Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации

Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации
Н.Р. САДЫКОВ
Снежинский физико-технический институт НИЯУ МИФИ, Челябинская обл.
ЗАВИСИМОСТЬ ТРАЕКТОРИИ CПИНОВЫХ ЧАСТИЦ ОТ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Задача определения параметров траектории спиновых частиц и пучка лучей сведена к вариационной задаче с
высшими производными. Применительно к диссипативным солитонам оптический эффект Магнуса (ОЭМ) определяется спиральностью  и топологическим индексом m. Установлена связь между ОЭМ и неголономностью поля касательных к траектории единичных векторов. Малые величины кручения и кривизны совместно с поляризацией определяют
аналог 4-потенциала в электромагнитном поле. Рассмотрен классический аналог обратного ОЭМ.
В оптике для большого класса задач (см., например, [1]) векторное поле касательных к траектории единичных векторов образует голономное векторное поле l  rot l  0 [2] (нормальная

конгруэнция [1], с. 154), где l  касательный к траектории единичный вектор. Это приводит к
тому, что можно провести к пучку лучей семейство ортогональных поверхностей, пересекающих
каждую кривую под прямым углом. Такие ортогональные поверхности отождествляются с волновыми фронтами ([1], с. 812) или волновыми поверхностями ([1], с. 41). Выполнение условия голономности для поля касательных к траектории единичных векторов приводит к тому, что в оптике
имеет место инвариант Лагранжа ([1], с. 155). Аналогичная ситуация возникает при движении заряженных частиц в стационарном электрическом поле. В этом случае существует обобщение инварианта Лагранжа ([1], с. 805) (один из инвариантов Пуанкаре). Для таких заряженных частиц
электрический потенциал однозначно определяет значение “показателя преломления”, и существует довольно глубокая аналогия с обычной оптикой. Ситуация меняется для заряженной частицы в магнитном поля. При наличии магнитного поля обобщенный импульс содержит векторный потенциал, ротор от которого равен вектору магнитной индукции, что приводит к неголономности касательного к траектории векторного поля (к косой конгруэнции ([1], с. 154)). Но в [3]
показано, что учет поляризации в случае электромагнитного излучения приводит к уравнению
траектории пучка лучей, аналогичному уравнению движения заряженной частицы в магнитном
поле. Полученное уравнение в приближении геометрической оптики описывает оптический эффект Магнуса [3]. Роль “заряда” выполняет топологический заряд (знак циркулярной поляризации
излучения), а величина “магнитного поля” будет определяться величиной кривизны траектории.
Аналогичная ситуация возникает в случае электрически нейтральной спиновой частицы [4]. Это,
в свою очередь, означает, что исследованные в [3] эффекты влияния поляризации на параметры
траектории охватывают класс неголономных касательных к траектории векторных полей. При
этом выполнение условия неголономности приводит к очень сильных следствиям, а именно:
условие неголономности приводит к тому, что нельзя провести к семейству траекторий семейство
ортогональных поверхностей (волновых фронтов).
В [3, 4] для спиновых частиц показано, что действие в случае оптического эффекта Магнуса
запишется
(1)
S     mc 2 d   eAi dxi / c  A1,i dxi  ,
где i  0, 1, 2, 3 , A1,i  (1 ,  A1 ) , 1  v(l n1 ) / c , l  касательный к траектории единичный вектор, v  скорость частицы, n1  1 / 2, n1  вектор поляризации частицы с полуцелым спином;
  крученние траектории, A1  n1   ln n , n – “показатель преломления”. В (1) несмотря на релятивистски инвариантную форму записи будем в дальнейшем подразумевать нерелятивистские
скорости, поскольку рассматриваемые поляризационные эффекты в случае релятивистских скоростей малы (см. [4]). В дальнейшем по аналогии с выводом уравнения траектории заряженной
частицы из (1) в четырехмерных обозначениях получим
A j A
dpi e
dx j
dx j
 A1, j A1,i 
 Fij
 Fij(1)
, Fij  i  ij ,
(2)
Fij(1)   i 
,
ds c
ds
ds
x
x
x j 
 x
где pi  ( p0 ,  p) , p0  p0 , p  mv / 1  2 , v  vl , ds  интервал трехмерной длины в лабораторной системе координат.
Из (2) получим
Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации
d 1
dA1
dp 0 e
v dA1
dp eE e
c
 l E


 l  B  l  rotA1 
 1 ,
,
(3)
ds c
ds
c ds
ds
v c
ds
v
где B  rotA, E  A0  A / ct , l E  dA0 / ds  v dA / ds . Из (3) видно, что во втором уравнении два последних слагаемых в правой части выполняют роль “электрического поля” в случае
заряженной частицы.
Систему уравнений (3) можно записать в виде
 d  v dA1 
 d  v dA1 
d (с p0 )
dp
(4)
 el E  с  1 
v
 el E  c  1 
,
.
ds
ds
 ds c ds 
 ds c ds 

 
Из первого уравнения (4) с учетом соотношения l E  dA0 / ds  v dA / ds следует равенство
 dA
dA1 
d
(5)
(с p0  eA0  с 1 )  v  e 1 
,
ds
ds 
 ds
которое в случае нерелятивистских скоростей и при условии A  0 может быть записано в виде
(6)
P0  p0  eA0 / c  1  const .
В этом случае  1 выполняет как бы роль дополнительной “потенциальной энергии” в стационарном электромагнитном поле.
Для лагранжиана с высшими производными уравнение “движения” имеет вид ([5], с. 688)
m 1
d  L d  L  d 2  L 
 L    L .
m 1 d
(7)
 
 2 
    (1)
 ( m)  

m

1



dt  u dt  u  dt  u 
dt
 u   u
В работе [11] была получена величина – аналог обобщенного импульса для спиновой частицы
P  p  A1,
A1  n1  rss ,
p  nk1l ,
(8)
где rss   ln n  кривизна траектории спиновой частицы. С учетом (8) лагранжиан будем искать
в виде L  L0  Ars . В результате из (7) получим ([5], с. 688)
p1 
L d  L 
 
  p  2 A1 ,
rs ds  rss 
dA1
dp
 k1n  l  rotA1 
.
ds
ds
(9)
Если в (8) выразить кривизну rss через параметры среды rss   ln n , то из (2) можно получить уравнение движения, которое в отличие от (9) не будет содержать последнего слагаемого
dA / ds .
Для вывода уравнения траектории циркулярно поляризованного светового луча нельзя воспользоваться действием в виде (1). Воспользуемся тем, что имеет место теорема ([5], с. 311), в
соответствии с которой свет движется по такой кривой, вдоль которой время движения имеет экстремум среди всех гладких кривых, а кривые являются геодезическими новой метрики. В этом
случае уравнение движения (уравнение геодезической) запишется
n 2 ,   ,
du 
 u u  ,
g  
u   dx / ds ,
(10)
 
ds
 0,   ,
1/2
где греческие индексы у тензоров равны 1, 2, 3; ds   g dx dx 
 n dl .
По аналогии с (2) обобщим уравнение на четырехмерное пространство Минковского с учетом дополнительной 4-силы Fik(2)
dp j
dx k
d ln n
dx k
 A2,k A2,i
, Fik(2)  
 k
 i , jk p j
 pi
 Fik(2)
i
dl
dl
dl
dl
x
 x
1
n2  (  m) l ).
A2  n n2   ln n ,
2
gij

,

(11)
Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации
где  ~ 1 , k2   / c , g00  1 , pi  k2nui , u i  dxi / ds , A2,k  (2 ,  A2 ) , pi  ( p0 , p) , p0  k2 n ,
p  k2 nl ; латинские индексы равны 0,1,2,3; 2  (  m)  ,   кручение траектории пучка лучей;   1  знак циркулярной поляризации; m  1,  2,... ; m  топологический индекс.
Из покомпонентной записи (11) получим систему уравнений
d (k2 n l )
A
d ( k2 )
d 2
1 d (n A2 )
d  p0 
 k2n  l  rot  2   2
  2 , (12)
,
n 

 n
dl
n
dl
dl  n 
dl
dl

 n
где l dA2 / dl  d (l A2 ) / dl  A2 dl / dl  0 , lA2  0 .
При  2  0 из первого уравнения (12) получим
(13)
ndk2 / dl  d 2 / dl  0, k2  p0 / ( n)   / с .
Соотношение (13) для циркулярно поляризованного излучения перекликается с (6).
Возникает вопрос, существует ли классический аналог рассмотренных в работе эффектов?
Последняя постановка задачи позволяет лучше уяснить физическую суть поляризационных эффектов. Покажем, что аналогичный эффект существует. Пусть удлиненная частица с цилиндрической геометрией, радиус которого практически совпадает с радиусом цилиндра, движется без
трения по желобу и вращается с угловой скоростью  вокруг оси симметрии. Радиус R длина L
тела удовлетворяют условию R ~ L  1 /  ,   кручение желоба в рассматриваемой точке. Запишем лагранжиан в геликоидальной системе координат [6] (покоится относительно трехгранника Френе). Данная система координат вращается относительно абсолютно неподвижной системы
координат с угловой скоростью   V , где V  скорость центра массы тела. Лагранжиан  в
тороидальной системе координат запишется


m
m
2
2
mV 2 I 2
(14)
   i    ri  vi   U  i  (  )  ri  V   U 

 L  U ,
2
2
i 1 2
i 1 2

где m   mi  масса тела, L  I   орбитальный момент тела, I  момент инерции тела.
i 1
С учетом соотношения   V из (14) получим выражение для лагранжиана и обобщенного импульса в геликоидальной системе координат

mV 2 I 2
P
 p  L ,
(15)
L 

 VL  U ,
2
2
V



где l  касательный к “траектории” тела единичный вектор, p  mV . Из (15) следует, что обобщенный импульс в геликоидальной системе координат пропорциональна орбитальному моменту
и определяется величиной кручения. Поскольку имеет место    , то при переходе от геликоидальной системы координат к абсолютно неподвижной системе координат не будет менять
величину обобщенного импульса с точностью до  . Нетрудно убедиться, что результат (15) не
 
изменится, если в качестве тела рассмотреть тело в форме шара. В этом случае векторы p, L не
параллельны друг другу. Из (15) следует выражение для нулевой компоненты 4-импульса в случае нерелятивистских скоростей
 P0 
2
 m2c 2  p 2  2 p L .
(16)
Из (16) получим выражение, аналогичное при A 0  0 выражению (6) для спиновой частицы

(17)
P0  p0 
L p.
mc
Из (15) и (17) следует, что существует классический аналог рассмотренных заведомо квантовых поляризационных эффектов. Видно, что компоненты 4-импульса зависят от собственного

орбитального момента (величины L ). Зависимость (15) автоматически означает, что в случае
классической частицы будет существовать аналог обратного оптического эффекта Магнуса [6].
Таким образом, задача определения параметров траектории поляризованного пучка лучей
сводится к вариационной задаче с высшими производными. Уравнение траектории можно полу-
Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации
чить из уравнения Эйлера–Лагранжа, либо с помощью аналога преобразований Лежандра привести систему к гамильтоновой форме. В оптическом эффекте Магнуса лагранжиан содержит в качестве переменных производные от обобщенных координат до второго порядка включительно.
Оптический эффект Магнуса (векторная часть 4-потенциала) определяется не только спиральностью  , но и топологическим индексом m (магнитным квантовым числом). Последнее может
проявляться в случае диссипативных солитонов. В случае поляризационных эффектов векторное

поле касательных к траекториям единичных векторов l не удовлетворяет условию голономности
l  rot l  0 ([2, стр. 11). Это соотношение реализуется в том случае, когда фаза волны  (где
u  A exp(i) , A  амплитуда волны) является полным дифференциалом (градиентной функцией),
в результате чего при k2  const будет иметь место ([1], с. 154) rot(nl)  0 . Условие rot(nl)  0
является ни чем иным, как инвариантом Лагранжа ([1], с. 155): циркуляция вектора nl по замкнутому контуру равна нулю. Инвариант Лагранжа является одним из инвариантов Пуанкаре ([1, стр.
805). При выполнении условия голономности l  rot l  0 в соответствии с теоремой Якоби ([2,
с. 10) существует семейство поверхностей, ортогональных полю. Применительно к векторному
полю nl такое семейство поверхностей представляет собой фазовые поверхности (семейство фазовых фронтов). В соответствии с (10) частота циркулярно поляризованного излучения зависит от
величины кручения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.
2. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.
3. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2006. Т. 149. № 1. С. 65.
4. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2003. Т. 135. № 2. С. 280.
5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и
приложения. М.: Наука, 1986.
6. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2005. Т. 144. № 3. С. 555.