золотая пропорция». Открытие подтверждением, квазикристаллов что, является возможно, именно еще одним «золотая научным пропорция», проявляющая себя как в мире живой природы, так и в мире минералов, является главной пропорцией Мироздания. 5. Плитки Пенроуза . Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о федоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства). Когда Дан Шехтман привел экспериментальное доказательство существования квазикристаллов, обладающих икосаэдрическиой симметрией, физики в поисках теоретического объяснения феномена квазикристаллов, обратили внимание на математическое открытие, сделанное на 10 лет раньше английским математиком Роджером Пенроузом. В качестве «плоского аналога» квазикристаллов были выбраны плитки Пенроуза, представляющие собой апериодические регулярные структуры, образованные «толстыми» и «тонкими» ромбами, подчиняющиеся пропорции «золотого сечения». 27 Именно плитки Пенроуза были взяты на вооружение кристаллографами для объяснения феномена квазикристаллов. При этом роль ромбов Пенроуза в пространстве трех измерений начали играть икосаэдры, с помощью которых и осуществляется плотное заполнение трехмерного пространства. Рассмотрим еще раз внимательно пентагон на Рис. 13. Рисунок 13. Пентагон После проведения в нем диагоналей исходный пентагон может быть представлен как совокупность трех типов геометрических фигур. В центре находится новый пентагон, образуемый точками пересечения диагоналей. Кроме того пентагон на Рис. 13 включает в себя пять равнобедренных треугольников, окрашенных в желтый цвет, и пять равнобедренных треугольников, окрашенных в красный цвет. Желтые треугольники являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют острые углы в 36 при вершине и острые углы в 72 при основании. Красные треугольники также являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют тупой угол в 108 при вершине и острые углы в 36 при основании. А теперь соединим два желтых треугольника и два красных треугольника их основаниями. В результате мы получим два «золотых» 28 ромба. Первый из них (желтый) имеет острый угол в 36 и тупой угол в 144 (Рис. 9). (а) (б) Рисунок 14. «Золотые» ромбы: а) «тонкий» ромб; (б) «толстый» ромб Ромб на Рис. 14-а будем называть тонким ромбом, а ромб на Рис. 14-б – толстым ромбом. Английский математик и физик Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы на Рис. 14 для конструирования «золотого» паркета, который был назван плитками Пенроуза. Плитки Пенроуза представляют собой комбинацию толстых и тонких ромбов, показанную на Рис. 15. Рисунок 15. Плитки Пенроуза Важно подчеркнуть, что плитки Пенроуза имеют «пентагональную» симметрию или симметрию 5-го порядка, а отношение числа толстых ромбов к тонким стремится к золотой пропорции! 29 6. Фуллерены Еще одно выдающееся современное открытие в области химии было сделано в 1985 г., то есть, несколькими годами позже квазикристаллов. Речь идет о так называемых «фуллеренах». Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С60, С70, С76, С84, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С60, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. Фуллерен С60 - усеченный икосаэдр с атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников). Направляющие ребра такого многогранника образуют некоторое подобие мозаики Пенроуза. В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников так что каждый 30 шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками. Термин «фуллерен» берет свое начало от имени американского архитектора Бакминстера Фуллера, который, оказывается использовал такие структуры при конструировании куполов зданий. «Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в 1985 учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в 1992 их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода, то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но природными образованиями. Сейчас фуллерены интенсивно изучают в лабораториях разных стран, пытаясь установить условия их образования, структуру, свойства и возможные сферы применения. Наиболее полно изученный представитель семейства фуллеренов — фуллерен-60 (C60) (его называют иногда бакминстер-фуллерен. Известны также фуллерены C70 и C84. Фуллерен С60 получают испарением графита в атмосфере гелия. При этом образуется мелкодисперсный, похожий на сажу порошок, содержащий 10% углерода; при растворении в бензоле порошок дает раствор красного цвета, из которого и выращивают кристаллы С60. Фуллерены обладают необычными химическими и физическими свойствами. Так, при высоком давлении С 60 становится твердым, как алмаз. Его молекулы образуют кристаллическую структуру, как бы состоящую из идеально гладких шаров, свободно вращающихся в гранецентрированной кубической решетке. Благодаря этому свойству C60 можно использовать в качестве твердой смазки. Фуллерены обладают также магнитными и сверхпроводящими свойствами. Российские ученые А.В. Елецкий и Б.М. Смирнов в своей статье «Фуллерены», опубликованной в журнале «Успехи физических наук», отмечают, что «фуллерены, существование которых было установлено в середине 80-х, а эффективная технология выделения которых была 31 разработана в 1990 г., в настоящее время стали предметом интенсивных исследований десятков научных групп. За результатами этих исследований пристально наблюдают прикладные фирмы. Поскольку эта модификация углерода преподнесла ученым целый ряд сюрпризов, было бы неразумным обсуждать прогнозы и возможные последствия изучения фуллеренов в ближайшее десятилетие, но следует быть готовым к новым неожиданностям». 7. Многогранники в искусстве В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.'' Пачоли, Дюрер, делла Франческа и другие... Пачоли был одним из крупнейших европейских алгебраистов XV века и, что не менее важно, изобрел принцип так называемой двойной записи, который и в настоящее время применяется во всех без исключения системах бухгалтерского учета. Так что его смело можно называть «отцом современной бухгалтерии». Однако довольно загадочная и противоречивая личность Пачоли до наших дней вызывает ожесточенные споры историков науки. Достоверно известно, что Лука Пачоли родился в 1445 г. в итальянском городке Борго-Сан-Сеполькро. В детстве он учился в мастерской художника и математика Пьеро делла Франческа, а затем в университете Болоньи, который в XV-XVI веках был одним из лучших в Европе (в разное время его студентами были, например, Коперник и Дюрер). В 1472 г. Пачоли под именем Фра Лука ди Борго-Сан-Сеполькро вернулся в родной город и начал работу над самым знаменитым из своих сочинений, 32 книгой «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», напечатанной в Венеции в 1494 г. В 1496 г. его приглашают с лекциями в Милан, где он знакомится с Леонардо да Винчи. Леонардо, прочитав «Сумму», забросил работу над собственной книгой по геометрии и начал готовить иллюстрации к новому труду Пачоли «Божественная пропорция». Леонардо да Винчи предложил оригинальный способ пространственного изображения усеченного икосаэдра. Репродукция этого прекрасного изображения из иллюстрированной Леонардо книги его современника, францисканского монаха и математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De Devina Proportione»), изданной в 1509 г. приведена на рис.16. Рис. 16Изображение Леонардо да Винчи усеченного икосаэдра методом жестких ребер в книге Л. Пачоли «Божественная пропорция». Книга Пачоли, для которой Леонардо выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников. 33 Не случайна причастность Леонардо к изучению усеченного икосаэдра. Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности. Рис. 17. Изображения Леонардо да Винчи додэкаэдра методом жестких ребер (а) и методом сплошных граней (б) в книгеЛ. Пачоли «Божественная пропорция». Гравюру с изображением усеченного икосаэдра (рис. 17) Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые, как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного 34 Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных граней. Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения научной информации. Эта техника впоследствии многократно использовалась художниками, скульпторами и учеными. Рис.18. Художественное изображение многогранников разработанной Леонардо технике жестких ребер: а — титульный лист 35 книги Ж. Кузена «Книга о б — надгробный перспективе», памятник в кафедральном соборе Солсбери. В качестве примеров приведем изображение платоновых тел (рис. 18а) на титульном лист изданной во Франции в 1560 г. книги Жана Кузена «Livre de Perspective» («Книга о перспективе») и надгробный памятник Сэру Томасу Джорджсу (рис. 18 6), установленный в 1635 г. в кафедральном соборе в Солсбери (Англия). Рис. 19. Графические фантазии Маурица Эшера:а — «Звезды» (1948), б — «Рептилии» (1943). Некоторые исследователи обвиняют автора «Божественной пропорции» в плагиате неизданных рукописей, принадлежащих перу его учителя Пьеро делла Франческа. Другие, наоборот, защищают Пачоли от этих обвинений. В общем — дело темное. А вот внешность Пачоли нам доподлинно известна благодаря его портрету (рис. 19) кисти Якопо Барбари (1440-1515). 36 Рис. 20.Портрет Луки Пачоли кисти Я. Барбари. Работа Барбари прекрасна во всех отношениях и, прежде всего, в передаче личности изображаемых персонажей, что всегда и везде является главной задачей портретной живописи. Каждая деталь композиции на картине Барбари полна смысла. Художник проявляет глубокое понимание взаимосвязи искусства и науки, так свойственное именно мастерам Возрождения. Пачоли в рясе францисканского монаха изображен стоящим за столом с геометрическими инструментами и книгами (в правом нижнем углу картины — модель додэкаэдра). Внимание Пачоли и красивого молодого человека, стоящего справа и чуть сзади от него, приковано к изучению многогранника, подвешенную стеклянную модель которого мы видим в левом верхнем углу композиции. Выбор многогранника не случаен: это ромбический кубооктаэдр. По мнению современного математика и художника Джорджа Харта, Пачоли сам выбрал его для картины, так как особенно гордился его открытием (скорее всего, этот многогранник открыл Архимед более чем за полтора тысячелетия до него, но во времена Пачоли это еще не было известно). Личность молодого человека, стоящего рядом с Пачоли, до сих пор вызывает споры историков искусства, одни из которых считают, что это автопортрет самого Барбари, другие же отождествляют его с Альбрехтом 37 Дюрером (1471-1528), художником и графиком, величайшим представителем немецкого Ренессанса. Это предположение по меньшей мере спорно. Зато, и это гораздо более важно в нашем контексте, доподлинно известно другое. Дюрер был поражен художественной манерой Барбари, строившего свои композиции на основе глубокого изучения системы пропорций, то есть строго определенного соотношения частей изображаемого между собой. «Я в то время более желал узнать, в чем состоит его способ, нежели приобрести королевство», — признавался Дюрер впоследствии. Он стал изучать законы перспективы, мечтал встретиться с прославленными итальянскими мастерами, учиться у них,состязаться с ними. С этой целью в 1505 г. Дюрер отправляется в путешествие по Италии. Кто были его учителями в школе перспективы, в точности неизвестно (среди прочих называются имена Луки Пачоли и Пьеро делла Франческа), но обучение в этой школе Дюрер продолжал всю жизнь. За три года до смерти, в 1525 г., пятидесятичетырехлетний мастер, автор более шестидесяти живописных полотен и нескольких сотен гравюр, спешит поделиться с потомками накопленными им за жизнь секретами перспективы. Он издает трактат «Руководство к измерению» (а затем еще два: «Наставление к укреплению городов» в 1527 г. и «Четыре книги о пропорциях» в1528 г.). Книга Дюрера — серьезный научный вклад в теорию перспективы, стереометрию многогранников. Он первым описал несколько неизвестных в то время архимедовых тел, а также разработал и впервые опубликовал в своей книге модели плоских разверток различных многогранников, включая развертку усеченного икосаэдра. В наше время подобные развертки, из которых собираются объемные модели многогранников, широко используются при изучении элементарных форм кристаллов, структуры молекул (фуллеренов, например), вирусов и т.д. и т.п. 38 Рис 21 . Плоская развертка усеченного икосаэдра. В 1512 году в черновом варианте своего первого трактата о пропорциях Дюрер писал: «Все потребности человека настолько пресыщаются преходящими вещами в случае их избытка, что последние вызывают в нем отвращение, исключая одну только жажду знаний... Желание много знать и через это постигнуть сущность всех вещей заложено в нас от природы». Эти слова стали прологом к теоретическим трудам Дюрера. Жаждой знаний проникнуто и все искусство той эпохи, крупнейшие представители которой становятся учеными-естествоиспытателями. Идею единства художественного вдохновения и математической теории отражает и его созданная в 1514 г.знаменитая гравюра «Меланхолия», воплотившая образ причастного к Божественному наитию существа, окруженного инструментами геометрии (рис. 22). Присутствие на гравюре многогранника (скорее всего, усеченного ромбоэдра), конечно же, не случайно. 39 Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия ''.на переднем плане изобразил додекаэдр. Рис.22 Сотни страниц исписаны искусствоведами в попытках объяснить значения символов, использованных Дюрером. Один из них, Э. Пановски, считает: «Дюрер представил "Меланхолию" как один из четырех темпераментов и как одно из семи свободных искусств — геометрию. (Под свободными искусствами в средние века понимали семь наук, составляющих основу школьного образования — грамматику, риторику, геометрию, диалектику, арифметику, астрономию и музыку. — Е.К.) Он воплощает в ней тип художника Ренессанса, который ценит практическое умение, не избегает математической теории, и который, чувствуя себя причастным божественному вдохновению, одновременно страдает от всего человеческого несовершенства и ограниченности. Таким образом, это в некотором смысле духовный автопортрет Дюрера». Примерно так же объясняет символизм этой гравюры российский искусствовед Андрей Пилипенко: «Античная и средневековая медицина различала четыре человеческих темперамента, из которых непредсказуемым считался именно меланхолический. Бытовало мнение, что меланхолики плохо приспособлены к сугубо 40 земным делам — они нескладны, неуживчивы, неудачливы, им чаще, чем обладателям других темпераментов, угрожают нищета, болезни, безумие. Однако именно меланхоликам покровительствует Сатурн, а божество этой планеты, по античным мифам, старше других богов, ему ведомы сокровенные начала Вселенной. Поэтому лишь меланхоликам доступна радость открытий. Считалось, что все выдающиеся люди: поэты, законодатели, философы — меланхолики. Сам Дюрер считал себя меланхоликом, что позволяет назвать эту гравюру духовным автопортретом мастера. Крылатая женщина — своеобразная муза Дюрера — неподвижно сидит, подперев голову рукой, среди разбросанных в беспорядке инструментов и приборов. Рядом с женщиной свернулась в клубок большая собака. Это животное — один из символов меланхолического темперамента...» К сожалению, значение многогранника не упоминается в этом объяснении. Мне хочется думать, что это столь важный для Дюрера символ объекта научного познания. Многие художники разных эпох и стран испытывали постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы. Список крупнейших мастеров Возрождения, часто изображавших и глубоко изучивших геометрию многогранников (кроме уже названных 41 Леонардо и Дюрера), необходимо начать с Пьеро делла Франческа (около 1420-1492). О жизни и личности Пьеро делла Франческа, гениального художника, серьезного теоретика искусства и выдающегося геометра (!) сохранилось мало достоверных сведений. Известно, что он родился в семье ремесленника в небольшом городе Борго-Сан-Сеполькро в Умбрии, учился во Флоренции, затем работал в ряде городов Италии, в том числе в Риме. Творчество Пьеро делла Франческа вышло за рамки местных живописных школ и определило искусство итальянского Возрождения в целом. Однако немногие знают, что делла Франческа был выдающимся математиком, внесшим, в частности, существенный вклад в теорию многогранников. При жизни он был непререкаемым авторитетом в геометрии и науке о перспективе. Однако после смерти имя делла Франческа-ученого было на долгое время предано забвению. Во многом это произошло из-за того факта, что, по-видимому, сразу же после смерти художника Лука Пачоли опубликовал большую часть его работ в своей книге (без ссылок на авторство делла Франческа). К счастью, в начале XX века были обнаружены оригиналы трех, считавшихся утерянными, математических рукописей делла Франческа (сейчас они находятся в Библиотеке Ватикана). После пяти веков забвения слава великого математика своего времени вернулась к художнику. В настоящее время доподлинно известно, что именно Пьеро делла Франческа был первым из мастеров Возрождения, открывшим (не зная, конечно, что это уже было сделано Архимедом) и подробно описавшим архимедовы тела, в частности пять усеченных платоновых тел: усеченные тетраэдр, кую, октаэдр, додэкаэдр и, что особенно важно для нашей истории, усеченный икосаэдр (!). В его рукописи «О пяти правильных телах» («Libbelus de quinque corporibus regularibus»), датированной 1480 г., обнаружено старейшее из дошедших до наших дней изображений усеченного икосаэдра. В конце XV — начале XVI веков в северной Италии было очень популярно искусство интарсии (intarsia) — особого вида инкрустации, 42 мозаики, собранной из тысяч мелких кусочков различных пород дерева. Два выдающихся образца этого искусства с изображением многогранников показаны на рис. 10. Рис. 22 Интарсии работы Фра Джовани да Верона, созданные для церкви Santa Maria in Organoв Вероне. Обе мозаики созданы Фра Джованни да Верона (1457-1525) для церкви Santa Maria in Organo в Вероне ориентировочно в 1520 г. Изображение полуоткрытых ставень создает эффект объемности на плоской мозаике, который усиливается изображением многогранников (в том числе, усеченного икосаэдра) в разработанной Леонардо технике жестких ребер. Нельзя не привести примеры изображений многогранников, выполненных художниками XX века Альберто Джакометти (1901-1966) и Сальвадором Дали (1904-1989) (рис. 23), убедительно доказывающих, на мой взгляд, что революционные изменения в искусстве XX века коснулись и изображения многогранников. 43 Рис.23.Сальвадор Дали. Тайная вечеря (1955). Нет сомнения, что ко второй половине XX века чисто научная составляющая в интересе художников к изображению многогранников исчезла. Так что же влекло к ним и Джакометти и Дали? Наверное вечная загадка лаконичной красоты этих объектов. В 2009 г. должно исполниться 500 лет со времени выхода в свет книги Луки Пачоли «Божественная пропорция», а следовательно, и изобретения Леонардо для ее иллюстрации метода жестких ребер. Готовясь к этому юбилею, наш современник, математик и художник Джордж Харт, называющий себя геометрическим скульптором, воссоздал в дереве трехмерные модели многогранников Леонардо. Джордж Харт также создал замечательную виртуальную энциклопедию «Искусство и многогранники». Отметим, что Леонардо изображал своим способом не только индивидуальные многогранники, но и, например, плотную упаковку кубов (рис. 23а). Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов, высказанную французскими кристаллографами аббатом Рэнэ-Жюстом Гаюи (1743-1822) и морским офицером Огюстом Бравэ (1811-1863). 44 Интересно сравнить этот рисунок Леонардо с похожей работой Эшера, относящейся к 1952 г., «Ячейки кубического пространства» (рис. 23 6), которую я обычно показываю студентам на первой лекции о кристаллах. б) a) Рис. 24 .Кубические пространственные решетки в изображении Леонардо (а) и Эшера (б). Вообще, творчество Эшера весьма почитаемо учеными, в частности, математиками и кристаллографами. Маурица Эшер Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (18981972), две из которых представлены на рис. 5 (изображая многогранники в этих работах, Эшер пользуется как техникой сплошных граней, так и методом жестких ребер Леонардо). Сам художник, пожилой человек с узким смуглым лицом, живыми глазами и небольшой бородкой, присутствовал как делегат конгресса, давал пояснения к своим рисункам и рассказал о них в докладе на конгрессе. Нет, Эшер не был ученым-кристаллографом, он — художник, график, окончивший в 1922 году школу архитектуры в Гаарлеме, продолжавший 45 затем свое художественное образование в Испании и Италии, известный миру по многим художественным выставкам. И вот теперь его рисунки привлекли внимание кристаллографов. Художник и кристаллография? Что общего между ними? А дело в том, что Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства. Открытие квазикристаллов и фуллеренов вдохновили многих современных художников на создание произведений, отображающих в художественной форме важнейшие физические открытия 20-го века. Одним из таких художников является словенская художница Матюшка Тейя Крашек. 7.1 Художественный мир словенской художницы Матюшки Тейи Крашек Матюшка Тейя Крашек (Matjuska Teja Krasek) получила степень бакалавра живописи в Колледже визуальных искусств (Любляна, Словения) и является свободным художником. Живет и работает в Любляне. Ее теоретическая и практическая работа фокусируется на симметрии как связующей концепции между искусством и наукой. Ее художественные работы представлялись на многих международных выставках и опубликованы в международных журналах (Leonardo Journal, Leonardo online). 46 М.Т. Крашек на своей выставке ‘Kaleidoscopic Fragrances’, Любляна, 2005 Художественное творчество Матюшки Тейи Крашек связано с различными видами симметрии, плитками и ромбами Пенроуза, квазикристаллами, золотым сечением как главным элементом симметрии, числами Фибоначчи и др. С помощью рефлексии, воображения и интуиции она пытается подобрать новые отношения, новые уровни структуры, новые и различные виды порядка в этих элементах и структурах. В своих работах она широко использует компьютерную графику как весьма полезное средство для создания художественных работ, которое является связующим звеном между наукой, математикой и искусством. На Рис. 25 приведена композиция Т.М. Крашек, связанная с числами Фибоначчи. Если мы выберем одно из чисел Фибоначчи (например, 21 см) для длины стороны ромба Пенроуза в этой ощутимо нестабильной композиции, мы можем наблюдать, как длины некоторых отрезков в композиции образуют последовательность Фибоначчи. Рисунок 25. Матюшка Тейя Крашек «Числа Фибоначчи», холст, 1998. Большое количество художественных композиций художницы посвящено квазикристаллам Шехтмана и решеткам Пенроуза (Рис. 12). 47 (а) (в) (б) (г) Рисунок 12. Мир Тейи Крашек: (а) Мир квазикристаллов. Компьютерная графика, 1996. (б) Звезды. Компьютерная графика, 1998 (в) 10/5. Холст, 1998 (г) Квазикуб. Холст, 1999 В композиции Матюшки Тейи Крашек и Клиффорда Пиковера «Биогенезис», 2005 (Рис. 27) представлен декагон, состоящий из ромбов Пенроуза. Можно наблюдать отношения между ромбами Петроуза; каждые два соседние ромба Пенроуза образуют пентагональную звезду. 48 Рисунок 27. Матюшка Тейя Крашек и Клиффорд Пиковер. Биогенезис, 2005. В картине Double Star GA (Рис. 28) мы видим, как сочетаются плитки Пенроуза, чтобы сформировать двумерное представление потенциально гиперпространственного объекта c десятиугольным основанием. При изображении картины художница использовала метод жестких ребер, предложенный Леонардо да Винчи. Именно такой способ изображения позволяет увидеть в проекции картины на плоскость большое число пентагонов и пентаклов, которые образуются проекциями отдельных ребер ромбов Пенроуза. Кроме того, в проекции картины на плоскость мы видим декагон, образованный ребрами 10 смежных ромбов Пенроуза. По существу в этой картине Матюшка Тейи Крашек нашла новый правильный многогранник, который вполне возможно реально существует в природе. 49 Рисунок 28. Матюшка Тейа Крашек. Double Star GA В композиции Крашек «Stars for Donald» (Рис. 29) мы можем наблюдать бесконечное взаимодействие ромбов Пенроуза, пентаграмм, пятиугольников, Отношения уменьшающихся золотой пропорции к центральной представлены точке композиции. многими различными способами в различных шкалах. Рисунок 29. Матюшка Тейя Крашек «Stars for Donald», компьютерная графика, 2005. Художественные композиции Матюшки Тейи Крашек привлекли огромное внимание представителей науки и искусства. Ее искусство приравнивают к искусству Маурица Эшера и называют словенскую 50 художницу «Восточно-европейским Эшером» и «Словенским подарком» мировому искусству. Различные геометрические формы находят свое отражение практически во во всех отраслях знаний: архитектура, искусство. 8. Многогранники в архитектуре Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм. Как объясняет создатель Музея Плодов в Яманаши Ицуко Хасегава, одна из немногих преуспевающих японских женщинархитекторов, "геометрия трех оболочек была проанализирована с помощью объемных компьютерных построений. Каждая форма была образована путем вращения простых геометрических форм до получения сложных объемов. 51 Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет Александрийский маяк. В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет 52 ОСТРОВ И МАЯК Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта. История изучения и изображения многогранников являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого — культуры, главного наследия человеческой цивилизации. 53 Литература 1. Стахов А.П. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 776567, публ.12561, 07.11.2005 2. Искусство и наука — о многогранниках вообще и усеченном икосаэдре в частности Е.А. КАЦ, Энергия 2002 №10,с.42-47; №11,с.45-50; №12,с.56-60; 3. Гратиа Д. Квазикристаллы // УФН, 1988, т. 156, вып. 2. 4. Пенроуз Р. Новый ум короля. - М.: УРСС, 2003. 5. Стивенз П. В., Гоулдман А. И. Структура квазикристаллов // В мире науки, 1991, № 6. Заключение: Проектная деятельность - одна из форм организации работы с учащимися , позволяющая решить поставленные педагогические задачи . « Нет ничего более важного, как обнаружить источники нового открытия. Это, на мой взгляд, интереснее самих открытий». Г. Лейбниц. 54 Литература: 1. Стахов А.П. ««Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек» \\ «Академия Тринитаризма», М., Эл№776567, публ.12561,07.11.2005 2. Е.А. Кац «Искусство и наука – о многогранниках вообще и усеченном икосаэдре в частности»., Энергия, 2002,№10,с.42-47;№11, с.45-50; №12, с.56-60; 3. Гратиа Д. Квазикристаллы\\ УФН, 1988,т. 156,вып.2 4. Пенроуз Р. «Новый ум короля». - М.:УРСС, 2003. 5. Стивенз П.В., Гоулдман А.И. «Структура квазикристаллов»\\В мире науки, 1991,№6 6. URL:http://wenninger.narod.ru/photo1.html 7. URL: http://nature.web.ru/ 8. Биология и информация. АНРФ, издательство «Наука», Москва,1999 9. Происхождение и химическая эволюция земли. АНРФ, издательство «Наука», Москва, 1993 10.Детская энциклопедия, том 2. Мир небесных тел, числа и фигуры. Издательство «Педагогика», Москва, 1972 11.Краткий словарь иностранных слов. ОГИЗ, Москва 1943 12.И.М. Смирнова «Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10-11 классов средней школы». Москва, «Аквариум»1998г. 13.Е.А. Лебединцева Е. Ю. Беленкова Математика 5 классы. «Интеллектцентр» Москва 2002г. 14.Н.Я. Виленкин Л.П. Шибасов З.Ф. Шибасова «За страницами учебника математики 10-11 классы». Москва, «Просвещение» АО Учебная литература 1996г. 15.365 логических задач АСТ пресс «Умникам и умницам», Москва, 2006г. 16.Н.Ю.Пахомова «Метод учебного проекта в образовательном учреждении».Москва,Аркти,2005г. 17.Л.А.Битюцкая,В.С.Еремин,В.С.Чесноков,О.Б.Дементьева «Естествознание 10 класс»,Москва, «АСТ-ПРЕСС»,2001г. 55 Приложение 1. Таблица для подведения итогов соревнования команд. Конкурс №1 Конкурс №2 Конкурс №3 Конкурс №4 Конкурс №5 Конкурс №6 Капитанский конкурс Итог Правила оценки: 1. За полностью правильно выполненное задание ставят 2 балла, за не полностью выполненное задание ставят 1 балл, а за не выполненное задание ставят 0. 2. Если команда правильно выполняет задание раньше указанного времени, то ей добавляют еще 1 балл. 56 Приложение 2. Модели многогранников, сделанные учащимися. 57 58 59 Приложение 3 Кроссворд к уроку Защита проекта по геометрии 10 класс. Иллюстрированная задача, упражнение; Тело Платона, имеющее восемь граней; Предложение, принимаемое без доказательства; Гексаэдр; Тело Платона, имеющее 12 граней; Ученый-математик, который дал теорию полуправильных выпуклых многогранников; 7. Полуправильный многогранник, получаемый при отсечении от куба восьми пирамид; 8. Положение, справедливость которого доказывается; 9. Тригонометрическая функция. В прямоугольных треугольниках является отношением прилежащего катета к гипотенузе; 10. Математическая зависимость, выраженная условными знаками; 11. Хорда, проходящая через центр окружности; 12. Раздел геометрии; 13. Правильный многогранник, имеющий 4 грани; 14. Элемент прямоугольного треугольника; 15. Выдающийся математик древней Греции, основоположник геометрии; 16. ученый-математик, давший теорию правильных выпуклых многогранников; 17. Правильный многогранник, имеющий 20 граней; 18. Отрезок прямой, соединяющий любую точку окружности с ее центром; 19. Направленный отрезок; 20. Полуправильный многогранник, имеющий 62 грани. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 3 7 12 13 т 14 17 19 20 1 п р 2 о а к с и о м 4 к у б 5 д о 6 а р х и к у б о о к 8 т е о 9 к о с 10 ф о 11 д с т е р е о е т р а э д г и п о т е 15 е в к 16 п л а и к о с а э 18 р а д в е к т о р и м е р к т а э д р а д м т р и р и м р н л т д и е е а е н м а е к д э м у у м т а э д р у и о р у з а д н д а с л е р р а т р и я с 60 Ответы к кроссворду: 1 3 7 а к 12 13 т 14 с е г 17 и 19 в к 6 у т т и с 4 а б 8 9 е р п 15 16 к о 18 е к и к 5 р о т к 10 р а о е п с р т п 2 о у д х о е о ф 11 е э т в л а а о 20 р о м б о и к о с о д о д е к а э д р и к а м т е а р э д р д м т р и р и м р н л т д и е е а е н м а е к д э м у у м т а э д д а с л е р р у и о р у з д н а т и р р я а с 61 Приложение 4 Курносый додекаэдр Усечённый икосаэдр Ромбокубоктаэдр 62