определение функций параметрической чувствительности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОНСТРУКЦИЙ БОРТОВОЙ РЭА
Рощин К.В.
г. Краснодар, Россия
Для определения путей наиболее рационального изменения конструкций блоков
кассетного типа (БКТ) и блоков этажерочного типа (БЭТ) бортовой радиоэлектронной
аппаратуры (РЭА) с целью обеспечения механических характеристик радиоэлементов
(РЭ) удобно использовать аппарат теории чувствительности [1]. Применение аппарата
теории чувствительности в процессе автоматизированного проектирования РЭА позволяет
разработчику определять пути наиболее рационального изменения конструкций
аппаратуры на основе математических методов, а не на основе интуиции и рекомендаций,
разрабатываемых для отдельных элементов конструкций РЭА и носящих общий характер.
Под функцией параметрической чувствительности (ФПЧ) макромодели
механических процессов (ММП) РЭА будем понимать частную производную переменной
макромодели y ( y  i ) в интересующих узлах (например, в i-ом) по интересующей
переменной x j (параметр модели или возмущающий фактор):
Axyji 
S xyji  Axyji
yi
– абсолютная ФПЧ;
x j
xj
– относительная ФПЧ.
yi
В дальнейшем будем различать ФПЧ двух типов:
– функции чувствительности реакций ММП РЭА yi по параметрам моделей  kl (k,
l – номера узлов рассматриваемой ветви):
y
Aykli  i ;
 kl
– функции чувствительности реакций ММП РЭА по возмущающим факторам  j :
Ayij 
yi
.
 j
Знак численного значения ФПЧ определяет направление изменения i при
изменении значения  kl или  j в сторону увеличения.
Наиболее эффективными методами исследования ФПЧ механических
характеристик конструкций РЭА, ММП которых представлены в топологическом виде,
являются методы преобразованной и сопряженной моделей [1]. Метод сопряженной
модели позволяет находить частные производные реакции модели одновременно по
параметрам всех компонентов модели, а метод преобразованной модели – одновременно
частные производные всех реакций модели по параметрам одного компонента (ветви или
источника возмущений) модели. В [1] приведены принципы преобразования исходной
модели для получения сопряженной и преобразованной моделей.
Основываясь на свойствах топологических макромоделей конструкций БКТ и БЭТ
бортовой РЭА, заключающихся в том, что, во-первых, количество ветвей в ММП, как
правило, почти на порядок превышает количество узлов, а во-вторых, количество
источников воздействия ( j ), как правило, в несколько раз меньше количества узлов
ММП, целесообразно применять метод сопряженной модели для расчета Aykli и метод
преобразованной модели для расчета Ayij .
Для получения преобразованной модели с целью вычисления ФПЧ
Ayij
необходимо [1]:
1) отключить в исходной модели (ММП РЭА) все источники возмущающих
воздействий ( j  0, j  1, n , где n – число узлов в ММП);
2) подключить единичный источник  j  1 (обычно  j =1 g) в интересующий,
например, j-й узел макромодели.
На основании выполненных преобразований расчетные соотношения для
вычисления ФПЧ будут иметь вид [1]:
– для Ayij , i  1, n
yi
 yˆ ,
 j
где символ "^" обозначает реакцию преобразованной модели;
– для Syij , i  1, n
Ayij 
Syij 
j
yi  j
 yˆ
.
 j yi
yi
Получение сопряженной модели для расчета ФПЧ вида Aykli заключается [1]:
1) в отключении в исходной модели всех возмущающих источников  j , j  1, n ;
2) в подключении единичного источника  j в интересующий, например, i-й узел
макромодели. При этом расчетные соотношения для вычисления ФПЧ будут иметь вид
[1]:
– для Aykli ; k  1, n , l  1, n
yi
   yl  yk   yl*  yk*  ,
 kl
где символ "*" обозначает реакцию сопряженной модели;
– для S ykli ; k  1, n , l  1, n
Aykli 
yi  kl

   yl  yk   yl*  yk*  kl .
 kl yi
yi
Ввиду того, что в нашем случае интерес представляет ФПЧ реакции ММП i по
геометрическим и физико-механическим параметрам (ГФМП) конструкций РЭА,
определяющим  kl , для которых известны аналитические зависимости
S ykli 
 kl  f  p1kl , p2kl ,..., pzkl ,..., prkl  , z  1, r ,
где p zkl – геометрические и физико-механические параметры,
необходимо перейти к ФПЧ по ГФМП РЭА.
Данный переход осуществляется следующим образом:
 kl
Ap kli  Akli
,
(1)
z
pzkl
 kl
где
– частные производные, которые определяются непосредственным
pzkl
дифференцированием аналитических выражений для вычисления параметра ветви
топологической модели.
Для относительных ФПЧ
S pkli  Apkli
z
z
pzkl
i
.
(2)
Поскольку, в конечном итоге, нас интересует ФПЧ ускорений участков
конструкций РЭА к изменению ГФМП конструкции, то необходимо в выражениях (1) и
(2) реакцию макромодели  i вычислять для соответствующих участков.
На основании этого, а также, учитывая структуру и свойства ММП конструкций
РЭА, представленных в работе автора, ФПЧ ускорений участков конструкции  ó÷ к
изменению первичного параметра pz будут иметь вид:

 
Apz    Alm l  ,
pz 
l 1 
p


S pzó÷  Apzó÷ z ,
 ó÷
L
(3)
(4)
 ó÷
где L – количество ветвей в топологической ММП РЭА; m – узел из группы узлов
топологической ММП РЭА, моделирующих рассматриваемый участок конструкции и
имеющий максимальное ускорение из всей группы узлов.
Таким образом, выражения (3) и (4) являются расчетными для получения ФПЧ
ускорений участков конструкций РЭА к изменению параметров конструкции. На
основании полученных согласно (4) ФПЧ можно целенаправленно выбрать необходимый
конструктивный параметр (или их множество) для последующего варьирования с целью
обеспечения механических характеристик БКТ и БЭТ бортовой РЭА.
Для исследования ФПЧ механических характеристик печатного узла (ПУ), для
которых автором получены аналитические макромодели, может быть использован метод
аналитического дифференцирования [1]. В работе автора приведены аналитические
макромодели
ПУ. Путем дифференцирования полученных
выражений
по
соответствующим ГФМП или воздействующему фактору можно вручную получить
формулы для абсолютных ФПЧ, а затем и для относительных ФПЧ. Такой подход
значительно снижает время расчета ФПЧ на ЭВМ. Это является одним из преимуществ
разработанных автором аналитических макромоделей ПУ.
Для примера ниже приведены формулы для расчета абсолютных ФПЧ
виброускорений участков ПУ  0 к изменению ускорения опор ПУ  0 A , толщины печатной
платы h , модуля упругости материала печатной платы E , коэффициента механических
потерь  if :
A00A




2
 


Kif Wif  x, y 
24ks DEif Kif Wif  x, y 1/  h 
1


 
 1  0 A  
;
2
2
i , f 1  /   1  j   1  4 i , f 1  
2
24
k
D

2
s
0
A

if
if
 /   1  j if   1  0 
Eif 


2 2
  if


h

if


2
2

Kif Wif  x, y  1  j if  if kif Eh  3m0   h 
Ah0  0 A 
 1;
2
2
2
2
2
i , f 1


D
12 if /   1  j if   1  1   
m
m0 0



AE  0 A 
0
i , f 1
Kif Wif  x, y  1  j if  if kif2 h3
2
12 if /   1  j if   1  2 1   2  D m0
m0


2
;

Aif0  0 A 
i , f 1
где
jKif Wif  x, y  if /  
2
 /  2 1  j   1
if

 if
Wif  x, y  – собственные формы колебаний;
2
,
 – текущая круговая частота
колебаний; i – номер собственной формы по координате x ; f – номер собственной
формы по координате y ;
Kif 
 W  x, y  dS
S 
if
 W  x, y  dS
S 
2
if
– коэффициент, являющийся постоянным для любой точки ПУ
с заданным вариантом крепления ПУ для if -й формы колебаний ( K if – это параметр
модели);
D – цилиндрическая жесткость ПУ. Эквивалентное значение D зависит от
n
способа крепления РЭ на плате и может быть определено по формуле D   Di Si / ab , где
i 1
Di – эквивалентная жесткость i-го участка ПУ площадью Si , заполненного РЭ с
одинаковой жесткостью, a – длина ПУ, b – ширина ПУ.
 – эквивалентное значение коэффициента Пуассона;
m0 – масса ПУ, приходящаяся на единицу площади S в точке с координатами
x, y .
Литература
1. Ю.Н. Кофанов. Теоретические основы конструирования, технологии
радиоэлектронных средств: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1991 – 360 с.
и
надежности