Document 4122984
advertisement
Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей при Томском политехническом университете МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СРЕДЕ PDETOOL MATLAB Выполнила: ученица 11 класса Хапаева Анна Руководитель: Колчанова В.А., к.т.н., доцент кафедры ТОЭ ТПУ Томск 2011 Содержание Введение 3 1 Постановка задачи 5 2 Среда pdetool, конструирование области 5 3 Определение уравнения и граничных условий 7 4 Решение и визуализация результата 9 Заключение 20 Список использованной литературы 20 2 Введение Любое электростатическое поле характеризуется основными величинами: напряженность поля E и потенциал . Напряженность электростатического поля – величина векторная, определяемая в каждой точке и величиной и направлением. Потенциал является величиной скалярной, значение потенциала определяется в каждой точке поля некоторым числом. Электростатическое поле определено, если известен закон изменения напряженности поля или потенциала во всех его точках. Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и оканчивающаяся на отрицательно заряженном теле. Касательная к ней в любой точке совпадает по направлению с вектором напряженности. Эквипотенциальная поверхность – совокупность точек поля, имеющих одинаковый потенциал. Проекция эквипотенциальной поверхности на секущую плоскость дает эквипотенциальную линию. Эквипотенциальные и силовые линии пересекаются под прямым углом. Силовые линии всегда разомкнуты, эквипотенциальные всегда замкнуты. Напряженность и потенциал электростатического поля связаны выражением: E grad (1) Эту формулу можно истолковать как то, что напряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке, взятой с обратным знаком. В электростатике часто встречаются задачи, когда по известным значениям потенциалов (или полных зарядов) и геометрии тел, создающих поле, требуется найти закон изменения напряженности поля или потенциала во всех точках поля. В простых случаях задачи на аналитический расчет решают путем использования теоремы Гаусса в интегральной форме. В более сложных случаях используют уравнение Лапласа, либо интегрируя его непосредственно без вспомогательных приемов, либо используя метод зеркальных изображений (в случае неоднородной среды). Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. 2 своб / а (2) 3 Уравнение (1) называют уравнением Пуассона. 2 =div grad – оператор Лапласа или лапласиан. - потенциал в точке. своб - объемная плотность свободного заряда. а - абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества. Свободными называются заряды, которые под воздействием сил поля могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограничивается внутримолекулярными силами. Частный вид уравнения Пуассона, когда своб 0 , называют уравнением Лапласа и записывают так: (3) 2 0 Уравнения Пуассона и Лапласа являются уравнениями в частных производных, которые в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений имеют в общем случае множество линейно независимых друг от друга решений. Выбор единственного, удовлетворяющего конкретной задаче, производят с помощью граничных условий. Если есть некоторая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа – Пуассона и граничным условиям в данном поле, то эта функция и представляет собой то единственное решение конкретной задачи, которое ищут. Нахождение решения для сложной системы заряженных тел может представлять неразрешимую задачу при аналитическом расчете. В этих случаях пользуются числовыми методами. Например, числовым методом интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных путем сведения их к уравнениям в конечных разностях. Для нахождения решения необходимо знать значения величин, закон распределения которых отыскивается в ходе решения задачи, на границах рассчитываемых областей. Различают задачу Неймана, когда известны значения производной от потенциала по нормали к каждой граничной поверхности во всех точках, и задачу Дирихле, когда известны значения потенциалов граничных поверхностей. Возможны комбинированные типы задач, когда для одной части граничных поверхностей известны значения потенциалов, а для другой – значения нормальной производной от потенциала. Если среда неоднородна, то ее делят на однородные области и решение уравнения Лапласа ищется для каждой области отдельно. Программная среда pdetool математического пакета Matlab позволяет найти решения дифференциальных уравнений в двумерных областях методом конечных элементов. 4 1 Постановка задачи Требуется найти распределение потенциала и напряженности электростатического плоскопараллельного поля системы электродов в области, изображенной на рис. 1. Среда - воздух, следовательно, диэлектрическая проницаемость =1. Примем граничные условия так, чтобы на систему электродов не оказывалось влияния извне, то есть потенциалы границ исследуемой области равны нулю. Потенциалы электродов зададим произвольно, приняв крайние электроды заряженными положительно, а средний отрицательно. Рис. 1. Область и граничные условия 2 Среда pdetool, конструирование области Начнём работу, выполнив команду pdetool в командном окне, появляется окно PDE Toolbox среды pdetool, изображенное на рис. 2. Данное окно содержит следующие основные элементы: строку меню, каждое меню соответствует определенному этапу решения задачи; панель инструментов рисования геометрических примитивов, определяющих область; панель инструментов для задания граничных условий, коэффициентов уравнения, триангуляции, решения и визуализации результата; область ввода Set formula для конструирования области из геометрических примитивов; оси для создания области. 5 Рис. 2. Среда pdetool Конструирование области, приведенной на рис. 1, включает в себя создание прямоугольника и фигур (квадрата, круга и треугольника), вычитание фигур из прямоугольника. Выберем в меню Draw пункт Rectangle/square или воспользуемся соответствующим инструментом (его пиктограмма содержит прямоугольник). Нарисуем мышью требуемую прямоугольную область на осях от угла, удерживая нажатой левую кнопку. Квадрат рисуется аналогично. Выберем в Draw пункт Ellipse/circle (centered) или воспользуемся соответствующим инструментом, его пиктограмма — эллипс с перекрестием на пиктограмме инструмента, или слово centered в пункте меню Draw означают, что соответствующий объект рисуется на осях из центра при нажатой левой кнопки мыши. Наведем курсор на место предполагаемого центра круга и, зажав левую кнопку мыши, нарисуем круг желаемого радиуса. Треугольник рисуется с использованием инструмента Polygon. Зажатием левой кнопки мыши определяется местоположение первой вершины. Каждый раз, отпуская левую кнопку мыши, мы создаем новую вершину многоугольника. Геометрические примитивы для задания области созданы. Сейчас установлен режим рисования (переход в него происходит при 6 использовании инструментов рисования или выборе пункта Draw Mode меню Draw), поэтому на осях присутствуют все добавленные объекты. Следующий этап состоит в определении взаимосвязи между примитивами, образующими область, — квадрат, круг и треугольник должны быть удалены из прямоугольника. Связь между примитивами определяется в строке Set Formula среды pdetool. Знак плюс означает объединение объектов, а минус — вычитание. Области, изображенной на рис. 1, соответствует формула R1-E1-P1-R2, из большего объекта вычитается меньший по размерам. Область, в которой решается дифференциальное уравнение, сконструирована, теперь зададим коэффициенты уравнения и граничные условия. 3 Определение уравнения и граничных условий Меню Options содержит подменю Application, которое позволяет задать тип решаемой задачи. Пункт Electrostatics соответствует задаче о распределении потенциала и напряженности электрического поля. Выберем данный пункт, слева от названия появится флаг — среда pdetool теперь настроена на решение задачи электростатики. Использование раскрывающегося списка, размещенного на панели инструментов, приводит к аналогичному результату. Установим режим дифференциального уравнения, выбрав пункт PDE Mode в меню РDЕ. Оси теперь содержат область с отверстием. Именно для этой области и следует определить коэффициенты и правую часть дифференциального уравнения. Перейдём к пункту PDE Specification меню PDE или применим двойной щелчок по области, появляется диалоговое окно PDE Specification, изображенное на рис. 3. Вверху диалогового окна на панели Equation содержится общий вид уравнения электростатики, которое может быть решено в среде pdetool: div(epsilon grad (V ) rho; E grad (V ) , Значения коэффициентов устанавливаются в строках ввода, расположенных на правой панели диалогового окна. Левая панель служит для выбора типа уравнения, строка Elliptic соответствует задаче о стационарном распределении потенциала, описываемой эллиптическим дифференциальным уравнением. Выбор подходящих коэффициентов позволяет свести дифференциальное уравнение, записанное в общем виде, к уравнению, которое описывает поставленную задачу. Установим электрическую проницаемость 1, поскольку в рассматриваемой задаче система электродов находится в воздушном промежутке. Перейдём к заданию граничных условий. Выберем пункт Boundary Mode меню Boundary, среда pdetool находится в режиме установки 7 граничных условий, в окне отображаются только границы области. Прямоугольник имеет четыре границы, по числу сторон, и окружность также составлена из четырех дуг, треугольник имеет три границы. Рис. 3. Диалоговое окно PDE Specification Сделаем текущей верхнюю границу прямоугольника щелчком мыши и выберем в меню Boundary пункт Specify Boundary Conditions, появляется диалоговое окно Boundary Condition, предназначенное для выбора типа граничного условия (рис. 4). Рис. 4. Диалоговое окно Boundary Condition Граничное условие предлагается в общем виде, выбор коэффициентов позволяет получить требуемый частный случай. Потенциал первого и третьего электродов 10В, второго -5В. Это граничное условие Дирихле. Вверху окна на панели Boundary condition equation присутствует общий вид условия h*V = r, где h — весовой коэффициент, а r — заданный потенциал. Установим при помощи строк ввода (доступны только две строки для данного положения переключателя) значение r равное единице для первого и третьего электродов, для второго электрода 5. 8 Граничные условия можно задавать по отдельности на каждой части границы, или объединить несколько частей и определить одинаковые граничные условия сразу для всей группы. Добавление части границы в группу производится щелчком мыши с одновременным удержанием <Shift>. Двойной щелчок мышью по части границы или по группе частей дает быстрый доступ к диалоговому окну Boundary Condition. Установим потенциал -5 на границе отверстия, сгруппировав предварительно четыре части окружности. В режиме установки граничных условий границы с условиями Дирихле отображаются красным цветом, а синий цвет выделяет границы, на которых задано условие Неймана. Доступ к диалоговым окнам Boundary Condition и PDE Specification осуществляется не только двойным щелчком мыши или из меню, но и при помощи кнопок панели инструментов с надписями d и PDE. Уравнение и граничные условия определены, следующим этапом является решение задачи и визуализация результата. 4 Решение и визуализация результата Первый шаг состоит в триангуляции — покрытии области сеткой, состоящей из треугольников. Триангуляция и установка ее параметров производится в меню Mesh. Перейдем в режим триангуляции, выбрав пункт Mesh Mode, область разбивается на достаточно крупные треугольные элементы, причем считается, что граница, области составлена из сторон некоторых элементов (рис. 5). Инициализация триангуляции может быть произведена кнопкой с треугольником. Для получения решения с приемлемой точностью начальной триангуляции недостаточно, следует уменьшить шаг разбиения области. Выберем пункт Refine Mesh или кнопку с треугольником, разделенным на четыре части. Каждый выбор данного пункта приводит к равномерному уменьшению размеров треугольников. Однако, выбор слишком мелкой сетки может привести к значительным затратам времени на решение системы линейных уравнений методом конечных элементов. Для возврата к начальной триангуляции служит пункт Initialize Mesh. Уменьшим треугольники исходной сетки в несколько раз. Уменьшение размеров ячеек сетки улучшает вид границ области (рис. 6). 9 Рис. 5. Начальная триангуляция Рис. 6. Расчетная триангуляция 10 Решение задачи на расчетной сетке производится выбором пункта Solve PDE меню Solve или нажатием на кнопку со знаком "равно". Используется способ решения задачи, установленный по умолчанию. Найденное распределение потенциала отображается в окне среды pdetool контурным графиком с цветовой заливкой, рядом с которым расположен столбик с информацией о соответствии цвета значению потенциала (рис. 7). Рис. 7. Графическое представление результата Выбрав пункт Plot Selection в меню Plot. Откроется диалоговое окно Plot Selection. В столбце Plot Type, размещены функции включение или отключение которых приводит к различному представлению графического результата. (рис 8) 11 Рис. 8. Диалоговое окно Plot Selection Функция Color отвечает за окрашивания фона рисунка.(рис. 9). Рис. 9. Графическое представление результата Функция Contour служит для отображения линий равного электрического потенциала - эквипотенциали. (Рис. 10) . 12 Рис. 10. Графическое представление результата Функция Arrows предназначена для отображения напряженности электростатического поля. (рис. 11) Рис. 11. Графическое представление результата Функция Deformed mesh отображает деформации ячейки в сторону смещения напряженности электрического поля. (рис. 12) 13 Рис. 12. Графическое представление результата Функция Height (3-D plot) отражение графического результата в трех мерном пространстве. (рис 13, 14) Рис. 13. Графическое представление результата 14 Рис. 14. Графическое представление результата При совмещении функций Arrows и Contour в столбце Plot Type можно получить совокупность силовых и эквипотенциальных линий.(рис 15) Рис. 15. Графическое представление результата 15 Рис. 17. Диалоговое окно Plot Selection В нижней части диалогового окна Plot Selection находится дополнительные функции. (рис17): Функция Colormap, отвечающая за тип цвета окрашивания. При выборе в строке Colormap цвета типа «jet» имеем следующий результат. (рис. 18) Рис. 18. Графическое представление результата 16 Функция Showmesh, отвечающая за инициализацию триангуляции графического результата. (рис. 19,20) Рис. 19. Графическое представление результата Тот же результат в трёхмерном пространстве Рис. 19. Графическое представление результата 17 Функция Plot in x-y grid отвечает за нанесение координатной сетки. (рис. 20,21) Рис. 20. Графическое представление результата Тот же результат в трёхмерном пространстве Рис. 21. Графическое представление результата 18 Рис. 22. Графическое представление результата На (рис. 22), отмечены эквипотенциальные линии (1) с шагом 1В и вектора напряженностей (2), соединив которые, можно получить силовые линии электростатического поля. Изменение геометрии области, граничных условий, типа уравнения и его коэффициентов может быть выполнено, даже если решение уже найдено. Следует перевести среду pdetool в соответствующий режим и произвести требуемые действия. Сохранение работы производится в М-файле из пункта Save меню File. М-файл содержит функции ToolBox PDE, которые вызываются в среде pdetool в соответствии с последовательностью действий пользователя. Данный Мфайл содержит не только геометрию области, тип и коэффициенты уравнения и граничных условий, но и текущие установки среды, что позволяет впоследствии продолжить решение задачи. Изменив условия отображения решения задачи на показ абсолютных значений E в расчетной области, мы можем определить величину E в узлах сетки триангуляции. Суммарный заряд системы можно определить по теореме Гаусса для однородной и изотропной среды. qсвоб EdS (4) 0 r 19 По суммарному заряду системы и значениям потенциалов на граничных поверхностях электродов можно определить емкость системы. Заключение Мы живем в век высоких технологий и не менее высоких скоростей. Где смена событий происходит на столько быстро, что у нас практически не остается времени для принятия верного решения. А сделать его все-таки нужно. Ведь от того, на сколько правильно мы его сделаем, будет зависеть многое. И скорость выполнения работы, и ёё качество. И, несомненно, затраченная энергия. Целью данной работы являлось, расчет электростатического поля неканонической системы электродов. Был принят наиболее рациональным методом расчета. Расчет производился при помощи математического пакета Matlab с программной средой pdetool. Данный метод расчета позволяет достаточно просто и с минимальными затратами времени провести расчет электростатического поля неканонической системы электродов, определить значения характеристик поля, а также получить графическое представление решения. Благодаря которому полностью раскрывается поставленная задача. Программная среда допускает широкое варьирование начальных условий, что позволяет использовать ее для расчета различных электростатических полей. Что является несомненным достоинством. Список использованной литературы 1. Ануфриев И.Е. Самоучитель Matlab 5.3/6.x. -СПб.: БХВ-Петербург, 2003.-736 с. 2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле : учебник / Л. А. Бессонов. – 9-е изд. – М. : Гардарики, 2001. – 317 с. 3. Савельев И.В. Курс общей физики: Учебное пособие. В 3-х тт. Т. 2. Электричество и мгнетизм. Волны. Оптика. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007. – 496 с. 20
