Последовательности

1
Предел последовательности.
Введение.
Бесконечный занумерованный ряд вещественных чисел xn называется числовой
последовательностью. Значение каждого члена последовательности однозначно
определяется его местом в этом ряду, то есть его номером. Можно сформулировать
сказанное короче:
Определение. Последовательностью называется функция натурального аргумента xn  f (n) .
Замечание. Эта связь (зависимость xn от n) не обязательно задается формулой! Иногда это
невозможно сделать явно!
Некоторые примеры:
 1  ; n  ;  1n 
n
2
Способы задания последовательности
1. Аналитический (формулой).
2. Рекуррентный. При этом обычно задается первый член последовательности и
указывается формула, связывающая n-й член с соседними членами (например,
xn1 и xn 1 ).
Классический пример: числа Фибоначчи x1 =1, x2 =1, xn2 = xn 1 + x n ;
другие примеры: арифметическая и геометрическая прогрессии.
3. Описательный.
Примеры: 2,3,…,17,19 – простые числа;
3,1,4,… -- десятичные знаки числа  ;
1,0,1/2,0,0,1/3,…
Общие свойства последовательностей
Пояснение: это просто перенесение определений и свойств из раздела «элементарное
исследование функции» на частный случай функции натурального аргумента! Однако здесь
встречаются и частные виды определений, с которыми иногда удобнее решать задачи.
1. Монотонность.
Определение 1. Последовательность называется возрастающей, если  n1 ,n 2  : n1  n 2
выполняется неравенство xn1  xn2 . Обозначение: xn   .
Определение 2. xn   , если  n 
xn1  xn
Замечание. Определения 1 и 2 равносильны. Доказать самостоятельно.
Определение 3. Последовательность называется убывающей: xn   , если
выполняется неравенство xn1  xn .
n 
Определение 4. Последовательность называется нестрого возрастающей (или
неубывающей), если n  выполняется неравенство xn1  xn . Обозначение:  xn 
.
Определение5. Последовательность называется нестрого убывающей (или невозрастающей),
если n  выполняется неравенство xn1  xn . Обозначение:  xn  .
2
Определение6.Последовательность, удовлетворяющая любому из предыдущих пяти
определений, называется монотонной.
2. Ограниченность
Определение 1. Последовательность  xn  называется ограниченной, если существуют такие
вещественные числа A, B  , что n  выполняется неравенство A  xn  B . (Это
обычное определение ограниченной функции.)
Определение 2. Последовательность  xn  ограничена, если найдется такое положительное
число L  0 , что n 
выполняется неравенство xn  L .
Определение 3. Последовательность  xn  ограничена, если найдется такое положительное
число L  0 , что для всех членов последовательности, начиная с некоторого номера k,
выполняется неравенство xn  L :  k  : n  k xn  L .
Замечание. Все три определения ограниченности для последовательности равносильны.
От определения 1 легко перейти к определению 2, если в качестве L взять max  A; B . Из
определения 2 немедленно следует определение 3 (k=1). Для перехода от определения 3 к
определению 2 достаточно выбрать число L1  max{| x1 |,| x2 |,...,| xk 1 |,| L |} . Тогда n 
xn  L1 , как это и требуется в определении 2.
3
§1. Определение предела последовательности.
Определение. Число А называется пределом последовательности  xn  , если для любого
положительного (сколь угодно малого) числа  найдется номер k, начиная с которого все
члены последовательности отличаются от А менее, чем на  :
lim xn  A    0  k 
n 
: n  k выполняется неравенство xn  A   .
(Вариант записи: x n  A )
n
Определение. Последовательность y которой существует конечный предел, называется
сходящейся: xn  сходится  A  :   0  k  : n  k выполняется неравенство
xn  A   .
Словарик синонимов:
xn  A    A    xn  A    xn   A   ; A    ; назовем последний интервал
 -окрестностью точки А и будем обозначать его U  A :


U  A = x x  A   . Тогда определение предела последовательности может быть
сформулировано следующим образом: число А есть предел последовательности  xn  , если
  0 найдется такой номер k, начиная с которого все члены последовательности попадают
внутрь  -окрестности точки А, или, другими словами, за пределами любой  -окрестности
точки А лежит не более чем конечное число членов последовательности.
Упражнение 1. Построить формальные отрицания следующих утверждений:
 A  lim xn
n 

 xn  сходится.
Решение:
A  lim xn     0 : k 

n 

 n  k : xn  A   ;
 xn  расходится, если такого А не существует, т.е. никакое число А не является пределом
этой последовательности: A 
   0 : k 
Упражнение 2. Доказать, что последовательность
 n  k : xn  A   .
 1  расходится.
n
Заметим, что множество значений этой последовательности состоит из двух чисел: 1 и (-1):
x2 k  1, x2 k 1  1 k  .
Никакое а  1 не может быть пределом { xn } : достаточно взять   min{| a  1 |,| a  1 |} и убедиться что
u ( a ) не содержит ни одного x n . Число 1 также не является
lim xn : при   1 вне u (1) содержится
бесконечное число {xn } (все члены с нечетными номерами). Аналогично для (-1).
Упражнение 3. Доказать, что если последовательность {x n } сходится к числу А и
последовательность { yn } получена перестановкой членов последовательности {x n } , то и
последовательность { yn } сходится к числу А.
4
Упражнение 4. Дана последовательность {x n } , такая, что последовательность {| xn |} сходится.
Обязательно ли сходится последовательность {x n } ? Привести соответствующие примеры.
Упражнение 5. Привести примеры последовательностей {x n } и { yn } , имеющих одно и то же
множество значений и таких, что:
1. {x n } и { yn } сходятся, но имеют разные пределы: lim xn   lim  yn  ;
n 
n 
2. {x n } сходится, а { yn } расходится.
3. Какое условие можно наложить на последовательности {x n } и { yn } с одинаковыми
множествами значений, чтобы они имели равные пределы?
Упражнение 6. Доказать, что если A  lim xn , то A  lim xn .
n 
n 
5
§2 Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Числовая последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство
От противного: пусть существуют lim xn  A и lim xn  B , где A  B .
n 
n 
(
)
A A A
(
)
B  B B 
Пусть A  B . Возьмем   0 так чтобы U ( A) и U ( B) не имели общих точек, например,
B A
B A
0 
. Поскольку A  lim xn , для любого   0 , в том числе для  0 
, найдется
n 
3
3
такой номер k , начиная с которого все члены последовательности лежат внутри U  0 ( A) .
Значит, вне U  0 ( A) может оказаться только конечное число членов последовательности  xn  .
В частности, U  0 ( B) может содержать только конечное число членов последовательности
xn .
xn  . Это противоречит тому, что B  lim
n 
Вот строгая формализованная запись доказательства:
B A
возьмем  
( B  A и   0 ).
2
B A
A B
B A
B A
xn  A  k1 : n  k1 xn  A 
 xn 
 A
или A 
.
2
2
2
2
B A
B A
A B
B A
xn  B  k2 : n  k2 xn  B 
 B
 xn 
 B.
или
2
2
2
2
Возьмем k0  max k1 , k2  ; тогда n  k0 одновременно выполняются два неравенства:
B A
B A
и xn 
. Получили противоречие. Значит, предположение о существовании
2
2
двух различных пределов было неверно.
xn 
Замечание. Сходящаяся последовательность ограничена.
Другими словами: Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Пояснение: если в определении предела взять   1 , то утверждение становится очевидным.
6
§3. Подпоследовательности.
Пусть задана последовательность  xn  . Если выписывать не все члены последовательности
подряд, а с пропуском (например, каждый второй или каждый пятый или члены с простыми
номерами и т.д.), то получится новая последовательность, которая называется частичной
последовательностью или подпоследовательностью последовательности  xn  .
Точнее: рассмотрим возрастающую последовательность натуральных чисел nk  :
n1  n2  ...  nk  ... Тогда последовательность  yk  , где yk  xnk при k 
, называется
подпоследовательностью последовательности  xn  и обозначается  xnk  .
Таким образом, подпоследовательность  xnk  образована только из членов
последовательности  xn  , причем порядок следования членов в подпоследовательности
такой же, как и в исходной последовательности.
Например, последовательность всех нечетных чисел является подпоследовательностью
последовательность 3;5;1;7;9  – уже нет! Значит, менять местами члены исходной
,а
последовательности нельзя!
Числа nk  сами образуют последовательность – функцию натурального аргумента k! Поэтому
можно сказать, что подпоследовательность последовательности  xn  -- композиция функции x(n)
и n( k ) .
Предложение. Если последовательность  xn  имеет конечный предел, то любая ее
подпоследовательность  xnk  имеет тот же предел:
lim xn  A  lim xnk  A .
n 
k 
Доказательство.
Поскольку lim xn  A , то   0 найдется такой номер m , начиная с которого все xn
n 
лежат в  -окрестности точки А: n  m xn U  A . За пределами окрестности U  A
может лежать только конечное число членов последовательности  xn  , и уж тем более
конечное число членов ее подпоследовательности  xnk  . Это и означает, что число А есть
предел подпоследовательности  xnk  .
Другой вариант доказательства:
Возьмем   0 . Поскольку lim xn  A , то по этому   0 найдется такой номер m ,
n 
начиная с которого xn  A   . В записи  xnk  число k означает порядковый номер члена
последовательности xn1 , xn2 ... , а nk – номер этого члена в исходной последовательности.
Поэтому xnk либо совпадает с xn , либо стоит в записи  xn  правее его: nk  k . А значит,
k  m выполняется неравенство xnk  A   , что и означает, в силу произвольности выбора
  0 , что lim xn  A .
n 
k
7
Замечание. Если последовательность  xn  не имеет предела, это еще не значит, что
подпоследовательность  xnk  не имеет предела!

Упражнение. Как теперь можно проще доказать, что последовательность  1
n
 расходится?
§4. Свойства, связанные с неравенствами.
Лемма. Если lim xn  A , lim yn  B и A  B , то существует номер k , начиная с которого
n 
n 
(т.е. n  k ) xn  yn .
Доказательство
Снова выберем   0 так, чтобы множества U ( A) и U ( B) не пересекались, например,
B A

. Тогда  k1 :n  k1 xn U  A и  k2 :n  k2 yn U  B  . Возьмем k0  max k1 , k2  .
3
Очевидно, n  k0 выполняются неравенства xn  A    B    yn .
Следствие 1.
Пусть lim xn  A , A  B . Тогда найдется такой номер k0 , что n  k0
n 
(Для доказательства достаточно в лемме положить yn  B n 
xn  B .
)
Теорема 2.(О предельном переходе в неравенстве)
Если lim xn  A , lim yn  B и n 
xn  yn , то A  B .
n 
n 
Доказательство. Если это не так, то A  B , и по лемме  k  : n  k
противоречит условию.
xn  yn , что
Замечание. Предельный переход сохраняет знак нестрогого неравенства. Однако знак
строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется.
Если xn  yn n  , то отсюда следует лишь неравенство lim xn  lim yn , но не
n 
n 
lim xn  lim yn !
n 
n 
Пример: xn  1 
1
1
, yn  1  . Видно, что lim xn  lim yn  1 , но при этом xn  yn .
n 
n 
n
n
Теорема 3.(О сжатой последовательности)
Пусть даны три последовательности  xn  ,  yn  и  zn  такие, что xn  yn  zn
n 
, и,
кроме того, lim xn  lim zn  A . Тогда последовательность  yn  тоже сходится, причем к
n 
n 
тому же числу:  lim yn  A .
n 
Доказательство
Возьмем и зафиксируем   0 .
lim xn  A , поэтому для выбранного  найдется такой номер k1 , что n  k1
n 
A    xn  A   .
xn U  A , или
8
lim zn  A , поэтому для выбранного  найдется такой номер k2 , что n  k2
n 
zn U  A ,
или A    zn  A   .
Возьмем теперь k0  max k1 , k2  . Тогда n  k0 выполняются неравенства
A    xn  yn  zn  A   , что и означает по определению (в силу произвольности выбора
  0 ), что  lim yn  A .
n 
Упражнение 1. В последовательности {x n } xn 
1
n 
. Выяснить, может ли последовательность
n
{x n } :
1. не иметь предела;
2. иметь предел, отличный от 0;
3. иметь предел, равный 1.
Упражнение 2. Могут ли последовательности {x n } и { yn } сходиться к одному и тому же числу, если
1.
xn  yn
n 
;
2. множества их значений не пересекаются?