ПРО ДО_1к_1с_Широкова А.Ю

Вопросы к экзамену по математике
1 курс 1 семестр ПРО ДО 2012–13 уч. год
Сост. ст. преп. Широкова А.Ю.
«УТВЕРЖДЕНЫ»
на заседании кафедры матанализа
№ протокола _5_____
«__12_»_12._2012 г.
Зав. каф. матанализа__________ Калиев И.А.
1. Множества. Основные операции над множествами.
2. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования матриц.
3. Определители, их основные свойства. Решение систем с помощью определителей.
4. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
5. Обратная матрица и ее вычисление. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
6. Векторы. Основные операции над векторами. Понятие коллинеарности и компланарности.
7. Проекция вектора на ось. Свойства скалярных проекций. Направляющие косинусы вектора.
8. Компланарность векторов. Разложение вектора в пространстве.
9. Скалярное произведение векторов. Основные свойства и приложения.
10. Векторное произведение векторов. Основные свойства и приложения.
11. Смешанное произведение трех векторов. Вычисление и приложения.
12. Полярная система координат на плоскости. Связь с декартовой системой координат.
Параметрическое задание линии на плоскости.
13. Различные уравнения прямой в плоскости.
14. Окружность. Эллипс, основные понятия, формулы.
15. Гипербола, основные понятия, формулы.
16. Парабола, основные понятия, формулы.
17. Различные уравнения плоскости.
18. Прямая в пространстве. Пересечение прямой с плоскостью.
19. Поверхности второго порядка.( Уравнение, вид поверхности )
20. Функция. Элементарные свойства функций: монотонность, ограниченность, четность,
периодичность.
21. Понятие обратной функции. Особенность расположения графиков прямой и обратной функции.
Функции ax и logax, sinx и arcsin x, tg x и arctg x, cos x и arccos x, xn и x1/n.
22. Элементарные преобразования графиков.
23. Последовательность. Основные понятия (ограниченность, монотонность). Предел
последовательности. Геометрический смысл существования предела.
24. Бесконечно малые последовательности. Их основные свойства. Бесконечно большие
последовательности, связь с бесконечно малыми.
25. Основные теоремы о пределе последовательности (единственность, необходимое условие
сходимости, арифметические операции и т. д. )
26. Предел функции в точке. Односторонние пределы, основная теорема.
27. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.
28. Свойства функций, непрерывных на отрезке
29. Первый замечательный предел, следствия. Эквивалентные БМФ.
30. Второй замечательный предел. Следствия. Эквивалентные БМФ.
31. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной ее геометрический и
механический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.
32. Определение непрерывности функции в точке на языке приращений. Необходимое условие
дифференцируемости.
33. Основные теоремы дифференциального исчисления.
34. Таблица производных основных элементарных функций.
35. Частные производные функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности. Дифференциал функции двух переменных.
36. Понятие о производных высших порядков. Дифференцирование параметрически заданных
функций.
37. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциалов к
приближенным вычислениям. Дифференциал функции двух переменных.
38. Теоремы о среднем дифференциального исчисления. Их геометрический смысл.
39. Связь между монотонностью и дифференцируемостью функций.
40. Понятие об экстремуме. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
41. Выпуклость кривой. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие перегиба.
42. Асимптоты к кривой. Основные виды асимптот.
43. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на множестве.
44. Схема полного исследования функций (основные формулы и теоремы).
45. Комплексные числа в алгебраической форме, операции над ними.
46. Геометрическое изображение комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел в
тригонометрической форме.
47. Последовательность комплексных чисел. Предел последовательности, основные теоремы. Предел
и непрерывность функции комплексного переменного.
48. Действительная и мнимая часть ФКП. Предел и непрерывность ФКП.
49. Дифференцирование ФКП, условия Коши-Римана. Аналитические функции.
Задачи
1. Вычислить скалярное и векторное произведение векторов: 1) a 2. 1.2, b 0,.1, 3;




2) a 2. 1.0, b  0,.1,1 .



2. Найти пр  a , если a  1
, 2,2, b  1,0 1
b
3. Найти угол между векторами a 1
, 1, 2, b  3
, 4,0
4. С помощью векторного произведения найти площадь параллелограмма, построенного на




векторах a  2, 1, 0 и b  1,.1, 3 .
5.



Вычислить смешанное произведение a  2, 1, 0, b 3, 1, 1 и c  11, 0 .


6. При каком значении p векторы a 2p, 1, 3 и b4, p2, p перпендикулярны?


7. При каком значении m и n векторы коллинеарны: a2, m, 3, b1, 3, n?



8. При каком значении p векторы a2, 1
, 3p, b1, 0, 1и c1, 1, 0 компланарны?
9. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1,3,-4) и В(0,1,0).
10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,0,0), В(0,1,0) и С(0,0,-5).
11. Найти координаты точек пересечения прямых: l1 : x2y 3, l2 : 2x3y6.
12. Написать уравнение плоскости, проходящей через т. А(-2; 1;0) перпендикулярно вектору

n 1, 3, 1.
13. Найти угловой коэффициент прямой 3у-5х=7.

14. Написать уравнение прямой, проходящей через т. А(-2; 3; 1) параллельно вектору а  2, 1, 0 .
15. Найти точки пересечения плоскости 2x3yz60с осями координат.
16. Написать уравнение прямой, перпендикулярной плоскости x2yz0и проходящей через
точку (1, 2, -1).

2
y
2
z
0
,
2
x

y

2
z

7

0
,
17. Найти угол между плоскостями 
1:x
2:
18. Написать уравнение окружности с центром (2, 3) радиуса 2.
19. Найти уравнение директрисы и фокус параболы y12 4x4.
x2
16
y2
144
20. Найти все параметры эллипса 9
.
x2 y2
 1, найти фокусы.
21. Построить эллипс
16 36
x2 y2
 1, сделать чертеж.
22. Найти все параметры гиперболы
16 4
23. Построить график функции y  x  3 .
24. Решить неравенство: x 1  3.
x2y3,
25. Решить систему 
3xy5.
x y3z 3,

26. Решить систему методом Гаусса 2x yz  4,
x yz 1.

2x 7
e 1
lim
.; 5) lim2x33.;
lim2
lim
27. Найти пределы: 1) xlim
;
3)
;4)
0 tg2x ; 2) x
x

0
0 x 5x4
x
3 x2 9
14x1
x0 sinx
sin3x
3x214
x5
.;
2
x 25
6) lim
x
5
2
13x2x2 ; 8) lim
7) lim
1
x
0
arctg
2x
5x


ln13x2
; 9) lim
x
0 xsin
x 0
x
3x  4  2
n12n2
; 10) lim
;
n
 3
n7
tgx
3x
x2 xx
x47 ; 14) lim arctg 3x ; 15) lim
12) xlim
;
13)
.
lim



x2 5x4
x  0 tg 2 x
x

x

x3
 x 
xsinx
3x2 5
3



f
x


f
x



f
x

x
arctgx


f
x

28. Вычислить
, если : 1)
; 2)
; 3)
4) y  tg3x ; 5)
x1
x7
x42
.;
11) xlim

4 x2 16
2x2 7


cos
x1
2
x 5
3
fx
5
x4
); 7) f
; 6) fxx ln(
xarcsin
x ; 8) f x5 x
sin
x5
x  t 2  4t,
2

,
xtgt
t 1,
x cos
dy

x 3t 5,


29. Вычислить dx , если: 1) 
;
2)
;
3)
;
4)

1
3
3
3
y sint 5.

y  t  5.
yt 4t.
y  t 7.
3

5x1
30. Найти первую и вторую производные f x x1 .
5x
31. Написать уравнение касательной к графику функции :1) y  x2 3 в точке х0=-1; 2) y  3e в
точке М(0, 3).
2
32. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f x3x x на отрезке x  1; 3 .
4
33. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции fx x3 1в точке xо=0.
3x1
34. Исследовать функцию на возрастание и убывание: f x x .
2x1
; 2) f x 9x2 .
x2
f f
3 2 x
2
2
3
36. Вычислить частные производные x , y , если: 1) fx,yx y y; 2) f
.
x
,y
x

5
y
35. Найти область определения функции :1) f x
37. Исследовать функцию на возрастание и экстремумы: f xx 3x.
38. Выполнить действия:
2

i
4 3
2

i
2
i
3 (23i)(
14i)
2
3


ii 2)


1

2
i
(
i
1
)
3

i)

(
4
i
1
)
1)
3) (
; 4)
;
2
i

1

i
2

i
3

i
2i
(2

3
i)(
1

2
i) 13 2
53i

3
i
4
2

i ; 7)
4
1i ; 6)


i(
3

2
i);
5)
2
(
1

i
)
2i
3

i
39. Найти показательную форму комплексного числа z 22i
40. Найти тригонометрическую и показательную форму комплексного числа z  3 i
41. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z для которых
3
2
z
3

4
i)
1
1) Re(
(2
z
3

4
i)
2
2) Jm
3) z3i 2
42. Изобразить z 1i 3на комплексной плоскости. Найти его модуль и аргумент.
2
2
)
z

(
2
i
1
)z; 2) f(z
)
i(z

1
)
2
z;
43. Найти действительную и мнимую части функции 1) f(z
2
2
2
2
)
z
(
3

i)z,
)
z
4
z
3
zi
3) f(z)2z iz;
4) f(z)z 4z, 5) f(z
6) f(z
Проверить выполнение условий Коши-Римана.
44. Найти решения уравнения x26x10
0

 

cos

isin


45. Вычислить z 45 , если z2
6
 6



 

 

3
cos

isin
z
2
cos

isin




46. Вычислить z1 z 2 , если z
;
1
2
4
6
 4

 6

z1
   


 

z

2

cos


i
sin


4
cos

isin






47. Вычислить
, если z
;
2
1


z2
6
 4

 6

 4

2
i

3
2
3

i)

(
4
i
1
)
48. Вычислить (
.
3

i
2

2
n

1 n

5



i
49. lim
2


n


1

4
n
3
n

11
n

4




Вопросы к зачёту по математике
1 курс 2 семестр ПРО ДО 2012–13 уч. год
Сост. ст. преп. Широкова А.Ю.
«УТВЕРЖДЕНЫ»
на заседании кафедры матанализа
№ протокола _5_____
«__12_»_12._2012 г.
Зав. каф. матанализа__________ Калиев И.А.
1. Первообразная. Неопределенный интеграл, основные свойства. Теорема существования.
2. Таблица основных интегралов, ее обоснование. Принцип независимости вида первообразной от
переменной интегрирования.
3. Интегрирования по частям в неопределенных интегралах.
4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
5. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций.
6. Интегрирования тригонометрических функций.
7. Интегрирование иррациональных выражений
8. Задача о площади криволинейной трапеции. Задача о пройденном пути. Понятие определенного
интеграла, его физический и геометрический смысл.
9. Понятие определенного интеграла, его основные свойства.
10. Интеграл с переменным верхним пределом, основные свойства.
11. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов. Примеры.
12. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
13. Применение определенных интегралов для вычисления площади и объема.
14. Дифференциал длины дуги, его вычисление. Длина кривой.
15. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (I рода)
16. Несобственные интегралы от неограниченной функции (II рода).
17. Определение двойного интеграла, физический и геометрический смысл, основные свойства.
18. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Замена переменной в двойном
интеграле, переход к полярным координатам.
19. Основные приложения двойных интегралов.
20. Тройной интеграл, его вычисление. Переход к сферическим координатам.
21. Приближенное вычисление определенных интегралов: формулы прямоугольников, трапеций,
Симпсона.
22. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье. Теорема Дирихле. Ряды Фурье для четных и нечетных
функций.
23. Неполные ряды Фурье (по синусам и косинусам).
24. Криволинейные интегралы по координатам. Определение, вычисление, физический смысл.
25. Формула Грина, ее сущность. Основные теоремы о криволинейных интегралах II рода.
26. Основные приложения криволинейных интегралов II рода (площадь плоской области, работа
силы, восстановление функции U(x, y) по полному дифференциалу).
27. Задачи; приводящие к понятию дифференциального уравнения. Основные понятия.
28. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Д.У. с разделенными
переменными.
29. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимые в квадратурах (с
разделяющимися переменными, в полных дифференциалах, однородные, линейные).
30. Основные типы Д.У. высших порядков, допускающие понижение порядка.
31. Линейные Д.У. второго порядка. Основные понятия и теоремы. Теорема о структуре решения
линейного однородного дифференциального уравнения.
32. Теоремы о структуре решения линейного однородного Д.У. и линейного неоднородного Д.У.
33. Линейные однородные Д.У второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры.
34. Решение линейных неоднородных Д.У. второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод
подбора.
Задачи к зачету
1. Вычислить интегралы:

1 2x
2x1dx 6
e 1
2
;
x5x3; 2xsin3xdx;  ex dx; x 1lnxdx
0
1

4
0

1
2
x(x 5) dx; arcsinxdx;
1x
2
12
3
xdx
; 
sinxcos
3
0
6
2
 cos xdx ;
2
0
1
3
x(1x)dx
;  x lnxdx;
1 x
2
x
x dx
0 4  x 2 ;  1 x dx;
;
sin
x
x(4x)dx
xdx  xcosxdx;
; e cos
0
1
dx

e
ln3 x
1 x dx;
2
2x3
arctg
x
0 1x2 dx;  x dx;
1
1
xdx
0 (1x2)3 dx;  xlnxdx;
1
(2x1)e dx;
x
1
xdx
 (1x )
2 2
xsin
xdx
;
cos
3
;
0

1
6
xdx
3
2
2
2
xsin
xdx
; x (x1)dx;  tg xdx; 2xcosxdx;
0 (1x2)2 ; cos

0
( x7)dx;
0
8

1
2x1
6
xcos
xdx
dx
dx; sin
;  2
;
5
x
0 x x
x 4
3
1


4
4
2
 cos xdx;
0
0
x 5
0 x2 1dx;

1

x
 xe dx ;

2
x 2 dx
0 x  1
3
arcsin
x
dx
; 
;
1x2
arctgx
dx;
1x2

 x cosxdx;
1
2
dx
2x 5
;
x3
 x4 1dx;
x(1x) dx
;
2
0

2x3dx;
6
 sin
2
xdx ;
xdx
;
 xe dx cosxsin
x
2
0

1
4
xdx
x2x4; cos3 xsinxdx;
x
0
0

4
dx
2. Исследовать сходимость несобственного интеграла: 
;
4 x
0

0
x
 e dx ;
dx
4 x2 16;

xdx
.
2
5
2x 1
1 x2 dx;

dx
x
5
dx ;
1
dx
 2x 1 .

0

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 1) y  x , y   x , x  4 ; 2) 0  x  ,
2
x
1 1
y  sin , y  2sinx;
 x  1.
3) 0  y  ,
2
x 2
3
4. Найти первообразную функции f(x)4x 5, график которой проходит через точку А(1, -3).
5. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры D: y  x , 0  x  4

6. Найти длину кривой в полярных координатах:   4e
 0;2
t
x 5cos
2
7. Вычислить длину кривой:1) y  x x , где x [0,3] ; 2) 
, t  0; 
3
y 5sint
t
x 2cos
 

8. Найти массу кривой:
, t 0;  , если линейная плотность  x, y  x.
 2
y 2sint
9. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ области D: 1) 0  x  1 ,
0  y  ex ;
2) 0  x  2 , x  y  2x
(xy)dxdy
10. Вычислить: 
, где D: y  0 , y  x 1, 0  x  2
D
11. Найти:
2
2
sin
x
y
 x y
D
2
2
dxdy
, если D:
2 x2y22
4
.
12. Вычислить интеграл: 2xydxdy
, где D: y  0 ,
x2 y2 9.
D
8x y dxdy
,
3 2
13. Вычислить:
где 0  x  1 ,
0  y  3.
D
2x ydxdy
, где D:
3
14. Вычислить:
0  x  2,
 xy0.
0  x  2,
0 y x .
0  x  2,
0yx1.
D
2x ydxdy
, где D:
2
15. Вычислить:
D
 xdydx, где D:
16. Вычислить:
D
,
где D:
x y dxdy
2
17. Вычислить:
2
x2 y2 4, x  0 , y  0 .
D
18. Вычислить двойной интеграл:
2xydxdy
, где D:
y  x , 0 x4
D
ln(
x y)dxdy

, D:
2
19. Вычислить:
2
x2 y2 4, x  0 , y  0 .
D
20. Вычислить
x yzdxdydz
0  z  1,

2
0  x  1,
0 y  x.
T
21. Вычислить
xydz, где 0  x  1, 0  y  1,
0  z  2.
T
22. Вычислить интеграл:
8xyzdxdydz

если 0  x  1 ,
2
0  y  1,
T
2 z 5
23. С помощью двойного интеграла вычислить массу пластины, занимающей область D:
y=0,
y=x, x=1, если поверхностная плоскость γ(М)=yx.
t
x 2cos
 
24. Вычислить криволинейный интеграл первого рода: 1)  2 xydl , где 
, t 0;  ; 2)
 4
y 2sint
L
 yde , где
y  ex
х от 0 до1.
L
3
3
25. Вычислить: x dyydx
, где y  x , A(0,0) , B(1,8) .
AB
26. Вычислить
)dy

5
ydx
где y  x
(2x1
2
4, х изменяется от0 до 2.
AB
B(1,e)
xy
)dy
ydx
27. Вычислить 1) (2
, А(1, 2), В(0; 0), y=2x
AB
2;
2)
ydxxdyвдоль
y  ex
A(0;1)
28. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом
3

x


2
2y
21
2


3
x
ln
y

4
y

dx


4
y

dy

2
x

4
y
)
dx

(
4
x

3
y
)
dy
1) 
;
2) (
:
2


y
x
x



2 y
 3 1

3
x
y

dx

x

dy


3) 
. Если «да», восстановить функцию.
2
x  x


  
3
29. Найти работу силы: Fxi yj , вдоль кривой y  x 1, где х изменяется от 0 до 2.

 
x  0;1.
y  ex ,
30. Найти работу силы F2yi  j вдоль кривой
 

y  x 3 , где х изменяется от0 до .
31. Вычислить работу силы F2i 4xj
вдоль кривой
x t 2 1

 


x
,y
(
2
x

1
)
i
2
xy
jвдоль линии 
32. Найти работу силы: F
3 , t возрастает от 0 до 1.
 y t
33. Найти ряд Фурье для f(x)=2x, x  [0,  )
34. Найти разложение функции f (x) x1 в неполный ряд Фурье по косинусам, x (0,) .
35. Найти неполный ряд Фурье по синусам на (0; 1] функции f (x)3x1.
1 x
36. Найти общее решение ДУ 1) yy 
y
4) y   ye 2 x ;
2) y   3 y   5 x  4
y
x
3) y   e 
y
x
6) y   4 y  x 2  5 ;7) x 1  y 2  yy 1  x 2  0
8) y   4 y  2 cos x 9) (1  y 2 )dx  xydu  0
10) y   8 y   7e x
11) y   (2 y  1)ctgx
x
2
12) y   8 y   16 y  5e
13) (6 xy  7)dx  (3x  2)dy  0
14) y   6 y   3e 2 x
y
 x( x  1) 17) 2 y   y   3e x ; 18) y   6 y   8 y  3 sin x ;
15) y   2 y  2e  x
16) y  
x 1
y
 x( x  1) 22) y   4 y  2 x  1 ;
19) (1  y 2 )dx  xydy  0 ; 20) y   3 y   5e 3 x ; 21) y  
x 1
23) 2 xy   y  1; 24) y   2 y   3x  5 25) y   9 y  x 2  4 x
26) y y  x  1 ; 27) y   4 y  2e x ;
1
y
28) y   ( y  1)tgx ; 28) y    x 2 29) y   7 y   6 y  3e x ; 30) y   4 y  3  5 ; 31) xyy   ;
x
x
2
x

1
x
32) y   4 y  2e x 33) yy  
; 34) y   3 y  4 x  5 35) y    ; 36) xy   y  x  1
y
y
5) y   4 yx  4 x 3
39) y   4 y   2 sin x ; 40) y e x  y ;
x y
41) y   3 y   4 y  2e  x
42) y   y  xy2 ;
43) y   2 y   3 y  0 ;
44) y  
;
x y
y
x
45) y   3 y   7 sin x ; 46) y    ; 47) y   4 y  5e 3 x ; 48) y    x 2 ; 49) y   2 y   3e x ;
x
y
37) y   6 y   8 y  4 sin 2 x ; 38) x 2 ydy  ( x  1)dx
y
50) y   e x 
y
x