317НА КОНКУРС

УДК 535.417.2
О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ПРИМЕНЕНИЯ ГЛОБУЛЯРНЫХ ФОТОННЫХ
КРИСТАЛЛОВ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
В.С. Горелик, В.В. Филатов
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
АННОТАЦИЯ
Исследованы искусственные опалы с нановключениями оксида европия.
Установлено присутствие резонанса в спектре отражения композита на длине волны
615 нм. Развита теория для описания наблюдаемых особенностей спектров. Рассчитаны
дисперсионные ветви, коэффициенты отражения и групповые скорости фотонов для
исходного и легированного образцов. Установлена конденсация фотонов на
резонансной частоте. Предложено использование опалов с Eu2O3 в резонаторах He–Neлазеров.
ВВЕДЕНИЕ
В наши дни трудно найти такую область науки и техники, где бы не
использовались лазеры. Первый микроволновый генератор – мазер на аммиаке –
появился в 1954 г. В этом устройстве роль обратной связи играл объемный резонатор
размером около 1 см. Для усиления электромагнитного излучения оптического
диапазона необходим резонатор с размерами порядка микрона.
Указанному условию хорошо соответствуют опаловые глобулярные фотонные
кристаллы (ГФК) [1], представляющие собой нанокомпозиты, образованные ГЦКрешеткой глобул (шаров) аморфного кварца SiO2 диаметром от 200 до 800 нм (в
зависимости от образца). Решеточные пустоты – пóры – имеют размер от 50 до 150 нм
соответственно. Аналогично полупроводникам, энергетический спектр фотонных
кристаллов содержит разрешенные и запрещенные зоны (но не для электронов, а для
фотонов). Электромагнитные волны частот, лежащих в запрещенной зоне (стоп-зоне),
не могут проникнуть в кристалл и полностью отражаются от его поверхности. Таким
образом, ГФК со стоп-зоной на длине волны лазерной генерации могут выступать в
качестве селективных зеркал для лазеров.
Изучению глобулярных фотонных кристаллов была посвящена серия работ [2–5].
Как было установлено в ходе исследований, легирование ГФК различными агентами
приводит к перестройке зонной структуры композита. В частности, при заполнении пор
опала веществами с диэлектрической проницаемостью вида ε = a + b / (c – ω)
наблюдается появление дополнительных резонансов в спектрах отражения [6].
В связи с вышеизложенным, целью данной работы является изучение
оптических свойств резонансных фотонных кристаллов на основе искусственных
опалов, легированных оксидом европия (III).
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В качестве математической модели распространения фотонов в глобулярных
фотонных кристаллах используем хорошо зарекомендовавшее себя приближение
реального трехмерного ГФК эффективным распределенным брэгговским отражателем.
При этом в качестве продольного измерения (оси z) выберем направление падающей
волны. Тогда дисперсионное уравнение, определяющее параметры блоховских волн в
кристалле выглядит следующим образом [7]:
n 
1 n
cos ka  cos k1a1  cos k 2 a 2   1  2   sin k1a1  sin k 2 a 2 .
2  n2 n1 
(1)
1
Здесь индексы 1 и 2 относятся к опаловой матрице и заполненным порам
соответственно, a1 и a2 – толщины слоев стопки (a1 + a2 = a), k1 и k2 – величины
волновых векторов в соответствующей среде (ki = ω·ni/c), k – волновое число.
Коэффициент отражения электромагнитного излучения от поверхности брэгговской
стопки равен (см. [7])
R N  rN
2

1  k 2 k1 
   sin k 2 a 2
2  k1 k 2 
2
2
sin ka
1  k 2 k1 
   sin k 2 a 2 
2  k1 k 2 
sin Nka
2
.
(2)
Групповые скорости распространяющихся в ГФК фотонов задаются следующей
формулой:
1
d   dK 
 .
V 

dK  d  
(3)
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
В качестве объекта исследования были выбраны образцы искусственных опалов
с диаметром глобул D = 260 нм. На первом этапе был исследован спектр
незаполненного образца. Затем осуществлялось введение в поры химических реагентов
и катализаторов, обеспечивающих синтез Eu2O3 непосредственно в порах. Полученный
образец также был подвергнут спектральному анализу. Все спектрограммы измерялись
вдоль направления [111] при помощи установки, схема которой приведена на Рис. 1.
Свет от источника опорного излучения 1 (галогенной лампы) по оптоволокну
подавался на входной канал двухжильного световода, заканчивающегося зондом 2,
присоединенным к кювете с образцом 3. Отраженное излучение по другому
оптоволоконному каналу поступало на вход цифрового спектрометра 4, подключенного
к компьютеру 5. Зарегистрированные спектры посредством специального
программного обеспечения переводились в табличную форму и заносились в базу
данных для последующего хранения и обработки.
Рис. 1. Установка для регистрации спектров отражения: 1 – источник излучения,
2 – световод, 3 – кювета с образцом, 4 – спектрометр, 5 – компьютер
2
Полученные спектры отражения представлены на Рис. 2. На этом рисунке
цифрой 1 обозначена полоса отражения, обусловленная первой (низкочастотной)
запрещенной зоной. Цифрой 2 отмечен спектр фотонного кристалла с оксидом европия.
На длине волны около 615 нм виден пик, обусловленный резонансом диэлектрической
проницаемости Eu2O3.
Рис. 2. Спектры отражения от поверхности (111) исходного опала (1) и кристалла с
Eu2O3 (2). Диаметром глобул кварца D = 260 нм
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Как можно видеть из Рис. 2, при введении наночастиц Eu2O3 в поры
искусственного опала происходит существенное изменение спектра отражения
кристалла: происходит расширение запрещенных зон и появляется резонанс.
Применим предложенную теорию для описания спектров исследуемых
кристаллов. При исследовании распространения электромагнитного излучения вдоль
направления [111] (см. Рис. 2) необходимо положить значение эффективного периода
равным a = D 2 3 (ГЦК-решетка). Пусть удельная (объемная) доля пор в кристалле
равна η. Тогда периоды подрешеток 1 и 2 будут равны a1 = ηa, a2 = (1-η)a.
Следовательно, спектр отражения (2) фотонов от поверхности (111) ГФК определяется
следующим соотношением:
R N   
1  n 2 n1     n 2

  sin
D
2  n1 n 2   c
1  n 2 n1     n 2

  sin
D
2  n1 n 2   c
2
2

3

2
sin KD

2

3
sin NKD

2
2
,
(4)
3
2
3
где согласно (1):
3

   n1  
   n2  
2
2
Arc coscos 
 1    D   cos 
 D  
3
3
D 23

 c0
 c0
   n1  
   n2  
1  n   n2   
2
2  
 sin 
  1

 1    D   sin 
 D   .
2  n2   n1   
3
3  
 c0
 c0
K   
1
(5)
Здесь n1 и n2 – показатели преломления опаловой матрицы и заполненных пор.
Как известно [8], показатель преломления аморфного кварца, образующего матрицу
композита, задается формулой Коши вида (здесь и далее λ в микрометрах):
n1    1 
0,6961663 2
0,4079426 2
0,8974794 2


.
2  0,06840432 2  0,1162414 2 2  9,8961612
(6)
В порах исходного опала изначально находился воздух, поэтому показатель
преломления n2 = 1. В случае же кристалла, заполненного оксидом европия,
соотношение Коши записывается в виде
 p2
n2    1  2
.
0   2
(7)
Здесь ω0 = 3·1015 – резонансная частота, соответствующая λ = 615 нм
(характерный резонанс в наблюдаемом спектре), ωp – некий параметр, значение
которого заранее неизвестно. Для нахождения значения ωp необходимо решить
обратную
задачу
(определения
неизвестного
параметра
по
известным
экспериментальным данным). С этой целью была проведена серия расчетов спектров
отражения ГФК с Eu2O3 при различных значениях ωp. Наилучшее согласие с
экспериментом обеспечивает ωp = 0,2·ω0.
На Рис. 3 представлены найденные по (4) дисперсионные кривые для исходного
опала (a) и кристалла с оксидом европия (b). Пунктиром обозначен край первой зоны
Бриллюэна k = π/a. Проведена прямая ω = c·k, соответствующая закону дисперсии
электромагнитных волн в вакууме. На обоих рисунках низкочастотный резонанс
обусловлен дисперсионными свойствами опала. Дополнительный резонанс на Рис. 3b
вблизи нижнего края запрещенной зоны возникает из-за нановключений Eu2O3.
4
(a)
(b)
Рис. 3. Рассчитанные по (5) дисперсионные ветви образцов опалов с диаметром глобул
D = 260 нм: (a) исходный (незаполненный) опал, (b) фотонный кристалл с Eu2O3
5
Определенные по формуле (4) коэффициенты отражения электромагнитного
излучения от поверхности (111) опалов (1) в сопоставлении с данными спектрального
анализа (2) приведены на Рис. 4. Теоретические кривые были получены по формуле (4)
при числе слоев N = 50.
(a)
(b)
Рис. 4. Теоретические спектры отражения (1) в сопоставлении с данными
спектроскопии (2): (a) исходный опал, (b) фотонный кристалл с Eu2O3
6
Результаты расчетов групповых скоростей фотонов в обоих типах образцов
графически представлены на Рис. 5. Отметим замедление скоростей фотонов вблизи
краев запрещенных зон – это так называемые «слоутоны». При этом на резонансной
частоте также происходит аномальное замедление фотонов. Поскольку функция
плотности фотонных состояний обратно пропорциональна скорости g ~ V-1, можно
говорить о конденсации фотонов на резонансной частоте. Тем самым возникает
ситуация аналогичная инверсной заселенности метастабильного уровня при накачке
лазера. Специфическое спектральное положение (615 нм) резонансного уровня и его
малая ширина открывают возможности использования фотонных кристаллов,
легированных оксидом европия, в оптических резонаторах гелий-неоновых лазеров с
рабочей длиной волны 611,8 нм.
(a)
(b)
Рис. 5. Дисперсионные зависимости групповых скоростей фотонов (a) в исходном
опале, (b) в кристалле с Eu2O3. Показан релятивистский предел v = ±c
7
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В 1963 г. Ж. Алферов и Г. Кремер разработали теорию полупроводниковых
гетероструктур, на основе которых были созданы многие лазеры. В настоящее время
активно развиваются поверхностно-излучающие лазеры с вертикальным резонатором
(VCSEL). Прогресс физики фотонных кристаллов уже позволил создавать аналоги
мазеров в микроволновой области спектра [9]. Как показали наши исследования,
глобулярные фотонные кристаллы на основе искусственных опалов, легированных
оксидом европия, предоставляют возможности применения в оптических резонаторах
гелий-неоновых лазеров. Поскольку коэффициент отражения от поверхности ГФК с
Eu2O3 близок к единице, потери на отражение будут минимальны, что существенно
повысит КПД такого лазера.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Горелик В.С. Оптика глобулярных фотонных кристаллов // Квантовая электроника.
2007. Т. 37. № 5. С. 409–432.
[2] Горелик В.С., Ионин А.А., Кудряшов С.И., Макаров С.В., Селезнев Л.В., Синицын
Д.В., Чаниева Р.А., Шарипов А.Р. Нанокомпозиты на основе глобулярных фотонных
кристаллов, получаемые методом лазерной абляции с использованием фемтосекундных
лазерных импульсов // Краткие сообщения по физике. 2011. Т. 38, № 11. С. 20-29.
[3] Вощинский Ю.А., Горелик В.С. Управление спектральным положением стоп-зоны в
глобулярном фотонном кристалле на основе искусственного опала // Неорганические
материалы. 2012. Т. 48, № 2. С. 194-199.
[4] Voinov Yu.P., Gorelik V.S., Zvorykin V.D., Lebo I.G., Levchenko A.O.and Ustinovskii
N.N. Laser implantation of KTiPO4 ferroelectric nanoparticles into pores of synthetic opal
placed into water // Journal of Russian Laser Research. 2012. Vol. 33(1). P. 10-13.
[5] Горелик В.С., Филатов В.В. Дисперсионные характеристики глобулярных фотонных
кристаллов с порами, заполненными золотом и водой // Неорганические материалы.
2012. Т. 48, № 4, С. 429-436.
[6] Ивченко Е.Л., Поддубный А.Н. Резонансные трехмерные фотонные кристаллы //
Физика твердого тела. 2006. Т. 48, № 3. С. 540-547.
[7] Yariv A., Yeh P. Optical waves in crystals: propagation and control of laser radiation.
Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons, 2003. 604 p.
[8] Malitson I.H. Interspecimen Comparison of the Refractive Index of Fused Silica // J. Opt.
Soc. Am. 1965. Vol. 55. P. 1205-1208.
[9] Klaers J., Schmitt J., Vewinger F., Weitz M. Bose–Einstein condensation of photons in an
optical microcavity // Nature. 2010. Vol. 468(7323), P. 545-548.
8