СОДЕРЖАНИЕ Задание№224. 2 Задание№236. 4 Задание№247

СОДЕРЖАНИЕ
Задание№224.
Задание№236.
Задание№247.
Задание№254.
Задание№266.
Задание№280.
Задание№284.
Задание№306.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1
2
4
7
8
10
11
12
14
15
Задание №224. Вычислить площадь фигуры, ограниченными линиями
 y  ( x  2)3

 y  4 x  8
Решение
Изобразим на рисунке линии
Определим пределы интегрирования
Виду симметричности фигуры, найдем площадь половины фигуры и удвоим
результат
Площадь заштрихованной фигуры найдем по формуле
2
Тогда площадь всей фигуры равна
3
4
Задание №236. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, с помощью
двойного интеграла в полярных координатах
Решение
Изобразим на рисунке линии
Это уравнение окружности радиусом 1 с центром в точке А(0,1)
Это уравнение окружности радиусом 2 с центром в точке В(0,2)
– это уравнения двух прямых.
5
Переходя к полярным координатам по формулам
получим
6
По уравнения прямых определим их углы наклона (они же пределы
интегрирования для )
Пределы интегрирования
Площадь искомой фигуры равна
7
8
Задание №247. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение
Используем замену
Приравнивая к нулю выражение в скобках, имеем
Интегрируя, имеем
Тогда
Интегрируя, имеем
Тогда
=
дифференциального уравнения
– общее решение
9
Задание №254. Найти решение задачи Коши
Решение
Общее решение ищем в виде
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
Поскольку корни характеристического уравнения
действительны и различны
то общее решение однородного
уравнения имеет вид
Решение неоднородного уравнения ищем в виде
10
Подставляя
в исходное уравнение получим
Приравнивая коэффициенты, получим
Тогда
Общее решение имеет вид
Из начальных условий имеем
Тогда частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям, имеет вид
11
Задание №266. Исследовать на сходимость знакоположительные ряды
  3n  2  2n 1
  3n  5 
n 1

Решение
Исследуем общий член ряда
12
Поскольку общий член ряда не стремится к нулю при
необходимому признаку сходимости рядов, ряд расходится.
13
, то по
Задание №280. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды

(1) n

n 1 n  n  1
Решение
Исследуем общий член ряда
Получили знакочередующийся ряд, общий член которого стремится к нулю, и
по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов, ряд сходится.
Исследуем ряд, составленный из положительных членов
Сравним данный ряд с расходящимся, как обобщенный гармонический ряд
Для всех n выполняется неравенство
По достаточному признаку сходимости рядов с неотрицательными членами
из расходимости первого ряда вытекает расходимость второго. Таким
образом, исходный ряд расходится.
Тогда исходный знакочередующийся ряд сходится условно.
14
Задание №284. Найти интервал сходимости степенного ряда


x n 1
n
n  2 n 3 ln n
Решение
Радиус абсолютной сходимости ряда равен:
Ряд сходится при
При
получим ряд
15
По интегральному признаку Коши
Следовательно, ряд расходится.
При
получим ряд
Получили знакочередующийся ряд, общий член которого стремится к нулю, и
по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов, ряд сходится.
Интервал сходимости исходного ряда
16
Задание №306. Вычислить приближенно интеграл
Решение
Для известного разложения в ряд
получим
17
Поскольку
то заданная точность достигнута.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
18
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для
втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.
19