Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
ОПЕРАЦИИ
НАД
ВЕКТОРАМИ
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2011
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
ОПЕРАЦИИ
НАД
ВЕКТОРАМИ
Методические указания
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2011
УДК 512.942
Печатается по решению
РИС НовГУ
Рецензент
д.ф.-м.н., профессор
В.А. Едемский
Операции над векторами: метод. указания по самостоятельной работе
для студентов 1 курса.- исправ. и доп. версия метод. пособия «Операции над
векторами» Ч.1 и Ч.2/ авт.-сост. И.Г.Фихтенгольц, О.А. Одинцов; Сост.
О.Б.Широколобова; КВМ, ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный
университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород.– 42с.
В пособии рассматриваются основные понятия о векторах, операции
сложения векторов и умножения вектора на скаляр. Приведены примеры и
разобраны решения. Представлены задания для самостоятельной работы.
Методические указания предназначены для студентов первого курса.
УДК 512.942
© ФГБОУ ВПО «Новгородский
государственный университет имени
Ярослава Мудрого», 2011
© О.Б. Широколобова,
составление, 2011
3
ВВЕДЕНИЕ
В методических указаниях по теме "Операции над векторами"
рассматриваются основные понятия о векторах, критерий равенства двух
векторов, сложение векторов, умножение вектора на скаляр, свойства линейно
зависимых и линейно независимых векторов, разложение вектора по
координатным ортам, критерий коллинеарности двух векторов, задача о
делении отрезка в данном отношении.
Приведены задания для индивидуальной работы. Применительно к
каждому из заданий для самостоятельной работы даны примеры с решениями и
методическими указаниями.
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Оказать студентам помощь при изучении векторной алгебры, дать
методические указания по теории и её применению при решении различных
задач.
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ВЕКТОРАХ
Определение. Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок,
у которого различают начало и конец.
Обычно вектор изображают стрелкой и обозначают a . При рассмотрении
нескольких векторов используют также обозначения b , c и другие.
Определение. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка,
соединяющего начало и конец вектора.
Длину вектора a обозначают a .
Определение. Нулевым вектором (нуль-вектором) называется вектор,
длина которого равна нулю.
Нуль-вектор будем обозначать 0 . Нуль-вектор не имеет определенного
направления.
Определение. Ортом называется вектор, длина которого равна единице.
Орт будем обозначать e . По определению e  1 .
Определение. Ортом ненулевого вектора называется орт, направление
которого совпадает с направлением данного вектора.
Орт вектора a обозначим ea .
Определение. Вектор называется свободным, если он задается только
направлением и длиной.
Определение. Вектор называется скользящим, если он задается не только
направлением и длиной, но, кроме того, фиксируется прямая, на которой он
4
расположен.
Определение. Вектор называется закрепленным, если он задается
направлением, длиной и фиксированным началом.
В последующем будем рассматривать преимущественно свободные
векторы, однако будут использоваться также и закрепленные векторы.
Закрепленный вектор будем обозначать, как правило, двумя буквами, а именно
AB ; здесь A - начало вектора, B - конец вектора.
При рассмотрении нескольких векторов используются также обозначения
CD , EF и другие.
Длину вектора AB обозначают AB .
Определение. Углом между векторами a и b называется угол, на
который надо повернуть первый вектор a , чтобы его направление совпало с
направлением второго вектора b .
^
Угол между векторами a и b обозначают ( a , b ).
Определение. Угол между векторами a и b называют положительным,
если поворот от вектора a к вектору b производится против часовой стрелки.
b
a
Определение. Угол между векторами a и b называют отрицательным,
если поворот от вектора a к вектору b производится по часовой стрелке.
Из определения угла между векторами a и b с очевидностью
следует, что угол между этими векторами определяется с
точностью до слагаемого 2k , где k - любое целое число.
b
Действительно, повернув вектор a на угол 2k , придем к
прежнему положению вектора a . Впредь будем полагать, что поворот от
вектора a к вектору b производится до первого совмещения направления
первого вектора с направлением второго, т.е. будем считать k  0 . Условимся,
кроме того, поворот от первого вектора ко второму производить, как правило,
^
против часовой стрелки, т.е. будем, как правило, полагать 0  a , b  2 .
Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они
расположены на одной или параллельных прямых.
Из этого определения следует, что угол между коллинеарными векторами
либо равен 0 (в этом случае векторы называют одинаково направленными),
либо равен  (в этом случае векторы называют противоположно
направленными). Для указания того, что a и b одинаково направленные
векторы, используют обозначение a  b . Если a и b противоположно
5
направленные векторы, то в этом случае пишут a  b .
Определение. Два вектора называются равными, если они имеют одну и
ту же длину и одинаково направлены.
a b
по определению
1.
a b
2.
a  b
Определение. Параллельным переносом вектора называется такой его
перенос, при котором сохраняется направление вектора и его длина.
Следовательно, вектор, полученный из данного параллельным переносом,
равен данному. Очевидно также, что равные векторы посредством
параллельного переноса можно совместить. За счет параллельного переноса
можно совместить начала всех рассматриваемых векторов или совместить
начало одного из векторов с концом другого.
Определение. Два вектора называются противоположными, если они
имеют одну и ту же длину и противоположно направлены.
Определение. Осью называется прямая с выбранным на ней
направлением.
Ось будем обозначать буквой l .
l
Определение. Ортом оси называется орт, направление которого
совпадает с направлением этой оси.
Орт оси l обозначим el или короче e .
В дальнейшем направление оси l будем задавать её ортом e , а угол
^
между осью l и вектором a , будем обозначать e , a .
Определение. Проекцией точки на ось называется точка, являющаяся
основанием перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось.
Определение. Составляющей вектора a по оси l называется вектор,
началом которого является проекция начала вектора a на ось l , а концом проекция конца вектора a на ту же ось l .
Составляющую вектора a по оси l обозначим cocml a .
a
cocml a
l
Определение. Проекцией вектора a на ось l называется число, модуль
которого равен длине составляющей вектора a по оси l , причем это число
положительно, если составляющая вектора a по оси l и ось l одинаково
направлены, и отрицательно, если составляющая вектора a по оси l и ось l
противоположно направлены.
6
Проекцию вектора a на ось l обозначают npl a или a l .
3. КРИТЕРИЙ РАВЕНСТВА ДВУХ ВЕКТОРОВ
Для того чтобы два вектора были равны, необходимо и достаточно, чтобы
были равны проекции этих векторов на любую ось:
a  b  прl a  прl b , где l - любая ось.
Доказательство.
Необходимость. Пусть a  b , тогда векторы a и b можно совместить, и
потому, очевидно, прl a  прl b , где l - любая ось.
Нетрудно показать справедливость утверждения и без совмещения
векторов.
Достаточность. Пусть прl a  прl b , где l - любая ось. Докажем, что a  b .
Предположим противное: a  b . Убедимся в том, что при этом
предположении найдется хотя бы одна такая ось, что проекции векторов a и b
на эту ось не будут равны между собой.
Рассмотрим два возможных случая:
1). Векторы a и b коллинеарны.
Совместим начала этих векторов и проведем ось l так, чтобы
рассматриваемые векторы оказались расположенными на этой оси.
При этом:
а) Если векторы a и b одинаково направлены, то в силу того, что их
длины различны (иначе оказалось бы, что a  b ), концы векторов a и b не
совпадут. Очевидно, что тогда составляющие векторов a и b по оси l будут
иметь различные длины и, следовательно, прl a  прl b , что противоречит
условию утверждения.
б). Если векторы a и b противоположно направлены, то, очевидно, и
составляющие этих векторов по оси l имеют противоположные направления. В
этом случае проекции векторов a и b на ось являются числами разных знаков,
и потому прl a  прl b , что противоречит условию утверждения.
2). Векторы a и b неколлинеарны.
Совместим начала векторов a и b и проведем ось l через общее начало
^
a и b перпендикулярно биссектрисе угла a , b .
Составляющие векторов a и b по оси l будут иметь
противоположные направления. В этом случае проекции
векторов a и b на ось l являются числами разных знаков, и
потому прl a  прl b , что противоречит условию утверждения.
Итак, предположение, что a  b , противоречит условию утверждения,
следовательно, a  b .
7
4. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК НА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ И В
ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты точек на прямой
Определение. Числовой осью называется ось с выбранным на ней
началом отсчета и масштабом.
Числовую ось обозначим через Ox . Точка O − начало отсчета. Орт
числовой оси Ox обозначим через i .
l
x
M
O
Пусть M − произвольная точка на числовой оси Ox .
Определение. Радиусом-вектором точки M на числовой оси называется
вектор, началом которого является точка O , а концом - точка M .
Из определения очевидно, что радиус-вектор точки M - закрепленный
вектор.
Определение. Координатой точки M на числовой оси Ox называется
проекция радиуса-вектора точки M на рассматриваемую ось.
Координату точки M на числовой оси Ox обозначим буквой x . При этом
обычно употребляется следующая запись: M (x) .
Итак, по определению,
_____
x  прi OM .
Можно доказать, что между множеством точек на числовой оси и
множеством
вещественных
чисел
существует
взаимнооднозначное
соответствие, т.е. каждой точке на числовой оси соответствует определенное
вещественное число, являющееся координатой этой точки на рассматриваемой
оси, и каждому вещественному числу соответствует на числовой оси
определенная точка, для которой указанное число является координатой на
этой оси.
Координаты точек на плоскости
Определение. Декартовой системой координат на плоскости называется
совокупность двух перпендикулярных числовых осей с общим началом.
y
Точка O − начало выбранной системы
M
координат на плоскости. Ось Ox (ось
абсцисс) и Oy
(ось ординат) −
координатные оси; i − орт оси Ox , j −
орт оси Oy . Впредь будем предполагать,
j что координатные оси ориентированы так,
^
что i , j 

2
O
.
i
Координатные оси делят плоскость на четыре части, называемые
квадрантами.
x
8
Пусть M − произвольная точка на плоскости.
Определение. Радиусом-вектором точки M в выбранной декартовой
системе координат называется вектор, началом которого является точка O , а
концом − точка M .
Из определения очевидно, что радиус-вектор точки M − закрепленный
вектор.
Определение. Абсциссой точки M в выбранной декартовой системе
координат называется проекция радиуса-вектора этой точки на ось абсцисс.
Абсциссу точки M будем обозначать буквой x . По определению
_____
x  прi OM .
Определение. Ординатой точки M в выбранной декартовой системе
координат называется проекция радиуса-вектора этой точки на ось ординат.
Ординату точки M , будем обозначать буквой y . По определению
_____
y  пр j OM .
Определение. Пара чисел называется упорядоченной, если указано, какое
из этих чисел - первое и какое - второе.
Можно доказать, что между множеством точек на плоскости и
множеством упорядоченных пар вещественных чисел существует
взаимнооднозначное соответствие.
Определение. Декартовыми координатами точки M на плоскости в
выбранной декартовой системе координат называется упорядоченная пара
чисел x, y , т.е. абсцисса и ордината точки M .
При этом обычно употребляется следующая запись: M ( x, y ) .
Правые и левые тройки векторов
Определение. Вектор a называют параллельным данной плоскости, если
прямая, на которой расположен вектор a , параллельна этой плоскости.
Определение. Три вектора называются компланарными, если они
расположены в одной плоскости или существует плоскость, которой они
параллельны.
Из определения, очевидно, что если два из трех рассматриваемых
векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.
Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если указано,
какой из этих векторов − первый, какой − второй и какой − третий.
Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a , b , c
называется правой, если по отношению к наблюдателю,
стоящему по направлению третьего вектора c , угол между
первым вектором a и вторым вектором b , отсчитываемый в
положительном направлении, меньше  .
На приведенном рисунке для угла между векторами a и b по отношению
к наблюдателю, расположенному по направлению вектора c , справедливо
неравенство
9
^
0  (a , b )   .
Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a , b , c
называется левой, если по отношению к наблюдателю, стоящему по
направлению третьего вектора c , угол между первым
вектором a и вторым вектором b , отсчитываемый в
положительном направлении, больше  .
На приведенном рисунке для угла между векторами
a и b по отношению к наблюдателю, расположенному по направлению
вектора c , справедливо неравенство
^
  a , b  2 .
Отметим, что понятия правой и левой тройки векторов не вводятся для
тройки компланарных векторов.
Определение. Две тройки некомпланарных векторов называются
тройками одинаковой ориентации, если они обе являются, либо правыми, либо
левыми.
Определение. Две тройки некомпланарных векторов называются
тройками противоположной ориентации, если одна из них является правой, а
другая - левой.
Всего из трех некомпланарных векторов a , b , c можно составить шесть
различных троек:
a , b, c ;
(1)
b , c, a ;
c, a, b
(2)
b , a, c ;
a, c, b ;
c, b , a
Нетрудно проверить, что все тройки (1) являются тройками одинаковой
ориентации и все тройки (2) также являются тройками одинаковой ориентации,
но любая из троек (1) имеет ориентацию, противоположную ориентации любой
из троек (2).
Координаты точек в пространстве
Определение. Декартовой системой координат в пространстве
называется совокупность трех взаимно перпендикулярных числовых осей с
общим началом.
Z
Точка O - начало выбранной
M
системы координат в пространстве. Оси Ox
(ось абсцисс), Oy (ось ординат) и Oz (ось
k
аппликат) - координатные оси; i - орт оси
Ox , j - орт оси Oy , k - орт оси Oz . Впредь
j
i
будем предполагать, что координатные оси
y
ориентированы так, что тройка векторов
x
i , j, k является правой.
Определение. Координатной плоскостью
проходящая через две координатные оси.
называется
плоскость,
10
Всего в пространстве, в котором введена декартова система координат,
три координатные плоскости. Их обозначают Oxy , Oxz , Oyz . Координатные
плоскости делят пространство на восемь частей, называемых октантами.
Пусть M - произвольная точка пространства.
Определение. Радиусом-вектором точки M в выбранной декартовой
системе координат называется вектор, началом которого является точка O , а
концом - точка M
Из определения, очевидно, что радиус-вектор точки M - закрепленный
вектор.
Определение. Абсциссой точки M в выбранной декартовой системе
координат называется проекция радиуса-вектора этой точки на ось абсцисс.
Абсциссу точки M обозначим буквой x . По определению
_____
x  прi OM .
Определение. Ординатой точки M , в выбранной декартовой системе
координат называется проекция радиус-вектора этой точки на ось ординат.
Ординату точки M обозначим буквой y . По определению
_____
y  пр j OM .
Определение. Аппликатой точки M в выбранной декартовой системе
координат называется проекция радиуса-вектора этой точки на ось аппликат.
Аппликату точки M обозначим буквой z . По определению
_____
z  прk OM .
Определение. Тройка чисел называется упорядоченной, если указано,
какое из этих чисел - первое, какое - второе и какое - третье. Можно доказать,
что между множеством точек в пространстве и множеством упорядоченных
x, y , z
троек вещественных чисел
существует взаимно-однозначное
соответствие.
Определение. Декартовыми координатами точки M в пространстве в
выбранной декартовой системе координат называется упорядоченная тройка
чисел x, y, z , т.е. абсцисса, ордината и аппликата точки M .
При этом употребляется следующая запись: M ( x, y, z ).
5. ДВЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ
Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины этого
вектора на косинус угла между рассматриваемой осью и вектором, т.е.

прl a  a cos(e , a )
где l - рассматриваемая ось, e - орт оси l .
Доказательство теоремы предлагаем провести самостоятельно.
Теорема 2. Проекция вектора на числовую ось равна разности координат
проекций конца и начала этого вектора на ту же ось, т. е.
11
_____
где xB , x A
прi AB  x B  x A
- соответственно координаты проекций начала и конца
_____
вектора AB на числовую ось Ox
Доказательство. Обозначим проекции начала и конца рассматриваемого
_____
вектора AB на числовую ось Ox соответственно через A1 и B1 .
A
B
B1(xB)
O
A1(xA)
x
Возможны шесть случаев взаимного расположения точек O , A1 , B1 на оси
Ox . Проведем доказательство применительно к случаю, указанному на чертеже.
Согласно определению проекции вектора на ось, применительно к чертежу,
_____
_____
прi AB   A1 B1 .
_____
____
____
Очевидно, что в рассматриваемом случае A1 B1  OA1  OB1 .
____
Кроме того, по определению координаты точки на числовой оси, OA1  x A
____
_____
_____
и OB1   x B . Следовательно, A1 B1  x A  x B , и потому прi AB  x B  x A .
Для других возможных случаев взаимного расположения точек O , A1 , B1
на числовой оси Ox доказательство теоремы предлагаем провести
самостоятельно.
Аналогично можно показать справедливость равенств
_____
пр j AB  y B  y A ,
_____
прk AB  z B  z A
где yB , y A - соответственно координаты проекций начала и конца
_____
вектора AB на числовую ось Oy и z B , z A - соответственно координаты
_____
проекций начала и конца вектора AB на числовую ось Oz .
В декартовой системе координат Oxyz числа x A , y A, z A и числа xB , yB , z B соответственно координаты точек A и B . Из вышеизложенного следует
утверждение:
проекция
вектора
на
координатную
ось
равна
разности
соответствующих одноименных координат конца и начала этого вектора.
6. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Пусть даны свободные векторы a и b . Совместим начало второго
вектора b с концом первого вектора a .
12
Определение. Суммой двух векторов a и b называется вектор, началом
которого является начало первого из складываемых векторов
a , а концом - конец второго вектора b , при этом разумеется,
что начало второго из складываемых векторов совмещено с
концом первого.
Сумма векторов a и b обозначается a  b .
Из определения следует, что
1) сумма двух противоположных векторов есть нуль-вектор,
2) сумма вектора a и нуль-вектора равна вектору a .
Теорема (о проекции суммы двух векторов на ось). Проекция суммы
двух векторов на ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же
ось, т.е.
прl (a  b )  прl a  прl b
где l - любая ось.
Доказательство. Наряду с осью l рассмотрим числовую ось Ox ,
совмещенную с осью l и одинаково с ней направленную. Тогда, очевидно,
прl (a  b )  прi (a  b )
прl b  прi b ,
прl a  прi a ,
____
____
____
Согласно чертежу, AB  a , BC  b , AC  a  b ;
____
____
____
A1 B1  cocmi AB ,
____
____
B1C1  cocmi BC ,
____
A1C1  cocmi AC
По теореме о проекции вектора на числовую ось
_____
_____
прi BC  xC  x B
и
где x A , xB , xC - соответственно координаты точек A, B, C на числовой
оси Ox . Складывая почленно эти равенства, получим
прi AB  x B  x A
_____
_____
прi AB  прi BC  xC  x A
С другой стороны, на основании теоремы о проекции вектора на
числовую ось
_____
прi AC  xC  x A
_____
_____
_____
Из двух последних равенств вытекает прi AC  прi AB  прi BC или, что,
согласно чертежу, то же самое, прl (a  b )  прi (a  b ) , что и требовалось доказать.
Основные свойства операции сложения векторов
1.
Сложение векторов обладает свойством переместительности:
a b b a
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы a  b и b  a
13
равны, достаточно доказать, что равны проекции этих векторов на любую ось.
Пусть l - произвольная ось. По теореме о проекции суммы двух векторов на ось
прl (a  b )  прl a  прl b
прl (b  a )  прl b  прl a
и
Учитывая свойство переместительности сложения чисел, имеем
прl (a  b )  прl (b  a )
где l - любая ось и потому, на основании критерия равенства двух
векторов, a  b  b  a .
2.
Сложение векторов обладает свойством сочетательности, т.е.
(a  b )  c  a  (b  c ) .
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы (a  b )  c и
a  (b  c ) равны, достаточно доказать, что равны проекции этих векторов на
любую ось. Пусть l - произвольная ось. Применим теорему о проекции суммы
двух векторов на ось:
прl (( a  b )  c )  (прl a  прl b )  прl c
прl (a  (b  c ))  прl a  (прl b  прl c )
Учитывая свойство сочетательности сложения чисел, имеем
прl (( a  b )  c )  прl (a  (b  c ))
где l - любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,
(a  b )  c  a  (b  c ) .
Определение.
Суммой конечного числа векторов называется вектор,
началом которого является начало
первого из складываемых векторов, а
концом - конец последнего, при этом
разумеется, что начало каждого из
складываемых векторов, начиная со
второго,
совмещено
с
концом
предыдущего.
Теорема (о проекции суммы векторов на ось). Проекция суммы n
векторов на любую ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же
ось, т.е.
прl (a1  a2  ...  an )  прl a1  прl a2  ...  прl an
где l - произвольная ось.
Теорема легко может быть доказана методом математической индукции с
учетом ранее доказанной теоремы о проекции суммы двух векторов на любую
ось.
7. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР
Определение. Произведением вектора a на скаляр  называется вектор,
модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а направление
совпадает с направлением вектора a , если число  положительно, и
14
противоположно направлению вектора a , если число  отрицательно.
Произведение вектора a на скаляр  обозначается  a или a  . По
определению:
1. a    a ;
2.  a  a , если   0 ,
 a  a , если   0 ;
3. если   0 , то  a  0 ;
4. если a  0 , то  a  0 .
Согласно определению, произведение вектора a на скаляр  есть вектор,
коллинеарный вектору a .
Теорема (о проекции на ось произведения вектора на скаляр). Проекция
на ось произведения вектора на скаляр равна произведению этого скаляра на
проекцию рассматриваемого вектора на ту же ось, т.е.
прl  a   прl a ,
где l - любая ось.
Доказательство. По теореме о проекции вектора на ось

прl  a   a cos(e , a ) ,
где e - орт оси l . Если в правой части этого равенства воспользоваться
определением понятия модуля произведения вектора на скаляр, то получим

прl a    a cos(e , a )
(*)
При этом возможны следующие случаи:
1.   0 .
В этом случае по определению модуля числа    . Кроме того, при   0


 a  a , и поэтому e ,  a  e , a . Следовательно, в силу равенства (*) имеем

прl a    a cos(e ,  a ) .
Если теперь в правой части последнего равенства воспользоваться
свойством сочетательности умножения чисел и применить теорему о проекции
вектора на ось, то получим
прl  a   прl a .
2.   0
В этом случае по определению модуля числа    . Кроме того, при



  0 a  a , т.е. a , a   и потому cos(e , a )   cos(e , a ) .
Исходя из равенства (*), приходим к выводу, что в рассматриваемом
случае

прl a    a  ( cos(e , a )) ,
15
и потому, как и при   0 , имеем
прl  a   прl a .
В справедливости
самостоятельно.
утверждения
при
 0
предлагаем
убедиться
Основные свойства операции умножения вектора на скаляр
1.
Умножение вектора на скаляр обладает свойством сочетательности,
т.е.
 (  a )  (  ) a .
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы  (  a ) и ( )a
равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось. Пусть l произвольная ось. Найдем проекции векторов  (  a ) и ( )a на ось l . Применяя
теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, имеем
соответственно
прl  (  a )   (  прl a )
и
прl (  )a  (  ) прl a
В силу свойства сочетательности умножения чисел правые части двух
последних равенств совпадают, и потому
прl  (  a )  прl (  ) a ,
где l - любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,
 (  a )  (  ) a .
2.
Умножение
вектора
на
скаляр
обладает
свойством
распределительности по отношению к сумме скаляров, т.е.
(   ) a   a   a .
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы (   ) a и
 a   a равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось.
Пусть l -произвольная ось. Согласно теореме о проекции на ось произведения
вектора на скаляр, имеем
прl (   )a  (   ) прl a ,
или, учитывая свойство распределительности действий над числами,
прl (   ) a   прl a   прl a .
Если же теперь в каждом слагаемом в правой части применить теорему о
проекции на ось произведения вектора на скаляр, а затем воспользоваться
теоремой о проекции суммы двух векторов на ось, то придем к выводу, что
прl (   ) a  прl ( a   a ) ,
где l - любая ось. Следовательно, на основании критерия равенства
векторов,
(   ) a   a   a .
16
3.
Умножение
вектора
на
скаляр
обладает
распределительности по отношению к сумме векторов, т.е.
свойством
 (a  b )   a   b
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы  (a  b ) и
 a   b равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось.
Пусть l - произвольная ось. По теореме о проекции на ось произведения
вектора на скаляр
прl  ( a  b )   прl (a  b ) .
Если в правой части применить теорему о проекции суммы векторов на
ось, то получим
прl  ( a  b )   ( прl a  прl b ) ,
или, в силу свойства распределительности действий над числами,
прl  ( a  b )   прl a   прl b .
Если же в каждом слагаемом правой части ещё раз воспользоваться
теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр, а затем теоремой
о проекции суммы векторов на ось, то придем к выводу, что
прl  ( a  b )  прl ( a   b ) ,
где l - любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,
 (a  b )   a   b ,
что и требовалось доказать.
Теорема о противоположных векторах
Произведение вектора a на (1) есть вектор, противоположный вектору
a.
Доказательство. Действительно, (1) a  1  a ,
т.е. (1) a  a и, кроме того, (1) a  a
Утверждение доказано.
Вектор (1) a обозначают  a . Введем теперь понятие разности двух
векторов.
Определение. Разностью векторов a и b называется вектор, равный
сумме вектора a и вектора, противоположного вектору b .
Разность векторов a и b обозначается a  b .По определению
a  b  a  (b ) .
Имеет место равенство прl ( a  b )  прl a  прl b , где l - любая ось.
Если воспользоваться этой формулой, то нетрудно привести ещё одно
доказательство, наряду с рассмотренным ранее, критерия равенства двух
векторов. Рекомендуем проделать это самостоятельно.
8. ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ
ВЕКТОРЫ
Определение. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ... , an с числами
17
1 , 2 , ... , n , называется вектор 1a1  2 a2  ...  n an
Определение. Векторы a1 , a2 , ... , an называются линейно-зависимыми, если
существует такая совокупность действительных чисел 1 , 2 , ... , n , из которых
хотя бы одно отлично от нуля ( 12  22  ...  2n  0 ), что линейная комбинация
векторов a1 , a2 , ... , an с указанными числами есть нуль-вектор:
1a1  2 a2  ...  n an  0 .
Определение. Векторы a1 , a2 , ... , an называются линейно независимыми,
если линейная комбинация этих векторов с действительными числами
1 , 2 , ... , n есть нуль-вектор только в том случае, когда все числа 1 , 2 , ... , n
равны нулю:
1  2  ...  n  0 .
Свойства линейно зависимых векторов
1. Критерий линейной зависимости векторов. Для того, чтобы векторы
a1 , a2 , ... , an были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы
один из этих векторов был представим в виде линейной комбинации всех
остальных:
an  1a1   2 a2  ...   n1an1 .
Мы выделили вектор a n , но это не налагает никаких ограничений, так как
всегда можно произвести перенумерацию векторов.
Доказательство
Необходимость. По условию a1 , a2 , ... , an линейно зависимые векторы, и
потому, по определению, существует такая совокупность чисел 1 , 2 , ... , n из
которых хотя бы одно отлично от нуля, что справедливо равенство
1a1  2 a2  ...  n an  0 .

1

  1 ; 2    2 ; … ; n1    n1 ,
n
n
n
получим  1a1   2 a2  ...   n1an1  an  0 , то есть an  1a1   2 a2  ...   n1an1 .
Пусть n  0 . Тогда, полагая
Достаточность. Пусть an  1a1   2 a2  ...   n1an1 .
Тогда 1a1   2 a2  ...   n1an1  (1)an  0 .
Очевидно, что по меньшей мере одно из чисел в линейной комбинации в
левой части этого равенства отлично от нуля (1  0) и потому, на основании
определения, векторы a1 , a2 , ... , an линейно зависимы.
2. Если среди векторов a1 , a2 , ... , an имеется нуль-вектор, то
рассматриваемые векторы линейно зависимы.
an  0 ,
Доказательство.
Пусть
тогда
можно
положить
an  1a1   2 a2  ...   n1an1 , где 1   2  ...   n1  0 .
Следовательно, векторы a1 , a2 , ... , an , согласно критерию, линейно
зависимы.
3. Если в совокупности векторов a1 , a2 , ... , an векторы a1 , a2 , ... , ak (k  n)
являются линейно зависимыми, то и векторы a1 , a2 , ... , an линейно зависимы.
18
Доказательство.
Действительно,
ak  1a1   2 a2  ...   k 1ak 1 ,
если
то
ak  1a1   2 a2  ...   k 1ak 1  0ak 1  ...  0an
и потому, согласно критерию, векторы a1 , a2 , ... , an линейно зависимы.
Теорема (об одинаково направленных векторах). Если векторы a и b
одинаково направлены, то a 
a
b
b.
При этом разумеется, что b  0 .
Доказательство. Надо показать, что если a  b и b  0 , то векторы
и a равны. Действительно,
Далее,
a
b
a
b
b 
a
b
b  a , т.е. модули векторов
a
b
a
b
b
b и a равны.
b  b  a .
Следовательно, направления векторов
a
b
b
и a совпадают. Теорема
доказана.
Теорема (о противоположно направленных векторах). Если векторы
и a противоположно направлены, то a  
a
b
a
b
b
b
При этом разумеется, что b  0 .
Доказательство. Надо показать, что если a  b и b  0 , то векторы

a
b
b и a равны. Действительно, 
a равны. Далее,
a
b
a
b
b 
a
b
b  a , т.е. модули векторов 
b  b  a . Следовательно, направления векторов 
a
b
a
b
b и
b и a
совпадают. Утверждение доказано.
Теорема (о связи между вектором и его ортом). Всякий ненулевой вектор
может быть представлен в виде произведения модуля этого вектора на его орт:
a  a  ea
Доказательство. Воспользуемся теоремой об одинаково направленных
векторах. По определению ea  a и потому a 
a
ea
ea .
Так как ea  1, то для любого ненулевого вектора справедливо равенство
a  a  ea ,
что и требовалось доказать.
Следствие. Для орта ненулевого вектора справедливо равенство
19
ea 
a
.
a
Теорема (о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси).
Составляющая вектора по оси равна произведению проекции рассматриваемого
вектора на ось и орта той же оси, т.е.
cocml a  npl a  e
где l - любая ось, e - орт этой оси.
Доказательство. Проведем доказательство в предположении, что
cocml a  0 Согласно теореме о связи между вектором и его ортом,
cocml a  cocml a  ecocm a .
При этом возможны следующие случаи:
1. cocml a  e .
Тогда по определению проекции вектора на ось cocml a  npl a . Кроме того
ecocm a  e . Следовательно, cocml a  npl a  e .
2. cocml a  e
Тогда cocml a  npl a и ecocm a  e . Значит, cocml a  (npl a )  (e ) . Таким
образом cocml a  npl a  e , что и требовалось доказать.
Справедливость рассматриваемого утверждения в том случае, когда
cocml a  0 (есть нуль-вектор), рекомендуем проверить самостоятельно.
l
l
l
9. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОРТАМ
Теорема. Всякий вектор a может быть представлен в виде линейной
комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора
на соответствующие координатные оси, т.е.
a  axi  a y j  az k .
Здесь используются обозначения: ax  npi a , a y  np j a , a z  npk a .
Доказательство.
Совместим начало вектора a с началом декартовой системы координат,
_____
_____
т.е. построим вектор OM такой, что OM  a .
_____
Построим составляющие вектора OM по
координатным осям:
____
_____
OP  cocmi OM ,
____
_____
____
_____
OQ  cocm j OM , OR  cocmk OM .
Согласно определению суммы векторов,
_____
____
____
____
OM  OP  OQ  OR , или, что то же самое,
_____
_____
_____
_____
OM  cocmi OM  cocm j OM  cocmk OM .
Если применить теперь теорему о связи между составляющей вектора по
_____
_____
_____
_____
оси и ортом этой оси, то получим OM  (npi OM ) i  (np j OM ) j  (npk OM ) k т.е.
20
a  ax i  a y j  a z k что и требовалось доказать.
Теорема. Разложение вектора по координатным ортам единственно.
Доказательство. Пусть a  Ai  Bj  Ck . Покажем, что A  a x , B  a y , C  az
Вычислим проекцию вектора a  Ai  Bj  Ck на ось Ox . На основании теоремы о
проекции суммы векторов на ось прi a  прi A i  прi B j  прi C k .
Воспользуемся теоремой о проекции на ось произведения вектора на
скаляр. Тогда получим прi a  A прi i  B прi j  C прi k . Так как прi i  1 , прi j  0 ,
прi k  0 , то имеем прi a  A и потому A  a x .
Аналогично можно доказать, что B  a y и C  az
Разложение орта вектора по координатным ортам
Определение. Направляющими косинусами вектора a называются
косинусы углов между координатными осями и рассматриваемым вектором a ,



т.е. cos( i , a ) , cos( j , a ) , cos( k , a ) .
Теорема. Орт вектора может быть представлен в виде линейной
комбинации координатных ортов с соответствующими направляющими



косинусами этого вектора, т.е. ea  cos( i , a ) i  cos( j , a ) j  cos( k , a ) k
Доказательство. По теореме о разложении вектора по координатным
ортам
ea  (npi ea ) i  (np j ea ) j  (npk ea ) k и

так

как
(npi ea ) i  cos( i , a ) ,




(np j ea ) j  cos( j , a ) , (npk ea ) k  cos( k , a ) , то ea  cos( i , a ) i  cos( j , a ) j  cos( k , a ) k
Разложение радиуса-вектора точки по координатным ортам
Теорема. Радиус-вектор точки M может быть представлен в виде
линейной комбинации координатных ортов с декартовыми координатами точки
M , т.е.
_____
OM  x i  y j  z k ,
_____
где OM - радиус-вектор точки M , x , y , z - декартовы координаты точки M .
Доказательство. Всякий вектор может быть представлен в виде:
a  axi  a y j  az k .
Применительно к радиусу-вектору точки M имеем
_____
_____
_____
_____
OM  (npi OM ) i  (np j OM ) j  (npk OM ) k
Согласно определению декартовых координат точки M
_____
npi OM  x ,
_____
и потому OM  x i  y j  z k .
_____
np j OM  y ,
_____
npk OM  z ,
21
Разложение вектора ММ по координатным ортам
Теорема. Всякий вектор может быть представлен в виде линейной
комбинации координатных ортов с разностями соответствующих одноименных
координат конца и начала рассматриваемого вектора, т.е.
______
M 1 M 2  ( x2  x1 ) i  ( y 2  y1 ) j  ( z 2  z1 ) k .
где x1 , y1 , z1 - декартовы координаты точки M 1 , x2 , y 2 , z2 - декартовы
координаты точки M 2 .
Доказательство. Согласно теореме о разложении вектора по координатным ортам, имеем
______
_____
_____
_____
M 1 M 2  (npi M 1 M 2 ) i  (np j M 1 M 2 ) j  (npk M 1M 2 ) k ,
или, с учетом теоремы о проекции вектора на числовую ось,
______
M 1 M 2  ( x2  x1 ) i  ( y 2  y1 ) j  ( z 2  z1 ) k .
Утверждение доказано.
Определение. Совокупность двух векторов e1 и e2 называется базисом
плоскости, если любой вектор, расположенный в плоскости векторов e1 и e2 ,
может быть представлен в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 с
некоторыми числами 1 и 2 , т.е. для любого вектора a , расположенного в
плоскости векторов e1 и e2 , существуют числа 1 и 2 такие, что a  1e1  2e2 .
Можно доказать, что совокупность любых двух неколлинеарных векторов
является базисом плоскости. Аналогично вводится понятие базиса
пространства.
Определение. Совокупность трех векторов e1 , e2 и e3 называется базисом
пространства, если любой вектор в пространстве может быть представлен в
виде линейной комбинации векторов e1 , e2 и e3 , с некоторыми числами 1 , 2 и
3 , т.е. для любого вектора a в пространстве существуют числа 1 , 2 и 3 ,
такие, что a  1e1  2 e2  3e3 .
В теореме о разложении вектора по координатным ортам было показано,
что для любого вектора a справедливо равенство
a  axi  a y j  az k .
Следовательно, совокупность ортов i , j, k
является базисом
пространства.
Можно доказать, что совокупность любых трех некомпланарных
векторов является базисом пространства.
10. КРИТЕРИИ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Первый критерий коллинеарности двух векторов
Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы эти векторы были линейно зависимы.
22
Доказательство. (Необходимость) По условию векторы a и b
коллинеарны. При этом возможны два случая:
1. a  b . Тогда, по теореме об одинаково направленных векторах,
a
a
b
b , т.е. a   b , где  
a
b
.
2. a  b . В этом случае, используя теорему о противоположно
направленных векторах, имеем a  
a
b
b , т.е. a   b . Здесь   
a
b
.
Итак, если векторы a и b коллинеарны, то существует такое число  ,
что a   b , а это равенство, согласно критерию линейной зависимости
векторов, означает, что векторы a и b линейно зависимы. Отсюда, в частности,
следует, что любые два вектора, расположенные на одной прямой, линейно
зависимы.
(Достаточность.) Пусть векторы a и b линейно зависимы. Тогда a   b ,
где  - некоторое число. Согласно определению произведения вектора на
скаляр, направление вектора  b в зависимости от знака скаляра  либо
совпадает с направлением вектора b либо противоположно направлению
вектора b , т.е. вектор a , равный  b , коллинеарен вектору b .
Второй критерий коллинеарности двух векторов
Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы одноименные проекции этих векторов на координатные оси
были пропорциональны:
Пропорции
ax a y az

 .
bx b y bz
ax a y az


формально теряют силу, когда хотя бы один из
bx b y bz
знаменателей обращается в нуль. Более общей является следующая форма
записи факта пропорциональности одноименных проекций рассматриваемых
векторов на координатные оси:
a x   bx
a y   by
a z   bz
Однако часто используют пропорции
ax a y az

 .
bx b y bz
При этом предполагается, что если какой-либо из знаменателей равен
нулю, то и соответствующий числитель тоже равен нулю.
Доказательство. (Необходимость) Если векторы a и b коллинеарны, то
согласно первому критерию коллинеарности двух векторов, векторы a и b
линейно зависимы, а потому a   b . Из этого равенства следует, что
a x   bx , a y   by , a z   bz , т.е.
ax a y az

 .
bx b y bz
23
ay
(Достаточность) Пусть
ax
a

 z
bx b y bz
Положим
из
каждое
этих
отношений
равным
.
Тогда
a x   bx , a y   b y , a z   bz .
Если же наряду с этими равенствами воспользоваться теоремой о
разложении вектора по координатным ортам a  ax i  a y j  az k , то получим
a  ( bx ) i  ( by ) j  ( bz ) k , или, согласно свойствам операции умножения
вектора на скаляр, a   (bx i  by j  bz k ) , т.е. a   b .
Следовательно, векторы a и b линейно зависимы, и потому, согласно
первому критерию коллинеарности двух векторов, векторы a и b
коллинеарны, что и требовалось доказать.
11. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Определение. Говорят, что точка M делит отрезок, соединяющий точки
______
M 1 и M 2 , в данном отношении  , если вектор M 1M равен произведению
_____
_____
____
вектора MM 2 на число  , т.е. M 1M   MM 2 .
Согласно определению, точка M делит отрезок, соединяющий точки M 1
и M 2 в данном отношении  если
1) точка M лежит на прямой, проходящей через точки M 1 и M 2 , причем
а)
точка M лежит между точками M 1 и M 2 , при   0 ,
б)
точка M лежит вне отрезка, соединяющего точки M 1 и M 2 , при
 0
______
_____
2) M 1 M    MM 2
При этом разумеется, что точка M не совпадает ни с одной из точек M 1 и
M2
Теорема. Если точка M ( x, y, z ) делит отрезок, соединяющий точки
M1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) в данном отношении  , причем   1 , то для
координат точки M справедливы следующие равенства:
24
x   x2
y   y2
z   z2
x 1
z 1
; y 1
;
1 
1 
1 
Доказательство. Пусть точка M делит отрезок, соединяющий точки M 1
_____
____
и M 2 , в данном отношении  . Тогда по определению M 1M   MM 2 , и потому по
отношению к любой оси l справедливо равенство
_____
_____
npl M 1 M  npl (  MM 2 ) ,
или, с учетом теоремы о проекции на ось произведения вектора на скаляр,
_____
_____
npl M 1 M    npl MM 2 .
Возьмем в качестве оси l ось Ox и применим теорему о проекции вектора
на числовую ось. При этом получим
x  x1   ( x2  x) ,
откуда следует, что
x
x1   x2
.
1 
Вполне аналогично можно доказать справедливость остальных равенств,
указанных в формулировке теоремы.
Частный случай. Координаты точки, делящей отрезок пополам (при
этом   1 ), равны среднему арифметическому соответствующих одноименных
координат концов отрезка, т.е. x 
x1  x2
;
2
y
y1  y 2
;
2
z
z1  z 2
.
2
12. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется
скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между
векторами a и b .
Скалярное произведение векторов a и b обозначают a  b . По
определению

a  b  a  b  cos(a , b ) .
Свойства скалярного произведения двух векторов
1. Скалярное произведение двух векторов обладает
переместительности: a  b  b  a
свойством

Доказательство. По определению a  b  a  b  cos(a , b ) .


Очевидно, что cos(a , b )  cos(b , a ) . Если же, кроме того, воспользуемся
свойством переместительности произведения чисел, то получим a  b  b  a .
2. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля
одного из них на проекцию другого вектора на направление первого, то есть
a  b  a  npa b или a  b  b  npb a .

Доказательство. По определению a  b  a  b  cos(a , b )
С другой стороны, по теореме о проекции вектора
на
ось,
25

npa b  b  cos(a , b ) . Из двух последних равенств с очевидностью вытекает, что
a  b  a  npa b .
Аналогично можно доказать, что a  b  b  npb a .
3. Проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого
вектора на орт рассматриваемой оси, то есть npl a  a  e , где e - орт оси l .
Доказательство. Сформулированное свойство по существу является
частным случаем рассмотренного выше свойства 2 и с очевидностью из него
вытекает, если принять вектор b равным орту e .
4. Скалярный множитель можно вынести за знак скалярного
произведения двух векторов: (  a )  b   (a  b ) .
Доказательство. В силу свойства 2 скалярного произведения двух
векторов (  a )  b  b  npb (  a ) , или, с учетом теоремы о проекции на ось
произведения вектора на скаляр, (  a )  b  b  (  npb a ) .
Если же, кроме того, принять во внимание свойства сочетательности и
переместительности произведения чисел, а также свойство 2 скалярного
произведения двух векторов, то получим (  a )  b   (a  b ) , что и требовалось
доказать.
5. Скалярное произведение двух векторов обладает свойством
распределительности: a  (b  c )  a  b  a  c .
Доказательство. Согласно свойству 2 скалярного произведения двух
векторов, a  (b  c )  a  npa (b  c ) .
Воспользуемся во втором множителе правой части этого равенства
теоремой
о
проекции
суммы
векторов
на
ось.
Получим:
a  (b  c )  a  (npa b  npa c ) , или, в силу свойства распределительности действий
над числами, a  (b  c )  a  npa b  a  npa c .
Если же снова применить свойство 2 скалярного произведения двух
векторов, то придем к выводу, что a  (b  c )  a  b  a  c
6. Имеет место равенство:
b1
a  1
1
b2
b3
a  b1
2 3  1
1
 2 3
a  b2
a b
2
2
3
3
Доказательство. Воспользуемся равенством:
b1
b2
b3
1 2 3  (2  3  3  2 )b1  (3 1  1  3 )b2  (1  2  2 1 )b3
1  2  3
Тогда, в силу свойств 4 и 5 скалярного произведения двух векторов,
имеем
26
b1
a  1
1
b2
b3
2 3  (2  3  3  2 )( a  b1 )  (3 1  1  3 )( a  b2 )  (1  2  2 1 )( a  b3 ) ,
 2 3
b1
b2
b3
a  b1
то есть a  1 2 3  1
1
2
3
1
a  b2
a b
2
2
3
3
7. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины
2
этого вектора: a  a  a .
Доказательство. По определению скалярного произведения двух

векторов a  a  a  cos( a , a ) , откуда с очевидностью следует, что a  a  a .
2
2
Следствие. Длина вектора равна арифметическому значению корня
квадратного из скалярного произведения вектора самого на себя: a  a  a .
Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью
следует из свойства 7.
8. Имеет место следующая таблица скалярных произведений координат
ортов:
j
i

k
1
0
0
i
0
1
0
j
0
0
1
k
Справедливость этой таблицы непосредственно следует из определения
скалярного произведения двух векторов.
9. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений
одноимённых проекций этих векторов на координатные оси, т.е.:
a  b  ax bx  a y by  az bz .
Доказательство. Разложим каждый из векторов a и b по координатным
ортам: a  ax i  a y j  az k и b  bxi  by j  bz k .
Тогда a b  (axi  a y j  az k )  (bxi  by j  bz k )
Воспользовавшись свойствами скалярного произведения двух векторов,
получим a  b  (axbx )(i  i )  (a y bx )( j  i )  (az bx )(k  i ) 
 (ax by )(i  j )  (a y by )( j  j )  (az by )(k  j ) 
 (ax bz )(i  k )  (a y bz )( j  k )  (az bz )(k  k ) ,
или, согласно таблице скалярных произведений координатных ортов,
a  b  ax bx  a y by  az bz , что и требовалось доказать.
Следствия
1). Длина вектора равна арифметическому значению корня квадратного
из суммы квадратов проекций этого вектора на координатные оси:
27
a  a x2  a y2  a z2 .
Доказательство. Действительно, a  a  a и так как a  a  ax2  a y2  az2 , то
a  a x2  a y2  a z2 .
2). Расстояние между точками M1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) равно
арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов разностей
одноименных декартовых координат этих точек, то есть
______
M 1 M 2  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 .
______
Доказательство. Действительно, M 1M 2  ( x2  x1 ) i  ( y 2  y1 ) j  ( z 2  z1 ) k и
______
потому M 1 M 2  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 .
3). Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна
единице, то есть



cos 2 (i , a )  cos 2 ( j , a )  cos 2 (k , a )  1 .
Доказательство. Как было показано ранее, для орта вектора a



справедливо следующее равенство: ea  cos( i , a ) i  cos( j , a ) j  cos( k , a ) k . Кроме



того, ea  ea  1 . Следовательно, cos 2 (i , a )  cos 2 ( j , a )  cos 2 (k , a )  1 .
13. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Определение. Векторным произведением упорядоченной пары векторов
a и b называется новый вектор, обозначаемый a  b и определяемый
следующими условиями:
1. Модуль векторного произведения векторов a и b равен произведению
модулей этих векторов на модуль синуса угла между векторами a и b , то есть

a  b  a  b  sin( a , b ) .
2. Направление векторного произведения векторов a и b определяется
следующим образом:
1) векторное произведение векторов a и b перпендикулярно каждому из
них;
2) упорядоченная тройка векторов a , b , a  b является правой.
a
a b
b
b
a b
a
Геометрическое истолкование модуля векторного произведения двух
векторов
28
b
На векторах a и b построим параллелограмм (см.
рис.), площадь которого обозначим через Sa ,b .
h
a
Теорема. Модуль векторного произведения векторов a и b численно
равен площади Sa ,b параллелограмма, построенного на векторах a и b :
a  b  S a ,b .
Доказательство.
Согласно
определению
векторного
произведения

a  b  a  b  sin( a , b )

Но b  sin( a , b ) есть высота рассматриваемого параллелограмма (см. рис.).
Обозначая высоту параллелограмма через h , получим
a  b  a  h . Так как

b  sin( a , b )  h
и
a  h  S a ,b , то приходим к выводу, что действительно
a  b  S a ,b .
14. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЁХ ВЕКТОРОВ
Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки
векторов a , b , c называется скалярное произведение вектора a  b на вектор c ,
то есть скаляр (a  b )  c .
Геометрическое истолкование модуля смешанного произведения
На векторах a , b , c построим параллелепипед
(см. рис.), объем которого обозначим через Va ,b ,c .
Теорема. Модуль смешанного произведения векторов a , b , c численно
равен объему Va ,b ,c параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c :
( a  b )  c  Va , b , c .
Доказательство. Согласно свойству 2 скалярного произведения векторов
(a  b )  c  a  b  npab c или, с учетом геометрического истолкования модуля
векторного
произведения
двух
векторов,
(a  b )  c  S a ,b  npa b c .
Тогда
(a  b )  c  S a ,b  npa b c , нo np ab c есть высота рассматриваемого параллелепипеда
(см, рис.). Обозначая высоту параллелепипеда через h , получим npa b c  h и
(a  b )  c  S a ,b  h . Так как S a ,b  h  Va ,b ,c , то приходим к выводу, что действительно
( a  b )  c  Va , b , c .
29
Свойства смешанного произведения трех векторов
1. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных
векторов положительно, если эта тройка векторов является правой и
отрицательно, если рассматриваемая тройка векторов является левой, то есть,
если a , b , c - некомпланарная тройка векторов, то
(a  b )  c  0 , если a , b , c - правая тройка векторов;
(a  b )  c  0 , если a , b , c - левая тройка векторов.
Смешанное произведение компланарной тройки векторов равно нулю, то
есть, если a , b , c - компланарные векторы, то (a  b )  c  0
Доказательство. По определению скалярного произведения векторов

(a  b )  c  a  b  c  cos(a  b , c )
Знак смешанного произведения векторов a , b , c совпадает со знаком

cos( a  b , c ) .
Рассмотрим два случая.
1) a , b , c - правая тройка векторов.
a b
c
b
a
Согласно определению векторного произведения векторов, векторы a , b ,
a  b также образуют правую тройку векторов, и потому в рассматриваемом

случае cos(a  b , c )  0 , следовательно, (a  b )  c  0
2) a , b , c - левая тройка векторов.
a b
b
a
c

В этом случае cos(a  b , c )  0 и потому (a  b )  c  0 .
Допустим теперь, что a , b , c - компланарные векторы. Тогда a  b  c и

cos( a  b , c )  0 .
30
a b
b
c
a
Следовательно, для компланарных векторов a , b , c имеет место
равенство (a  b )  c  0 .
2. Смешанное произведение трех векторов обладает свойством
цикличности, то есть
(a  b )  c  (b  c )  a  (c  a )  b .
Доказательство. Модуль каждого из смешанных произведений (a  b )  c ,
(b  c )  a , (c  a )  b численно равен объему параллелепипеда, построенного на
векторах a , b , c , значит, модули рассматриваемых смешанных произведений
равны между собой. Кроме того, если a , b , c - некомпланарные векторы, то
упорядоченные тройки векторов a , b , c ; b , c , a и c , a , b , являются тройками
одинаковой ориентации, и потому, на основании предыдущего свойства,
соответствующие смешанные произведения имеют один и тот же знак. Из
изложенного и следует, что (a  b )  c  (b  c )  a  (c  a )  b .
В случае, если a , b , c - компланарные векторы, все рассматриваемые
смешанные произведения равны нулю и, следовательно, равны между собой.
Учитывая свойство цикличности, смешанное произведение (a  b )  c с
часто записывают в виде a b c .
3. При перестановке двух векторов смешанное произведение трёх
векторов меняет знак, то есть
(a  b )  c  (b  a )  c ;
(a  b )  c  (a  c )  b ;
(a  b )  c  (c  b )  a .
Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Если a ,
b , c - некомпланарные векторы, то упорядоченные тройки векторов a , b , c и
b , c , a являются тройками противоположной ориентации, и потому, согласно
свойству 1 смешанного произведения трёх векторов, (a  b )  c и (b  a )  c имеют
разные знаки. Учитывая, кроме того, равенство модулей этих смешанных
произведений, получим (a  b )  c  (b  a )  c .
Если же a , b , c - компланарные векторы, то рассматриваемые
смешанные произведения равны нулю, следовательно, и в этом случае
доказываемое утверждение справедливо.
Аналогично можно проверить справедливость остальных равенств.
15. СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ДВУХ ВЕКТОРОВ
1. Векторное произведение двух векторов обладает
свойством
31
антипереместительности:
a  b  (b  a ) .
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы a  b и  (b  a )
равны, докажем, что равны их проекции на любую ось. Пусть l - произвольная
ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов
npl (a  b )  (a  b )  e ,
где e - орт оси l . С учетом свойства 3 смешанного произведения трёх
векторов это равенство принимает вид
npl (a  b )  (b  a )  e .
Если же теперь в правой части применить свойства 3 и 4 скалярного
произведения двух векторов, то получим npl (a  b )  npl ((b  a )) , где l - любая
ось.
Следовательно, согласно критерию равенства двух векторов
a  b  (b  a ) .
2. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного
произведения двух векторов:
( a )  b   (a  b ) и a  ( b )   (a  b )
Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Для
этого достаточно доказать, что npl (( a )  b )  npl ( (a  b )) где l - любая ось. По
свойству 3 скалярного произведения двух векторов
npl (( a )  b )  ( (a  b ))  e ,
где e - орт оси l . С учетом свойства цикличности смешанного
произведения трёх векторов это равенство принимает вид
npl (( a )  b )  ( a )  (b  e ) ,
или, в силу свойства 4 скалярного произведения двух векторов,
npl (( a )  b )   (a  (b  e )) .
Если же в правой части этого равенства вновь воспользоваться свойством
цикличности смешанного произведения трёх векторов и свойством 3
скалярного произведения двух векторов, то имеем
npl (( a )  b )   npl (a  b ) .
Учитывая теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр,
получим
npl (( a )  b )  npl ( (a  b ))
где l - любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,
( a )  b   (a  b ) .
Аналогично можно доказать справедливость второго равенства.
3. Векторное произведение двух векторов обладает свойством
распределительности, то есть
a  (b  c )  (a  b )  (a  c ) .
Доказательство. Докажем, что npl (a  (b  c ))  npl (( a  b )  (a  c )) где l произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов
npl (a  (b  c ))  (a  (b  c ))  e ,
32
где e - орт оси l . С учетом свойства цикличности смешанного
произведения трех векторов это равенство принимает вид
npl (a  (b  c ))  (e  a )  (b  c ) .
В силу свойства распределительности скалярного произведения двух
векторов имеем
npl (a  (b  c ))  (e  a )  b  (e  a )  c .
В каждом слагаемом правой части последнего равенства вновь применим
свойство цикличности смешанного произведения трех векторов. Тогда получим
npl (a  (b  c ))  (a  b )  e  (a  c )  e ,
или, с учетом свойства распределительности скалярного произведения,
npl (a  (b  c ))  (( a  b )  (a  c ))  e .
Если же ещё раз воспользоваться свойством 3 скалярного произведения
двух векторов, то придем к выводу, что
npl (a  (b  c ))  npl (( a  b )  (a  c ))
где l - любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,
a  (b  c )  (a  b )  (a  c ) .
a  b1
b1
b2
b3
4. a  1
2
2
3  1
3
1
1
a  b2
2
2
a  b3
3 .
3
Доказательство. Воспользуемся равенством:
b1
b2
b3
1 2 3  (2  3  3  2 )b1  (3 1  1  3 )b2  (1  2  2 1 )b3 .
1  2  3
Тогда, в силу свойств 2 и 3 векторного произведения двух векторов,
имеем
b1
a  1
1
b2
b3
2 3  (2  3  3  2 )( a  b1 )  (3 1  1  3 )( a  b2 )  (1  2  2 1 )( a  b3 )
 2 3
то есть
b1 b2
b3
a  1
a  b1
a  b2
a b
2 3  1
2
3 .
1
2
3
1  2  3
5. Векторное произведение вектора самого на себя есть нуль-вектор:
a a  0 .
Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью
следует из определения векторного произведения двух векторов.
6. Имеет место следующая таблица векторных произведений
координатных ортов:
Второй множитель
i
j
П
е
р
в
ы
й
м
н
о
ж
и
т
е
л
ь
x
k
i
j
k
o
k
j
 j
i
o
k
o
i
33
Справедливость этой таблицы следует из определения векторного
произведения двух векторов.
7. Векторное произведение векторов a и b может быть представлено
через проекции этих векторов на координатные оси по следующей формуле:
a  b  (a y bz  az by ) i  (az bx  ax bz ) j  (ax by  a y bx ) k
или, что то же самое,
i
a  b  ax
bx
j
ay
by
k
az .
bz
Доказательство. Разложим каждый из векторов a и b по координатным
ортам: a  ax i  a y j  az k и b  bxi  by j  bz k .
Воспользовавшись свойствами 2 и 3 векторного произведения двух
векторов, имеем a  b  (axbx )(i  i )  (a y bx )( j  i )  (az bx )(k  i ) 
 (ax by )(i  j )  (a y by )( j  j )  (az by )(k  j ) 
 (ax bz )(i  k )  (a y bz )( j  k )  (az bz )(k  k ) ,
или, с учетом таблицы векторных произведений координатных ортов,
a  b  a y bx (k )  az bx j  ax by k  az by (i )  a x bz ( j )  a y bz i .
В силу свойств сочетательности и распределительности произведения
вектора на скаляр, получим a  b  (a y bz  az by ) i  (az bx  axbz ) j  (axby  a y bx ) k , или,
i
что то же самое, a  b  a x
bx
j
ay
by
k
az .
bz
16. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЁХ
ВЕКТОРОВ ЧЕРЕЗ ПРОЕКЦИИ ПЕРЕМНОЖАЕМЫХ ВЕКТОРОВ НА
КООРДОНАТНЫЕ ОСИ
Смешанное произведение трёх векторов a , b , c может быть вычислено
по следующей формуле:
ax
a  (b  c )  bx
cx
ay
by
cy
i
Доказательство. Как было показано, b  c  bx
cx
az
bz .
cz
j
by
cy
k
bz
cz
34
i
и потому a  (b  c )  a  bx
cx
j
by
cy
k
bz
cz
Если же теперь воспользоваться свойством 6 скалярного произведения
двух векторов, то получим
a i
a  (b  c )  bx
cx
a j
by
cy
a k
bz .
cz
Применим в правой части последнего равенства свойство 3 скалярного
произведения двух векторов. Тогда:
ax
a  (b  c )  bx
cx
ay
by
cy
az
bz ,
cz
что и требовалось доказать.
17. ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЁХ ВЕКТОРОВ
Определение. Двойным векторным произведением трёх векторов
называется векторное произведение одного из них на векторное произведение
двух других.
Свойства двойного векторного произведения трёх векторов
1. Основное свойство
Для двойного векторного произведения трёх векторов a , b , c
справедливо равенство
a  (b  c )  (a  c )  b  (a  b )  c .
(1)
Доказательство. Проекции векторного произведения векторов b и c на
координатные оси O x , O y , O z равны
(b  c ) x  by c z  bz c y ,
(b  c ) y  bz c x  bx c z ,
(2)
(b  c ) z  bx c y  by c x .
Для проекций векторного произведения векторов a и b  c имеем
(a  (b  c )) x  a y (b  c ) z  a z (b  c ) y ,
(a  (b  c )) y  a z (b  c ) x  a x (b  c ) z ,
(3)
(a  (b  c )) z  a x (b  c ) y  a y (b  c ) x .
Чтобы убедиться в справедливости доказываемого равенства (1),
достаточно показать, что
35
(a  (b  c )) x  (a  c )bx  (a  b )c x ,
(a  (b  c )) y  (a  c )b y  (a  b )c y ,
(a  (b  c )) z  (a  c )bz  (a  b )c z .
Действительно,
согласно
первого
из
равенств
(3),
(a  (b  c )) x  a y (bx c y  by cx )  az (bz cx  bx cz ) .
После тождественных преобразований (в правой части прибавим и
вычтем a x bx cx ) имеем
(a  (b  c )) x  (ax bx cx  a y bx c y  az bx cz )  (ax bx cx  a y by cx  az bz cx )
или, что то же самое,
(a  (b  c )) x  (ax cx  a y c y  az cz )bx  (ax bx  a y by  az bz )cx
и, наконец, (a  (b  c )) x  (a  c )bx  (a  b )c x
Аналогично доказывается справедливость равенств
(a  (b  c )) y  (a  c )b y  (a  b )c y ,
(a  (b  c )) z  (a  c )bz  (a  b )c z .
Следовательно,
a  (b  c )  ((a  c )bx  (a  b )cx )  i  ((a  c )by  (a  b )c y )  j  ((a  c )bz  (a  b )cz )  k
то есть
a  (b  c )  (a  c )(bx i  by j  bz k )  (a  b )(cx i  c y j  cz k ) .
Таким образом, a  (b  c )  (a  c )  b  (a  b )  c , что и требовалось доказать.
2. Для двойного векторного произведения трёх векторов справедливы
равенства
a  (b  c )  (b  c )  a ;
a  (b  c )  a  (c  b );
a  (b  c )  (c  b )  a .
Доказательство. Равенства непосредственно следуют из свойств
векторного произведения двух векторов.
3. Если векторы b и c коллинеарны, то a  (b  c )  0 .
Доказательство. Для коллинеарных векторов b и c справедливо
равенство b  c  0 , откуда с очевидностью следует утверждение.
4. Если вектор a перпендикулярен векторам b и c , то a  (b  c )  0
Доказательство. Для перпендикулярных векторов a , b и соответственно
a , c имеем a  b  0, a  c  0 и потому, согласно формуле (1), действительно
a  (b  c )  0 .
5. Если вектор a перпендикулярен вектору b , то a  (b  c )  (a  c )  b .
Доказательство. Так как векторы a и b перпендикулярны, то a b  0 и, в
силу формулы (1), убеждаемся в справедливости утверждения.
6. Если вектор a перпендикулярен вектору c , то a  (b  c )  (a  b )  c .
Доказательство. Так как векторы a и c перпендикулярны, то a c  0 и, в
силу формулы (1), убеждаемся в справедливости утверждения.
36
18. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
Для
отыскания
угла
между
двумя
векторами
воспользуемся

определением скалярного произведения двух векторов: a  b  a  b  cos(a , b ) .
Предполагая, что a и b - не нуль-векторы, получим

cos( a , b ) 
a b
.
a b
(1)
Если заданы проекции рассматриваемых векторов на координатные оси
то равенство (1) можно представить в виде
a x bx  a y by  a z bz

cos( a , b ) 
a x2  a y2  a z2  bx2  by2  bz2
.
Учитывая, что для ортов ненулевых векторов a и b справедливы
равенства
ea 
a
a
и
eb 
b
,
b
получаем, в силу (1),

cos( a , b )  ea  eb .
19. КРИТЕРИЙ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Для того, чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы векторное произведение векторов a и b было нульвектором:
Векторы a и b коллинеарны
a b  0
Доказательство. Необходимость. Пусть a и b коллинеарные векторы.

Тогда sin( a , b )  0 . По определению модуля векторного произведения двух

векторов a  b  a  b  sin( a , b ) , и потому a  b  0 , то есть a  b  0 .
Достаточность. Пусть a  b  0 , или, что то же самое, a  b  0 . Тогда

имеем a  b  sin( a , b )  0 . Отсюда следует, что при a  0 и b  0 имеет место

равенство sin( a , b )  0 , то есть векторы a и b коллинеарны. Критерий доказан.
20. КРИТЕРИИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Первый критерий перпендикулярности двух векторов
Для того, чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и
достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю:
37
a b  0
a  b
Доказательство.
Необходимость.
По
определению
скалярного

произведения двух векторов a  b  a  b  cos(a , b ) . Так как по условию a  b , то

cos(a , b )  0 и потому a b  0 , что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть a b  0 , следовательно, по определению скалярного


произведения, a  b  cos(a , b )  0 . Тогда при a  0 и b  0 имеем cos(a , b )  0 ,
откуда следует, что a  b . Критерий доказан.
Второй критерий перпендикулярности двух векторов
Для того, чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и
достаточно, чтобы сумма произведений одноименных проекций этих векторов
на координатные оси была равна нулю:
a  b
a x bx  a y b y  a z bz  0
Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью
вытекает из теоремы о представлении скалярного произведения двух векторов
через проекции этих векторов на координатные оси и первого критерия
перпендикулярности двух векторов.
21. КРИТЕРИИ КОМПЛАНАРНОСТИ ТРЁХ ВЕКТОРОВ
Первый критерий компланарности трёх векторов
Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и
достаточно, чтобы смешанное произведение этих векторов было равно нулю:
Векторы a , b , c компланарны
(a  b )  c  0
Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a , b , c компланарны,
следовательно, по определению, существует плоскость, которой эти векторы
параллельны. Вектор a  b , по определению, перпендикулярен каждому из
векторов a и b . Значит, вектор a  b перпендикулярен вектору c , и потому,
согласно первому критерию перпендикулярности векторов, (a  b )  c  0 .
Достаточность. Пусть (a  b )  c  0 , тогда a  b  c  0 . Если, кроме того,
учесть, что вектор a  b перпендикулярен каждому из векторов a и b , то
придем к выводу, что векторы a , b , c компланарны.
Второй критерий компланарности трёх векторов
Для того, чтобы векторы a , b , c были компланарны, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство
38
ax
bx
cx
ay
by
cy
az
bz  0 .
cz
Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из
предыдущего критерия с учетом теоремы о представлении смешанное
произведения трёх векторов через их проекции на координатные оси.
Третий критерий компланарности трёх векторов
Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и
достаточно, чтобы они были линейно зависимы:
Векторы a , b , c компланарны
Векторы a , b , c линейно зависимы
Доказательство. Необходимость. Для того, чтобы показать, что векторы
a , b , c линейно зависимы докажем, что если векторы a и b неколлинеарны,
то существуют такие действительные числа  и  , что
c  a b .
Векторы a , b , c предполагаются компланарными и потому можно
считать, что az  bz  cz . Итак, докажем, что если векторы a и b неколлинеарны,
то существуют такие действительные числа  и  , что
 a x   bx  c x ,
 a y   by  c y .
(1)
Если
ax
bx
ay
by
 0,
(2)
то, в силу теоремы Крамера, система (1) однозначно определяет  и  . В
этом случае векторы a , b , c линейно зависимы.
Условие (2) означает, что векторы a и b неколлинеарны.
Если же
ax
bx
ay
by
 0 , то, учитывая, кроме того, что az  bz  0 , получим a  b  0 .
А отсюда следует, что векторы a и b коллинеарны, а, следовательно,
линейно зависимы и потому векторы a , b , c линейно зависимы.
Достаточность. Если векторы a , b , c линейно зависимы, то хотя бы один
из них можно выразить в виде линейной комбинации с действительными
числами двух других векторов. Положим c   a   b .
Тогда (a  b )  c  (a  b )  ( a   b ) или (a  b )  c   ((a  b )  a )   ((a  b )  b )
Учитывая, что a  b  a и a  b  b , получим (a  b )  c  0 , и потому,
согласно первому критерию компланарности трёх векторов, векторы a , b , c
компланарны, что и требовалось доказать.
39
22. ТЕОРЕМА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЛЮБЫХ n+1
ВЕКТОРОВ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Любые n  1 векторов в n -мерном пространстве линейно зависимы.
Доказательство. Мы рассмотрим теорему для n  1, 2, 3 .
n  1. В одномерном пространстве любые два вектора коллинеарны и
потому линейно зависимы.
n  2 . В двумерном пространстве любые три вектора компланарны и
потому линейно зависимы.
n  3 . Для того чтобы доказать, что в трёхмерном пространстве любые
четыре вектора a , b , c , d линейно зависимы, покажем, что если векторы a , b
и c некомпланарны, то существуют такие действительные числа  ,  и  , что
d   a   b  c , то есть покажем, что если векторы a , b и c некомпланарны,
то существуют такие действительные числа  ,  и  , что
 a x   bx   c x  d x ,
 a y   by  c y  d y ,
(1)
 a z   bz   c z  d z .
Если
ax
bx
cx
ay
az
by
bz
cy  0 ,
cz
(2)
то в силу теоремы Крамера, система (1) однозначно определяет  ,  и  .
В этом случае векторы a , b , c и d линейно зависимы.
Условие (2) означает, что векторы a , b и c некомпланарны. Если же
ax
bx
cx
ay
az
by
bz
cy  0 ,
cz
(3)
то векторы a , b и c компланарны, а, следовательно, линейно зависимы и
потому векторы a , b , c и d линейно зависимы.
23. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Площадь
треугольника
M 1M 2 M 3
равна
______
половине
площади
______
параллелограмма, построенного на векторах M 3 M 1 и M 3 M 2 , и потому
S
1 ______ ______
M 3 M 1 M 3 M 2 ,
2
где через S обозначена площадь треугольника M 1M 2 M 3 .
Применим теорему о представлении векторного произведения двух
векторов через проекции перемножаемых векторов на координатные оси и
теорему о проекции вектора на числовую ось.
40
Тогда для площади треугольника с вершинами в точках M1 ( x1 , y1 , z1 ) ,
M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z3 ) получим
i
1
S
x1  x3
2
x 2  x3
j
y1  y3
y 2  y3
k
z1  z3
z 2  z3
или
1
S
2
x1  x3
x2  x3
2
2
y1  y3
x x
 1 3
y 2  y3
x2  x3
z1  z3
y y
 1 3
z 2  z3
y 2  y3
z1  z3
z 2  z3
2
Площадь треугольника с вершинами в точках M1 ( x1 , y1 , 0) , M 2 ( x2 , y2 , 0) ,
M 3 ( x3 , y3 , 0) может быть вычислена по формуле
S
1 x1  x3
2 x 2  x3
y1  y3
y 2  y3
или, что то же самое,
x1
1
S
x2
2
x3
y1
y2
y3
1
1 .
1
41
Задания для самостоятельной работы
1. Даны 4 вектора a , b , c , d . Вычислить: а) координаты вектора d в
базисе a , b , c ; б) 2a  3b   5c  4d ; в) a  b ; г) a  c   d ; д) a  b   c ;
е) прc a  b .
1. a4,5,2, b 3,0,1, c  1,4,2, d 5,7,8;
2. a5,2,7 , b  8,1,0, c 5,1,4, d  6,3,11;
3. a 2,5,1, b  5,18,7, c 5,18,8, d 0,1,0;
4. a 2,2,8, b 5,7,5, c 4,5,9, d  3,6,4;
5. a1,7,5, b 4,8,1, c 3,1,5, d  2,5,1;
6. a 1,9,1, b 0,12,3, c 1,6,3, d 1,10,4;
7. a 5,12,0, b 4,7,1, c 0,2,10 , d 5,10,2;
8. a5,3,1, b 9,4,0, c  15,7,1, d 1,0,3;
9. a 3,3,0, b 4,3,2, c 1,0,4, d 1,2,7 ;
10. a7,10,4, b 2,8,4, c  6,16,7 , d 11,13,5.
2. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 . Требуется найти:
а) длину ребра A1 A2 ; б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; в) длину
медианы A1 M в треугольнике A1 A2 A3 ; г) площадь грани A1 A2 A3 ; д) объем
пирамиды A1 A2 A3 A4 ; е) координаты точки пересечения медиан в A1 A2 A3 .
1. A1 1, 1,1 , A2  2,0,3 , A3  2,1, 1 , A4  2, 2, 4 
2. A1  1, 2, 4  , A2  1, 2, 4  , A3 3,0, 1, A4 7, 3,1
3. A1 1, 2,0 , A2 1, 1, 2 , A3  0,1, 1 , A4  3,0,1
4. A1  0, 3,1 , A2  4,1, 2  , A3 2, 1,5 , A4 3,1, 4 
5. A1 1,0, 2 , A2 1, 2, 1 , A3  2, 2,1 , A4  2,1,0
6. A1 1,3,0  , A2  4, 1, 2  , A3 3,0,1, A4  4,3,5 
7. A1 1, 2, 3 , A2 1,0,1 , A3  2, 1,6 , A4  0, 5, 4
8. A1  2, 1, 1 , A2  0,3, 2 , A3 3,1, 4 , A4  4,7,3
9. A1 3,10, 1 , A2  2,3, 5 , A3  6,0, 3 , A4 1, 1, 2 
10. A1  3, 5,6 , A2  2,1, 4 , A3  0, 3, 1 , A4  5, 2, 8
42
ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры: Учеб.для вузов. - 11-е изд., испр. – М. : Физматлит, 2006.
2. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия: Учеб.для студ.вузов. - 5-е
изд. – М. : Наука: Физматлит, 1999.
3. Кадомцев, С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М. :
Физматлит, 2003.
4. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии:
Учебное пособие для втузов/ под ред. Ефимова. – СПб.:
Профессия, 2003. – 199с.
5. Привалов, И.И. Аналитическая геометрия: Учеб. - 33-е изд.,стер. –
СПб.;М.; Краснодар: Лань, 2004
43
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
3
1. Цель работы
3
2. Основные понятия о векторах
3
3. Критерий равенства двух векторов
6
4. Координаты точек на прямой, плоскости и в пространстве
7
5. Две теоремы о проекции вектора на ось
10
6. Сложение векторов
11
7. Умножение вектора на скаляр
13
8. Линейно зависимые и линейно независимые векторы
16
9. Разложение вектора по координатным ортам
19
10.Критерии коллинеарности двух векторов
21
11.Деление отрезка в данном отношении
23
12.Скалярное произведение двух векторов
24
13.Понятие векторного произведения двух векторов
27
14.Смешанное произведение трёх векторов
28
15.Свойства векторного произведения двух векторов
30
16.Представление смешанного произведения трёх векторов через
проекции перемножаемых векторов на координатные оси
33
17.Двойное векторное произведение трёх векторов
34
18.Угол между векторами
35
19.Критерии перпендикулярности двух векторов
36
20.Критерий коллинеарности двух векторов
36
21.Критерии компланарности трёх векторов
37
22.Теорема о линейной зависимости любых n+1 векторов в n-мерном
пространстве
39
23.Площадь треугольника
39
24.Задания для самостоятельной работы
40
25.Литература
41