Управ.пер_1к_1с_Широкова А.Ю

Вопросы к экзамену по математике
1 курс 1 семестр «Управление персоналом» ДО 2012–13 уч. год
Сост. ст. преп. Широкова А.Ю.
«УТВЕРЖДЕНЫ»
на заседании кафедры матанализа
№ протокола _5_____
«_12__»___12___________2012 г.
Зав. каф. матанализа_________Калиев И.А.
1. Множества. Основные операции над множествами.
Z
Q

R
2. Основные числовые множества N
. Рациональные и иррациональные числа.
Числовые промежутки
3. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования матриц.
4. Определители их свойства и вычисление.
5. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Основные понятия
6. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
7. Применение определителей к решению СЛАУ
8. Абсолютная величина действительного числа. Понятие окрестности.
9. Векторы. Основные операции над векторами. Понятие коллинеарности и
компланарности.
10. Проекция вектора на ось. Свойства скалярных проекций. Направляющие косинусы
вектора.
11. Компланарность векторов. Разложение вектора в пространстве.
12. Скалярное произведение векторов. Основные свойства и приложения.
13. Различные уравнения прямой в плоскости
14. Окружность. Эллипс, основные понятия, формулы.
15. Гипербола, основные понятия, формулы.
16. Парабола, основные понятия, формулы.
17. Различные уравнения плоскости.
18. Прямая в пространстве. Пересечение прямой с плоскостью.
19. Полуплоскость. Выпуклые многоугольники.
20. Функция. Способы задания. График функции. Числовая последовательность как частный
случай функции
21. Периодические функции. Четность и нечетность. Особенности графика функции.
Примеры.
22. Последовательность. Основные понятия (ограниченность, монотонность). Предел
последовательности. Геометрический смысл существования предела.
23. Бесконечно малые последовательности. Их основные свойства. Бесконечно большие
последовательности, связь с бесконечно малыми.
24. Основные теоремы о пределе последовательности (единственность, необходимое
условие сходимости, арифметические операции и т. д. )
25. Предел функции в точке. Односторонние пределы, основная теорема.
26. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.
27. Первый замечательный предел, следствия.
28. Второй замечательный предел, следствия
29. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной ее
геометрический и механический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.
30. Определение непрерывности функции в точке на языке приращений. Необходимое
условие дифференцируемости.
31. Основные теоремы дифференциального исчисления.
32. Таблица производных основных элементарных функций.
33. Теоремы о среднем дифференциального исчисления, их геометрическая интерпретация
34. Понятие о производных высших порядков. Дифференцирование параметрически
заданных функций.
35. Дифференциал функции, его геометрический смысл, применение к приближенным
вычислениям.
36. Связь между монотонностью и дифференцируемостью функций.
37. Понятие об экстремуме. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия
экстремума.
38. Выпуклость кривой. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие
перегиба.
39. Наибольшее и наименьшее значение функций на множестве.
40. Асимптоты к кривой. Основные виды асимптот.
Задачи
1. Вычислить скалярное произведение векторов:1) a  2.  1.2 , b  0,.1, 3  ; 2) a  2.  1.0 ,



b  0,.1,1 ;





3) a   1, 1, 0 и c  6, 1,  2 ; 4) a  3,  5, 4 , b  0,  1,1 .
2. Найти угол между векторами a  1,1, 2  , b  3,4,0 .





3. Найти пр a , если a  1,2,2 , b  1,0  1 .
b



4. При каком значении p векторы a  2,  1, 3 p  , b  1, 0, 1 и c   1, 1, 0 компланарны.


5. При каком значении p векторы a  2 p, 1, 3 и b   4, p  2, p  перпендикулярны.


6. При каком значении m и n векторы коллинеарны: a  2, m, 3 , b   1, 3, n  .
7. Найти координаты точек пересечения прямых: l1 : x  2 y  3 , l 2 : 2 x  3 y  6 .
8. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (2,-1); (-4;0)
9. Найти все параметры эллипса 9х2 +25y2=225. Сделать чертеж.
10. Найти уравнение директрисы и фокус параболы  y  12  4x  4 .
11. Найти все параметры гиперболы 9 x 2  16 y 2  144 .Сделать чертеж.
12. Найти все параметры гиперболы
x2 y2

 1 , сделать чертеж.
16
4
x2 y2

 1 , найти фокусы.
16 36
14. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(0,2,-4) и В(0,1,0).
15. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1,3,-4) и В(0,3,0).
16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,0,0), В(0,1,0) и С(0,0,-5).
17. Написать уравнение прямой, перпендикулярной плоскости x  2 y  z  0 и проходящей
через точку (1, 2, -1).
18. Найти угол между плоскостями  1 : x  2 y  2 z  0,  2 : 2x  y  2z  7  0
19. Написать уравнение плоскости, проходящей через т. А(-2; 1;0) перпендикулярно вектору
13. Построить эллипс

n  1, 3,  1 .
20. Написать уравнение прямой, проходящей через т. А(-2; 3; 1) параллельно вектору

а  2, 1, 0 .
21. Найти точки пересечения плоскости 2x  3y  z  6  0 с осями координат. Сделать чертеж.
1 0 1 1
0 1 2 1
22. Вычислить определитель:
1 0 1 2
1 3
1
0
 1 1  3


23. Выполнить действия над матрицами : Найти А2 ,если А=  0 1 1  .
1 0 1 


 x  y  3z  3, 2 x  3 y  5 z  0  x1  x 2  3x3  3



24. Решить систему методом Гаусса 2 x  y  z  4,  x  2 y  z  2 2 x1  x 2  x3  4
 x  y  z  1.  x  5 y  4 z  2  x  x  x  1


2
3
 1
2
25. Построить график функции y  x  3  1 .
26. Решить неравенство: x  1  3 .
lim
x2
n  12  n 2 ; lim
x4 2
2x  3  3
3x 2  14 x  5
lim
;
;
;
lim
n
x 0
x 3
x 5
x 2  16
x2  9
3n  7
x 2  25
2x  5  3
3x 2  4 x  15
sin 3x
arctg 3x
arctg 2 x
ln 1  3x 2 
lim
;
;
;
;
;
;
lim
lim
lim
lim
x 3
x0 tg 2 x
x  0 tg 2 x
x 0 1  4 x  1
x0
x sin x
x2  9
x2  4
27. Найти пределы: lim
3x
1
e5x  1
2x2  7
2 x 2  3x  2
 x  4 7
2x 2  7
; lim
; lim 2
; lim 1  3x 2 x2 ; lim 
; lim
;
lim 2

x  x  5 x  4
x0 x  5 x  4
x 0 sin 3 x
x2
x0
x 
2 x
 x 
lim
x 
x2  x  x
;
x3
lim
x 0
x2  4
e3x  1
;
; lim xctg5 x.
lim
2
1  x 2  1 x2 5 x  7 x  6 x0 arctg 9 x x0
sin x 2
; lim
28. Написать уравнение касательной к графику функции y  x 2  3 в точке х0=-3; y  x3  3 в
точке х0=1; y  5 x 2 e 3 x в точке с абсциссой х0=1; f ( x)  e x  3,
в точке x0  0 .
29. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f x   x 3  1 в точке x1=-2.
1
2x  1
30. Найти область определения функции f x  9  x 2 ; f x  
; z
 ln 1  x 2 .
2
x2
9 x
2
2
3x  5
x  5x
31. Вычислить f x  , если f x  x 3 arctgx ; f x, y   2
; f x   2
; f x   x 3 ln( 5 x  4) ;
х  4x
4x  7
2
cos x  1
x
x sin x
2
y  tg 3x ; f  x  
; f(
; f  x   x 3  tg ; f x  
; y  x2 1 ;
x
)x

1
arctgx
2
x 1
sin x  5
2
2
x 1
у  ar sin
; f x   arcsin x ; f x   5 x x 5 ; y  cos x  1 ; f ( x)  (arcsin x ) 3 ;
3





32. Найти первую и вторую производные f x 
33. Вычислить
dy
, если
dx


7
5x  1
; y3x5 ; f ( x)  ln( x  1  x ) .
x 1
 x  3t 2  5,

 y  t 3  7 .
3x  1
; f x  x 3  3x .
x
4
35. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f x   3x 2  на отрезке x  1; 3.
x
34. Исследовать функцию на возрастание и убывание: f x  
