УДК 511.2 В.И.Рахман `Mirabilem sane` доказательство

УДК 511.2
В.И.Рахман
‘Mirabilem sane’ доказательство-1637
( реконструкция )
Опубликованное Пьером Ферма доказательство случая биквадратов
в ‘последней’ теореме (ПТФ)
не является основанием для сомнений
в наличии у него неизвестного полного,
имеет и
т.к. частный случай с N = 4
незамысловатые доказательства.
Действительно, достаточно считать в
XN + YN = ZN
[1]
X, Y и Z попарно простыми, N – простым или N = 4, - и принять за X
слагаемое, взаимно простое с таким N, чтобы в форме :
ZN - YN = XN, -
[2]
левая часть оказалась произведением двух взаимно простых скобок
(Z - Y )( ZN-1 + ZN-2YN +…), соответственно приравниваемых двум взаимно
простым сомножителям числа X в роли независимых параметров :
X ≡ QP,
P > Q ≥ 1, -
что даёт необходимое условие существования попарно простой тройки
Ферма (ТФ*, как и ТФ - продуктов умножения элементов ТФ* на общее число) :
Z - Y = QN, -
[3-1]
и алгебраические уравнения порядка N–1
для
Y и
Z:
(Y + QN)N - YN = QNPN = ZN – (Z - QN)N .
При
[3-2]
N = 2 это решение представляет собою старинный рецепт
получения всех оригинальных (попарно простых) троек Пифагора (ТП*) :
т.е.
(нечётн.)
X = qp,
(нечётн.)
X2 = q2p2,
Y = ( p2 – q2)/2 (кратно 4),
Z2 = ( p2 + q2)2 /4,
Z = ( p2 + q2)/2 , -
Y2 = ( p2 – q2)2 /4.
Рассмотрение в качестве ТП* уравнения для биквадратов :
Z4 - Y4 = X4 = Q4P4
как
даёт по [4-1] натуральные числа
с
разностью
(Z2)2 - (Y2)2 = (X2)2 = (Q2P2)2, Y2 = (P4 – Q4)/2
и
Z2 = (P4 + Q4)/2
Z4 - Y4 = X4
необходимому
Z2 - Y2 = Q4 > Z –Y.
Это несоответствие
X,Y,Z-тройки в
условию [3-1] доказывает правоту ПТФ для N = 4.
[4-1]
[4-2]
Но и уравнение
эквивалентно уравнению ТП* :
Z2m - Y2m = X2m
(Zm)2 - (Ym)2 = (Xm)2 = (QmPm)2 , что по [4-1]
даёт
аналогично разность
необходимому условию
удовлетворяя
Zm -Ym = Q2m,
Z - Y = Q2m по [3-1] только при
m = 1.
Т.о., ПТФ верна для чётных N. а причина тому просматривается
в строении тождества, порождающего все ТП* по [4-2] :
(pq)2m ≡ (p2m + q2m)2 /4 - (p2m - q2m)2 /4, подстановкой всех
взаимно простых
нечётных p > q.
В частности, для биквадратов достаточно заметить, что
т.е. сумма квадратов
нечётных
целого чётного числа, т.к. не
pm и
qm ,
не
является
p2m + q2m,
квадратом
делится на 4 :
( 2i - 1)2 + ( 2j - 1)2 = 4(I2 + J2) - 4(I + J) + 2.
Поэтому даже квадратом нельзя представить разность биквадратов :
(Z2)2 - (Y2)2 = X2 = (QP)2 , по [4-2]
имеем
(Z2)2 = (P2 + Q2)2 /4,
где Z - не целое числом, т.к.
не может быть квадратом целого при нечётных
P 2 + Q2
P и Q.
Ситуация с разностью биквадратов любопытна тем, что оба случая
приводят к решению пары обычных уравнений для ТП*:
Z4 - Y4 = X4 ≡ Q4P4
<=>
Z2 – Y2 = Q4 и
Z2 + Y2 = P4 ;
Z4 - Y4 = X2 ≡ Q2P2
<=>
Z2 – Y2 = Q2 и
Z2 + Y2 = P2 , -
общим в этих парах несовместимых троек Пифагора является наличие
двух общих элементов Z, Y, но и
Z12 – Y12 = X12
и
Z22 – Y22 = X22
для любых двух различных ТП*:
предположение
Z1 = X2
и
Z2 = X1
абсурдно, т.к. Z1 , Z2 максимальны в своих тройках, а Z1 = X2 и Y1 = Y2
ведёт к
Z12 – Y12 = X12
и
Z22 – Y12 = Z12 , т.е.
Z14 – Y14 = (Z2X1) 2 , -
после переноса Y12 направо и перемножения. Аналогичная
биквадратов получится
и для
Z2 = X1 и
разность
Y1 = Y2 . Этот запрет двум
ТП* иметь ровно два общих элемента в 1988 г. методом бесконечного
спуска доказал T.Verhoeff
( http://www.mathmeth.com/tom/files/pyth.pdf ).
Для m нечётных в N = 2m
из правоты ПТФ
для чётных N,
очевидно, следует аналогичный запрет для ТФ*, если они существуют.
В случае нечётных
а разной чётности
Z + Y = S;
Z
N = 2m+1 полагаем слагаемое
и Y зададим их суммой и разностью :
Z - Y = R, -
двумя нечётными числами, так что
Тогда
[2]
X нечётным,
Z = ( S + R)/2
и
Y = ( S - R)/2 .
принимает вид :
( S + R)N - ( S - R)N = 2NXN,
т.е.
2R ( SN-1 + SN-2R + … + RN-1) = 2R ( N нечётных слагаемых ) = 2NXN, -
и т.к. R и X нечётны, то единственно возможное нечётное N = 1.
Аннотация: уравнение «последней» теоремы Ферма (ПТФ) сводится
к алгебраическому порядка (N-1) с одним неизвестным благодаря
заданию двумя взаимно простыми сомножителями не кратного N
слагаемого, при этом определяется множество Φ всех кандидатов
в попарно простые тройки Ферма; _ для чётных N
ПТФ верна, т.к.
тройки Пифагора
принадлежат Φ
(Zm)2 - (Ym)2 = (Xm)2 = (QmPm)2
только при m = 1; _ нечётность N
даёт второе решение подобным
заданием двух параметров для другого не кратного N элемента, с установлением связей между всеми параметрами; _ несомненную
же несовместимость получаемых соотношений с попарной простотой
параметров доказать не удалось, и тайна Пьера Ферма не раскрыта.
, а причина тому просматривается
в строении
тождества, порождающего все ТП* по [4] :
(pq)2m ≡ (p2m + q2m)2 /4 - (p2m - q2m)2 /4, всеми взаимно простыми
нечётными p > q.
В частности, для биквадратов достаточно бы, чтоб обе скобки справа
оказались квадратами, но 4 не делит сумму квадратов нечётных pm и qm:
( 2i - 1)2 + ( 2j - 1)2 = 4(I2 + J2) - 4(I + J) + 2.
И не выглядит случайным привлечение Пьером Ферма
внимания
математиков к тому факту, что разность биквадратов, а здесь p2m - q2m
при m=2, тоже нельзя представить квадратом