Косинский Ю.И., «Исследование вопроса перехода от

Косинский Ю.И.
Исследование вопроса перехода от распределения атомов
по компонентам энергии или скоростей к распределению
по абсолютному значению энергии или скорости
Мы получили распределение концентрации частиц по компонентам
энергии.
n E j
Ej
  1 

n0 1 
  E0 j






 2
d
Ej
,
E0 j
(78)
где E j - компонента кинетической энергии
j  x, y, z.
Максимальное значение компоненты энергии равно E j макс   E 0 j .
Такой же вид имеет распределение частиц по компонентам энергии, если
заменить n E j  N E j , a n0  N ,
где N - полное число частиц в
термодинамической системе.
N E j
N
где
N E j
N
Ej
  1 

1
   E 0 j




 2
d
Ej
E0 j
,
(79)
можно назвать вероятностью частицы иметь энергию E j .
Вероятность частицы иметь полную
произведению вероятностей (79).
3
N E    1 
1

 
N
   E 0x  E 0 y  E 0z
 dE x  dE y  dE z .

Ex
1 
 E
0x





энергию
 2
Ey

1 
  E 0y

E




 2
равна,

Ez
1 
 E
0z

очевидно,




 2

(80)
Этой вероятностью удобно пользоваться, если применять каждую
вероятность-сомножитель в отдельности, например, при вычислении средней
кинетической энергии.
E  Ex  E y  Ez .
При этом один из сомножителей вероятности усредняет соответствующую
ему компоненту энергии, а остальные два сворачиваются в единицу.
Вероятность (80) можно выразить через полную кинетическую энергию
в одном единственном случае, когда    . При этом каждый степенной
множитель превращается в экспоненту с показателем показателей экспонент и дает полную энергию
E
E0
Ej
E0j
. Сумма
. Остальные множители
вероятности также легко выражаются через полную энергию.
В общем случае произвольной  нельзя выразить вероятность (80)
через полную энергию E . Также возникают трудности в выборе
максимальной энергии E макс при интегрировании такой вероятности. На
основании вышеизложенного следует отметить, что необходима новая
методика перехода от компонентной вероятности к общей и наоборот для
произвольного вида функции распределения.
Для начала рассмотрим элементарную модель распределения частиц по
компонентам вектора и по вектору. В основу берем изотропность
пространства.
x
dx
R
h
Шаровой слой. M - боковая поверхность. M  2Rh .
Все направления этого пространства равноправны. Допустим, что в,
рассматриваемом нами, элементарном объеме или в исследуемой нами точке
существует определенное количество векторов или частиц, которые имеют
различные скорости и могут быть изображены векторами. Определенный
сорт векторов, которые имеют равную длину по модулю, можно представить
в виде векторов, выходящих из одной точки под различными углами с равной
вероятностью. Концы этих векторов касаются поверхности сферы, для
которой можно ввести поверхностную плотность. Каждый сорт векторов
имеет свою поверхность или слой в общем сферическом пространстве
векторов.
N - количество векторов в одном слое (поверхность).
Поверхностная плотность равна:

N
4  r 2
,
(81)
где r - радиус вектора и, соответственно, рассматриваемой сферы.
S  4  r 2 - площадь поверхности сферы.

Проекцию вектора r на какое либо направление x обозначим через x . Нам
необходимо подсчитать количество векторов  , которые имеют проекцию x
в интервале dx .
  M   ,
(82)
где M - поверхность, отсекаемая шаровым слоем толщиной dx .
(83)
M  2  r  dx .
В итоге получим:

N
dx .
2r
(84)
Рассмотрим простейший случай распределения (равномерного), состоящего
из трех слоев. Количество векторов N одинаково для всех трех слоев.

Рис.2а
N 3
2 R
N 3
2 2R
N 1
2 R
x
1
R
3
2
R
3
R
N
Рис.2б
N
3
r
R
2
R
3
1
R
3
Это показано на рисунке 2б. На рисунке 2а показан вклад в проекцию на

направление x в интервале dx от всех слоев. Вклад от каждого слоя
равномерен вдоль всей переменной x . Величина этого вклада обратно
пропорциональна радиусу слоя или величине вектора.
Теперь мы количество слоев неограниченно увеличим при равном
количестве векторов в каждом слое.

Рис.3а
N
R
ln
2R
x
x
R
Кривые на рисунке 2а,б превратятся в монотонные гладкие кривые (рис.3),
которые можно вычислить.
R
N 1 N 1 dx N 1
N
R
    2 x  2 R  x  2 R ln x  Rx  2R ln x  f ( x) .
x
(85)
N
N N r

n
R
Рис.3б
r
R
Соотношение (85) есть не что иное, как распределение частиц для
компоненты вектора x (рис.3а).
Распределение частиц по модулю вектора показано на рисунке 3б.
F (r ) 
N
.
R
Полное число частиц равно:
R
2  f ( x)dx  2
0
R
1
N
x x
ln d   N  ln y  dy  N .

2 0 R R
0
Из полученных распределений, показанных на рис.3 и, соответствующих
этим распределениям, проделанным вычислениям , можно установить связь
между распределениями частиц по компонентам вектора f (x) и по модулю
вектора F (r ) .
 df ( x) 
 df (r ) 
F ( r )  2 
r  2 

r .
 dx  r
 dr 
(86)
R
1 F (x ' ) '
f ( x)  
dx .
2 x x'
(87)
В рассматриваемом нами случае:
R
N
 N d
F ( r )  
ln  r  .
R
 R dx x  r
R
 F (r )dr  
0
N
dr  N .
R
Распределение частиц по модулю вектора не зависит от r .
Для полной уверенности, что формулы (86),(87) верны, рассмотрим
более сложный пример, когда распределение по модулю вектора есть
линейная функция r .

Рис.4а
3 N
2 R
N
R
N
2R
x
1
R
3
R
2
R
3
N
Рис.4б
N1
2
3
1
3
r
1
R
3
2
R
3
R
Перейдем к непрерывному распределению от слоя к слою.
R
f ( x) 
R
1 N r
N 
x
dr 
1  ,


2 x R2 r
2R  R 
N
2  f ( x)dx  ,
2
0
R
F (r ) 
 F (r )dr 
0
N
.
2
N r
,
R R

Рис.5а
N 
x
1  
2R  R 
N
2R
x
R
N
Рис.5б
N r
R R
r
R
Из рассмотренного примера также можно вывести соотношения (86),(87),
устанавливающие связь между распределениями по компонентам векторов и
по модулю вектора.
Соотношениям (86),(87) удовлетворяет Максвелловское распределение
частиц по скоростям.
3
2
  2
dn v  4n    v v 2 dv,
 
1
dn v x
2
  2
 n    v x dv x ,
 
где  
m
.
2kT
Убедимся в этом.
3
2
  2
F (v)  4     v v 2 ,
 
1
2
  2
f (v x )      v x .
 
1
3
2
 df (v x ) 
  2 
  2
 v x2 
F (v )  2  
v  4     v v 2 ,
 v  2  2v x 
 v
  
 
 dv x  v
3


'
1 F (v x ) '
  2 1
 ( v x' ) 2 '
f (v x )  
dv x  4  

v x dv x' 

'
2 v vx
  2 v
x
x
3
1

2
  2
  2
       t dt      v x .
  2
 
vx
В рассмотренных примерах мы получили распределение по
компонентам вектора в виде монотонно ниспадающих функций. Следует
заметить, что только такие функции удовлетворяют соотношениям (86),(87).
Обратимся теперь к выведенному нами распределению частиц по
компонентам энергии (78). Отметим, что это распределение по компонентам
энергии, а не по компонентам вектора. Его можно записать так:
v x кон
 f (v x ) d (v x ) .
2
2
(88)
0
В этом и состоит принципиальное различие распределений, полученного
нами, и максвелловского. В данном случае мы не можем воспользоваться
формулами (86),(87), так как в распределении имеется множитель v x ,
приводящий к не монотонности (распределение имеет максимум).
v x кон
 2 f (v x )v x  dv x .
2
0
Графически, поэлементно, распределение (88) можно представить таким
образом, что вклад от каждой спектральной составляющей составляет
половину общего вклада (заштрихованная часть). Таким образом мы учли
наличие множителя v x или x в распределении.

Рис. 6а
3
N
2
N
N
2
x
1
3
N
2
3
R
Рис. 6б
x
R
Множитель х окажет также влияние на изотропность пространства в
исследуемой точке. Анизотропию пространства можно изобразить в виде
двух сфер, соприкасающихся в исследуемой точке. В разрезе сферы показаны
на рисунке 7. Исследуемая точка является источником частиц или векторов.
Плотность векторов на поверхности сферы S в каком-либо направлении
пропорциональна длине луча внутри лепестка. Такой лепесток известен в
физике, как лепесток излучающего диполя.
Количество векторов, попадающие в шаровой слой толщиной dx, при
наличии такой анизотропии пропорционально величине проекции х.
Распределения частиц при наличии лепестковой анизотропии удобно
представлять в квадратичных шкалах. Где толщина шарового слоя
неравномерна вдоль координаты (имеет множитель
изображено на рисунке 8.
1
). Поэлементно это
x
S
Рис.7

Рис. 8а
3N
4
N
2
N
4
x2
1
3
2
3
R2
Вклад от каждой спектральной составляющей в таком представлении не
зависит от координаты ( x 2 ) .
N
Рис. 8б
r2
1
3
2
3
(R) 2
Перейдем к непрерывному распределению по координате r 2 .

N
4
(R 2 )
N
N
2
Nr 2
R2
r2
(R 2 )
Вычисления, соответствующие этому распределению.
R2
N 1
N
   2 r2  4
R
2
2  f (x 2 )
0
d (x 2 )
R2
2
N
x2
x
d    1 
2  R 2
R

x
2

  f (x 2 ) .


1
1
N
 N  (1  y)dy  N (1  )  .
2
2
0
 df ( x 2 ) 
r2
N  F (r 2 )  2
r2  N
 F (r 2 ) .

2
2
R
 d ( x )  r 2
R2

0
F (r 2 )d
(89)
r2
R2

1
N
2
 ydy 
0
(90)
N
.
2
1
в выражении для полного числа частиц связан с линейной
2
1
зависимостью числа частиц в каждом слое от (r 2 ) . Это дает множитель .
2
Коэффициент
Таким образом, для лепестковой анизотропии векторного пространства мы
можем записать следующие соотношения, связывающие распределения
частиц по компонентам квадрата вектора и по квадрату вектора..
 df ( x 2 ) 
 df (r 2 )  2
2
F ( r 2 )  2 
r

2


r .
 d ( x 2 )  r 2
 d (r 2 ) 
1
f (x ) 
2
2
R2

x
2
F (r 2 )
r
2
d (r 2 ) .
(91)
(92)
На первый взгляд может показаться, что мы пришли к неправильному
выводу, или что направления в термодинамической системе газа не
равноправны, пространство анизотропно и анизотропия имеет форму
лепестка или в основу дальнейших исследований нельзя брать распределение
частиц по компонентам энергии, т.е. это распределение неверно и лишено
физического смысла. Однако это не совсем так. Действительно, даже если и
существует анизотропия в форме лепестка в каждой точке пространства, а
это неизбежно, ток как реальная точка в газовом объеме не может быть
источником частиц в один и тот же момент времени равно вероятным для
всех направлений, то она автоматически компенсируется соседними
источниками с той же анизотропией, расположенными на одной плоскости.
Имеется в виду, что плоскость с равномерно расположенными на ней
анизотропными источниками в форме лепестка является изотропным
источником для всех направлений, т.е. обеспечивает для любого направления
равномерную плотность частиц, приходящуюся на единицу поверхности
векторного пространства. В объеме векторного пространства можно провести
множество плоскостей, параллельных данной.
Объем векторного пространства, равномерно заполненный
источниками с лепестковой анизотропией, обеспечит равномерную
объемную плотность частиц для любого направления пространства, только
весь объем в целом является изотропным источником.
Подведем итоги наших рассуждений. Если мы имеем распределение
частиц по компонентам квадрата вектора (полученного экспериментально,
или выведенного согласно газовых законов)
xкон
 f (x
2
)d ( x 2 ) ,
0
то из этого распределения можно получить распределение частиц по
квадрату вектора только для лепестка (анизотропного источника с
анизотропией в виде лепестка) для этого необходимо воспользоваться
формулами (91), (92). Распределение частиц в лепестке будет иметь вид:
 df (r 2 )  2
2
(93)
  d (r 2 )  r d (r ) .

0 
Каждый сорт частиц в интервале dr представляет собой отдельный лепесток
rкон
rкон

0
 df (r 2 )  3
2 
 r dr .
2
 d (r ) 
(94)
Лепестки определенного сорта равномерно распределены в объеме
векторного пространства r 3 , направлены в одну сторону и их направление

совпадает с направлением оси x . Плотность лепестков, приходящаяся на
единицу объема, равна
rкон

0
 df (r 2 ) 
2 
 dr .
2
 d (r ) 
(95)
При распределении лепестков по всему объему векторного пространства все
направления становятся равно вероятными для плотности частиц на единицу
объема, а пространство изотропным. Поэтому распределение плотности (95)
мы можем представить как результат суммирования векторов-частиц ,
равномерно распределенных в изотропном пространстве, на направление

совпадающее с осью x в интервале dx . При этом мы еще раз вправе
воспользоваться формулами (86), (87) и получить следующее распределение
плотности:

rкон

0
 d

 dr
rкон 2
 df (r 2 )  
d f (r 2 ) 2
rdr

r dr .




2 2
 d (r 2 )  
0 d (r )


(96)
Умножив найденное распределение плотности на объем векторного
пространства r 3 , мы получим распределение частиц по модулю вектора.
 F (r ) 
2
rкон

0
 d2



f (r 2 )r 5 dr .

2
 d (r 2 )



(97)
Отметим, что формулы перехода от одного вида распределения к другому
(86), (87) и (91), (92) с точностью до множителя эквивалентны.
 df (r 2 )  2 1  df (r 2 ) 

 r  
r .
2 
dr 
 dr 2 
Чтобы перейти от распределения частиц по компонентам энергии к
распределению
по
полной
кинетической
энергии
необходимо
воспользоваться дважды формулами перехода.