МИНОБРНАУКИ РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Факультет математики, механики и компьютерных наук Рассмотрено и рекомендовано на заседании кафедры высшей математики исследования операций ЮФУ Протокол №_1___________ "__30___"___августа_______2011г. Зав. кафедрой ________________ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета (зам. декана по учебной работе) ___________________ "____"____________2011 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС «Основы финансовой математики». для специальности 010200 «Прикладная математика и информатика», семестр 7,8 Всего часов –190, из них – лекции 34, - практические занятия 51 –самостоятельная работа 85 час. Отчетность по курсу – экзамен,зачёт Составитель: д.т.н., профессор Белявский Г.И. Утвержден Советом Южного федерального университета Протокол №_____ от «______» _________ 2011г. Ростов-на-Дону 2011 1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данный спецкурс является составной частью подготовки в области финансовой математики. В курсе рассматриваются оригинальные стохастические модели полных и неполных B,S - рынков. Цель спецкурса – ознакомить слушателя с вычислительными методами стохастической финансовой математики на моделях поведения цен акций, которые являются в некотором смысле обобщением известной и широко распространенной модели Кокса-Росса-Рубинштейна. А также на конкретных примерах проиллюстрировать такие понятия как полнота и арбитраж финансового рынка, мартингальность, супер и субмартингальность, предсказуемость, разложение Дуба и опциональное разложение, которые пронизывают всю стохастическую финансовую математику. В результате выработать у магистрантов навыки синтеза адекватных математических моделей, их исследования и разработки вычислительных схем для расчета оптимальных стратегий поведения на B,S -рынках. Спецкурс опирается на ряд курсов, входящих в основной учебный план подготовки бакалавров. В частности на спецкурс «Основы стохастической финансовой математики» и частично повторяет его, так как не все магистранты слушали этот курс (часть из них приходит с других кафедр и даже с других специальностей). Ряд разделов курса поддерживается соответствующими комплексами программ, овладение которыми позволяет проводить лабораторные и самостоятельные работы, улучшающие понимание закономерностей изучаемых процессов. К методическим материалам приложен Глоссарий – толковый словарь английских понятий и терминов, наиболее употребительных в финансовой математике. Содержание курса в значительной степени связано с материалом, изложенным в учебном пособии с тем же названием. 2 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА «Модели финансовых рынков с дискретным временем». Учебно-тематический план курса. 1. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 2.1 2.2 2.3 2.4 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Основные определения и факты. Модель КоксаРосса-Рубинштейна. Общая модель Кокса Росса - Рубинштейна. Основные определения и факты Опционы европейского типа. Американские опционы. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Безарбитражный и полный рынок. Безарбитражный и неполный рынок. Модель B, S рынка с мягкой скупкой акции. (Обесценивание акции). Вычисление мартингальных мер. Параметризация множества мартингальных мер. Вычисление верхней и нижней цен для европейского опциона. Среднеквадратический хедж. Вычисление среднеквадратического хеджа. Хеджирование динамических финансовых обязательств. Модель B, S рынка с жесткой скупкой акции. (Обесценивание акции). Стохастический базис и мартингальные меры. Вычисление интервала справедливых цен. Среднеквадратичный хедж при жесткой скупке акции. Сопоставление с моделью Кокса-РоссаРубинштейна. Модель с динамически изменяющимися параметрами. Итого 11/11 11/11 12/12 34/34 3 2. Перечень рекомендованной литературы. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 1. 2. 3. Основная литература Г.И. Белявский, И.В. Павлов. Теория вероятностей. Учебное пособие, Ростов-на-Дону, РГСУ, 2007. [1-3] А.Н. Ширяев. Вероятность. М.: Наука, 1980. [1-3] А.Н. Ширяев. Вероятность-1. М.: МЦНМО, 2004[1-3] А.Н. Ширяев. Вероятность-2. М.: МЦНМО, 2004[1-3] А.Н. Ширяев. Задачи по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2006[1-3] А.Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. [1-3] А.Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Теория. М.: ФАЗИС, 1998. [1-3] А.В. Мельников. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет ценных бумаг. ТВП: Москва, 1997. [1] А.В. Мельников, С.Н. Волков, М.Л. Нечаев. Математика финансовых обязательств, М:ГУ ВШЭ, 2001. [2,3] Энциклопедия «Вероятность и математическая статистика» под. Ред. Ю.В. Прохорова, М.: ТВП, 1999. [1-3] А.Н. Ширяев. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. // Теория вероятностей и ее применение, т.39, вып.1, 1994, с.5-22. [1] А.Н. Ширяев, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков, А.В. Мельников. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. 1. Дискретное время. // Теория вероятностей и ее применение, т.39, вып.1, 1994, с.23-79. [2,3] Г.И. Белявский, Модели финансовых рынков с дискретным временем, [1-3]. Дополнительная литература С.Т. Рачев, Л. Рушендорф. Модели и расчеты контрактов с опционами. // Теория вероятностей и ее применение, т.39, вып.1, 1994, с.150-190. [13] Д.О. Крамков, А.Н. Ширяев. О расчетах рациональной стоимости «Русского опциона» в симметричной биномиальной модели (B,S)рынка. // Теория вероятностей и ее применение, т.39, вып.1, 1994, с.191200. [1-3] А.В. Мельников, К.М. Феоктистов. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 8, вып. 1, 2001, с. 28-40. [3] 4 4. 5. 6. 7. 8. А.В. Нагаев, С.А. Нагаев. Прикладные аспекты теории опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 4, вып. 4, 1997, с. 719-731. С.Н. Волков, Д.О. Крамков. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 4, вып. 4, 1997, с. 731-763 Б.А. Йенсен, Й.А. Нильсен. Расчет цены в отсутствие арбитража. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 3, вып. 6, 1996, с. 989-945. Кондратьева Т.Н. Исследование общей модели Кокса-РоссаРубинштейна. Ростов-на-Дону, 2003. [2] Гробер Т.А. Математические модели неполного безарбитражного рынка, учитывающие жесткую скупку, с использованием стохастического базиса типа Кокса-Росса-Рубинштейна. Ростов-наДону, 2006. [3] 2. Контрольные вопросы и задачи. 1. Модель Марковица. Почему процентные ставки активов являются случайными величинами? Как выразить ожидаемую прибыль портфеля через процентные ставки активов? Как выразить риск портфеля через процентные ставки активов? 2. Минимизация риска по Марковицу. Как сравнить между собой различные портфели? В чем смысл двух критериальности? Как вычислить портфель с минимальным риском? 3. Минимизация риска по Марковицу в случае двух активов. 0.01 0.006 . Вычислить портфель с 0.006 0.03 Даны E 1 0.01, E 2 0.02, C минимальным риском. 4. Математическая модель B, S - рынка, поток -алгебр, стохастический базис. На примере биномиальной модели объяснить понятие стохастического базиса? Почему F0 - тривиальная сигма алгебра? В чем смысл естественного базиса? 5 5. Условное математическое ожидание и его свойства. Мартингал. Суб и супермартингал. Совместное распределение случайных величин X и Y - нормальный закон с 0.1 0.01 . Вычислить условное 0.01 0.3 параметрами M 0.5;0, 7 , C математическое ожидание E X Y . 1 n Стоимость акции Sn i , i ai , bi , ai Fi 1 , bi Fi 1 , ai bi , Bn 1 n i 1 определить условие существования мартингальной меры и вычислить ее. Стоимость акции S n n n i , i ai , bi , a F i i 1 , bi Fi 1 ,0 ai bi определить i 1 условие существования мартингальной меры и вычислить ее. Пусть X - мартингал, f x - выпуклая функция, что можно утверждать относительно f X . Пусть X - мартингал, f x - вогнутая функция, что можно утверждать относительно f X . 6. Мартингальное преобразование. Что общего между мартингалом и мартингальным преобразованием? Какой цели служит предсказуемость коэффициентов мартингального преобразования? 7. Портфель и различные условия его финансирования. Капитал, какого из портфелей можно назвать мартингалом, субмартингалом, супермартингалом? 8. Финансовое обязательство. Верхняя и нижняя цены финансового обязательства. Одношаговая модель. В чем разница между опционом call, put и spread? Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 {29,31}. Какой должна быть справедливая цена опциона, если мы хотим купить доллар по цене S0 . B0 B1 1 . 6 Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 (29,31). Какой должна быть верхняя цена опциона, если мы хотим купить доллар по цене S0 . B0 B1 1 . Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 {29,30,31}. Какой должна быть нижняя цена опциона, если мы хотим купить доллар по цене S0 . B0 B1 1 . Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 {29,31}. Какой должна быть справедливая цена опциона, если мы хотим продать доллар по цене S0 . B0 B1 1 . Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 (29,31). Какой должна быть верхняя цена опциона, если мы хотим продать доллар по цене S0 . B0 B1 1 . Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 {29,30,31}. Какой должна быть нижняя цена опциона, если мы хотим продать доллар по цене S0 . B0 B1 1 . 9. Определение арбитража. Первая фундаментальная теорема. Как связаны между собой понятия отделимость, двойственность и арбитраж? 10.Полнота рынка. Вторая фундаментальная теорема. Почему на полном рынке верхняя и нижняя цена финансового обязательства совпадают? Дана последовательность значений акций 100 90 99 108,9 119,79 107,811 118,5921 Установить является ли рынок полным и безарбитражным? 11.КРР – модель. Вычисление справедливой цены для КРР-модели, построение портфеля для КРР-модели. В чем связь между распределением Бернулли и КРР моделью. 7 12.Несовершенные виды хеджирования. Хеджирование в среднеквадратичном смысле на полном и безарбитражном рынке. Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 {29,31}. Начальный капитал X 0 0.3 , рассчитать средне квадратичный хедж для опциона call с контрактной ценой K S0 . 13.Несовершенные виды хеджирования. Квантильное хеджирование. Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 {29,31}. Рассчитать квантильный хедж для опциона call с контрактной ценой K S0 , для доверительной вероятности P 0.8 . 14. Опциональное разложение. Как связано опциональное разложение с двойственностью в линейном программировании? 15. Неполный и безарбитражный рынок. Вычисление верхнего хеджа. Почему капитал оптимального портфеля является супермартингалом относительно любой мартингальной меры? Какими основными свойствами обладает капитал оптимального портфеля? 16.Неполный и безарбитражный рынок. Вычисление нижнего хеджа. Почему капитал оптимального портфеля является субмартингалом относительно любой мартингальной меры? Какими основными свойствами обладает капитал оптимального портфеля? 17. Общая модель Кокса – Росса – Рубинштейна (полный, беарбитражный рынок). Вычисление совершенного хеджа. Как можно представить адаптированную последовательность в базисе общей модели? Как выглядит условие безарбитражности и полноты в общей модели? При каком условии общая модель совпадает с КРР моделью? 18.Общая модель Кокса – Росса – Рубинштейна (неполный, беарбитражный рынок). Вычисление верхнего и нижнего хеджей, верхней и нижней цен финансового обязательства. При каком условии рынок становится безарбитражным и неполным? 8 19.Модель с мягкой скупкой акции. Неполнота и безарбитражность B, S рынка. При каком основном условии рынок является безарбитражным и почему при этом условии рынок оказывается неполным? 20.Модель с мягкой скупкой акции. Вычисление верхнего и нижнего хеджей, верхней и нижней цен финансового обязательства. Составить алгоритм вычисления, используя структуру бинарного дерева. 21. Динамические финансовые обязательства. Марковские моменты остановки. Задача об оптимальной остановке процесса. Как связана стратегия покупателя с марковским моментом остановки? При каком основном условии оптимальным является предъявление опциона в финальный момент времени? 22. Модель с мягкой скупкой акции. Вычисление верхнего хеджа и верхней цены динамического финансового обязательства. Составить алгоритм вычисления, используя структуру бинарного дерева. Используя алгоритм вычислить опциональное разложение. 23. Средне квадратичное хеджирование. Разложение Кунита-Ватанабе. Вычисление средне квадратичного хеджа. Составить алгоритм вычисления разложения Кунита-Ватанабе, используя структуру бинарного дерева. 24. Модель с жесткой скупкой акции. Неполнота и безарбитражность B, S - рынка. В чем причина неполноты рынка. Определить естественный стохастический базис модели. 25. Задача вычисления верхнего хеджа как задача линейного программирования. Как представить задачу вычисления верхнего хеджа как задачу линейного программирования. 26.Средне квадратичное хеджирование для модели с жесткой скупкой акции. Вычисление верхнего и нижнего хеджей, верхней и нижней цен 9 финансового обязательства с использованием средне квадратичного хеджирования Составить алгоритм вычисления экстремальных мартингальных мер для модели с жесткой скупкой акции 3. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Рекомендуемая литература указана выше. Самостоятельная работа заключается в изучении литературы, проведении всех доказательств и выводов, проведении расчётов при различных исходных данных и экономическом осмыслении полученных результатов. По теме «Основные определения и факты. Модель Кокса-РоссаРубинштейна. Общая модель Кокса - Росса – Рубинштейна». Следует обратить внимание на понятие мартингала, суб и супермартингала, а также на связь этих понятий с финансированием портфеля. При рассмотрении основных теорем следует обратить внимание на роль мартингальной меры. Наиболее подробно эти вопросы изложены в [7-9]. При изучении общей модели следует обратить внимание на возможности представления в этой модели различных вариантов B, S - рынка. Материал по этому вопросу изложен в [7, дополнительная литература], в пособии «Модели финансовых рынков с дискретным временем». По теме «Модель B, S рынка с мягкой скупкой акции (Обесценивание акции)» Следует обратить внимание на проблемы неполноты рынка и подходы к их разрешению. Усвоить структуру множества мартингальных мер. Понять постановку задач хеджирование сверху, снизу и в среднеквадратичном смысле. Освоить технологию вычисления оптимальных стратегий и связанную с этим задачу вычисления экстремальных мартингальных мер. Обратить внимание на опциональное разложение. Материал изложен в [7,9], в пособии «Модели финансовых рынков с дискретным временем». 10 По теме «Модель B, S рынка с жесткой скупкой акции. (Обесценивание акции)». Следует обратить внимание, во-первых, на изложении задачи вычисления верхнего и нижнего хеджей на языке линейного программирования, во-вторых, на решении этих задач методом средне-квадратичного хеджирования, в-третьих, на формирование стохастического базиса. Материал изложен в пособии «Модели финансовых рынков с дискретным временем», в [8, дополнительная литература]. 4. Учебно-тематический план лабораторных занятий. 1 1.1 1.2 2 2.1 2.2 3 3.1 4 4.1 4.2 4.3 5 5.1 5.2 6 6.1 6.2 Модель Марковица [1] Расчет оптимального портфеля для независимых активов Расчет оптимального портфеля для двух независимых активов. Одношаговая модель B, S - рынка. [1] Расчет верхней и нижней цены выпуклого финансового обязательства (процентная ставка принадлежит отрезку). Расчет верхней и нижней цены выпуклого финансового обязательства (процентная ставка принадлежит конечному множеству). Мартингальная вероятность[1] Задачи на мартингалы, суб и супермартингалы. Разложение Дуба. Опциональное разложение. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна [1] Расчет справедливой цены и совершенного хеджа. Динамическое финансовое обязательство. Расчет момента остановки. Вычисление верхнего хеджа и верхней цены для динамического финансового обязательства. Модель с мягкой скупкой акции. [2] Рекуррентный алгоритм вычисления верхней цены, опционального разложения и верхнего хеджа. Рекуррентный алгоритм вычисления среднеквадратичного хеджа. Модель с жесткой скупкой акции. [3] Вычисление среднеквадратичного хеджа. Вычисление среднеквадратичного хеджа для модели с динамически изменяющимися параметрами. Итого 10/10 9/9 8/8 10/10 6/6 8/8 51/51 11 5. Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ и практических занятий. При выполнении лабораторных и самостоятельных работ необходимо: 1. Внимательно ознакомиться с теорией соответствующего раздела 2. Задаться основными параметрами (входными данными) модели и используемыми в модели зависимостями (функциями). Данные выбираются на основании анализа статистических данных по имеющимся публикациям (или назначаются произвольно, но правдоподобно) 3. Ознакомиться с интерфейсом используемой программной поддержки, провести расчёт «вручную», за тем с использованием программной поддержки. 4. В лабораторных работах, где требуется разработка приложений, составить алгоритм, написать код, отладить с просчетом контрольного примера. Написать отчёт о проделанной работе с выводами о целесообразности и эффективности использованных моделей и программ. 6. Перечень тем для магистерских работ. Моделирование неполных B, S рынков. Вычисление оптимальных стратегий на неполных B, S рынках. Имитационное моделирование и применение метода Монте-Карло для вычисления оптимальных стратегий на неполных B, S рынках. 7. Перечень выносимых на экзамен (зачет) вопросов. 1. Финансовый рынок. Финансовые инструменты. 2. Портфель ценных бумаг. Финансирование портфеля. Диверсификация Марковитца. 2. Одношаговая модель B, S -рынка. 3. Верхняя и цена нижняя финансового обязательства. Верхний и нижний хедж. Интервал справедливых цен. 4. Арбитраж. Первая фундаментальная терема. 5. Полнота безарбитражного рынка. Вторая фундаментальная теорема. 12 6. Несовершенные виды хеджирования на полном и безарбитражном рынке. 7. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна (КРР). 8. Вычисление справедливой цены и совершенного хеджа для модели КРР. 9. Вычисление среднеквадратичного хеджа для модели КРР. 10.Вычисление квантильного хеджа для модели КРР. 11. Портфель с инвестициями. Опциональное разложение супермартингала. 12. Вычисление верхней цены и верхнего хеджа. Вычисление нижней цены и нижнего хеджа. 13. Среднеквадратичное хеджирование на неполном и безарбитражном рынке для мартингальной меры. 14.Мультиномиальная модель. Вычисление верхней и нижней цены, верхнего и нижнего хеджа. 15.Задача об оптимальной остановке случайного процесса. 16.Вычисление верхней цены динамического финансового обязательства. Вычисление верхнего хеджа. 17.Расчет верхней цены и верхнего хеджа для модели КРР и динамического финансового обязательства. 18.Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Полный и безарбитражный рынки. 19.Расчет справедливой цены и совершенного хеджа на полном и безарбитражном рынке для общей модели. 20.Общая модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Неполный и безарбитражный рынки. 21.Расчет верхней цены и верхнего хеджа для общей модели. 22.Модель с мягкой скупкой акции. Неполнота и безарбитражность. 23.Вычисление верхней цены и верхнего хеджа для модели с мягкой скупкой акции. 24.Вычисление среднеквадратичного хеджа для модели с мягкой скупкой акции. 25.Вычисление верхней цены и верхнего хеджа при динамическом финансовом обязательстве для модели с мягкой скупкой акции. 26.Модель с жесткой скупкой акции. Беарбитражность и неполнота рынка. 27.Вычисление верхней цены и верхнего хеджа для модели с жесткой скупкой акции. 28.Модель с динамически изменяющимися параметрами. Полнота и безарбитражность. 29.Вычисление справедливой цены и совершенного хеджа для модели с динамически изменяющимися параметрами при полном и безарбитражном рынке. 30.Вычисление верхней цены и верхнего хеджа для модели с динамически изменяющимися параметрами при неполном и безарбитражном рынке. 13 Примерная структура билета. 1. Финансовый рынок и финансовые инструменты. 2. Модель с динамически изменяющимися параметрами. 3. Начальная цена доллара S0 30 , цена доллара на следующий день S1 {29,31}. Начальный капитал X 0 0.3 , рассчитать средне квадратичный хедж для опциона call с контрактной ценой K S0 . 8. Глоссарий прилагается. Конспект лекций. Как уже отмечалось выше для курса разработано учебное пособие, поэтому ниже приведено содержание только первых двух лекций. Основные определения и факты. Ценные бумаги, фигурирующих на финансовом рынке, делятся на два основных класса: рисковые и безрисковые активы. Все разновидности безрисковых активов ведут себя приблизительно как банковский счёт. Рисковые же активы эволюционируют как акции и имеют ярко выраженный случайный характер. Такая двойственность и легла в основу математического названия финансового рынка-(B,S)-рынка. Прежде чем дать строгое определение этому понятию, рассмотрим две последовательности: B0 , B1 ,..., BN и S 0 , S1 ,..., S N . Нижние индексы обозначают дискретные моменты времени, причём 0 -это начальный момент времени, с которого на финансовом рынке производятся определённые действия, подвергаемые анализу, а N финальный (терминальный) момент времени, на котором этот анализ завершается. Первая последовательность B0 , B1 ,..., BN -это последовательность положительных чисел, которые отражают эволюцию цены единицы банковского счёта. 14 Приведём наиболее общепринятые формулы эволюции банковского счёта. Обозначим через r процентную ставку, приведенную по отношению к определенному временному периоду (год, месяц, день, час и т.д). Эволюция банковского счёта по формуле простых процентов происходит следующим образом: B0 , B1 B0 B0 r B0 (1 r ) B2 B0 B0 r B0 r B0 (1 2r ) ............................................................. Bn B0 (1 nr ) В этом случае проценты начисляются исходя только из начальной суммы, а процентные деньги в дальнейшем увеличении капитала не участвуют. Формула сложных процентов. В этой формуле проценты начисляются с суммы начального капитала и процентных денег: B0 , B1 B0 B0 r B0 (1 r ) B2 B0 (1 r ) B0 r (1 r ) B0 (1 r ) 2 ............................................................. Bn B0 (1 r ) n . В основном в учебном пособии используется формула сложных процентов для банковского счета. Формула сложных процентов может быть записана в виде разностного уравнения: Bi 1 r Bi 1 , i 1,2,..., N . (1.1) В формуле (1.1) проявляется смысл процентной ставки. Процентная ставка по банковскому счету – это отношение наращенного капитала или прибыли: Bi Bi 1 , к капиталу: Bi 1 . 15 Последовательность S 0 , S1 ,..., S N представляет собой последовательность случайных векторов цен акций разного типа: S01 S 1N S11 2 2 2 S1 S0 S S0 , S1 ,..., S N N . ... ... ... Sl Sl Sl 1 0 N Нижний индекс по-прежнему рассматривается как момент времени, в который происходит изменение цен акций, а верхний отражает тип акции. Так как цены акций изменяются случайным образом, то естественно считать, что они представляют собой случайные величины на некотором вероятностном пространстве (Ω,F,P). Мы будем предполагать, что пространство элементарных событий Ω-конечное множество, а элементы множества Ω будем трактовать как состояния финансового рынка. Под F будем понимать σ-алгебру всех подмножеств Ω и каждое событие из F будем трактовать как событие, могущее произойти на финансовом рынке. Так как F конечно, то для неё понятие σ-алгебра совпадает с понятием алгебра событий. Для акций можно ввести понятие процентной ставки, также как это делается для банковского счета: Sik Sik1 , i 1,..., N , k 1,...l Sik1 k i (1.2) В отличие от банковского счета li - случайные величины, определенные на том же вероятностном пространстве, что и стоимости S01 2 S акций. Если известно S 0 0 , то последовательность ... Sl 0 16 11 12 1N 1 ... , 2 ... ,..., N ... полностью определяет последовательность 1l l2 lN случайых векторов S . Определение 1.1. (B,S)-рынком называется объект, состоящий из детерминированной последовательности строго положительных чисел B0 , B1 ,..., BN , интерпретируемых как цены банковского счёта в моменты времени 0,1,2,…,N (цены безрисковых активов), и последовательности неотрицательных случайных векторов S0 , S1 ,..., S N на конечном вероятностном пространстве (Ω,F,P),интерпретируемых как цены акций в моменты времени 0,1,2,…,N. (цены рисковых активов). Определение 1.2. Портфелем ценных бумаг (или финансовой стратегией называется объект ( n , n ) nN0 , состоящий из последовательности случайных величин 0 , 1 ,..., N , где каждое n интерпретируется как число единиц банковского счёта в момент времени n, и последовательности случайных векторов 01 1N 11 02 2 12 0 , 1 ,..., N N , ... ... ... l l l 1 0 N где каждое nk интерпретируется как число акций k-го типа в момент времени n (k=1,2,…,l; n=0,1,2,…,N). Последовательности и определены на том же самом вероятностном пространстве. Определение 1.3. Полным капиталом портфеля π в момент времени n (n=0,1,2,…,N) называется случайная величина X n n Bn n Sn g n , где n S n понимается как скалярное произведение (n=0,1,2,…,N). Причём n не обязаны быть целыми и неотрицательными, n 0 у банка берётся заём. Предполагается, 17 что единица банковского счета – безгранично делима. Аналогичное предположение справедливо для nk . Будем считать, что для момента времени n нам известны все события, которые могут произойти до момента n включительно. Обозначим через Fn -алгебру этих событий. Таким образом, возникает неубывающая последовательность -алгебр: F0 , F1 , F2 ,..., FN . Обычно считается, что F0 тривиальная алгебра, состоящая из двух элементов всего и пустого множества - , то есть F0 , ; финальная -алгебра - FN F . Определение 1.4. Неубывающая последовательность -алгебр событий F0 , F1 , F2 ,..., FN называется фильтрацией (или информационным потоком). Объект (Ω, {Fk }kN0 , F , P) , полученный из вероятностного пространства после внедрения в него фильтрации, называется стохастическим базисом. Поскольку в момент времени нам становится известным цены акций, то естественно считать, что случайный вектор Sn определен на -алгебре Fn , То есть последовательность S является согласованной или адаптированной. Аналогичное можно сказать относительно последовательности процентных ставок . Рассмотрим промежуток времени [n-1,n). Момент n - момент объявления новых цен акций. В этот промежуток времени мы перераспределяем капитал портфеля X n1 между акциями и банковским счетом и получаем в результате n единиц банковского счёта и n акций. В результате возникает уравнение X n1 n Bn1 n Sn1 . (1.3) 18 Выполняя это действие, мы опираемся на информацию доступную до момента времени n 1 включительно, это означает, что n и n определены на -алгебре Fn 1 , то есть предсказуемы. В момент времени n в результате объявления новых цен полный капитал портфеля, как уже отмечалось ранее, X n n Bn n Sn hn Bn . где hn (1.4) gn , такое переобозначение будет удобным в последствие. Если Bn hn 0 , то капитал портфеля определяется только стоимостью акций и банковского счета в момент времени n (самофинансируемый портфель); если hn 0 , то часть средств, полученных от реализации акций и банковского счета, изымается (портфель с потреблением; если hn 0 , то к средствам, полученным от реализации акций и банковского счета добавляется некоторая сумма (портфель с инвестициями). Теорема 1.1 Рассмотрим портфель ( n , n ) nN0 ценных бумаг с капиталом (1.4) и распределением (1.3). Тогда следующие условия равносильны: (b) балансовое соотношение: Bn1n Sn1 n hn Bn , n 1,2,...N . (c) формула приращения капитала: X n n Bn n Sn hn Bn , n 1,2,..., N (d) формула приращения дисконтированного капитала: X n Bn Sn n Bn hn , n 1,2,...N . Заметим, что под дисконтированием в финансовой математике понимается отношение цен рисковых активов к цене безрискового актива. Определение 1.5. Финансовым обязательством[5,стр.17] называется произвольная неотрицательная случайная величина f N 0. 19 Экономически финансовое обязательство-это количество денег, которое мы запланировали получить в терминальный момент в результате ведения портфеля ценных бумаг. Определение 1.6. (B,S)-рынок называется полным[5,стр.23], если любое финансовое обязательство реплицируемо, то есть существует такой самофинансируемый портфель ( n , n ) nN0 , что его финальный капитал в точности совпадает с f N , то есть X N ( x) f N . Определение 1.7. (B,S)-рынок называется безарбитражным [5,стр.23], если не существует самофинансируемого портфеля, удовлетворяющего условиям X 0 0 и X N 0, причём хотя бы одно из чисел X N (i ) 0(i 1,2,..., | |). Определение 1.8. Самофинансируемый портфель ( n , n ) nN0 называется верхним (x, f N )хеджем, если он удовлетворяет условиям: 1) X 0 x 2) X N f N Совокупность всех верхних (x, f N )-хеджей обозначается * ( x, f N ). Определение 1.9. Верхней ценой [5,стр.35](стоимостью) контракта называется число C * inf( x : * ( x, f N ) Ø) Определение 1.10. Самофинансируемый портфель ( n , n ) nN0 называется нижним (x, f N )хеджем, если он удовлетворяет условиям: 1) X 0 x 2) X N f N Совокупность всех нижних (x, f N )-хеджей обозначается * ( x, f N ). Определение 1.11. 20 Нижней ценой (стоимостью) контракта называется число C* sup( x : * ( x, f N ) Ø) Определение 1.12. ( x , f N )-хедж называется совершенным, если он является одновременно верхним и нижним, то есть если выполняется равенство X N f N Теорема 1.2. Если данный рынок безарбитражен, то для любого финансового обязательства f N верно неравенство C* C * . Теорема 1.3. Если данный (B,S)-рынок безарбитражен и полон, то для любого финансового обязательства f N значения C * и C* совпадают, причём для x C* C * существует совершенный (x, f N )-хедж. Определение 1.13. Пусть (Ω, Fn , F , P) nN0 -стохастический базис, а X 0 , X 1 ,..., X N адаптированная последовательность с.в. (т.е. для любых n=0,1,…,N с.в. X n измерима относительно алгебры Fn ). Данная последовательность с.в. называется мартингалом, супермартингалом, субмартингалом , если для любого n=0,1,…,N-1 справедливо: E ( X n1 | Fn ) X n , E ( X n1 | Fn ) X n , E ( X n1 | Fn ) X n соответственно. Разумеется, необходимо существование вышеуказанных условных математических ожиданий. Приведем простой пример. Пример 1.1. Пусть i i0 последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения: -1 и 1 и P i 1 p . Построим последовательность частичных сумм 0 0 , n n1 n . Определим естественную фильтрацию Fn 0 ,..., n . Последняя запись означает, что Fn содержит все события порождаемые случайным набором 0 ,..., n , например, Fn принадлежит событие A 1 2 .... n 5 . Последовательность частичных сумм – 21 адаптированная последовательность относительно этой фильтрации. Вычислим условное математическое ожидание E n Fn1 n1 2 p 1 . Возможны три варианта. Вариант первый, 2 p 1 0 - мартингал, вариант второй, 2 p 1 0 - супермартингал, 2 p 1 0 - субмартингал. Важным инструментом для вычислений в стохастической финансовой математике является разложение Дуба. Разложение Дуба. Пусть адаптированная последовательность X - супермартингал. n Представим X следующим образом X n X 0 X i . Для приращения X i i 1 запишем тождество X i X i E X i Fi 1 E X i Fi 1 . Тогда n n X n X 0 X i E X i Fi 1 E X i Fi 1 . Обозначим через i 1 n i 1 n M n X i E X i Fi 1 , An E X i Fi 1 . Последовательность M с i 1 i 1 M 0 0 является мартингалом, последовательность A с A0 0 - невозрастающая предсказуемая последовательность. Таким образом, X X0 M A. (1.5) Представление супермартингала в виде (1.5) называется разложением Дуба. Является справедливой следующая теорема. Теорема 1.4 Пусть X - супермартингал. Если X X 0 M A , где M - мартингал, A - невозрастающая предсказуемая последовательность с M 0 0, A0 0 , то M M , A A. 22 Отметим, что для дискретного времени получить разложение Дуба тривиальная задача. Для непрерывного времени задача разложения является трудной задачей. Рассмотрим пример на разложение Дуба. Пример 1.2. Пусть в примере 1.1 последовательность частичных сумм является супермартингалом ( 2 p 1 0 ). Построим разложение Дуба для последовательности частичных сумм. Легко вычисляется, что n M n i 2 p 1 , An n 2 p 1) . В этом примере последовательность A i 1 - невозрастающая детерминированная последовательность. Определение 14. Вероятность P* называется мартингальной вероятностью (или мартингальной мерой) данного (B,S)-рынка, если для любого индекса Sni i=1,…,l процесс ( , Fn , P* )nN0 мартингал. Bn Обозначим через P P - множество мартингальных мер эквивалентных исходной мере P . Теорема 1.5. Пусть P* P P . Справедливы импликации: a) портфель самофинасируемый ( Xn , Fn , P* ) nN0 мартингал; Bn b) портфель с потреблением ( Xn , Fn , P* ) nN0 супермартингал; Bn c) портфель с инвестициями ( Xn , Fn , P* ) nN0 субмартингал. Bn 23