Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. № 3(31)
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 621.313.33
Л.А. Потапов, В.П. Маклаков
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ТОРМОЗЕ С МАССИВНЫМ РОТОРОМ
Рассмотрено численное моделирование электромагнитных процессов в тормозе с массивным ферромагнитным ротором. Представлены графики распределения магнитной индукции и плотности тока в массивном
роторе. Приведено упрощенное аналитическое решение задачи.
Ключевые слова: электромагнитный тормоз, массивный ферромагнитный ротор, численное моделирование,
магнитная индукция, плотность тока.
Современные программные комплексы (Ansys, Comsol Multiphysics и др). позволяют
моделировать и исследовать на компьютерах электромагнитные процессы во вращающихся узлах электромеханических устройств с учетом зубчатости статора и нелинейности
магнитной характеристики материала ротора. Эти процессы чаще всего невозможно исследовать экспериментальным путем.
Ниже приведены результаты моделирования электромагнитного тормоза с массивным ферромагнитным ротором, выполненным на основе статора трехфазного асинхронного двигателя 4АА56В4У3, одна из обмоток которого подключалась к постоянному напряжению.
Обмотка статора имела 2 пары полюсов, 812 витков на фазу; ток в обмотке – 1 А. Ротор имел наружный диаметр 55 мм, длину 70 мм, удельную электропроводность материала γ = 5,6106 См/м и нелинейную магнитную характеристику В(Н), определенную экспериментальным путем. Между статором и ротором был воздушный зазор 0,5 мм.
Для сравнения рассмотрены два варианта распределения витков обмотки по пазам
статора (при неизменном значении МДС обмотки): в первом варианте обмотка каждого
полюса уложена в 2 паза (рис. 1а), во втором варианте – в 4 паза (рис.1б).
а)
б)
Рис. 1. Картина электромагнитного поля в поперечном сечении тормоза с массивным ферромагнитным
ротором для двух вариантов размещения обмотки возбуждения
Линии равного векторного потенциала формируют трубки равного потока – это позволяет определить характер распределения магнитного потока по зубцам статора и по ро95
Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. № 3(31)
тору. Во втором варианте (рис. 1б) магнитное поле почти не проходит по одному из зубцов. Плотность тока в роторе представлена интенсивностью. В поверхностном слое ротора справа от зубцов плотность тока больше (более светлый цвет).
Программный комплекс Comsol Multiphysics позволяет получить более наглядные
графики распределения магнитной индукции и плотности тока. На рис. 2а, б представлены
для одной пары полюсов графики распределения магнитной индукции в поверхностном
слое ротора при различных скоростях вращения ротора. В первом варианте магнитная индукция распределена в виде прямоугольных импульсов с пульсациями, обусловленными
зубчатостью статора. Во втором варианте (рис. 2б) магнитная индукция распределена
вдоль окружности ротора почти по синусоидальному закону. При отсутствии вращения
ротора (n = 0 об/мин) максимальное значение магнитной индукции в обоих случаях одинаково: Вп = 0,22 Тл. При увеличении скорости вращения магнитная индукция Вп под левым краем полюса уменьшается, а под правым краем почти не изменяется. В результате
среднее значение магнитной индукции Вп уменьшается. В то же время тангенциальная составляющая магнитной индукции Bτ при увеличении скорости вращения ротора существенно возрастает (рис. 2в, г) и приближается к синусоидальному закону распределения
вдоль окружности ротора. При этом в обоих случаях амплитуда Вτ достигает 0,8 Тл,
оставаясь почти неизменной при различных скоростях вращения ротора.
Bn, Тл
Bn, Тл
1
2
0,2
1
0,2
2
3
3
0,1
0
4
4
5
5
0
6
6
–0,1
–0,2
–0,2
0
x, м
0,04
0
x, м
0,04
б)
а)
Bτ, Тл
0,8
Bτ, Тл
0,8
4,5,6
3
2
6
0,4
0,4
5
4
3
2
1
1
0
0
–0,4
–0,4
–0,8
–0,8
0
0,04
в)
0
x, м
0,04
г)
x, м
Рис.2. Распределение магнитной индукции в поверхностном слое ротора при разных скоростях
вращения: 1–0 об/мин; 2–1000 об/мин; 3–2000 об/мин; 4–3000 об/мин; 5–4000 об/мин; 6–5000
об/мин
96
Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. № 3(31)
Распределение плотности тока в поверхностном слое ротора при разных скоростях
вращения представлено на рис. 3а, б. В первом варианте размещения обмотки возбуждения плотность тока у правого края полюса существенно больше, чем у левого края (при
скорости вращения 5000 об/мин – в 4 раза). Во втором варианте изменение плотности тока
вдоль окружности ротора приближается к синусоидальному закону (без учета пульсаций,
вызванных зубчатостью статора).
Изменение плотности тока по глубине ротора представлено на рис. 3в, г. При увеличении скорости вращения ротора плотность тока вблизи поверхности возрастает, а глубина проникновения уменьшается.
J 107,А/м2
J 107,А/м2
0,8
4 5
3
0,4
0,4
6
1
2
0
0
1
2
–0,4
–0,4
3
4
5
–0,8
0
–0,8
x, м
0,04
0
J 10 ,А/м
x, м
0,04
б)
а)
7
6
7
2
J 10 ,А/м
2
0
0
1
1
–0,4
2
2
3
–0,4
4
3
–0,8
4
–0,8
5
–1,2
5
6
6
0
0,8
0,4
0
у, мм
в)
1
2
y, мм
г)
Рис.3. Распределение плотности тока в поверхностном слое и по глубине ротора при разных
скоростях вращения: 1 – 0 об/мин; 2 – 1000 об/мин;
3 – 2000 об/мин; 4 – 3000 об/мин;
5 – 4000 об/мин; 6 – 5000 об/мин
Распределение магнитной индукции по глубине ротора при разных скоростях вращения представлено на рис. 4а-г.
97
Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. № 3(31)
В воздушном зазоре ( от 0 до 0,5 мм) нормальная составляющая магнитной индукции Вп остается неизменной для заданной скорости вращения, но при увеличении
скорости вращения Вп уменьшается от 0,22 до 0,17 Тл.
Bn, Тл
Bn, Тл
1
0,2
4
2
0,2
1
2
3
0,1
0,1
3
6
6
4
4
5
5
0
0
0,4
0
0,8
y, мм
1,2
1
0
y, мм
б)
а)
Bτ, Тл
Bτ, Тл
2
1,2
3
0,8
6
0,4
1,2
2
4
0,8
5
0,4
3
4
1
1
0
0
–0,4
1,2
5
6
y, мм
1
0
y, мм
0,5
г)
в)
Рис.4. Распределение магнитной индукции по глубине ротора при разных скоростях вращения:
1 – 0 об/мин; 2 – 1000 об/мин; 3 – 2000 об/мин; 4 – 3000 об/мин; 5 – 4000 об/мин; 6 – 5000 об/мин
0
0,4
0,8
В роторе магнитная индукция Вп (рис. 4а, б) довольно быстро уменьшается и на глубине 1 мм при скорости вращения 5000 об/мин приближается к нулю.
Тангенциальная составляющая M, Нм
магнитной индукции в роторе Вτ
1
существенно больше нормальной
0,3
составляющей Вп и тоже довольно
3
быстро уменьшается по глубине.
2
При этом на глубине более 1-1,5 мм
0,2
она изменяет знак.
Программный комплекс Com0,1
sol Multiphsics позволяет определить
электромагнитный момент тормоза
путем интегрирования по сечению
0
300 n103, с-1
100
200
ротора произведения магнитной инРис. 5. Механические характеристики тормоза
дукции и плотности тока. Определив момент для нескольких скоростей вращения, он может построить механическую характеристику тормоза. На рис. 5 приведены механические характеристики тормоза для 198
Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. № 3(31)
го и 2-го вариантов (кривые 1 и 2). При этом, не смотря на почти синусоидальное распределение магнитной индукции (по второму варианту), электромагнитные моменты для второго варианта оказались меньше, чем для первого. Для проверки правильности модели
был изготовлен тормоз, аналогичный рассмотренному (по первому варианту), и для него
определена механическая характеристика (кривая 3). Поскольку модель не учитывала
влияние краевых эффектов, то она дала завышенные значения момента по сравнению с
экспериментом.
Рассмотренные модели позволяют для конкретного устройства исследовать особенности распространения магнитных потоков и плотности тока во вращающемся роторе с
учетом зубчатости статора и нелинейности магнитной характеристики материала ротора.
Однако исследовать с их помощью влияние различных конструктивных параметров на величину электромагнитного момента и механическую характеристику крайне затруднительно. Для этих целей нужно получить аналитическую модель тормоза. При этом придется сделать целый ряд допущений и упрощений: пренебречь влиянием зубчатости статора и наличием высших гармоник в магнитной индукции, заменить нелинейную магнитную характеристику материала ротора В(Н) на некоторую линейную, характеризуемую
эквивалентной магнитной проницаемостью μэ [1]. Часто испольy
зуют упрощенную трехслойную модель (рис. 6), не учитываюv
2
щую краевые эффекты [2–4]. При этом цилиндрические поверхности статора и ротора развертывают на плоскости, представляя
1
J
их в виде полупространств. Одно из них – неподвижное (статоx
0
ра) – имеет μ = ∞, а другое движется в направлении оси х со
Рис. 6. Расчетная схема
скоростью v = ωr и имеет относительную магнитную проницатормоза
емость μ = μэ = const. Распределенную обмотку статора замеp
няют токовым слоем с поверхностной плотностью тока J = Jmsin αx, где   ; р - число
r
полюсов; r – радиус ротора. Используя известные уравнения Максвелла
1
1
rotH 2  E   (v  B  grad ), B  rot A, H 2 
B2 
rot A ,
ý
ý
получают
rotrot A   ý 0 (v  rot A  grad ) ,
A
 grad ) ,
x
2 A 2 A
A
2 A 2 A
A
 2  2    э  0v , или
 2  0
,
2
x
x
y
 x
x
y
A
принимая при этом graddivA   ý 0grad  0 , rot A  i ,
x
 A
A 
A
  kv ,
v  rot A  iv x  i

ε0 = μ0μэγv.
x 
x
 y
Для зон 1 и 2 уравнение (1) запишем в виде системы
graddiv A   2 A   э  0 (kv
2
(1)
 2 A2
 A2
 2 A  2 A1
2 A

0;


.
(2)
2
2
2
2
x
x
y
x
y
Учитывая синусоидальный закон распределения плотности тока J и соответственно
В и А, можно записать систему (2) в комплексной форме:
 2 A1
 2 A1
2 
2 
  A1 
 0;   A2 
  j 0 A 2 .
y
y 2
99
Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. № 3(31)
Решение имеет вид
A1  C1ey  C 2e y ; A 2  C3ey  C 4ey .
Используя граничные условия В1у = В2у, Н1х = Н2х, Н1х = J, получим
 


  (C1  C2 )  J ;
 0



 j (C1e  C 2 e )  jC 4 e ;
     
  
  (C1e  C2 e )     C4 e ,
 0
0 э
где    1  j   ( 1  j 2 );  
(3)
0 v
1 1  2

.
; 1 
; 2 

2
21
При этом С3 = 0, так как на значительном расстоянии от поверхности магнитное поле в роторе отсутствует.
Решение системы (3) имеет вид

 0 Je (1   / э )
;
C1 
2 ( / э ch( )  sh( )


 0 Je (1   / э )
C

;
 2
2

(


/

ch


sh(

))
э

C 4  2C 2 ch(   0 Je /  )e  .


Тогда
 J
(4)
A1  C1ey  C 2 e y  0 sh(y)  C 5 ch(y) ,


2
 ý th   ý   ý th(  )   2 th( )   22 th 

где C 5 = d1 – jd2; d1 
;
(  ý th   1 ) 2   2
 ý
d2 
.
2
2 p1 1 ch( )   3 sh( )2  0,5 2 ch 2 ( )

Усредненную силу торможения на единицу поверхности можно определить через
тензор натяжений Максвелла:



Fx 0  Re  H 1x B1 y    0 J 2 Re d 2 (sh 2 (y )  ch 2 (y )  d1d 2 sh(y ) ch(y )(1  1)   0 J 2 d 2 ,



где H1x – комплекс тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля в за-



зоре; B1 y – сопряженный комплекс нормальной составляющей магнитной индукции в зазоре. Умножая эту силу на величину поверхности ротора и радиус ротора, получим уравнение электромагнитного момента тормоза:
2rl 0 J 2  ý1
M  2rl 0 J 2 d 2 
.
(5)
212 1 ch( )   ý sh( )2  0,5 2 ch 2 ( )
Уравнение (5) можно упростить, подставив   21 12  1 (при αδ < 0,1, ch(αδ) ≈ 1,
shαδ ≈ αδ):
M
C M  э 12  1
( 1   э ) 2  12  1
100
,
(6)
Вестник Брянского государственного технического университета. 2011. № 3(31)
где CM 
4lr k ke  0 ( wobk ob I ) 2
 k n2
– константа, определяемая плотностью поверхностного тока
и параметрами тормоза; lr - длина ротора; kke – коэффициент поперечного краевого эффекта; wоб – число витков обмотки; kоб – обмоточный коэффициент; I – ток обмотки; kn – коэффициент насыщения магнитопровода статора.
Уравнение (6) получено для линейной задачи, когда μэ = const. В действительности
относительная магнитная проницаемость материала ротора изменяется в значительном
диапазоне при изменении величины магнитной индукции и скорости ротора. Поэтому
уравнения (5) и (6) используют для M, Нм
предварительных расчетов и при ана2
1
лизе влияния различных параметров
0,3
на электромагнитный момент.
3
На рис. 7 приведено сравнение
механических характеристик М(п),
0,2
полученных по уравнению (6) для
некоторых μэ .
0,1
Механические характеристики
имеют одинаковые формы, равные
максимальные значения момента, но
300
100
0
ω, с–1
200
различные критические скорости.
Рис.7. Влияние относительной магнитной проницаС помощью уравнения (4) пуемости на механическую характеристику тормоза:
тем громоздких преобразований
1– э =100; 2– э =300; 3 – э =1000
можно получить распределение магнитной индукции и плотности тока во вращающемся роторе. Однако гораздо проще получить эти зависимости, используя программный комплекс Comsol Multiphysics.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Артемьев, Б.А. Обобщенная теория электрической машины со сплошным ротором / Б.А. Артемьев. –
Л.: Изд–во Ленингр. гос. ун–та, 1985. – 188с.
Дегтярева, Е.Л. Исследование механических характеристик электрической машины с массивным ферромагнитным ротором / Е.Л. Дегтярева, Л.А. Потапов // Изв. вузов. Электромеханика. - 1998. - № 2. – С.
23-27.
Потапов, Л.А. Математическое моделирование электромеханических устройств с массивными ферромагнитными роторами / Л.А. Потапов, В.П. Маклаков // Вестн. БГТУ. – 2004. – №3. – С.97-104.
Потапов, Л.А. Численно-аналитический метод расчета асинхронного двигателя с массивным ротором /
Л.А. Потапов, В.П. Маклаков // Электричество. – 2002. – №8. – С.26 – 32.
Материал поступил в редколлегию 23.06.11.
101
Скачать

моделирование электромагнитных процессов в тормозе с