Оценка погрешностей измерений

Исследовательская работа
Оценка погрешностей измерений
Автор: Тукмакова О.А.
Чувашская республика
г.Чебоксары
МОУ “Гимназия№1”
11 класс
Научный руководитель:
Сафиуллина Л.В.
Преподаватель математики
МОУ “Гимназия№1”
Чебоксары 2003
Содержание
Введение………………………………………………………………………………………3
1 Линейное уравнение……………………………………………………………………..…3
2 Линейная функция……………………………………………………………………..……4
3 Квадратичная функция………………………………………………………………..……5
4 Дробно-инейная функция…………………………………………………………………..6
5 Определение погрешностей исходных параметров функции по данной относительной
погрешности функции…………………………………………………………………..……7
Литература……………………………………………………………………………………..9
2
Введение
При всяком измерении физическая величина сравнивается с однородной
величиной, принятой за единицу. В физике и технике не существует абсолютно точных
приборов и других средств измерения, следовательно, нет и абсолютно точных способов
измерения. Процесс измерения только тогда считается завершенным, когда указано не
только число x, которое принято за результат измерения, но и число x , которое
позволяет определить интервал x  x; x  x , достоверно содержащий неизвестное
экспериментатору истинное значение измеряемой величины.
Основной целью данной работы является изучение погрешностей различных
параметров при вычислении линейной, квадратичной и дробно-линейной функции.
В учебной литературе рассматриваются погрешности конкретных измерений. В
данной работе выедены формулы вычисления погрешностей различных параметров при
вычислении различных функции.
При выводе формул нами используются методы приближенных решений
уравнений и алгебраические преобразования.
§1. Линейное уравнение
Теорема 1.1 Если коэффициент b в линейном уравнении k*x+b=0, где b  0
вычислен с погрешностью | b  b0 | 1 то значение переменной x вычисляется с
погрешностью
| x0  x |
1
|k|
(1.1)
где b - точное значение коэффициента b, b0 - его приближенное значение
k
Доказательство. Выразим переменную x через k и b и получим x   , то
b
b b
b b



имеем x0  x1   0  1  1 0   1  1 . Получили x0  x1  1
k
k
k
k
k
k
Теорема доказана.
Замечание. Погрешность переменной x для данного линейного уравнения
возрастает с увеличением погрешности коэффициента b.
Теорема 1.2 Если коэффициент k в линейном уравнении k*x+b=0, где k  0
k0
вычислен с погрешностью
  2 , то значение переменной x вычисляется с
k1
погрешностью
x0
 2
x1
(1.2)
k
Доказательство. Выразим переменную x через k и b и получим x   , то имеем
b
x0
x
 b  b k0



  2 . Получили 0   2
x1
k0
k1
k1
x1
Теорема доказана.
3
§2. Линейная функция
Теорема 2.1 Если коэффициент b в линейной функции y=k*x+b, где k  0 вычислен с
погрешностью│b0-b1│  1 , то значение функции вычисляется с погрешностью
(2.1)
y0  y1  1
где b0 – точное значение коэффициента b, b1 – его приближенное значение, y0 – точное
значение функции, y1 – ее приближенное значение.
Доказательство. Если коэффициент b в линейной функции y=k*x+b, где k  0
вычислен с погрешностью│b0-b1│  1 , то имеем y0  y1  kx  b0  kx  b1  b0  b1  1
Теорема доказана.
Теорема 2.2 Если коэффициент k линейной функции y=k*x+b, где k  0 на
промежутке m  x  n вычислен с погрешностью k0  k1  2 , то значение функции
вычисляется с погрешностью
(2.2)
y0  y1  1 * n
Доказательство. Если коэффициент k линейной функции y=k*x+b, где k  0 на
промежутке m  x  n вычислен с погрешностью k0  k1  2 , то имеем
y0  y1  k 0 x  b  k1 x  b  k 0  k1  * x   2 x   2 n
Теорема доказана.
Теорема 2.3 Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k  0 вычислен
с погрешностью k0  k1  1 , а коэффициент b вычислен с погрешностью│b0-b1│  2 , то
значение функции вычисляется с погрешностью
(2.3)
y0  y1  1 * x  2
Доказательство. Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k  0
вычислен с погрешностью k0  k1  1 , а коэффициент b вычислен с погрешностью│b0-
b1│  2 , то имеем y0  y1  k 0 x  b0  k1 x  b1  k 0  k1 x  b0  b1   1 x   2
Теорема доказана.
Теорема 2.4 Если переменная x в линейной функции y=k*x+b, где k  0 вычислена с
погрешностью x0  x1  1 , то значение функции вычисляется с погрешностью
y0  y1  1  k
Доказательство. Если переменная x в линейной функции y=k*x+b, где k  0
вычислена с погрешностью x0  x1  1 , то имеем
(2.4)
y0  y1  kx0  b  kx1  b  x0  x1 k  1k
Теорема доказана.
Теорема 2.5 Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k  0 вычислен
с погрешностью k0  k1  1 , переменная x вычислена с погрешностью x0  x1  2 , а
коэффициент b вычислен с погрешностью│b0-b1│  3 , то значение функции вычисляется
с погрешностью
(2.5)
y0  y1  x1  1 + k1 2 +2 1 2 +  3
Доказательство. Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k  0
вычислен с погрешностью k0  k1  1 , переменная x вычислена с
4
погрешностью x0  x1  2 , а коэффициент b вычислен с погрешностью│b0-b1│  3 , то
имеем
y 0  y1  k 0 x0  b0  k1 x1  b1  k 0 x0  b0  b1   k1 x1  k1 x0  k1 x0 
 k 0  k1 x  k1 x0  x1   b0  b1   1 x1   2 k 0   3
k0- 1
k0- 1
k0
k
k 0  k1  21 , то имеем y0  y1  x1 1   k1  21  2   3  x1 1  k1  2  21 2   3
Теорема доказана.
§3. Квадратичная функция
Теорема 3.1 Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a  0 на
промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│a0-a1│  1 , то значение функции
вычисляется с погрешностью
(3.1)
y0  y1  1 *n2
Доказательство. Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где
a  0 на промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│a0-a1│  1 , то имеем
y 0  y1  a0 x 2  bx  c  a1 x 2  bx  c  a0  a1 x 2  1 x 2  1 n 2
Теорема доказана.
Теорема 3.2 Если коэффициент b квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a  0 на
промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│b0-b1│   2 , то значение функции
вычисляется с погрешностью
(3.2)
y0  y1  1 *n
2
Доказательство. Если коэффициент b квадратичной функции y=a*x +b*x+c, где
a  0 на промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│b0-b1│   2 , то имеем
y 0  y1  ax 2  b0 x  c  ax 2  b1 x  c  b0  b1 x   1 x   1 n
Теорема доказана.
Теорема 3.3 Если коэффициент c квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a  0
вычислен с погрешностью│c0-c1│  3 , то значение функции вычисляется с
погрешностью
(3.3)
y0  y1  3
2
Доказательство. Если коэффициент c квадратичной функции y=a*x +b*x+c, где
a  0 вычислен с погрешностью│c0-c1│  3 , то имеем
y 0  y1  ax 2  bx  c0  ax 2  bx  c1  c0  c1   3
Теорема доказана.
Теорема 3.4 Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a  0 на
промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│a0-a1│  1 , а коэффициент b на
промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│b0-b1│  2 , то значение функции
вычисляется с погрешностью
(3.4)
y0  y1  1 * n2  2 * n
Доказательство. Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где
a  0 на промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│a0-a1│  1 , а коэффициент b на
промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│b0-b1│  2 , то имеем
5
y 0  y1  a0 x 2  b0 x  c  a1 x 2  b1 x  c  a0  a1 x 2  b0  b1 x  1 n 2   2 n
§4. Дробно-линейная функция
Теорема 4.1 Если переменная x в функции y 
1
вычислена с погрешностью
x
x0
 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью
x1
y0
1

y1 1
Доказательство. Если переменная x в функции y 
(4.1)
1
вычислена с погрешностью
x
1
y
x
x
1
x0
 1 , то имеем 0  0  1 
1
y1
x0
1
x1
x1
Теорема доказана.
ax  b
Теорема 4.2 Если коэффициент a в дробно-линейной функции y 
вычислен с
cx  d
погрешностью│a0-a1│  1 , то значение функции вычисляется с погрешностью
1 x
y0  y1 
(4.2)
cx  d
ax  b
Доказательство. Если коэффициент a в дробно-линейной функции y 
cx  d
a x  b a1 x  b
1 x


вычислен с погрешностью│a0-a1│  1 , то имеем y 0  y1  0
cx  d
cx  d
cx  d
Теорема доказана.
ax  b
Теорема 4.3 Если коэффициент b в дробно-линейной y 
функции вычислен с
cx  d
погрешностью│b0-b1│  2 , то значение функции вычисляется с погрешностью
2
y0  y1 
(4.3)
cx  d
ax  b
Доказательство. Если коэффициент b в дробно-линейной y 
функции
cx  d
ax  b0 ax  b1
2


вычислен с погрешностью│b0-b1│  2 , то имеем y 0  y1 
cx  d cx  d
cx  d
Теорема доказана.
ax  b
Теорема 4.4 Если коэффициент b в дробно-линейной функции y 
вычислен с
cx  d
c
погрешностью 0  3 , то значение функции вычисляется с погрешностью
c1
1  3  d
y1
 3 
y0
c1 x  d
6
(4.4)
коэффициент b в дробно-линейной функции y 
Доказательство. Если
вычислен
имеем
y1
y 01
с
погрешностью
ax  b
cx  d
c0
 3 ,
c1
то
 c0 
ax  b
1  d
1   3  d
c1 
c0 x  d
c0 
c1 x  d




 3 
ax  b
c1 x  d
c1
c1 x  d
c1 x  d
c0 x  d
Теорема доказана.
§5. Определение погрешностей исходных параметров функции по данной
относительной погрешности функции
1.
Линейная функция
1) По теореме 2.1 имеем: если коэффициент b в линейной функции y=k*x+b, где k  0
вычислен с погрешностью│b0-b1│  1 , то значение функции вычисляется с
погрешностью y0  y1  1  если значение функции в линейной функции y=k*x+b, где
k  0 вычисляется с погрешностью y0  y1  2 , то коэффициент b вычисляется с
погрешностью
│b0-b1│  2
(5.1)
2) По теореме 2.2 имеем: если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k  0
вычислен с погрешностью k0  k1  2 , то значение функции вычисляется с
погрешностью y0  y1  1 * x  если значение функции в линейной функции y=k*x+b,
где k  0 вычисляется с погрешностью y0  y1  2 ,то коэффициент k вычисляется с
погрешностью

k 0  k1  2
(5.2)
x
2. Квадратичная функция
1) По теореме 3.1имеем: если коэффициент a в квадратичной функции y=a*x2+b*x+c,
где a  0 на промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│a 0 -a 1 │  1 , то значение
функции вычисляется с погрешностью
(5.3)
y0  y1  1 *n2
 если значение функции в квадратичной функции y = a *x 2 +b*x+c, вычислено с

y  y  2
погрешностью 0 1
,то коэффициент a вычисляется с погрешностью a0  a1  23 .
n
2) По теореме 3.2 имеем: если коэффициент b в квадратичной функции
y=a*x2+b*x+c, где a  0 на промежутке m  x  n вычислен с погрешностью│b0-b1│   2 ,
то значение функции вычисляется с погрешностью y0  y1  1 *n  если значение
функции в квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a  0 на промежутке m  x  n
вычислено с погрешностью y0  y1  2 , то коэффициент b вычисляется с погрешностью
│b0-b1│ 
7
2
n
(5.4)
3) По теореме 3.3 имеем: если коэффициент c в квадратичной
функции
y=a*x +b*x+c, где a  0 вычислен с погрешностью│c0-c1│  1 , то значение функции
вычисляется с погрешностью y0  y1  1  если значение функции в квадратичной
2
функции y=a*x2+b*x+c, где a  0 вычислено с погрешностью y0  y1  2 ,то коэффициент
c вычисляется с погрешностью
│c0-c1│  2
(5.5)
3. Дробно-линейная функция
ax  b
cx  d
вычисляется с
1) По теореме 4.2 имеем: если коэффициент a в дробно-линейной функции y 
погрешностью│a0-a1│  1 , то значение функции
1 x
погрешностью y0  y1 
 если значение функции в дробно-линейной функции
cx  d
ax  b
y
вычисляется y0  y1  2 ,то коэффициент a вычисляется с погрешностью
cx  d
 cx  d
│a0-a1│  2
(5.6)
x
вычислен
с
ax  b
cx  d
вычисляется с
2) По теореме 4.3 имеем: если коэффициент b в дробно-линейной функции y 
погрешностью│b0-b1│  2 , то значение функции
2
 если значение функции в дробно-линейной функции
погрешностью y0  y1 
cx  d
ax  b
y
вычислено с погрешностью y0  y1  2 ,то коэффициент b вычисляется с
cx  d
погрешностью
│b0-b1│  2  cx  d 
(5.7)
вычислен
с
3) По теореме 4.4 если коэффициент b в дробно-линейной функции y 
вычислен
с
погрешностью
погрешностью
c0
 3 ,
c1
то
значение
функции
ax  b
cx  d
вычисляется
с
1  3  d .
y1
 3 
y0
c1 x  d
ax  b
вычислено с
cx  d
погрешностью y0  y1  2 ,то коэффициент с вычисляется с погрешностью 
 если значение функции в дробно-линейной функции y 
 c xd
c1
 2 1
d
c0
c1 x  d  d
(5.8)
Заключение
В ходе работы были рассмотрены погрешности при вычислении линейной,
квадратичной и дробно-линейной функции при известных погрешностях различных
параметров и переменной.
8
Литература
1. Н.Я.Виленкин,С.И.Шварцбурд.Алгебра и математический анализ. –М.:Мнемозина,
2000.-335с.:ил.
2. А.Г.Корн,Т.Корн.Справочник по математике для научных работников и
инженеров.-М.:Наука,1984._831с.
9