Выпол. расчетно-графич.работ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА «ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ»
Выполнение расчетно-графических работ
Часть I
Методические указания
по дисциплине «Теоретические основы электротехники»
Волгоград
2010
УДК 621.3(07)
В 92
ВЫПОЛНЕНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ: методические указания
по дисциплине «Теоретические основы электротехники». Часть I / Сост.
А. Г. Сошинов, Н. Г. Юдин; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2010.
– 46 с.
Излагаются краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения расчётно-графических работ. Приводятся примеры выполнения
расчётов и построения графиков к четырём заданиям.
Предназначены для студентов заочного отделения, обучающихся по
направлению подготовки бакалавров «Технология машиностроения» и
специальности 120100 (код ОКСО 151001.65).
Ил. 59.
Табл. 7.
Библиогр.: 10 названий
Рецензент: А. А. Шеин
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2010
Общие методические указания
Основным видом учебной работы студентов - заочников по дисциплинам: «Теоретические основы электротехники. ТОЭ - 1 и ТОЭ - 2»,
«Электроника - 1 и Электроника - 2» является самостоятельная работа с
учебной литературой. Эта работа начинается с изучения теории по учебнику. После изучения теории по данной теме следует разобрать решения
задач, приведённые в рекомендованных учебниках, задачниках и несколько задач решить самостоятельно. Затем следует приступать к выполнению контрольных работ. Настоящие задания содержат все необходимые задачи для выполнения контрольных работ по трём частям курса
студентами неэлектрических специальностей (КТМ, КТМ (з)). Количество контрольных работ и состав задач в них определяется Образовательным стандартом по специальности и направлению и доводится до
студентов преподавателем или через деканат факультета (учебную
часть).
Требования, предъявляемые к оформлению контрольных работ:
1. Каждая работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: фамилия, имя и отчество студента, номер контрольной работы, вариант схемы и числовых значений заданных величин.
2. Текст задачи и решение писать следует на одной стороне листа.
Листы тетради должны быть чётко пронумерованы.
3. Основные положения решения должны иметь пояснения. Решение
иллюстрируется схемами, чертежами, векторными диаграммами и т.д.
4. Графическую часть работы необходимо выполнять аккуратно с
соблюдением ГОСТа на условные графические обозначения. Графики и
диаграммы выполняются с обязательным соблюдением масштаба на
миллиметровой бумаге. Масштаб выбирать так, чтобы на 1 см приходилось 1∙10ⁿ, 2∙10ⁿ или 5∙10ⁿ единиц измерения физической величины, где n
- целое число.
5. Необходимо соблюдать следующий порядок записей при вычислениях, сначала формула, затем подстановка числовых значений величин,
входящих в формулу, без каких - либо преобразований, затем - результат
с указанием единиц измерения.
6. В ходе решения задачи не следует изменять однажды принятые
положительные направления токов и наименования узлов или контуров.
При решении одной и той же задачи различными методами, одной и той
же величины, следует присваивать одно и то же обозначение.
7. Контрольные работы представляются на рецензирование в порядке их номеров. Разрешается одновременно представлять несколько контрольных работ. Незачтённая контрольная работа исправляется в соответствии с замечаниями и представляется на повторную рецензию.
3
8. Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, а
также оформленные неаккуратно и написанные неразборчиво, не рецензируются.
Литература.
Основная литература
1.
В.А. Кузовкин Теоретическая электроника: Учебник.-М: Университетская книга,
Логос, 2005. 480 с.:ил.
2. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1-4, 4-е
изд./К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин.-СПб.:Питер,2004.-463с.:ил.
3. А.С. Касаткин, М.В. Немцов. Электротехника. М, «Высшая школа». 2002 г.
4.
Г.Г. Рекус. Основы электротехники и электроники в задачах с решениями. М;
«Высшая школа», 2005 г.
5. Г.Г. Рекус, А.И. Белоусов. Сборник задач и упражнений по электротехнике и основам электроники, - М; «Высшая школа», 2002 г.
Дополнительная литература.
1. Н.П. Вишняков и др. Сборник задач по теоретическим основам электротехники.
ЛВВИСКУ. Л., 1989.
2. А.Г. Сошинов. Расчетно-графическое задание по дисциплине «Теоретические основы Электротехнике»:Учебное пособие/ Волгоград, гос. техн. ун-т; Волгоград, 2001.-40с.
3. А.Г. Сошинов, А.В. Исаев. Методы расчета линейных электрических цепей в установившихся режимах. (Рабочая тетрадь), учебное пособие. Волгоград, 2009г.
4. В.М. Прошин. Лабораторно-практические работы по электротехнике. ACADEMA.
М., Издательский Центр «Академия», 2007.
5. Л.А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. М; «Высшая школа», 1981 г.
4
РАЗДЕЛ I
Линейные электрические цепи постоянного тока.
1. Электрические цепи постоянного тока.
Рис.1.1 Неразветвлённая электрическая цепь.
Источник электрической энергии:
Напряжение:
Рис.1.2 Участок электрической цепи.
 a  b  I  R ;
U ab   a   b
U ab  I  R
;
.
Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС:
I
U ab  a   b

R
R .
Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС:
U  E  a   c   E
I  ac

R
R
Знак « + » ставится, если E и U совпадают по направлению, « – » если не совпадают.
Первый закон Кирхгофа:
k 4
I1
I2
 I
k 1
k
 0;
I1  I 2  I 3  I 4
I4
I3
Рис.1.3 Узел электрической цепи.
5
;
I1  I 2  I 3  I 4  0
Со знаком « + » записываются токи, направленные к узлу, со знаком
« – » от узла
Второй закон Кирхгофа:
m
 I
k 1
n
k
 Rk   Ek ;
k 1
m
U
k 1
k
0
.
Знак « + » берётся, если направление тока через резистор (или ЭДС)
совпадает с выбранным направлением обхода контура.
Уравнения энергетического баланса:
2
 I k Rk    Ek  I k ;
или
I
2
k
 Rk    Ek  I k   U ab  J
Преобразование цепей путем замены нескольких сопротивлений
одним эквивалентным.
Рис.1.4 Треугольник сопротивлений.
Рис.1.5 Звезда сопротивлений.
При преобразовании треугольника (рис. 1.4) в звезду (рис. 1.5) при заданных сопротивлениях сторон треугольника R12, R23, R31 определяются эквивалентные сопротивления лучей звезды R1, R2, R3 следующим образом:
R12  R23
R12  R31
R2 
R1 
;
R12  R31  R23 ;
R12  R31  R23
R23  R31
R3 
R12  R31  R23 .
При преобразовании звезды в эквивалентный треугольник по заданным R1, R2, R3 эквивалентные сопротивления сторон треугольника
R12 , R23, R31 определяются следующим образом:
R12  R1  R2  R1  R2 R3 ;
R23  R2  R3  R2  R3 R1 ;
R31  R3  R1  R3  R1 R2
.
6
Расчет цепей с использованием законов Кирхгофа:
1) Число всех ветвей – b;
2) Число ветвей, содержащих источники тока – bИТ
3) Число узлов – y;
4) Число неизвестных токов – b-bИТ.
y-1 – число уравнений, составляемых по первому закону
Кирхгофа;
b – bИТ - (y-1) = b – bИТ - y+1 – число уравнений, составляемых
по второму закону Кирхгофа.
Метод контурных токов:
Рис.1.6 Расчётная схема.
1. Составляются уравнения по второму закону Кирхгофа для первого
контура:
( R1  R2 )  I11  R5  ( I11  I 22 )  E1  E5
или
( R1  R2  R5 )  I11  ( R5 )  I 22  E1  E5
.
2. Составляются уравнения по второму закону Кирхгофа для второго
контура:
 R5  ( I11  I 22 )  ( R3  R4 )  I 22   E5  E4
или
( R5 )  I11  ( R3  R4  R5 )  I 22   E5  E4
.
Если в схеме больше контуров, например три, то система уравнений
выглядит следующим образом:
R11  I11  R12  I 22  R13  I 33  E11,

R21  I11  R22  I 22  R23  I 33  E22 ,
R  I  R  I  R  I  E .
32
22
33
33
33
 31 11
Общее решение системы k уравнений относительно тока Ikk таково:




I kk  E11  k1  E22  k 2  E33  k 3  ...  Enn  kn



 ,
7
где –
R11
R21
  R31
...
Rn1
R12
R22
R32
...
Rn 2
R13
R23
R33
...
Rn3
...
...
...
...
...
R1n
R2 n
R3n
...
Rnn
определитель системы.
Алгебраическое дополнение ∆km получено из определителя ∆ путем
вычеркивания k–го столбца и m–й строки и умножения полученного
определителя на (-1)k+m.
Примеры решения задач:
Пример 1.
Определить токи в ветвях по методу контурных токов, если R1=6Oм,
R2=10Ом, Е1=10В, Е2=30В, Е3=20В
Рис. 1 . 7
Дано:
R1=6 Oм
R2=10 Ом
R3=10 Ом
Е1=10 В
Е2=30 В
Е3=20 В
Найти:
І1-?
І2-?
І3-?
Решение:
1) произвольно выбираем независимые контуры электрической цепи (рис 1.7) в схеме три контура, из которых
два независимые:Е1, R1, Е2,R2, Е1- первый и R2, Е2, R3, Е3,
R2- второй
2) произвольно выбираем положительные направления
контурных токов и обозначим их І11, І22 (рис. 1.8).
Рис. 1. 8
8
3) составим систему уравнений по второму правилу Кирхгофа по методу контурных токов
I11R11  I 22 R12  E11,

I11R21  I 22 R22  E22 .
R11  R1  R2  6  10  16Ом
R22  R2  R3  10  10  20Ом
R12  R22  10Ом (это сопротивление берётся со знаком “ – ”,
т.к. контурные токи в смежной ветви направлены встречно.)
E11  E1  E2  10  30  20В
E22  E2  E3  30  20  50 В
Подставим числовые значения известных величин в систему двух
уравнений.
16 I11  10I 22  20,

 10I11  20I 22  50.
Умножим первое уравнение на 2, получим:
32I11  20 I 22  40,

 10I11  20 I 22  50.
Сложим правые и левые части уравнений, получим:
22I11  0  10
I11 
Значение
мер первое:
10
 0.45 A
22
I11 подставим в любое одно из уравнений системы, напри16  0.45  10I 22  20
 10I 22  20  7.2  27.2
I 22  2.72 A
Контурные токи равны: I11  0.45 A , I 22  2.72 A
4) Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях цепи (рис. 1.9).
Методом наложения контурных токов рассчитываем частичные токи
в ветвях.
Ток первой ветви I 1 равен контурному току I11 , т.е.
I1  I11  0.45 A
Ток третьей ветви
I 3 равен контурному току I 22 ;
I 3  I 22  2.72 A
9
Ток в смежной ветви
I 2 равен алгебраической сумме контурных
токов:
I 2  I 22  I11  2.72  0.45  2.27 A
Получим: I1  0.45 A , I 2  2.72 A , I 3  2.72 A .
Рис. 1 . 9
Пример 2.
Расчётно-графическая часть линейной цепи постоянного тока с несколькими источниками электрической энергии.
Для электрической цепи, изображённой на рис. 1.10, выполнить следующее:
1. Составить систему уравнений для определения токов в ветвях с
помощью законов Кирхгофа. Решать эту систему уравнений не следует.
2. Определить токи во всех ветвях методом контурных токов.
3. Составить баланс мощностей для заданной схемы.
4. Построить в масштабе потенциальную диаграмму для контура,
включающего обе ЭДС.
Рис. 1.10
10
Значения сопротивлений и ЭДС приведены в таб. 1.1.
Таблица 1.1.
Вариант
0
E1,
В
115
E2,
В
115
r01,
Ом
2,0
r02,
Ом
0,2
R1,
Ом
3
R2,
Ом
8
R3,
Ом
2
R 4,
Ом
1
R5,
Ом
3
R6,
Ом
8
1. Для составления системы уравнений по законам Кирхгофа
необходимо определить количество ветвей в цепи, т.к. число уравнений в
системе должно быть равно числу неизвестных токов в ветвях.
Данная схема содержит 6 ветвей. Следовательно, система должна
иметь 6 уравнений. Составим систему из трёх уравнений по первому закону Кирхгофа и из трёх уравнений по второму закону Кирхгофа. Для
этого выделяем три контура (І,ІІ,ІІІ), обозначим узлы (a,b,c,d), задаёмся
произвольными направлениями тока в ветвях І1, І2, І3, І4, І5, І6.
Исходя, их формулировок законов Кирхгофа составим систему из
шести уравнений.
 E1  I1  ( R1  r01 )  I 3  R3  I 4  R4 ; (2 - й закон Кирхгофа для контура I )

 E2  E1  I 2  ( R2  r02 )  I1  ( R1  r01 )  I 5  R5 ; (2 - й закон Кирхгофа
для контура II)

0   I 5  R5  I 4  R4  I 6  R6 ; (2 - й закон Кирхгофа для контура III)
 I  I  I  0; (1 - й закон Кирхгофа для узла а )
1 2 3
 I 4  I1  I 5  0; (1 - й закон Кирхгофа для узла b)

 I 5  I 2  I 6  0; (1 - й закон Кирхгофа для узла c)
2. Метод контурных токов. Этот метод наиболее часто применяют в
практике расчётов сложных цепей, т.к. он позволяет находить неизвестные величины при числе уравнений меньше, чем число неизвестных величин. Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
определяется по формуле N=b–y+1, где b – число ветвей, y – число узлов.
Для заданной схемы b=6, y=4, откуда N=6-4+1=3, т.е. необходимо составить 3 контурных уравнения. Описания метода контурных токов имеется в учебной литературе. Ниже даётся система контурных уравнений
для конкретной схемы примера.
E1  I11  ( R1  r01  R3  R4 )  I 22  ( R2  r02 )  I 33  R4
E2  E1  I 22  ( R2  r02  R1  r01  R3 )  I11  ( R1  r01 )  I 33  R5
0  I 33  ( R4  R5  R6 )  I11  R4  I 33  R5
Подставим числовые значения
8


115  I11  
  I 22  5  I 33  1
 3  2  2 1
11
115  115  I 22  (8  0.2  3  2  3)  I11  5  I 33  3
0  I 33  (1  3  8)  I11  1  I 22  3
Перегруппируем переменные в порядке возрастания индексов контурных токов, поменяем местами правые и левые части уравнений.
Получим:
8  I11  5  I 22  I  20

 5  I11  16.2  I 22  3  I 33  0
 I  3  I  12  I  0
22
33
 11
Решение такой системы возможно с помощью определителей 3-го
порядка:
115
0
5
1
8
16.2  3
5
0
 3 12 21321
I11 

 18.752 A
8
 5 1
1137
 5 16.2  3
1
3
12
8
5
115
 5 16.2
I 22 
115  1
0
3
 1 0 12
7245

 6.372 A
8
 5  1 1137
 5 16.2  3
1
3
12
0
1  3
0
3588
I 33 

 3.156 A
8
 5  1 1137
 5 16.2  3
1
3
12
Определим токи в ветвях. Токи в ветвях 3, 2, 6 равны соответственно
контурным токам І11, І22, І33
І3= І11=15.752A; І2= І22=6.372 A; І6= І33=3.156A;
При этом направления токов І3 и І2 совпали с направлением контурных токов І11, І22 а произвольно выбранное ранее направление тока І6 меняем на противоположное. Точки в ветвях 1, 4, 5 определяем как результирующие от токов контурных:
I1  I11  I 22  18.752  6.372  12.38 A
I 4  I11  I 33  18.752  3.156  15.596 A
I 5  I 22  I 33  6.372  3.156  3.216 A
Направления этих токов берём по направлению большего контурного тока.
Для проверки правильности решения составим уравнения по
второму закону Кирхгофа для любого контура (например, для контура ІІ)
12
E2  E1  I 2  ( R2  r02 )  I1  ( R1  r01 )  I 5  R5
115  115  6.372  (8.2)  12.38  (5)  3.216  3
0  0.0016
Посчитав отдельно левую и правую часть, видим что уравнение выполняется.
Проверка по первому закону Кирхгофа (для узла а)
I1  I 2  I 3  12.38  6.372  18.752  0
Эта проверка также выполняется.
3. Баланс мощностей. Прежде чем составлять баланс мощностей
необходимо оценить режим работы активных элементов. В рассматриваемом примере два активных элемента – это источники ЭДС Е1 и Е2. Для
оценки режима работы активного элемента необходимо обратить внимание на направление тока, протекающего через элемент. Если направление
тока, протекающего через активный элемент, совпадает с направлением
ЭДС, то элемент работает как источник и в балансе мощностей находится в левой части уравнения баланса. Если направление тока не совпадает
с направлением ЭДС, то такой источник работает как приёмник электрической энергии и в балансе относится к потребителю. В данном примере
источниками являются оба элемента Е1 и Е2. После оценки режима работы активных элементов составляем баланс мощностей.
E 2  I 2  E1  I 1  I 1  ( R1  r01 )  I 2  ( R2  r02 )  I 3  R3  I 4  R4  I 5  R5  I 6  R6
2
2
2
2
2
2
115  6.372  115 12.38  12.38 2  5  6.372 2  8.2  18.752 2  2  15.592 2 1  3.216 2  3  3.156 2  8
2156.48  766.322  332.94  703.28  243.24  31.028  79.68
2156.48Вт  2156,49Вт
Оценим погрешность выполнения баланса мощностей:

P Р
Р
ист
ист
пр
 100% 
2156,48  2156.49
2156.48
 100%  0.00046%  2%
Баланс мощностей выполняется.
4. Построение потенциальной диаграммы для контура, включающего обе ЭДС. Таким контуром является контур аbса. Обозначим промежуточные точки этого контура точками f и е. Полное обозначение контура станет аfbсеа. Примем потенциал точки а равным нулю  a  0 , что
соответствует заземлению этой точки, и будем обходить этот контур из
точки а по направлению обхода II, контролируя потенциал в каждой точке:  a  0
 f   a  I1  R1  0  12.38  3  37.14 В(знак " минус" отражает направление тока I1 )
 b   f  E1  I1  r01  37.14  115  12.38  2  176.9 В( знак "плюс" отражает
направление E1 , I1 )
13
 c  b  I 5  R5  176.9  3.216  3  167.252В(знак " плюс" отражает направление I 5 )
е  с  E2  I 2  r02  167.252  115  6.372  0.2  50.978В
 a  e  I 2  R2  50.978  6.372  8  0.002В
Потенциальная диаграмма строится в осях  (R) (рис. 1.11). Длина
оси R определяется из суммы всех сопротивлений контура аfbсеа и составляет R1  r01  R5  r02  R2  3  2  3  0.2  8  16.2 Ом
Длина оси  определяется максимальным значением потенциалов в
положительной и отрицательной областях (в нашем примере
 max   b  176.9 В).
M   20
MR 
В
см
2Ом
см
Рис. 1.11 Потенциальная диаграмма к примеру №2
14
Задания
ЗАДАНИЕ 1. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Исходные данные. Значения ЭДС источников и сопротивления приёмников, приведены в табл. 1.2
Определить:
1.
Составить систему уравнений, необходимых для определения
токов по первому и второму законам Кирхгофа;
2.
Методом контурных токов определить токи в ветвях сложной
электрической цепи (рис.1.12);
3. Составить баланс мощностей для контура цепи содержащего две
ЭДС.
4. Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура цепи.
Рис.1.12 Схема сложной электрической цепи.
Таблица 1.2
№
варианта
Е 1,
В
Е 2,
В
Е3,
В
Е4,
В
Е5,
В
Е6,
В
R1,
Ом
R2,
Ом
R3,
Ом
R 4,
Ом
R 5,
Ом
R6,
Ом
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
100
200
100
50
-
200
100
200
30
100
100
200
100
20
200
100
100
50
200
-
100
200
20
100
100
50
25
200
-
2
2
10
4
6
2
6
4
4
4
20
4
8
4
6
6
8
10
20
4
10
10
4
8
10
2
10
6
10
2
4
10
8
8
5
2
8
2
12
4
8
5
10
50
8
2
15
Продолжение табл. 1.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
100
100
100
200
100
50
50
50
100
100
200
100
50
50
100
50
100
200
-
100
100
200
200
200
200
100
200
25
30
50
100
200
100
100
50
200
200
200
100
200
-
200
200
100
200
20
100
50
50
200
100
100
100
200
25
50
100
200
200
100
100
200
50
50
200
200
100
100
100
200
100
100
40
100
100
100
200
200
100
100
200
100
200
100
200
100
200
200
100
150
100
50
200
50
25
200
100
100
50
200
50
100
100
200
100
-
100
200
50
200
100
40
200
25
100
50
50
100
200
200
50
200
100
5
5
4
20
10
2
10
2
2
10
10
10
2
6
4
4
2
2
8
8
10
4
2
10
4
6
2
6
5
5
4
20
10
2
10
2
10
10
4
10
20
2
20
4
2
2
8
6
8
4
8
8
4
4
4
6
4
8
8
4
4
20
4
8
4
6
10
10
4
10
20
2
20
4
20
20
2
5
20
4
10
6
2
4
6
8
6
4
40
4
2
6
10
4
2
6
6
8
10
20
4
10
10
4
20
20
2
5
20
4
10
6
25
40
2
10
10
4
20
6
6
4
4
10
4
6
10
10
2
8
2
2
4
10
10
2
10
6
10
2
4
25
40
2
10
10
4
20
6
20
20
4
20
5
6
5
4
6
6
2
30
2
8
10
4
10
8
2
4
10
8
8
5
2
8
2
20
20
4
20
5
6
5
4
5
10
6
5
5
6
5
2
8
8
2
6
2
10
50
8
6
12
8
4
8
2
6
4
8
5
10
50
8
2
5
10
6
5
5
6
5
2
16
РАЗДЕЛ II
Электрические цепи однофазного синусоидального тока.
Теоретические положения
1. Мгновенный ток - i
2.Зависимость мгновенного тока от времени - it = f(t)
3. Период - T; i = f(t) = f(t + T);
4. Частота - f = I / T; (Гц) или (1 / c)
2
ƒ(t)= Аm  sin(
t   )  Аm  sin( t   )
T
u  U m  sin( t   u )
i Im sin t   i




Em sin t   e
5. Амплитуда - E  U  I
m m m
6. Угловая частота 2

2 f
T
7. Фаза – (t   )
8. Начальная фаза –  i, e , u
9. Действующее значение тока I:
e
T
T
1 
2
 i dt
T 0
I
1 
2
 Im sin t   i dt
T 
0


Im
2
0.707Im
10.Коэффициент амплитуды
Ka
Im
I
2
11.Коэффициент формы
I
I


K 
 m 

 1.11
I ср
2 2I m 2  2
1.
Элементы электрической цепи синусоидального тока:
Индуктивный элемент –
 

 u ( )  d ,
измеряется в Вб .

2.
Индуктивность –
L
ψ
, измеряется в Гн.
i
17
3.
Емкостной элемент –
4.
Емкость –

q   i ( ) dτ, измеряется в Кл.

С
q
, измеряется в Ф.
uc
Комплексные числа.
Для расчета электрических цепей переменного тока с применением
комплексных чисел необходимо знать способы выражения комплексных
чисел. Комплексное число состоит из двух слагаемых:
A  a  jb;
Первое слагаемое a – действительное число, а второе jb – мнимое.
Мнимое число есть произведение действительного числа b и мнимой
единицы j=  1 . Выражение ( A  a  jb ) является алгебраической
формой комплексного числа.
Длина отрезка А в определенном масштабе выражает абсолютное
значение, или модуль комплексного числа:
A  a 2  b2
Угол α является его аргументом:
  arctg b a .
Тригонометрическое выражение комплексного числа следующее:
a  A cos  ; b  A sin 
A  a  jb  A cos   jAsin   A(cos   sin  )
В математике доказывается, что в соответствии с формулой Эйлера
A(cos   j sin  )  Ae j
На основании этого комплексное число можно выразить в показательной
форме:
A  a  jb  A(cos   j sin  )  Ae j ,
где e – основание натуральных логарифмов.
Сложение (вычитание) комплексных чисел.
Заданы два комплексных числа A и B . Для сложения (вычитания)
достаточно сложить (вычесть) соответственно действительные и мнимые
их числа.
Заданы два комплексных числа: A  A  jA и B  B  jB
Сумма: A  B  ( A  B)  j ( A  B)
18
Разность: A  B  ( A  B)  j( A  B)
Сумма сопряженных комплексных чисел – действительное число
*
A  A  ( A  jA)  ( A  jA)  ( A  A)  j ( A  A)  2 A
Умножение (деление) комплексных чисел.
Чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) аргументы.
j
Заданы два комплексных числа A  A  e j A и B  B  e B . Произведение этих чисел определяется формулой
A  B  A  B  e j ( A B ) .
Если комплексные числа заданы в алгебраической форме
A  A  jA и B  B  jB , то для выполнения операции умножения
возможен либо переход к показательной форме, либо как умножение
двух многочленов с учётом, что j 2  1 .
A  B  ( A  jA)  ( B  jB)  ( AB  AB)  j ( AB  AB)
Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату
модуля комплексного числа
*
A  A  ( A  jA)  ( A  jA)  (( A) 2  ( A) 2  j ( AA  AA) 
 ( A) 2  ( A) 2  A2
Частное от деления A на B , если числа заданы в показательной
форме, определяется
A A j ( A  B )
 e
B B
Если комплексные числитель и знаменатель заданы в алгебраической форме, то для выполнения операции деления возможен либо переход к показательной форме, либо формирование в знаменателе действительного числа.
A ( A  jA) ( B   jB ) AB   AB 
AB   AB 



 j
2
2






B ( B  jB ) ( B  jB ) ( B )  ( B )
( B ) 2  ( B ) 2
Комплексное входное сопротивление:
U
U
Z ВХ  m   Z
Im
I
Закон Ома для комплексных переменных:
I
U
Z ВХ
Комплексная проводимость:
I
1
1
Y    j  ye j  y  cos( )  jy  sin(  )  g  jb
U Z ze
19
Закон Ома комплексной проводимости:
I  U  Y  U ( g  jb)  U g  jU b  I a  I b
Синусоидальный ток в активном сопротивлении:
U  R  i  R  I m  sin( t   i )  U m  sin( t   u )
Активное сопротивление:
U  RI 
1.
RI m
2
 e j i 
Um
2
 e j i  Ue j i
Индуктивность в цепи синусоидального тока:
ЭДС самоиндукции в комплексной форме
E Lm  L I m  e  j 90   jL I m

2.
3.
Индуктивное сопротивление
X L  L , измеряется в Ом
Индуктивная проводимость
1
bL 
4.
, измеряется в См
Мгновенная мощность
pL
5.
L
Um Im
u i
2
sin  2t 
UI sin  2t 
Активная мощность
T
P
T
1 
 ui dt
T 0
1 
 p dt
T 0
Конденсатор в цепи синусоидального тока:
1. Напряжение на емкости
1 
 i dt
C 

uc
2. Синусоидальное напряжение на конденсаторе
d
d
i
q
(CU C  sin( t   u ))  CU C    cos(t   u ) 
dt
dt
UC

 CU C  sin( t   u  90  ) 
 sin( t   u  )
Xc
2
3. Емкостное сопротивление
m
m
m
m
XC 
4. Емкостная проводимость
bC 
1
, Ом
C
1
 C , См
XC
20
5. Мгновенная мощность
UCm Im
sin  2t Uc I sin  2t
2
6. Последовательное соединение активного сопротивления,
конденсатора и индуктивности в цепи переменного тока:
i Im sin t   i
pc
uc i


uR  uL  uC
uR

u

RIm sin t   i
Ri
  t   
d d
LIm
costt 
LIm
sin
uL uL L  L i i LI
cos

sin
 t   i i 2
i LI
m
i
m
2 
dt dt

Im
Im
1 


uC
 i dt
cos t   i
sin  t   i  

C 
2
C
C




Разность фаз  

  U  i
7. Параллельное соединение активного сопротивления, конденсатора
и индуктивности в цепи переменного тока:
IR  IL  IC  I
U U j u
 e
R R

U
U
IL 

 e j ( u 90 )
jL L
IR 
I C  U  jC  UC  e j( u 90 )

8. Резонансные явления.
0 
1
L0 
;
LC
1
 2C
C0 
;
1
 2L
а) резонанс напряжений:
R  0 L
R  0 L
Добротность контура
Q
1
 C
1 0
0 C
UL
UC
U
U
L
C
I
RI
L
C


б) резонанс токов:
Y  g  jb  ye  j
21

R
.
1  1


 C 
2
R
 L

y  q 2  b 2  q 2  bL  bC  
2
 bL  bC
 g
  arctg 
в) резонансная частота -  0
г) волновая проводимость контура –
д) затухание контура -
d
2




I
Q
9) Активная, реактивная и полная мощности, коэффициент
мощности:
а) активная мощность –
T
T
1
1
 pdt    uidt ; [ Вт ]
T 0
T 0
б) коэффициент мощности – cos(φ)
в) полная мощность - S  UI , ( ВА)
г) реактивная мощность P
Q  UI  sin(  )  ( X L  X C )  I 2 ; ( ВАр ) .
ЗАДАНИЕ 2. РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СО СМЕШАННЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
ЭЛЕМЕНТОВ.
Исходные данные. К источнику переменного тока с напряжением U
подключена электрическая цепь (рисунок 2.0). Значения параметров элементов цепи и тока в одной из ветвей приведены в таблице (2.1).
Определить: Токи в ветвях электрической цепи и ток в неразветвленной части цепи, коэффициент мощности ветвей и всей цепи, активные, реактивные и полные мощности ветвей и всей цепи методом проводимостей. Построить векторную диаграмму. Построить в масштабе на
комплексной плоскости векторную диаграмму токов и потенциальную
диаграмму напряжений по внешнему контору.
Рис.2.0
22
Таблица 2.1
Вар.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Рис.
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.30
E
В
f
Гц
C1
мкФ
C2
мкФ
C3
мкФ
L1
мГн
L2
мГн
L3
мГн
R1
Ом
R2
Ом
R3
Ом
3
150
100
120
200
50
100
120
200
50
150
100
120
200
50
150
100
120
200
50
150
100
120
200
50
150
100
120
200
50
150
4
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
5
637
637
637
100
637
637
100
100
637
318
500
500
318
-
6
300
300
300
159
318
637
300
1600
1600
159
159
159
159
318
318
159
159
7
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
637
-
8
15,9
15,9
15,9
15,9
15,9
31,8
31,8
31,8
31,8
31,8
25
15,9
9,55
19,5
9,55
9,55
9
15,9
9
47,7
15,9
15,9
15,9
31,8
15,9
6,37
6,37
-
10
15,9
15,9
15,9
115
115
6,37
95
95
95
95
31,8
9,55
15,9
95
19,5
95
11
8
8
2
8
8
10
10
10
5
5
5
5
10
10
10
15
6
35
35
40
35
8
10
35
12
3
3
3
3
4
4
4
10
10
10
2
8
8
8
8
10
10
10
20
10
20
10
20
5
13
4
4
4
4
4
100
100
100
100
8
8
8
8
8
10
10
10
10
10
20
20
40
80
40
80
4
10
10
Электрические схемы цепей
Рис. 2.1.
Рис. 2.2.
23
Рис. 2. 3
Рис. 2.8
C3
Рис. 2.4
Рис. 2.9
Рис. 2.5
Рис. 2.10
Рис. 2.6
Рис. 2.11
Рис. 2.7
Рис. 2. 12
24
Рис. 2.13
Рис. 2.18
Рис. 2.14
Рис. 2.19
Рис. 2.15
Рис. 2.20
Рис. 2.16
Рис. 2.21
Рис. 2.17
Рис. 2.22
25
Рис. 2.23
Рис. 2.25
Рис. 2.24
Рис. 2.27
Рис. 2.26
Расчет разветвленной цепи однофазного синусоидального тока
с одним источником электрической энергии.
Для цепи синусоидального переменного тока заданы параметры
включенных в нее элементов и действующее значение напряжения на ее
зажимах; частота питающего напряжения равна f=50 Гц.
Пример 2.1
Для цепи, изображенной на рис. 2.1, известны:
 = 0; f = 50 Гц; L1 = 50  10 3 Гн; L3 = 150  10 3 Гн;
C2 = 150  10 6 Ф
R1 = 15 Ом; R2=30 Ом; R3=45 Ом
U=380 В;
1.Определить действующее значение токов в ветвях и в неразветвленной части цепи комплексным методом.
2. По полученным комплексным выражениям записать выражения
для мгновенных значений напряжения на участке цепи с параллельным
соединением и токов в ветвях.
3. Определить активные и реактивные составляющие токов в ветвях.
4. Построить векторную диаграмму.
5. Определить характер (индуктивность, емкость) и параметры
элемента, который должен быть включен в неразветвленную часть цепи
для того, чтобы в цепи имел место резонанс напряжений.
26
Решение:
1) Вычисляем сопротивления реактивных элементов цепи.
X L1    L1  2    f  L1  314  50 10 3  16, Ом
X L3    L3  314 150 10 3  47, Ом
X С2 
1

1
 21, Ом
  С2 150 106  314
2) Находим сопротивления участков цепи в комплексной форме.
Z1  R1  jxL1  15  j16  21.93  e j 46.85 Ом
Z 2  R2  jxC1  30  j 21  36.62  e  j 34.99 Ом
Z 3  3  jxL3  45  j 47  65.07  e j 46.25 Ом
3) Определяем входное сопротивление цепи.
Рис. 2.1
Z  Z1 

Z2  Z3
Z2  Z3
 15  j16 
35.62  e  j 34.99  65.07  e j 46.25
 15  j16 
30  j 21  45  j 47
2382.86  e j11.26
2382.86  e j11.26
 15  j16 
 15  j16  30.02  e  j 7.86 
75  j 26
79.38  e j19.12
 15  j16  29.74  j 4.11  44.74  j11.89  46.29  e j14.88 , Ом
4) Определим токи в ветвях цепи.
U  e j 380  e j 0
380
380  e  j14.88
I1 



 8.21  e  j14.88 
j14.88
Z
Z
46.29
46.29  e
 7.93  j 2.11, A
I 2  I1
Z
8.21  e  j14.88  65.07  e j 46.25 334.24  e j 31.37



Z 2  Z3
79.38  e j19.12
79.38  e 19.12
 6.73  e j12.25  6.58  j1.43, A
Z2
8.21  e  j14.88  36.62  e j 46.25 300.65  e  j 49.87
I 3  I1



Z 2  Z3
79.38  e j19.12
79.38  e j19.12
 3.79  e  j 68.99  1.36  j 3.54, A
27
5) Проверка правильности распределения входных токов в параллельных ветвях по первому закону Кирхгофа в символической форме.
I1  I 2  I 3
7.93  j 2.11  6.58  j1.43  j 3.54
7.93  j 2.11  7.94  j 2.11 А
Расхождение
7.94  7.93
 100%  0.12%
7.94
6) Проверка найденных значений токов вторым законом Кирхгофа
по контуру 1234 в символической форме.
 
 U  I1  Z1  I 2  Z 2  0
 380  8.21  e  j14.88  21.93  e j 46.85  6.73  e j12.25  36.62  e  j 34.99  0
 380  180.05  e j 31.97  246.45  e  j 22.79
 380  152.74  j 95.33  227.29  j 95.27
 380  380.03  j 0.06  0.03  j 0.06  0.067  e j 63.43
Расхождение по модулю
0.067

 100%  0.017%
380
7) Определяем напряжение на параллельном участке цепи.
U 23  I 2  Z 2  6.73  e j12.25  36.62  e  j 34.99  246.5  e  j 22.79 , B.
8) Мгновенные значения токов в ветвях цепи.
i1  I1 2 sin(   t   1 )  8.21 1.41sin(   t  14.88) 
 11.6 sin(   t  14.88) А
i2  I 2 2 sin(   t   2 )  6.73 1.41sin(   t  12.25) 
 9.5 sin(   t  12.25) А
i3  I 3 2 sin(   t   3 )  3.79 1.41sin(   t  68.99) 
 5.3 sin(   t  68.99) А
U 23  U 23 2 sin(   t   4 )  246.5 1.41sin(   t  22.79) 
 347 sin(   t  22.79) В
9) Запишем активные и реактивные токи в ветвях
I 1  7.93  j 2.11A
I 2  6.58  j1.43 A
I 3  1.36  j3.54 A
I 1a  7.93 A
I 1 p  2.11A
I 2 a  6.58 A
I 2 p  1.43 A
I 3a  1.36 A
I 3 p  3.54 A
28
10) Вычислим напряжения на элементах цепи и строим топографическую диаграмму
U R1  I 1  R 1  8.21  15  123.15, B
U XL1  I 1  X L 1  8.21  16  131.36, B
Z XC2  I 2  X C 2  6.73  21  141.33, B
U R2  I 2  R 2  6.73  30  201.9, B
U R3  I 3  R 3  3.79  45  170.55, B
U XL3  I 3  X C 3  3.79  47  178.13, B
На рисунке 2.2 построены сначала векторы токов; векторы активных напряжений проведены параллельно векторам токов, векторы реактивных напряжений – перпендикулярно векторам токов с учётом отставания или опережения по фазе.
Для того, чтобы в цепи имел место резонанс напряжений, реактивная составляющая сопротивления должна быть равна нулю.
Сопротивление параллельного участка
Z 23  29.74  j 4.11, Ом
Реактивная составляющая последовательного участка пусть будет
jX p , тогда: jX p  j 4.11  0
jX p  j 4.11 - индуктивное сопротивление
  L p  4.11 или 314  L p  4.11 Гн
Откуда L p  13  10 3 , Гн
Рис.2..2
Векторная диаграмма токов и напряжений для данной цепи.
29
Пример 2.2
Исходные данные: К источнику переменного тока с напряжением
подключена электрическая цепь (рис.2.3). Значения параметров элементов цепи и тока в одной из ветвей приведены в таблице (2.2)
Определить: токи во всех ветвях электрической цепи, напряжение на
зажимах каждой ветви и всей цепи, если задан ток в одной из ветвей, коэффициенты мощности каждой ветви и всей цепи, активные, реактивные
и полные мощности каждой ветви и всей цепи (построить векторную
диаграмму).
Рис 2. 3
Таблица 2.2
R1
XL1
XC1
R2
XL2
XC2
R3
В
Ток в
ветви k
А
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
220
-
10
10
-
-
12
-
U
XC3
Ом
XL
3
Ом
8
-
6
Расчет методом проводимостей.
Рис. 2.4
1. Определяем активные, реактивные и полные мощности.
R1
10
G 

 0,05 (См)
1
B1 
R12  X L21
102  102
X L1
10
 2
 0,05 (См)
2
R  X L1 10  102
2
1
Y1  G12  B12  0,052  0,052  0,071 (См)
G2 
R2
 0 (См)
R22  X L22
30
Ом
B2  Y2 
1
1

 0,083 (См)
X L1 12
G3 
R3
8

 0,08 (См)
R32  X L23 82  62
B3 
 X C3
6

 0,06 (См)
R32  X C2 3 82  62
Y3  G32  B32  0,082  0,062  0,1 (См)
2. Определяем активную, реактивную и полную проводимость разветвленной части и всей цепи.
G23  G2  G3  0  0,08  0,08 (См)
B23  B2  B3  0,083  0,06  0,023 (См)
2
2
Y23  G23
 B23
 0,082  0,0232  0,083 (См)
Z 23 
1
1

 12 (Ом)
Y23 0,083
2
R23  G23  Z 23
 0,08  0,0832  11,52 (Ом)
2
X 23  B23  Z 23
 0,023  0,0832  3,36 (Ом)
Z
R1  R23 2   X L1  X 23 2
10  11,522  10  3,362

Z1  R12  X L21  102  102  14,142 (Ом)
3. Определяем ток в цепи.
I1 
U
220

 8,685 (А)
Z 25,33
4. Определяем падение напряжения на участках цепи.
U1  I1  Z1  8,685 14,146  122,83 (В)
U 23  I1  Z 23  8,685  12  104,22 (В)
5. Определяем токи на разветвленной части цепи.
I 2  U 23  Y2  104  0,083  8,685 (А)
I 3  U 23  Y3  104  0,1  10,4 (А)
6. Определяем мощности участков цепи.
G
0,05
1  45
cos 1  1 
 0,707
Y1 0,071
31
 25,33 (Ом)
cos  2 
G2
0
Y2
cos 3 
G3
0,08

 0,83
Y3 0,083
sin 2  1
2  90
3  57
7. Определяем активные, реактивные и полные мощности.
S1  I1  U1  8,685  122  1067 (ВА)
P1  S1  cos1  1067  0,707  754,36 (Вт)
Q1  S1  sin 1  1067  0,707  754,36 (ВАр)
Q2  S2  I 2  U 23  8,68  104  905 (ВАр)
P2  0
S3  I 3  U 23  10,4  104  1086 (ВА)
P3  S3  cos 3  1067  0,83  869 (Вт)
Q3  S3  sin 3  1067  (0,6)  651,77 (ВАр)
P  P1  P2  P3  754  0  869  1623 (Вт)
Q  Q1 Q 2 Q3  754  905  651  1008 (ВАр)
S  P 2  Q 2  1910,55 (ВА)
P
  58
 0,85
S
8. Построим векторную диаграмму.(рис. 2.5).
cos  
M U  44
B
см
M I  3,5
A
см
Рис. 2.5.
32
РАЗДЕЛ III
Трехфазные электрические цепи.
Теоретические положения
Мгновенные значения ЭДС, индуктируемых в трех обмотках генера-
2
, выражаются
3
тора, сдвинутых по фазе относительно другой на угол
аналитически следующим образом:
еА  Еm A sin t ; еB  Еm sin( t  2 ) ; еC  Еm sin( t  2 ) ;
3
3
В симметрической трехфазной системе:
EAm  EBm  ECm  EФm .
В комплексной форме:
B
C
 j
2
3
j
2
3
; E C  EФ e
;
E A  EФ ; E B  EФe
Трехфазная система, соединённая «звездой».
Генератор
Приемник энергии
A
А
I1
'
е1
U
C
z1
I0
0
е3
'
1
0´
z2
U 3'
е2
z3
B
U 2'
С
I3
'
I2
Рис. 3.1 – Трехфазная система, соединенная по схеме «звезда».
а) мгновенное значение тока в нулевом проводе:
i0  i1  i2  i3 ;
б) действующее значение тока в нулевом проводе
I 0  I1  I 2  I 3 ;
в) соответствие между фазными и линейными токами:
I Л  IФ ;
33
B'
г) соотношение между фазными и линейными напряжениями:
U Л  3UФ ;
д) напряжение между нулевой точкой генератора и нулевой точкой
приемника энергии (узловое напряжение):
U0 
E 1Y 1  E 2 Y 2  E 3 Y 3 ;
Y1  Y 2  Y 3  Y 0
где E1 , E 2 , E 3 - комплексные выражения действующих значений
ЭДС в отдельных обмотках (фазах) генератора;
Y 1, Y 2 , Y 3 - комплексы общей проводимости отдельных фаз;
е) напряжение на отдельных фазах и линейных проводах:
U 1  E1  U 0 , U 2  E 2  U 0 , U 3  E 3  U 0 ;
'
'
'
ж) токи в отдельных фазах и линейных проводах:
I 1  U 1Y 1 ; I 2  U 2 Y 2 ; I 3  U 3 Y 3 .
'
'
'
Трехфазная система, соединенная «треугольником».
A1'
I1
A
Z 1.2
Z 3.1
Z 2.3
I2
B
'
1
C
B1'
I3
C
Рис. 3.2. Трехфазная система, соединенная по схеме «треугольник».
а) соотношение фазными и линейными напряжениями при симметричной трехфазной системе:
U Л  UФ ;
б) комплексы действующих значений токов в отдельных фазах:
I 12 
U 12
 U 12 Y 12 ;
Z 12
I 23 
U
U 23
 U 23Y 23; I 31  31  U 31Y 31;
Z 31
Z 23
34
в) комплекс действующего значения любого линейного тока равен
разности соответствующих комплексов действующих значений фазных
токов:
I 1  I 12  I 31; I 2  I 23  I 12; I 3  I 31  I 23;
г) при одинаковых по виду и по величине нагрузках, т.е. при равномерной нагрузке фаз
I Л  3I Ф
Мощность потребляемого тока при равномерной нагрузке.
P  PФ1  РФ2  РФ3 , Р  3РФ  3UФ IФ cos  , P  3U Л  I Л cos ,
где
P1Ф , Р2Ф , Р3Ф - мощности соответствующих фаз в ваттах;
UФ - фазное напряжение в вольтах;
I Ф - фазный ток в амперах;
U Л - линейное напряжение в вольтах;
I Л - линейный ток в амперах.
Соотношения между линейными и фазовыми напряжениями и токами в трехфазной симметричной системе, соединенной «звездой»:
U Л  U AB  UФ 2 cos 30  3UФ ; I Л  IФ .
Соотношения между
U Л и UФ и I Л и I Ф при симметричной
трехфазной системе, соединенной «треугольником»:
I A  I AB  I CA ; I B  I BC  I AB ; I C  I CA  I BC ;
I Л  3I Ф ; U Л  U Ф .
1.
Расчет трехфазных цепей:
звезда-звезда с нулевым проводом ( Y / Y0 ):
IA 
2.
E
EA
; IB  B ;
ZB
ZA
IC 
звезда-звезда без нулевого провода:
U 00 
EC
;
ZC


E А Y А  E В Y В  E С Y С E A YA  a 2YB  aYC

;
Y А YВ YС
Y А YВ YС
Активная мощность при неравномерной нагрузке:
Р  РА  РВ  РС  Р0 ;
35
Реактивная мощность при неравномерной нагрузке:
Q  QА  QВ  QС  Q0 ;
Полная мощность: S  P 2  Q 2 ;
Равномерная нагрузка фаз:
P  3U Л  I Л cos; Q  3U Л  I Л S sin  , S  3U Л  I Л ;
Измерение активной мощности в трехфазной системе, если нулевой
провод отсутствует:
ReU AC I A  U BC I B   ReU A  U C I A  U B  U C I B  
 ReU A I A  U B I B  U C I C .
Примеры решения задач.
Пример 3.1
В схеме ЭДС каждой из фаз генератора равна 127 В. Определить токи трёхфазной системы, если R = 25,4 Ом, L = 80 мГн, С = 125 мкФ, частота равна 50 Гц. Построить векторную диаграмму.
Дано:
«Си»
UФ = 127 В
R = 25,4 Ом
3
L = 80 мГн 80*10 Гн
С = 125 мкФ 125*10 6 Ф
f = 50 Гц
___________
IB - ?
IC - ?
IA - ?
Рис. 3.3
Решение:
1) представим исходные данные о параметрах трёхфазной цепи в
комплексной записи:
eA  127 2 sin t ; E A  127 В;
eB  127 2 sin( t  120 ); E B  127e j120 В;

eC  127 2 sin( t  120 ); E C  127e j120 В;
Индуктивное сопротивление:
XL = L = 2fL = 314*80*10-3 = 25,5 Ом; ZL = jL = j25,4 Ом;
Ёмкостное сопротивление ZC = ZB, тогда
1
ZB =  j 1   j
= -j25,4 Ом.
C
314  125  10 6

36
2) Указать положительные направления токов в линейных проводах и фазах нагрузки:
A
A`
IA
I0
0
еС
C
0´
xC
xL
еВ
IC
IA
R
еА
IB
IC
C`
B
B`
IB
Рис. 3.4.
3) По методу двух узлов определить напряжение между нулевыми
точками генератора и нагрузки:
U 00 
E АY А  E В Y В  E С Y С
; в данном случае U0’0 = 0, т.к.
Y А YВ YС Y0
сопротивление в нулевом проводе равно 0, т.е. Z0 = 0 и Y0 = ∞.
4) С помощью закона Ома определить линейные и фазовые токи
трёхфазной системы:
I A  E A  U 00  / Z A  127 / 25,4  5 А;
I B  E B  U 00  / Z B  127e j120 /  j 25,4  127e j120 / 25,4e j 90  5e j 30 А




I C  E C  U 00  / Z C  127e j120 / j 25,4  5e j 30 А;


Токи в нулевом проводе:


I 0  I A  I B  I C  5  5e j 30  5e j 30  13,6 А;
5) Построить векторную диаграмму( рис. 3.6)
Векторная диаграмма токов и напряжений в случае несимметричной
нагрузки в фазах для трехпроводной линии связи (рис. 3.5 (а)) может
быть построена в такой последовательности:
1. Из точки N в выбранном масштабе mU строят «звезду» фазных
напряжений генератора
U A ,U B ,U C .
37
A, a
Ua
(а)
(б)
UA
UA
Ia
n
Ic
In
N
Uc
UC
C, c
а) U B
Ic
Ub
B, b
UC
N,n
б)
Ib
UB
Рис. 3.5. Векторные диаграммы токов и напряжений трехфазной электрические цепи
с несимметрической нагрузкой для линий связи: а-трехпроводной; бчетырехпроводной.
2. Из точек A, B, C засечками с помощью циркуля откладывают в
масштабе
mU величины фазных напряжений приемника U A ,U B ,U C и
находят точку пересечения засечек, соответствующую нейтральной точке приемника n . Соединив точки n и N , получают вектор напряжения
смещения нейтрали
U nN .
3. В выбранном масштабе
m1 из точки n строят векторную диаграмму фазных токов I A , I B , I C . Их геометрическая сумма должна быть
равна нулю. При активной нагрузке вектор фазного тока совпадает по
направлению с вектором фазного напряжения.
При четырехпроводной линии U nN  0 и точка n совпадает с
точкой N (рис.3.5(б)). Поэтому векторная диаграмма токов в масштабе
m1 строится из точки N . Геометрическая сумма токов в этом случае
определяет величину тока в нейтральном проводе I n .
При симметричной нагрузке эта сумма равна нулю, а при нессиметричной нагрузке ток в нейтральном проводе не равен нулю и может
быть вычислен по векторной диаграмме.
В трехфазных цепях различают понятия равномерной нагрузки, когда равны полные сопротивления в фазах Z a  Zb  Z c  , но различен их
38
характер a  b  c  , и однородной, когда одинаков характер нагрузки
в фазах a  b  c  , но различны полные сопротивления Z a  Zb  Z c  .
В данной задаче векторная диаграмма выглядит следующим образом:
Рис 3.6. Векторная диаграмма токов и ЭДС
Пример 3.2
Расчет трехфазных цепей.
1. Исходные данные: к зажимам трехфазной электрической цепи с
напряжением U подключена нагрузка, состоящая из трех приемников,
которое имеют одинаковые активные RФ и реактивные X L (или X C ) сопротивления (таблица 3.1).
а)
б)
Рис. 3.7
Таблица 3.1
№ опыта
U, B
RФ , Ом
X LФ , Ом
X CФ , Ом
8
660
40
30
---
Определить: фазные или линейные токи, мощности, P, Q, S,
всей нагрузки. Построить топографическую диаграмму. Задачу решить
для случаев, когда приемники энергии соединены звездой, а затем треугольником. Сравнить полученные результаты.
39
а) Расчет трехфазной цепи при соединении приемников звездой. рис.3.8)
I л  IФ
U л  3U Ф
Рис. 3.8.
1.
Определяем фазное напряжение
UФ 
U л 660

 381,05 В;
3
3
2.
Определяем полное сопротивление фаз
3.
ZФ  R 2  X L  402  302  50 Ом.
Определяем фазные и линейные токи
Uл
660
I I 

 7,62 А.
2
л
4.
Ф
3  ZФ
3  50
Определяем активные, реактивные, и полные мощности фаз
PФ  U ф  I ф  cos   381,05  7,62  0,8  2322,88 Вт;
cos  
R 40

 0,8 ;
Z 50
QФ  UФ  IФ  sin   381,05  7,62  0,6  1742,16 ВАр;
X
30
sin   L 
 0,6 ;
Z
50
SФ  U Ф  I Ф  PФ2  QФ2  381,05  7,62  2903,6 ВА;
5. Определяем активные, реактивные, и полные мощности всей
нагрузки:
угол сдвига фаз между U и I   arctg X L  30  3686 ;
R
40
Q3Ф  3QФ  3  U л  I л  sin   3  660  7,62  0,6  5212,78 ВАр;
S3Ф  3SФ  3 U л  I л  3  660  7,62  8687,96 ВА.
6. Строим топографическую диаграмму. (рис 3.9)
При соединении приемников «треугольником» конец одной фазы
соединяются с началом другой и т.д. К вершинам образовавшегося треугольника a , b, c подсоединяются линейные провода, идущие от трехфазного источника. ( рис. 3.9).
40
U ab
 I ca
Ia
I ab
Ic
I bc
 I ac
I ca
U ca
Ib
 I ab
U bc
Рис. 3.9. Векторная диаграмма токов и напряжений
Векторная диаграмма (рис. 3.10) аналогично диаграмме, показанной
на рис. 3.9, с учетом сдвига фаз между токами и напряжениями. Построение выполняется в такой последовательности:
1. Строят в выбранном масштабе напряжений mU «звезду» фазных
(линейных) напряжений приемника U ab ,U bc ,U ca . Она же является «звездой» линейных напряжений источника U AB ,U BC ,U CA ;
2. Вычисляют значения фазных токов
I ab  U ab / R, I bc  U bc / X L , I ca  U ca / X C и строят в выбранном масштабе токов
mI на диаграмме напряжений векторы фазных токов под
соответствующими углами  ab  0, bc  90 , ca  90
напряжений.
3. Графически определяют токи I a , I b , I c .
41
к векторам
U АВ U ab
Ia
I ab
R
a
Ic
 са
I bc
U СА U ca
Ib
b
I ca
 bc
U ВС
U bc c
а)
XL
XC
x
y
z
б)
Рис. 3.10. Схема трехфазной электрической цепи с равномерной нагрузкой, включенной
«треугольником» (а) и векторная диаграмма токов и напряжений (б).
В данном примере диаграмма имеет следующий вид:
Рис. 3.11.
б) Расчет трехфазной цепи при соединении приемников
треугольником.
U л  UФ ;
I л  3I Ф .
Рис. 3.12
Определяем фазные и линейные токи
U
660
IФ  Ф 
 13,2 ,А;
ZФ
50
1.
42
I л  3IФ  3 13,2  22,86 ,А;
2. Определяем активные, реактивные, и полные мощности
P  3UФ  IФ  cos  3  660 13,2  0,8  20908,8 ,Вт;
Q  3UФ  IФ  sin   3  660 13,2  0,6  15681,6 , Вар;
S  3UФ  IФ  3  660 13,2  26136 , ВА;
3. Строим топографическую диаграмму.
Рис. 3.13.
Сравниваем полученные результаты:
При соединении приемников, треугольником линейные токи в 3,
а фазные токи в 3 раза больше, чем при соединении этих же приемников звездой:
I Ф.треуг.  3  I Ф. звезда, I л.треуг  3  I л. звезда
Активные, реактивные, и полные мощности всей нагрузки при соединении приемников треугольником в 3 раза дольше чем при соединении этих же приемников звездой:
Pтреуг.  3  Pзвезда, Qтреуг  3  Q звезда, S треуг  3  S звезда
ЗАДАНИЕ 3. РАСЧЁТ ТРЁХФАЗНОЙ ЦЕПИ ПРИСОЕДИНЕНИИ
ПОТРЕБИТЕЛЯ , СОЕДЕНЁННОГО ЗВЕЗДОЙ.
Исходные данные. К зажимам трехфазной цепи с линейным напряжением U симметричной системы ЭДС подключена нагрузка, соединенная звездой (рис. 3.14) и имеющая сопротивление фаз:
Z A'O'  Z B'O'  Z C 'O' (таб. 3.1).
43
Рис. 3.14.
Определить:
1. Напряжение на каждой фазе потребителя.
2. Токи каждой фазы потребителя
3. Мощности P, Q, S каждой фазы и всей цепи.
4. Построить топографическую диаграмму.
Таблица 3.1.
№ варианта
U,B
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2
660
200
400
1000
660
130
282
220
250
340
250
400
400
400
223,6
160
300
220
220
160
220
220
220
300
250
260
340
250
400
660
Z AO , Ом
3
20
3+j4
30+j40
100
50
12+j5
14+j2
16+j12
15+j20
8+j15
7,5+j10
30-j40
15-j20
-j50
10-j20
9,6-j12,8
9+j12
16+j12
20
9,6+j12,8
10
24+j32
15+j5
18+j24
45-j60
12+j5
8+j15
30+j40
100
7,5+j10
44
Z BO , Ом
Z C O , Ом
4
j20
j5
50
-j100
30+j40
5+j12
2+j14
20
20 +j15
8-j15
12,5
50
25
30+j40
22,36
16
9+j12
j20
j20
9,6-j12
-j10
-j40
15-j5
24+j18
45+j60
12-j5
15+j8
j50
30+j40
50
5
12+j16
5
j50
100
j50
13
14,1
-j20
25
17
7,5-j10
j50
15+j20
50
20-j10
12,8-j9,6
15
-j20
12+j16
16
6+j8
40
15,8
30
75
13
17
50
100
-j20
ЗАДАНИЕ 4. РАСЧЁТ ТРЁХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ СОЕДЕНЕНИИ
ПРИЁМНИКОВ ТРЕУГОЛЬНИКОМ.
Исходные данные. Трехфазный асинхронный двигатель (АД), обмотки которого соединены треугольником, подключены к трехфазной сети с напряжением U . Известны мощность двигателя Pнорм (на валу),
коэффициент мощности cos  и КПД (η) (таб. 4.1)
Определить:
ток в фазах асинхронного двигателя, ток в линии, параметры обмоток
асинхронного двигателя, построить топографическую диаграмму.
Таблица 4.1
cos
№
варианта
1
220
4,5
0,88
η,
%
85,5
2
3
380
220
4,5
2,8
0,85
0,88
86
83
4
5
6
380
380
380
10
14
20
0,84
0,89
0,9
87,5
87,5
88
7
8
380
380
28
40
0,9
0,91
89
90
9
10
11
380
220
220
50
1,7
2,3
0,92
0,8
0,84
90,5
81,5
83,5
12
13
220
380
4,5
7,0
0,8585
0,86
85
87
14
15
16
500
660
660
10
14
20
0,89
0,89
0,9
87,5
87
88,5
17
18
660
660
28
55
0,91
0,91
89,5
90
19
20
21
220
380
380
1,0
1,7
2,8
0,75
0,76
0,88
79
81,5
84
22
23
3000
3000
160
100
0,94
0,895
92,5
91,5
24
25
26
660
500
500
100
75
55
0,9
0,89
0,88
92
91
91
27
500
125
0,815
92
U, B
P, кВт
45
Составители:
Анатолий Григорьевич Сошинов
Николай Георгиевич Юдин
ВЫПОЛНЕНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
Часть I
Методические указания по дисциплине
«Теоретические основы электротехники»
Под редакцией авторов
Темплан 2010 г., поз. № 49К.
Подписано в печать 01. 02. 2010 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,88. Усл. авт. л. 2,69.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ
403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5, каб. 4.5