www.testent.ru Динамика вращательного движения твердого тела. § 1. Механика твердого тела. Твердое тело - система материальных точек, жестко связанных друг с другом. Данное определение является моделью. Движение абсолютно твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного и вращательного движений. Рассмотрим уравнения: dP F — основное уравнение поступательного движения; dt dL M — основное уравнение вращательного движения; dt В общем случае система не замкнута т.к. это только чисто скалярное уравнения, а число степеней свободы системы материальных точек гораздо больше. Однако для твердого тела эти уравнения являются замкнутой системой, т.е. с их помощью без каких либо других дополнительных данных можно полностью определить движение твердого тела в заданных временных силовых полях. Необходимо знать лишь начальные условия движения. Докажем замкнутость системы уравнений для твердого тела: Ориентировка твердого тела в пространстве определяется направлением осей координат, жестко связанных с телом, т.е. направлением единичных векторов (i , j , k ) . r В этой системе положение каждой точки зафиксировано и задаётся радиус-вектором r либо декартовыми координатами. Поскольку точки твёрдого тела жёстко связаны между собой, координаты каждой точки остаются неизменными. Ориентировка этой системы координат относительно неинерциальной системы координат определяется полностью тремя углами Эйлера: , , . Углы Эйлера характеризуют взаимное расположение двух прямоугольных декартовых систем координат. Положение точки твердого тела, с которой связана внутренняя система координат, задается r радиус-вектором r0 , относительно внешней системы координат (инерциальной). Поэтому положение твердого тела можно задать с помощью шести переменных / x Скорость каждой точки скоростей v v r . 0 тела складывается из 0 , y 0 , z0 ,, , / . поступательной и вращательной r Угловая скорость w выражается через производные углов Эйлера. Следовательно, скорость всех точек твёрдого тела определяется r r полностью / x 0 , y 0 , z 0 ,, , / и их производными, это означает, что как P так и L могут быть выражены через / x 0 , y 0 , z 0 ,, , / и их производные. Таким www.testent.ru образом, получили координат / x dL M dt 0 , y 0 , z 0 ,, , / , шесть уравнений для т.е. мы доказали, что система шести неизвестных d P уравнений F dt и - является замкнутой. § 2. Момент инерции твердого тел а. Момент импульса твердого тела относительно оси вращения. Моментом инерции называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от оси вращения. I mr 2 ; I m i ri2 ; I r 2 dv v Моменты инерц. oтнос. прямоуг. декартовой сис-мы координат: I x (y 2 z2 )dm (y 2 z2 )dv m v I y (x z )dm (x 2 z2)dv 2 2 m v I z (x y )dm (x 2 y 2 )dv 2 2 m v Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки вращения (полюса) называется вектор L , равный векторному произведению радиус-вектора на импульс: i L r P m r v Моментом импульса тела называют геометрическую сумму моментов импульсов для всех материальных точек системы L L i ri m i vi или для сплошной среды: i i L L i ri m i vi dm m Заметим, что скорость движения v r . Отсюда r V является линейной скоростью вращательного www.testent.ru Li r p r m v r m r i i i i i i i mi r r i i i L m r 2 m r x x yy zz i i i i i i Разложим на составляющие, заметив, что r2 скалярная величина: Lix Liy Liz mi x r i2 (mi x 2x mi xy y mi xz z ) mi y r i2 (mi yx x mi y 2y mi yzz ) mi zr i2 (mi zx x mi yzy mi z2z ) После преобразования: L m ( r2 x 2 ) m xy m xz ix x i i i y i z 2 2 L iy y m i ( ri y ) mi xy x mi yz z L m ( r2 z 2 ) m zx m zy iz z i i i x i y Обозначим через I xx = mi (ri2 - x2 ); и т. д. I xy = - mi xy ; Величины I xx , I yy , I zz - называются основными моментами инерции, а I yx , I yz , I zx центробежными моментами инерции. Наши формулы можно представить в виде тензора: I I I xx xy xz x I I yy I yz y L yx I zx I zy I zz z Тензор инерции зависит от шести элементов т.к. Ixy=Iyx. Для каждого тела можно найти направления осей координат, при которых тензор инерции приобретает диагональный вид: 0 0 I xx x L 0 I yy 0 y 0 0 I zz z Такое направление называют главным и оси вращения // этим осям, называются главными осями вращения. Главных осей вращения может быть бесконечно много. Главные оси, проходящие через центр масс твёрдого тела называются главными центральными осями. Если тело вращается вокруг одной главной оси, то его момент импульса L I i выражается: . xx x www.testent.ru Очевидно, что в этом случае направление вектора угловой скорости должен совпадать с направлением момента импульса. Если вращение тела осуществляется вокруг одной из главных осей, то вектор момента dL 0 . Поэтому для удержания импульса не изменяется ни по времени, ни по величине, т.е. dt тела в таком положении не требуется ни каких моментов сил. Таким образом, вращение тела вокруг главной незакрепленной оси будет стабилизированным. § 3. Гироскоп. Лит. ( Error! Reference source not found. — стр. 78-90) dL M Основной закон вращательного движения — dt : производная по времени от момента количества движения механической системы относительно неподвижной точки, или центра инерции, равна главному моменту всех внешних сил, относительно той же точки. L I V L r p r mV mr 2 I r Гигроскопом называется твёрдое тело вращающееся вокруг неподвижной точки О, и обладающий осью Оz/ динамической симметрии, которая походит через центр инерции. Динамической осью вращения называют ось вращения эллипсоида. Гироскоп называется уравновешенным, если точка. О совпадает с центром инерции, иначе его называют тяжелым. В основном мы будем рассматривать уравновешенные гигроскопы. Если ориентация мгновенной оси вращения гироскопа вокруг точки О ничем не ограничена, то гироскоп имеет три степени свободы, такое вращение называется свободным или инерционным. Для свободного вращения характерно внешних сил. Запишем уравнение вращательного вращения для твердого тела вокруг точки О в системе координат связанных с телом ( x , y , z ) : dL M I - где: dt dL dL x dL y dL z i j k — dt dt dt dt i , j,k L относительная производная по времени от L по M - главный момент внешних сил относительно точки О; - момент импульса относительно точки О; - угловая скорость вращения координат ( x , y , z ) относительно (x, y, z). Если оси координат совпадают с главными осями инерции тела, то получаем основной закон инерции в разложении по осям координат(динамические уравнения Эйлера): www.testent.ru M x I x x (I z I y )y z M y I y y (I x I z )x z , где M z I z z (I y I z )y x Ix, Iy, Iz – главные моменты инерции тела; х, у, z, - проекции угловой скорости на главные оси инерции; Мх, Му, Мz – моменты всех внешних сил относительно тех же осей. Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Для нашего случая все моменты сил равны нолю. Угловая скорость находится из соотношения: w= 2 2 wx + wy + wz 2 Момент количества движения гироскопа относительно точки О и его кинетическая энергия постоянна. Т.к. вращение свободное, и происходит относительно оси OZ, т.е. Ix = Iy, получаем: z 0 , xx y y 0 , т.е. wz = const 2 wx = const 2 wy = const w= 2 2 2 wx + wy + wz = const Возможны два случая движения: 1) когда вращение происходит вокруг одной оси OZ x y 0 , так, что w= wz , и следовательно 1 L Iz При инерционном вращении уравновешенного гироскопа вокруг оси динамической симметрии, ориентация этой оси по отношению к инерционным осям координат не изменяется во времени, движение устойчиво. 2) 2y z2 0 , то есть мгновенная ось вращения не совпадает с динамической осью симметрии, тогда динамическая ось Oz/ вращается вокруг неподвижной оси Oz, совпадающая с вектором, описывая круговую коническую поверхность с вершиной в точке О . mr c q I r -угловая скорость прецессии www.testent.ru Z Z C rc mg Рисунок 0.1 tg Ix Iz x2 2y z2 V V M вн r 0 mg r dL M c c L mg dt I z L V Такое вращение называется регулярной прецессией, а угол скорость перемещения равна: - угол нутации. Угловая x2 2y 2 I x2 2y z z I sin z2 x Движение гироскопа с неподвижной точкой в поле силы тяжести. Если 2 2 2 , то угол нутации мал и ось Оz/ практически совпадает с осью Оz. x y z § 4. Момент импульса твердого тела относительно закрепленной ос и вращения. Если тело вращается вокруг главной центральной оси вращения, то направление вектора в пространстве не меняется. Если вращение вокруг центральной неглавной оси, то момент импульса имеет две составляющие: L i L i L ir ,где L i - осевая составляющая L ir - радиальная составляющая Это означает, что масса распределена не симметрично относительно оси. www.testent.ru Вектор L i вращается вокруг оси, и следовательно для его изменения необходимо применить момент силы М . ri Li Li i Lir Рисунок 0.2 За счет неравномерного распределения массы , при вращении возникает момент сил. L i i Pi i m vi i m ri L i m ( i ri ) m ri ( ii ) mr 2i m rivi L i I ii L ir , L I L i i ir L I Lr для всего тела : Если ось вращения главная то: L r 0 и L I L // Если ось вращения не главная то: Lr 0 L I Lr L Момент сил создает закрепленная ось вращения за счет реакции подшипников. www.testent.ru § 5. Теорема Штейнера(Гюйгенса ). mi Ri ri a O O Рисунок 0.3 I 0 - момент инерции относительно центральной оси вращения. I 0 m i Ri2 I m i ri2 Из рисунка видно , что ri Ri a ri2 Ri2 a2 2a Ri получим r r r I m i ri2 m i R i2 a 2 2 R i a m i R i2 m i a 2 m i R i 2 a i i Т.к. ось проходила через центр масс m R i i 0I m R i 2 i i Теорема Штейнера: i i i mi a 2 i I I 0 ma 2 § 6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. V П Рисунок 0.4 www.testent.ru Кинетическая энергия движения равнa: m i vi2 E ki 2 vi vn r Пусть v n 0 тогда m i r 2 m i ri2 2 I i 2 E ki 2 2 2 I 2 2 Ek 2 Если v n 0 , то mv n2 I 2 En 2 2 § 7. Плоское движение твердого тела. При плоском движении тела скорость любой точки может быть представлена как скорость движения произвольного полюса вращения и вращением этой точки относительно этого полюса вращения. v vn r Таким образом, для точки В существует бесконечное количество вариантов разложения скоростей на две составляющие.