ЗАНЯТИЕ № 5,6 РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДРОБНО—РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

ЗАНЯТИЕ № 5,6
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ДРОБНО—РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Рациональные неравенства - это неравенства вида h(x)> q(x) где h(x) и q(x)рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел
и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления
и возведения в натуральную степень.
Пример 1. Решить неравенство ( х-1)(х+1) (х-2)>0
Решение:
Рассмотрим выражение f (х)=(х-1)(х+1)(х-2).
Оно обращается в 0 в точках 1; -1; 2; отметим эти точки на числовой прямой
Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка,
причём на каждом промежутке выражение f (х) сохраняет постоянный знак. Как в
этом убедиться? Например так: возьмём любую точку х из промежутка (2;+∞).
Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и
правее точки 2. Это значит, что х -1>0, х+ 1>0, х -2>0. Но тогда х-1>0 0, х+1> 0, х2> 0, а значит, и f (х)> 0 (как произведение положительных чисел). Итак, на всём
промежутке (2; +∞) выполняется неравенство f (х)> 0
Возьмём любую точку из интервала (1; 2). Эта точка расположена на
числовой прямой правее точки -1, правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х> -1,
х> 1, но х< 2, а поэтому х+1> 0, х-1> 0, х-2< 0. Но тогда f (х)< 0 (как произведение
двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1; 2)
выполняется неравенство f(х)< 0.
Возьмём любую точку х из интервала (-1; 1). Эта точка расположена на
числовой прямой правее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Значит, х> -1, но
х 1, х< 2, а поэтому х+1> 0, х-1< 0, х-2, 0. Но тогда f (х)>0 (как произведение двух
отрицательных и одного положительного числа). Итак, на промежутке (-1; 1)
выполняется неравенство f (х)> 0.
Возьмём любую точку х из промежутка (-∞; -1). Эта точка расположена на
числовой прямой левее точки -1, левее точки 1, левее точки 2. Это значит, что х <
-1, х< 1, х< 2. Но тогда х-1< 0, х+1< 0, х-2< 0, а значит, и f (х)< 0 (как
произведение трёх отрицательных чисел). Итак, на всём промежутке (-∞; -1)
выполняется неравенство f(х)< 0.
Подведём итоги. Знаки выражения f(х) в выделенных промежутках таковы,
как показано на данном рисунке:
Нас интересует, где выполняется неравенство
f(х)>0. С помощью
геометрической модели устанавливаем, что неравенство f(х)>0 выполняется на
интервале (-1; 1) и на открытом луче (2;+∞).
Ответ: х€(-1; 1) U (2; +∞).
Пример 2. Решить неравенство: (х2-х)∕(х2-5х-6<0
Решение:
Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби f(х),
содержащейся в левой части неравенства: х2-х=х(х-1) и х2-5х-6=(х+1)(х-6).
Числитель данной дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а знаменатель в точках -1
и 6. Отметим эти точки на числовой прямой:
Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков,
причём, на каждом промежутке выражение f(х) сохраняет постоянный знак.
Рассуждая как в предыдущем примере, получаем соответствующие знаки
на каждом промежутке. Нас интересует, где выполняется неравенство f(х)<0. С
помощью геометрической модели устанавливаем, что х€(-1; 1)U (1; 6).
Пример 3: Решить неравенство: (х-1)2(х+2)<0
Решение: Рассмотрим выражение f(х)=(х-1)2(х+2), отметим точки 1 и -2 на
числовой прямой и определим знаки f(х) на заданных промежутках. При х> 1
имеем f(x)>0, при -2 <х<1 имеем f(x)>0, при x<-2 имеем f(x)<0. Значит,
решением заданного неравенства служит открытый луч (-∞; -2)
Пример 4. Решить неравенство: (19-х2-4х)∕(49-х2)<3∕(7+x).
Решение:
Преобразуем неравенство к виду (19-х2-4х)∕(49-х2)—3∕(7+х)< 0
И поработаем с левой частью получившегося неравенства. Имеем
(19-х2-4х)∕(7-х)(7+х)—37-х∕(7+х)=(19-х2-4х-3(7-х)∕(7-х)(7+х)=(-х2-х-2)∕(7х)(7+х)=(х2+х+2)∕(х-7)(х+7). Таким образом, задача сводится к решению
неравенства (х2+х+2)∕(х-7)(х+7). Попытаемся разложить на множители числитель
алгебраической дроби, содержащейся в левой части неравенства. Речь идёт о
разложении на множители выражения х2+х+2. Но дискриминант этого
квадратного трёхчлена отрицателен:Д=12-4*1*2=-7. Значит, корней нет, а значит
точек пересечения с осью х нет, но ветви параболы направлены вверх. Значит
квадратный трёхчлен положителен при всех значениях х. Тогда на него можно
разделить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:
Имеем: (х2+х+2)∕(х-7)(х+7)<0
Воспользовавшись методом интервалов, получаем ответ: (-7; 7).