Файл с материалами занятий

Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарноматематической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка. По этим
материалам проводились занятия математической группы учеников 11-го класса.
Тематика довольно необычна: с одной стороны эти задачи посвящены тригонометрии –
стандартному разделу школьной программы. С другой стороны, это совершенно нестандартные
задачи, весьма далёкие от типовых тригонометрических уравнений.
Большая часть из них предлагалась на олимпиадах областного уровня. Замечу также, что на
быстро набирающей популярность заочной олимпиаде «Штурмуем Воробьёвы горы» в этом году
предлагалась задача, допускающая весьма эффективное решение с помощью тригонометрической
подстановки y=tgx.
А. С. Штерн. stern@math.omsu.omskreg.ru
ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕРАВЕНСТВА sin x < x
1. (Областная олимпиада - 1994) Каждое из трёх чисел равно сумме косинусов двух
остальных. Докажите, что все числа равны.
2. Последовательность задана соотношением xn+1 = sin xn, x0=, где (0;). Докажите, что
независимо от выбора числа  все такие последовательности сходятся к одному пределу.
3. Последовательность задана соотношением xn+1 =
1-
1 - x n2
2
, x1=1/2. Докажите,
неравенство х1 + .х2 +…+х2007 < 1,03.
4. (МГУ) Найти множество всех пар (a, b) таких, что равенство asinx+b=sin(ax+b) выполнено
при всех х.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК
1. Решите систему y=2x2-1, z=2y2-1, y=2x2-1.
2. Среди всех решений системы z2 + t2 =9, x2 + y2=4, xt+yz=6 выберите те, для которых
величина x+y максимальна.
x
3. Решите уравнение x +
2
x - 1
=
35
.
12
4. Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x, y
так, чтобы выполнялось двойное неравенство 0 <
x- y
1
<
1 + xy
3
.
5. На отрезке [-1;1] выбраны n чисел, причём сумма кубов этих чисел равна нулю.
Докажите, что сумма этих чисел не превосходит n/3.
6. Докажите, что при любых x, y выполнено двойное неравенство
-
1 (x + y )(1 - xy ) 1
£
£ .
2 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
1. Докажите равенство
1
1
1
.
+
p =
2
p
3p
sin
sin
sin
7
7
7
2. Положительные числа a, b, c, x, y, z подобраны так, что выполняются равенства
x2+xy+y2=a2, y2+yz+z2=b2, x2+xz+z2=c2. Выразите величину xy+yz+xz через a, b, c.
ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Найдите все значения х, для которых выражения tgx и tg2x одновременно являются
целыми числами.
2. (Областная олимпиада 2000 года) Синусы углов треугольника - рациональные
числа. Докажите, что их косинусы тоже рациональные числа.
3. (Областная олимпиада 2004 года) Известно, что sinx+cos2x и sin2x+cosx ненулевые
рациональные числа. Докажите, что sinx и cosx тоже рациональные числа.
4. (Областная олимпиада 2004 года) Может ли тангенс острого угла быть в целое
число раз больше как синуса, так и косинуса этого же угла.
СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (монотонность, ограниченность,
периодичность)
1. Докажите, что следующие функции не являются периодическими: f(x)=cos x ;
f(x)=cosx+cosx, где  - иррациональное число; f(x)=cos(x2); f(x)=x+sinx;
f(x) = sin(x2).
2. (Областная олимпиада 1995 года) Найти все острые углы , для которых
выполнено равенство sin(sin+)=cos(cos+).
3. (Областная олимпиада 1996 года) Какие стороны может иметь треугольник АВС,
если из его косинусов можно составить треугольник, и этот треугольник равен
треугольнику АВС?
4. (Областная олимпиада 2001 года) Найти все значения неизвестного х, для которых
выполнено каждое из неравенств цепочки sinxtgx ctgx cosx.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f(x)=acos2(x)+bcosxsinx+csin2 (x).
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ-РАЗМИНКИ
1. (Областная олимпиада 1997 года) Три друга гонят самогон, каждый своим аппаратом. У
Труса течёт жидкость крепостью a градусов, и стандартная бутыль наполняется за а часов,
у Балбеса соответственно – b градусов и за b часов, у Бывалого с градусов и за с часов.
Для ускорения процесса друзья направили все шланги в одну бутыль и наполнили её за
сутки. Найдите крепость смеси (крепость это процент содержания спирта).
2. (Областная олимпиада 1999 года) Андрей, Борис, Виктор, Григорий и Дмитрий по
очереди (не обязательно в указанном порядке) охраняли зимний лагерь от террористов.
Каждый отдежурил по разу, причём Андрей дежурил вдвое дольше Бориса, Борис вдвое
дольше Виктора, а Григорий и Дмитрий каждый столько же, сколько Виктор.
Сердобольная бабушка-вахтёрша каждый час выносила дежурному чашку чаю. Известно,
что ни один акт милосердия не пришёлся на пересменку. Могло ли каждому из пятерых
достаться ровно по одной чашке?