C3 Решение. . Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства:

C3 Решите неравенство
.
Решение.
Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства:
.
Обозначим
интервалов:
, тогда
. Решим неравенство методом
Тогда
.
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
.
Решение.
Пусть
тогда неравенство принимает вид:
.
Так как
Получаем:
, то
, а значит,
.
.
Поясним: неравенство
эквивалентно неравенству
выполнено для всех значений переменной. Итак,
Ответ:
и
.
C3 Решите неравенство
.
Решение.
Пусть
, тогда неравенство прини-мает вид:
.
Очевидно
Получаем:
поэтому
т. е.
.
.
Тогда
Ответ:
,
.
C3 Решите неравенство
Решение.
1)
при
.
и
при
;
при
2)
и
;
при
3)
4)
;
при
,
и
при
.
Следовательно, при
имеем:
.
С учетом пунктов 1 — 4 получаем
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
Решение.
.
Чтобы был определен логарифм по основанию
это выражение должно
быть положительно и отлично от 1. Находим:
Упростим неравенство:
откуда
.
Заметим, что
при
При
причем равенство достигается только
получаем:
.
Выделим полный квадрат в основании логарифма:
.
Это выражение больше 1 при всех допустимых . Таким образом,
.
Тогда
откуда
Учитывая, что
и
получаем
.
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
Решение.
Разделим обе части неравенства на
.
:
.
Решение будем искать при условиях
При этих условиях получаем неравенство
.
Получаем:
.
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
Решение.
.
Разделим обе части на
Получим:
.
Сделаем замену:
, тогда получим
откуда
.
Решим полученное рациональное неравенство:
Тогда
Ответ:
.
.
C3 Решите неравенство
Решение.
.
.
Сделав замену переменной
, получаем:
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
.
Решение.
Покажем, что наибольшее значение левой части неравенства равно 1.
Действительно,
в силу тождества
имеем:
.
Поскольку левая часть не больше 1, а правая равна 1, неравенство выполнено тогда
и только тогда, когда оба множителя равны 1, откуда
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
Решение.
Выполним преобразования:
.
;
.
Сделаем замену:
Получим:
.
, откуда
;
.
Решая это неравенство, находим:
или
Если
, то
Если
, то
или
.
.
.
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
Решение.
Выполним преобразования:
.
;
.
Сделаем замену:
Получим:
.
, откуда
;
.
Решая это неравенство, находим:
Если
, то
Если
, то
или
или
.
.
.
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
Решение.
Выполним преобразования:
.
.
Сделаем замену:
Получим:
.
, откуда
.
Решая это неравенство, находим:
Если
Если
Ответ:
, то
, то
или
или
.
.
или
.
.
C3 Решите неравенство
Решение.
Значения х, при которых определены обе части неравенства:
откуда
.
.
Для таких х получаем:
.
Исходное неравенство примет вид:
Так как
, то при условии
.
имеем:
,
откуда
.
Учитывая, что
, получаем:
.
Ответ:
.
C3 Решите неравенство
Решение.
Значения х, при которых определены обе части неравенства:
.
откуда
.
Для таких х получаем:
.
Тогда исходное неравенство примет вид
то при условии
. Так как
,
имеем:
,
откуда
.
Учитывая, что
Ответ:
, получаем:
.
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Область допустимых значений неравенства задается соотношением
.
На области допустимых значений справедливы равносильности:
,
.
Поэтому на ОДЗ имеем:
.
Заметим, что
.
Поэтому
.
Окончательно имеем:
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Область допустимых значений неравенства задается соотношением
.
На области допустимых значений справедливы равносильности:
,
.
Поэтому на ОДЗ имеем:
.
Заметим, что
.
Поэтому
.
Окончательно имеем:
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
По смыслу задачи
,
, откуда
.
При этих значениях переменной:
,
Далее имеем
и
.
.
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
По смыслу задачи
, откуда
.
При этих значениях переменной:
имеем:
.
Тогда:
.
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
В первом неравенстве вынесем общий множитель за скобки, а во втором воспользуемся
тем, что для
,
и
справедлива равносильность:
.
Тогда
.
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
В первом неравенстве вынесем общий множитель за скобки, а во втором воспользуемся
тем, что для
,
и
справедлива равносильность:
.
Тогда
.
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство:
.
Осталось найти положительные решения второго неравенства. Заметим, что
выражение, стоящее под знаком логарифма, не меньше 1:
.
При положительных значениях переменной справедливы неравенства
и
,
а значит,
,и
.
Тем самым, неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба
выражения равны нулю. Следовательно,
Отрицательное решение неравенства не является решением системы.
Ответ:
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Преобразуем первое неравенство:
Решения неравенства:
или
Преобразуем второе неравенство:
Сделав замену
Тогда:
, получаем неравенство
откуда
Решение системы неравенств:
C3 Решите неравенство
или
или
откуда
.
Решение.
Решение ищем на множестве:
Пусть
тогда
, откуда
.
Значит,
С учетом ограничений получаем:
Ответ:
C3 Решите систему неравенств:
Решение.
Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при
Пусть
. Имеем:
т. е. при
Тогда неравенство принимает вид
Подставим в первое неравенство найденные значения
1. При
:
2. При
:
3. При
:
:
откуда
Неравенству удовлетворяют значения
Ответ:
и
;
C3 Решите неравенство
Решение.
1 случай. Если
, то
или
При этих значениях x выражение
имеет смысл, поэтому числа 0 и 6 являются решениями неравенства.
2 случай. Если
, то
и
С помощью метода интервалов получаем:
условие
, находим:
или
Добавляя точки
,
и
;
или
. Учитывая
находим все решения заданного неравенства:
Ответ:
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство.
тогда
,
1 случай:
тогда
или
имеет смысл, поэтому числа
При этих
и
выражение
являются решениями
неравенства.
2 случай:
Решаем неравенство
Получим:
,
или
Решением первого неравенства системы является:
или
.
Решим второе неравенство системы:
;
;
Учитывая, что
, получаем:
.
Решением второго неравенства системы является:
.
, поэтому решением системы неравенств является:
или
Ответ:
.
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство:
Решим второе неравенство системы:
Поскольку
, имеем:
Ответ:
C3 Решите систему
Решение.
Решим первое неравенство
2. Решим второе неравенство:
. Значит,
или
3. Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Поскольку
, получаем:
,
или
.
Ответ:
,
,
.
C3 Решите систему
Решение.
Решим первое неравенство. Приведем второе слагаемое к основанию 3:
.
Неравенство принимает вид
.
Получаем:
или
.
Решим второе неравенство как квадратное относительно
:
.
Получаем:
или
. Следовательно,
или
получить решение системы, найдем общую часть решений неравенств:
,
Ответ:
;
,
.
;
.
C3 Решите систему
Решение.
1.Решим первое неравенство
Получаем:
2. Решим второе неравенство:
или
. Чтобы
3. Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Поскольку
получаем:
или
Ответ:
или
.
C3 . Решите систему
Решение.
Решения обоих неравенств ищем при условии
. Так как при этом условии
то решая первое неравенство, получаем
Решая второе неравенство, получаем:
Решение системы является общей частью решений двух неравенств. Так как
получаем:
Ответ:
C3 Решите систему
или
Решение.
Решения обоих неравенств ищем при условии
Так как при этом условии
то решая первое неравенство, получаем
Решая второе неравенство, получаем:
Значит,
или
Решением системы является общая часть решений двух неравенств.
Поскольку
получаем:
Ответ:
C3 Решите систему
Решение.
Решим первое неравенство:
Сделаем замену
откуда
или
Если
то
откуда
Если
то
или
откуда
Решение неравенства:
или
Решим второе неравенство. Разделим обе части на
Сделаем замену
. Получаем:
Обратная замена дает:
Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Учитывая, что
находим решение системы:
Ответ:
C3 Решите систему
Решение.
Решим первое неравенство. Приведем второе слагаемое к основанию 3:
Неравенство принимает вид
Получаем:
или
Решим второе неравенство как квадратное относительно
Получаем:
или
. Следовательно,
или
.
Чтобы получить решение системы, найдем общую часть решений неравенств:
Ответ:
C3 . Решите систему
Решение.
1.Решим первое неравенство:
2. Решим второе неравенство
при всех
При условиях
и
получаем неравенство
При указанных условиях получаем:
или
3. Решением системы является общая часть решений двух неравенств.
поэтому
или
Ответ:
C3 Решите систему
Следовательно,
Решение.
Решим первое неравенство. Приведем второе слагаемое к основанию 5:
Неравенство принимает вид
Получаем:
или
Решим второе неравенство как квадратное относительно
Получаем:
или
Следовательно,
или
Чтобы получить решение системы, найдем общую часть решений неравенств.
Получим:
,
Ответ:
;
,
;
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Область определения системы задается условием
имеем:
. На множестве
. (1)
Решим второе неравенство:
. (2)
Так как
, окончательно получаем
Ответ:
.
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
Область определения системы задается условием
имеем:
. На множестве
.
Решим второе неравенство:
.
Так как
, окончательно получаем
Ответ:
.
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
;
Тогда
.
;
.
, откуда находим решение первого неравенства системы:
.
2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.
Первый случай:
.
;
Учитывая условие
;
, получаем:
;
Учитывая условие
;
. Второй случай:
;
, получаем
Решение второго неравенства системы:
;
;
.
;
.
;
.
;
;
3. Решение исходной системы неравенств:
Ответ:
.
;
.
;
.
C3 Решите систему неравенств:
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Учитывая, что
получаем:
неравенства системы:
2. Решим второе неравенство системы:
откуда находим решение первого
.
Сделаем замену
Тогда
неравенства системы:
3. Поскольку
или
откуда находим решение второго
;
получаем решение исходной системы неравенств:
Ответ:
C3 № 500113. Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Вернемся к исходной переменной. Имеем:
, тогда:
Решим второе неравенство системы. Используя формулу
получаем:
,
Тем самым, решениями исходной системы неравенств являются
Ответ:
C3 Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Учитывая, что
, получаем:
неравенства системы
.
, откуда находим решение первого
.
2. Решим второе неравенство системы:
.
Сделаем замену
Тогда
неравенства системы:
или
, откуда находим решение второго
.
3. Поскольку
неравенств:
Ответ:
и
;
, получаем решение исходной системы
.
C3 Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Тогда
.
, откуда находим решение первого неравенства системы
.
2. Решим второе неравенство системы:
.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
.
откуда находим:
удовлетворяют условию
Второй случай:
. Все полученные значения переменной
.
.
Учитывая условие
, получаем:
неравенства исходной системы:
3. Поскольку
. Решение второго
получаем решение исходной системы неравенств:
Ответ:
C3 Решите систему неравенств:
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Учитывая, что
получаем:
неравенства системы:
откуда находим решение первого
2. Решим второе неравенство системы:
Сделаем замену
Тогда
или
откуда находим решение второго
неравенства системы:
3. Поскольку
;
получаем решение исходной системы неравенств:
Ответ:
C3 Решить систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Тогда
или
исходной системы:
откуда находим решение второго неравенства
2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.
Первый случай:
откуда находим:
Учитывая условие
получаем:
Второй случай:
Учитывая условие
получаем:
Решение второго неравенства исходной системы:
3. Поскольку
получаем решение исходной системы неравенств:
Ответ:
C3 . Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Тогда
.
, откуда находим решение первого неравенства системы
.
2. Решим второе неравенство системы:
.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
.
откуда находим:
удовлетворяют условию
Второй случай:
Учитывая условие
исходной системы:
3. Поскольку
. Все полученные значения переменной
.
.
, получаем:
. Решение второго неравенства
получаем решение исходной системы неравенств:
Ответ:
Условие
C3 № 500475. Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену
Учитывая, что
, получаем:
неравенства системы
.
, откуда находим решение первого
.
2. Решим второе неравенство системы:
.
Сделаем замену
Тогда
или
, откуда находим решение второго
неравенства системы:
3. Поскольку
Ответ:
.
, получаем решение исходной системы неравенств:
;
.
Условие
C3 № 500589. Решите систему неравенств
Решение.
Решим первое неравенство:
.
Проверим, удовлетворяет ли число −3 второму неравенству:
,
что верно. Следовательно, число −3 удовлетворяет второму неравенству.
Ответ: −3
Условие:
Решите уравнение
cos(2x) + 3sin^2(x) = 1,25
и найдите корни, принадлежащие отрезку [π 5π/2]
Решение:
По формуле косинуса двойного угла преобразуем первое слагаемое:
cos^2(x) - sin^2(x) + 3sin^2(x) = 1.25
cos^2(x) + 2sin^2(x) = 1.25
Используя основное тригонометрическое тождество, получим:
1 + sin^2(x) = 1.25
sin^2(x) = 0.25
sin(x) = (+/-)1/2
Корни уравнения sin(x) = 1/2: x = ((-1)^n)*pi/6 + pi*n
Корни уравнения sin(x) = -1/2: x = ((-1)^(n+1))*pi/6 + pi*n
А и то, и другое сразу можно записать проще:
x = (+/-)pi/6 + pi*n
Осталось только выяснить, какие из корней попадают в указанный промежуток. Если
построить единичную окружность, всё хорошо видно.
Ответ: pi+pi/6, 2*pi-pi/6, 2*pi+pi/6
Ну, или: 7pi/6, 11pi/6, 13pi/6
Ответ:7π/6, 11π/6, 13π/6
Условие:
Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее
арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.
Решение:
Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.
Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a=b=c=2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4
Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.
Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль,
то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4
Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме
(1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3
Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается
вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно
уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара
(b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.
Ответ:(2,2,2) и (1,2,4)
Условие:
Решите уравнение
cos(2x) + 3sin^2(x) = 1,25
и найдите корни, принадлежащие отрезку [π 5π/2]
Решение:
По формуле косинуса двойного угла преобразуем первое слагаемое:
cos^2(x) - sin^2(x) + 3sin^2(x) = 1.25
cos^2(x) + 2sin^2(x) = 1.25
Используя основное тригонометрическое тождество, получим:
1 + sin^2(x) = 1.25
sin^2(x) = 0.25
sin(x) = (+/-)1/2
Корни уравнения sin(x) = 1/2: x = ((-1)^n)*pi/6 + pi*n
Корни уравнения sin(x) = -1/2: x = ((-1)^(n+1))*pi/6 + pi*n
А и то, и другое сразу можно записать проще:
x = (+/-)pi/6 + pi*n
6
sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2
3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2
4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно,
например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами:
S = SO*OH/2 = SH*OM/2, откуда
OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5
Ответ:6/5
Условие:
Решите уравнение (4sin2(x)-3)/(2cos(x)+1)=0
Решение:
Знаменатель не должен обращаться в ноль:
2cos(x)+1 ≠ 0
cos(x) ≠ -1/2
(1) x ≠ ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z
Числитель должен обращаться в ноль:
4sin2(x)-3 = 0
sin2(x) = 3/4
sin(x) = ± √3/2
отсюда
x = ±π/3 + πn, n ∈ Z или, что то же самое,
{x = ±2π/3 + 2πn; x = ±π/3 + 2πn}, n ∈ Z.
Принимая во внимание (1), получаем ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z
Ответ:±π/3 + 2πn
Условие:
Решить неравенство:
log2((7−x2−3)*(7^−x2+16−1))+log2((7−x2−3)/(7^−x2+16−1)) > log2(77-x2-2)2
Решение:
На самом деле, это неравенство значительно проще, чем кажется на первый взгляд.
Разберёмся с ОДЗ:
1. Выражение под первым знаком логарифма должно быть больше нуля:
(7^(-(x^2))-3)*(7^(-(x^2)+16)-1) > 0
-x^2 всегда меньше или равно нулю, следовательно,
7^(-x^2) <= 1, следовательно,
7^(-x^2)-3 <= -2 < 0
Значит, чтобы первое условие на ОДЗ выполнялось, нужно, чтобы
7^(-(x^2)+16)-1 < 0
7^(-(x^2)+16) < 1 = 7^0
-(x^2)+16 < 0
x^2 > 16
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)
2. Выражение под вторым знаком логарифма должно быть больше нуля. Но там результат
будет такой же, как и в первом пункте, поскольку в скобках стоят одинаковые выражения.
3. Выражение под третьим знаком логарифма должно быть больше нуля.
(7^(7-x^2)-2)^2 > 0
Это неравенство всегда справедливо, за исключением случая, когда
7^(7-x^2)-2 = 0
7^(7-x^2) = 7^(log_7(2))
7-x^2 = log_7(2)
x^2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))
Оценим, чему примерно равно sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2) < log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4) < sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3
То есть, условие x не равно (+-)sqrt(7-log_7(x)) уже лишнее, поскольку в п. (1) мы уже
выбросили из ОДЗ включающий эти точки интервал.
Итак, ещё раз ОДЗ:
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)
4. Теперь, пользуясь свойствами логарифма, исходное неравенство можно преобразовать
вот так:
log_2((7^(-x^2)-3)^2) > log_2((7^(7-x^2)-2)^2)
log_2(x) - функция возрастающая, поэтому избавляемся от логарифма, не меняя знак:
(7^(-x^2)-3)^2 > (7^(7-x^2)-2)^2
Оценим сверху и снизу выражения (7^(-x^2)-3)^2 и (7^(7-x^2)-2)^2, принимая во
внимание ОДЗ:
-x^2 < -16
0 < 7^(-x^2) < 1
-3 < 7^(-x^2)-3 < -2
4 < (7^(-x^2)-3)^2 < 9
-x^2 < -16
0 < 7^(7-x^2) < 1
-2 < 7^(-x^2)-2 < -1
1 < (7^(-x^2)-3)^2 < 4
Значит, неравенство выполняется для любых x, принадлежащих ОДЗ.
Ответ:(−∞; -4) ∪ (4; +∞)
задание C4 №68
Центр окружности лежит на катете прямоугольного треугольника с известным
периметром
Условие:
Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54. Окружность радиуса 6, центр
которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найти площадь треугольника
АВС
Решение:
Не думаю, что самое оптимальное решение, но ничего попроще пока не придумалось:
Пусть AC = AH = x, BH = y, BO = z.
Тогда периметр треугольника равен 2x+y+z+6 = 54.
Выразим x, y и z через угол альфа (а):
Из прямоугольного треугольника AHO:
x = 6/tg(a/2).
Из прямоугольного треугольника BHO:
y = 6*tg(a), z = 6/cos(a)
Итак, выражение для периметра становится таким:
12/tg(a/2)+6*tg(a)+6/cos(a)+6 = 54
1/cos(a) + 2/tg(a/2) + tg(a) = 8.
Тут удобно всё выразить через тангенс половинного угла:
(1+(tg(a/2))^2)/(1-(tg(a/2))^2) + 2/tg(a/2) + 2*tg(a/2)/(1-(tg(a/2))^2) = 8.
Обозначим t = tg(a/2), получим
(1+t^2)/(1-t^2)+2/t+2t/(1-t^2) = 8
Путём несложных преобразований приводим это к виду
9t^2 - 9t + 2 = 0
(1) t1 = 1/3
(2) t2 = 2/3
Выражаем обратно x и z (y нам в принципе уже не нужен, поскольку площадь
треугольника будет равна половине произведения катетов, т.е. x*(z+6)/2. Хотя и y тоже по
хорошему стоит вычислить и проверить, получается ли периметр равным 54).
Итак, для случая (1) имеем:
z = 6/cos(a) = 6/((1-1/9)/(1+1/9)) = 7.5
x = 6/tg(a/2) = 6/(1/3) = 18.
S = x*(z+6)/2 = 121.5
Для случая (2) имеем:
z = 6/cos(a) = 6/((1-4/9)/(1+4/9)) = 15.6
x = 6/tg(a/2) = 6/(2/3) = 9.
S = x*(z+6)/2 = 97.2
Ответ:121.5, 97.2
Задание C1 №67
Тригонометрическое уравнение
Условие:
Решить уравнение:
(6cos2x + 5cosx - 4)*sqrt(-4 sinx) = 0
Решение:
Это уравнение эквивалентно совокупности:
1) Уравнение:
sqrt(-4sin(x)) = 0, откуда
sin(x) = 0
x = pi*n
2) Система:
2.1) 6 cos^2 x + 5 cosx - 4 = 0
2.2) -4sin(x) >= 0
В уравнении (2.1) заменим cos(x) на t и получим обычное квадратное уравнение с корнями
-4/3 и 1/2.
-4/3 нам не подходит, поскольку косинус не может быть по модулю больше единицы.
Остаётся cos(x) = 1/2,
x = (+/-)pi/3 + 2*pi*n
Решая неравенство (2.2), получим:
pi+2*pi*n < x < 2*pi + 2*pi*n
(часть единичной окружности, лежащая в нижней полуплоскости).
Из решений уравнения (2.1) этому условию удовлетворяют только корни
x = -pi/3 + 2*pi*n.
Из (1) и (2) получим: pi*n, -pi/3 + 2*pi*n
Ответ:πn, -π/3 + 2πn
Задание C3 №66
Логарифмическое неравенство
Условие:
Решить неравенство:
log|x|(√(9-х2) - x -1) ≥ 1
Решение:
Сперва найдём ОДЗ.
1.1) Условие на основание логарифма:
|x| > 0 => x <> 0 (здесь и дальше "<>" значит "не равно")
1.2) Условие на основание логарифма:
|x| <> 1 => x <> -1, x <> 1
1.3) Условие на выражение под знаком квадратного корня:
9-x^2 >= 0 => (3-x)(3+x) >= 0 => x принадлежит [-3;3]
1.4) Условие на выражение под знаком логарифма:
sqrt(9-x^2)-x-1 > 0
sqrt(9-x^2) > x+1 =>
1.4.1) либо (x+1) < 0 => x < -1
1.4.2) либо система
{9-x^2 > (x+1)^2, x >= -1}
Решая первое неравенство системы, получим
x принадлежит ( (-1-sqrt(17))/2; (-1+sqrt(17))/2 ).
Поскольку sqrt(17) - это примерно sqrt(16)=4, то
(-1-sqrt(17))/2 примерно равно -2.5
(-1+sqrt(17))/2 примерно равно 1.5
Итак, в (1.4.2) у нас получается:
x принадлежит [ -1;-1+sqrt(17))/2 )
Объединяя все условия из (1.3) и (1.4), имеем:
x принадлежит [ -3 ; (sqrt(17)-1)/2 )
Объединив это с (1.1) и (1.2), имеем полное ОДЗ:
[-3; -1) U (-1;0) U (0;1) U (1; (sqrt(17)-1)/2)
Теперь, собственно, само неравенство.
В зависимости от значения x у нас будет тут четыре случая:
2.1) x < -1 => abs(x) = -x > 1
log_(-x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при
потенциировании неравенство знак не меняет:
sqrt(9-x^2)-x-1 >= -x
9-x^2 >= 1
x^2 <= 8
x принадлежит [-2sqrt(2); 2sqrt(2)]
(sqrt(2) - это примерно 1.4, следовательно, 2sqrt(2) = примерно 2.8)
Итого в (2.1) имеем:
x принадлежит [-2sqrt(2);-1)
2.2) -1 < x < 0 => abs(x) = -x < 1
log_(-x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании
неравенство меняет знак:
sqrt(9-x^2)-x-1 <= -x
x^2 >= 8
x принадлежит (-бесконечность; -2sqrt(2)] U [2sqrt(2); бесконечность).
С условием -1 < x < 0 это не пересекается, значит, в случае (2.2) решений нет.
2.3) 0 < x < 1 => abs(x) = x < 1
log_(x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании
неравенство меняет знак:
sqrt(9-x^2)-x-1 <= x
В общем, решается это примерно также, как (1.4). Получится
2(sqrt(11)-1)/5 <= x <= 3
Тут нам важно понять, 2(sqrt(11)-1)/5 больше или меньше 1.
Решение в случае (2.3) будет только если
2(sqrt(11)-1)/5 < 1 => sqrt(11) < 3.5.
3.5^2 = 12.25 > 11, то есть в случае (2.3) мы всё-таки будем иметь решение
[2(sqrt(11)-1)/5; 1)
2.4) x > 1 => abs(x) = x > 1
log_(x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при
потенциировании неравенство знак не меняет:
sqrt(9-x^2)-x-1 >= x
Такое же неравенство, но с обратным знаком, мы уже только что решили, и выяснили, что
больший корень меньше единицы. Следовательно, тут решений нет.
Итак, из (2.1) и (2.3) имеем:
x принадлежит [-2sqrt(2);-1) U [2(sqrt(11)-1)/5; 1)
А вот, для наглядности, как это всё выглядит:
Ответ:[-2sqrt(2);-1) U [2(sqrt(11)-1)/5; 1)
Задание C2 №63
В кубе найдите тангенс угла между прямыми
Условие:
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M,N,P - середины ребер A1B1,B1C1,DC. Найдите тангенс
угла между прямыми MN и A1P.
Решение:
Прямая MN параллельна прямой A1C1. Значит, искомый угол равен углу PA1C1.
Его можно найти из треугольника A1C1P.
A1C1 = sqrt(A1D1^2+D1C1^2) = sqrt(2)
C1P = sqrt(PC^2+CC1^2) = sqrt(1+1/4) = sqrt(5)/2
A1P = sqrt(A1D^2+DP^2) = sqrt(2+1/4) = 3/2
По теореме косинусов:
C1P^2 = A1C1^2 + A1P^2 - 2*A1C1*A1P*cos(PA1C1)
5/4 = 2 + 9/4 - 2*sqrt(2)*(3/2)*cos(PA1C1)
откуда cos(PA1C1) = sqrt(2)/2
Значит, угол PA1C1 равен pi/4, а его тангенс равен 1.
Ответ:1
Задание C4 №62
В угол вписана окружность
Условие:
В угол, равный arccos(-1/9), вписана окружность радиуса 3. Параллельно хорде,
соединяющей точки касания, проведены две касательные к окружности, в результате чего
получилась трапеция. Найдите площадь этой трапеции.
Решение:
Нас интересует площадь трапеции ABCD, Её высота равна 2R=6. Осталось только найти
полусумму оснований (AB+CD)/2.
Из прямоугольного треугольника OLH найдем OH:
OH = OL/sin(OHL).
Для удобства обозначим угол OHL буквой "a".
По формуле косинуса двойного угла:
cos(2a) = 1 - 2sin^2(a), откуда
sin(a) = sqrt((1-cos(2a))/2)
sin(a) = sqrt((1+1/9)/2) = sqrt(5)/3
Чтобы потом к этому не возвращаться,
cos(a) = sqrt(1-5/9) = 2/3
tg(a) = sqrt(5)/3/2*3 = sqrt(5)/2.
Итак, OH = OL/sin(a) = 9/sqrt(5)
Отсюда:
PH = 9/sqrt(3) - 3
QH = 9/sqrt(3) +3
AB = 2*PH*tg(a)
CD = 2*QH*tg(a)
(AB+CD)/2 = 2*9/sqrt(5)*sqrt(5)/2 = 9
S(ABCD) = 9*6 = 54
Ответ:54
Задание C6 №61
Число равно произведению различных натуральных чисел
Условие:
Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое
наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь
число P?
Решение:
Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1)*(p2^k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.
Например,
15 = (3^1)*(5^1)
72 = 8*9 = (2^3)*(3^2)
Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...
Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1^k[1,1])*(p2^k[1,2])*...
N2 = (p1^k[2,1])*(p2^k[2,2])*...
...,
а это значит, что
P = (p1^(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2^(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,
и общее количество натуральных делителей числа P равно
(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...
Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются
последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с
1: N1 = p, N2 = p^2, ... N11 = p^11.
То есть, например,
N1 = 2^1 = 2,
N2 = 2^2 = 4,
N3 = 2^3 = 8,
...
N11 = 2^11 = 2048.
Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.
Ответ:67
Задание C6 №60
Ученик должен был перемножить и разделить
Условие:
Ученик должен был умножить двузначное число на трехзначное и разделить их
произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял
записанные рядом двузначное и трехзначное числа за одно пятизначное. Поэтому
полученное частное (натуральное) оказалось в три раза больше истинного. Найдите все
три числа.
Решение:
Пусть двузначное число - x, трехзначное - y, пятизначное - z.
По условию,
(1000x+y)/z = 3xy/z, то есть
1000x + y = 3*x*y
Раз правая часть этого равенства делится на x, то и левая должна делиться на x, то есть
y = k*x, где k - натуральное число.
1000x + kx = 3*k*x^2
1000 + k = 3*k*x
x = (1000+k)/3k
По условию, 10<=x<=99
(1000+k)/3k >= 10
29k <= 1000
k < 35
(1000+k)/3k <= 99
296k >= 1000
k>3
И еще нам известно, что 1000+k = 3*k*x, то есть (1000+k) делится на 3. Таких чисел
между 3 и 35 десять штук:
5,8,11,14,17,20,23,26,29,32
Нам нужно найти среди них такие, что (1000+k) делится на k.
Без калькулятора - убиться веником. Короче, таких вариантов три:
1. k = 5, x = 67, y = 335
xy = 22445, и это единственное пятизначное число, на которое нацело делится и 22445, и
67335.
2. k = 8, x = 42, y = 336
xy = 14113, и это также единственное пятизначное число, на которое нацело делится и
14113, и 42336.
k = 20, x = 17, y = 340
xy = 5780, что противоречит условию.
Таким образом, у нас имеется два варианта:
67, 335 и 22445; 42, 336 и 14113
Ответ:67, 335 и 22445; 42, 336 и 14113
Задание C1 №59
Тригонометрическое уравнение
Условие:
Решите уравнение:
(8sin22x + cos2x + 1)/sqrt(-sinx) = 0
Решение:
ОДЗ:
-sin(x) > 0
sin(x) < 0
π+2πn < x < 2π+2πn
(часть единичной окружности, лежащая в нижней полуплоскости)
8*(sin(2x))^2 + cos(2x) + 1 = 0
8 - (cos(2x))^2 + cos(2x) + 1 = 0
Делаем замену: cos(2x) = t
8*t^2 - t + 9 = 0
t1 = 18/16 > 1, не подходит
t2 = -16/16 = -1
cos(2x) = -1
2x = π + 2πn
x = π/2 + πn
Если n четное, то x лежит в верхней полуплоскости, это не удовлетворяет ОДЗ. Нам
годятся только решения для нечетных n, что можно иначе записать
x = -π/2 + 2πn
Ответ:-pi/2 + 2πn
Задание C4 №58
Окружность касается двух сторон треугольника
Условие:
Окружность с центром в точке О касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точке К и
М соответственно так, что АК=5 см, СМ=7 см. При этом центр окружности лежит на
стороне АС и делит ее в отношении 4:5. Найдите стороны АВ и ВС.
Решение:
Рассмотрим треугольники ABO и CBO.
Их площади:
S(ABO) = 1/2*AO*BH = 1/2*AB*R
S(CBO) = 1/2*CO*BH = 1/2*BC*R
Отсюда AB/BC = S(ABO)/S(CBO) = AO/CO = 4/5
Обозначив KB=MB=x, получим
(x+5)/(x+7) = 4/5
5x+25 = 4x+28
x=3
Значит, AB = x+5 = 8; BC = x+7 = 10
Ответ:AB = 8 см, BC = 10 см.
Задание C5 №57
Найти все значения a, при которых функция имеет максимум
Условие:
Найти все значения параметра a, при которых функция
f(x) = x^2 - |x-a^2| - 9x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Решение:
Раскроем модуль:
При x <= a^2: f(x) = x^2 - 8x - a^2,
при x > a^2: f(x) = x^2 - 10x + a^2.
Производная левой части: f'(x) = 2x - 8
Производная правой части: f'(x) = 2x - 10
И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у
функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a^2 левая часть
возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая — убывает (то есть 2x-10 < 0).
То есть, получаем систему:
2x-8 > 0
2x-10 < 0
x = a^2
откуда
4 < a^2 < 5
a ∈ (-sqrt(5); -2) ∪ (2;
sqrt(5)) Ответ:(-sqrt(5); -2) ∪ (2; sqrt(5))
Задание C1 №56
Система уравнений
Условие:
Решите систему уравнений:
2y+3cosx = 0
(ln(cos(x))+1)(y-1) = 0
Решение:
Эта система равносильна совокупности из двух систем:
1. {2y+3cos(x)=0, y-1=0, cos(x) > 0}
y = 1;
2+3cos(x) = 0;
cos(x) = -2/3 < 0, следовательно, у этой системы нет решений.
2. {2y+3cos(x)=0, ln(cos(x))+1 = 0}
ln(cos(x)) = -1
cos(x) = 1/e
x = ±arccos(1/e) + 2*π*n, n ∈ Z
2y+3/e = 0
y = -3e/2
Ответ:{y = -3e/2; x = ±arccos(1/e) + 2*π*n, n ∈ Z}
Задание C4 №55
Радиус окружности, вписанной в треугольник...
Условие:
Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, площадь которого равна 210, в три
раза меньше высоты, проведенной из вершины А. Известно, что ВС = 28. Найдите сторону
АС.
Решение:Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника,
поделенной на его полупериметр: r = S/p.В свою очередь, площадь треугольника равна
BC*h/2 (h - высота).
S = 28*h/2 = 14*h = 42*r = 42*S/p.
1 = 42/p.
Отсюда полупериметр p = 42.
Подставляем известные значения BC и p в формулу Герона:
sqrt(42*14*(42-x)*(42-y)) = 210 (x и y - это две неизвестные стороны треугольника).
Отсюда (42-x)*(42-y) = 75.
И ещё нам известен полупериметр: (x+y+28)/2 = 42.
Решаем эту систему из двух уравнений, получаем
{x = 17, y = 39} или {x = 39, y = 17}.
Ответ:17 или 39
Задание C4 №54
Точка, симметричная вершине треугольника относительно медианы, опущенной из
прямого угла
Условие:
Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом &α; при
вершине А. Точка D - середина гипотенузы. Точка С1 симметрична точке С относительно
прямой ВD. Найдите угол АС1В.
Решение:
Здесь у нас может быть два случая: alpha меньше 45 градусов и alpha больше 45 градусов:
Рассуждения, справедливые для обоих случаев:
BD = AC/2 = AD = CD.
Поскольку точка С1 симметрична точке С относительно прямой ВD, то СE = C1E и СС1
перпендикулярна BD. Значит, DC=DC1, BC = BC1, треугольники DCB и DC1B равны.
Углы DCB = CBD = DC1B = DBC1 = pi/2 - alpha.
Углы CDB = C1DB = pi - 2(pi/2 - alpha) = 2*alpha.
Из прямоугольного треугольника BEC1, угол BC1E = pi/2 - (pi/2 -alpha) = alpha.
DC1 = DC = AD, следовательно, треугольник ADC1 - равнобедренный. Угол при его
вершине
ADC1 = pi - CDB - C1DB = pi - 4*alpha.
А углы при основании
DAC1 = DC1A = (pi - ADC1)/2 = 2*alpha.
Соответственные углы DAC1 = CDB, следовательно, прямые DB и AC1 параллельны.
Следовательно, углы CED = AC1E = pi/2.
Осталось только заметить, что в первом случае
Угол AC1B = AC1E + BC1E = pi/2 + alpha
Во втором случае
Угол AC1B = AC1E - BC1E = pi/2 - alpha
А при alpha = 45° задача не имеет смысла, поскольку точки A и С1 совпадают.
Ответ:
&pi/2+&alpha при α<45°, &pi/2-&alpha при α>45°
Ответ:(-sqrt(5); -2) ∪ (2; sqrt(5))
Задание C1 №53
Тригонометрическое уравнение
Условие:
(cosx+sqrt(2)/2)(tg(x-π/4)-1)=0
сколько корней на отрезке [0;2π]
Решение:
Это уравнение равносильно совокупности:
1. система
cos(x)+sqrt(2)/2 = 0
x-pi/4 не равно pi/2+pi*n
x = (+/-)3*pi/4 + 2*pi*n
x не равно 3*pi/4 + pi*n
откуда
x = -3*pi/4 + 2*pi*n
2. уравнение
tg(x - pi/4) = 1
x - pi/4 = pi/4 + pi*n
x = pi/2 + pi*n
Значит, все корни уравнения:
x = -3*pi/4 + 2*pi*n, x = pi/2 + pi*n
На отрезке [0,2*pi] будет три корня: pi/2, 5*pi/4 и 3*pi/2.
Ответ:(-sqrt(5); -2) ∪ (2; sqrt(5))
3
Задание C2 №52
Правильная треугольная пирамида, медиана основания, площадь треугольника
Условие:
DABC-правильная треугольная пирамида. Строна основания три корня из трёх. Боковое
ребро 5, MC медиана треугольника ABC. Найти площадь треугольника MDC.
Решение:
В правильной треугольной пирамиде основание - равносторонний треугольник. Значит,
MC - высота и биссектриса.
Значит
MC = BC*sin(60 градусов) = 3*sqrt(3)*sqrt(3)/2 = 9/2.
DM = sqrt(DB^2-BM^2) sqrt(5^2-(3*sqrt(3)/2)^2) = sqrt(73)/2.
DC = 5;
А дальше - например, по формуле Герона:
Полупериметр p = (MC+DM+DC)/2
S = sqrt(p*(p-MC)*(p-DM)*(p-DC))
Но без калькулятора такую штуку считать - с ума сойдешь.
Можно иначе.
Пусть DP - высота пирамиды. Точка P - точка пересечения медиан/биссектрис/высот
треугольника ABC, и мы знаем, что она делит их в отношении 2:1.
То есть, PC = MC*2/3 = 9/2*2/3 = 3.
Значит, высота пирамиды
DP = sqrt(DC^2-PC^2) = 4
Площадь треугольника MDC равна MC*DP/2 = 9/2*4/2 = 9.
Ответ:9
Задание C2 №51
Точка равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника
Условие:Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС (угол С=90 градусов). АС=ВС=4см. Расстояние от точки М до
плоскости треугольника равно 2*sqrt(3) см. Найдите расстояние от точки Е - середины
стороны АВ - до плоскости ВМС.
Решение:
Поскольку треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то AE = CE = BE, а это
значит, что E - это проекция точки M на плоскость ABC и ME = 2*sqrt(3).
Пусть D - середина BC.
Искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра EH, опущенного из точки E к MD.
ED = AC/2 = 2.
Отсюда MD = sqrt(ME^2+ED^2) = sqrt(12+4) = 4.
Прямоугольные треугольники EHD и MED подобны (угол D общий), значит,
ED/MD = EH/ME.
Отсюда
EH = ME/2 = sqrt(3).
Ответ:
sqrt(3)
Задание C5 №50
Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение
Условие:
Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых уравнение аx =
x имеет единственное решение.
Решение:
Пусть f(x) = a^x, g(x) = x.
Функция g(x) - непрерывная, строго возрастающая на всей области определения и может
принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.
При 0 < a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения
и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a
уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.
При a = 1 функция f(x) тождественно равна единице, и уравнение f(x) = g(x) также имеет
единственное решение x=1.
При a > 1:
Производная функции h(x) = (a^x-x) равна
(a^x-x)' = a^x*ln(a)-1
Приравняем её к нулю:
a^x*ln(a) = 1
a^x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).
У производной единственный ноль. Слева от этого значения функция h(x) убывает, справа
- возрастает.
Поэтому она либо вообще не имеет нулей, либо имеет два нуля. И один корень она имеет
только в том случае, когда он совпадает с найденным экстремумом.
То есть, нам требуется найти такое значение a, при котором функция
h(x) = a^x-x достигает экстремума и обращается в ноль в одной и той же точке. Иными
словами, когда прямая y=x является касательной к графику функции a^x.
То есть
a^x = x
a^x*ln(a) = 1
Подставляем a^x = x во второе уравнение:
x*ln(a) = 1, откуда ln(a)=1/x, a = e^(1/x).
Снова подставляем во второе уравнение:
(e^(1/x))^x*(1/x) = 1
e^1 = x
x = e.
А это подставляем в первое уравнение:
a^e = e
a = e^(1/e)
Ответ:(0;1] ∪ {e(1/e)}
Задание C2 №49
В равнобедренном прямоугольном треугольнике
Условие:
В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов лежит в плоскости a, а
другой образует с ней угол 45 градусов. Найдите угол между гипотенузой данного
треугольника и данной плоскостью.
Решение:
Треугольник ABC, угол C - прямой, BC принадлежит плоскости.
AC = BC = x, AB = x*sqrt(2)
Опустим перпендикуляр AA1 к плоскости a.
Искомый угол - угол A1BA.
Угол A1CA равен 45 градусов, угол AA1C - прямой. AA1 = AC*sin(45 градусов) =
x/sqrt(2).
sin(A1BA) = AA1/AB = (x/sqrt(2))/(x*sqrt(2)) = 1/2
Угол A1BA = arcsin(1/2) = 30 градусов.
Ответ: 30°
Задание C2 №48
Расстояние от диагонали куба до диагонали его грани
Условие:
Ребро куба равно корень из 6. Найдите расстояние между диагональю куба и диагональю
любой из его граней.
Решение:
Ответ:1
Задание C3 №47
Логарифмическое неравенство
Условие:
Решить неравенство:
logx+3(9-x2) - (1/16)*log2x+3(x-3)2 ≥ 2
Решение:
Ответ:-1
Задание C4 №46
Биссектриса треугольника
Условие:
В треугольнике АВС сторона ВС вдвое длиннее стороны АВ. На ВС выбрана такая точка
Д, что ВС:СД=3:2. Отрезок АД пересекает биссектрису ВЕ в точке К. Найдите отношение
ВК:КЕ
Решение:
По теореме о биссектрисе, она делит противоположную сторону в отношении, равном
отношению двух прилежащих сторон.
То есть, AE/CE = AB/BC.
Значит, AE/CE = 1/2 = BD/CD.
Поэтому, по теореме, обратной теореме Фалеса, отрезки AB и DE параллельны.
Это значит, что угол EDA равен углу BAD и угол DEB равен углу ABE (как накрест
лежащие). Значит, треугольники DEK и AKB подобны, и BK/KE = AK/KD.
А всё по той же теореме о биссектрисе, AK/KD = AB/BD = 3/2.
Ответ:3/2
Задание C6 №45
Все натуральные числа, которые имеют ровно 15 делителей
Условие:
Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют
ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
Решение:
Любое натуральное число n представимо в виде
n = p1k1·p2k2·... и т.д.,
где p1, p2 и т. д. — простые числа, а k1, k2 и т.д. — целые неотрицательные числа.
Причём общее количество натуральных делителей числа n равно
(k1+1)·(k2+1)· и т.д.
Раз по условию задачи число n заканчивается на 0, то оно делится как минимум на два
простых числа — 5 и 2, то есть представимо в виде
n = 2k1·5k2·... и т.д., где k1 > 0 и k2 > 0,
то есть число натуральных делителей числа n должно раскладываться как минимум на два
натуральных сомножителя, отличных от единицы.
Число 15 при таком условии раскладывается на множители всего двумя способами: 3·5
либо 5·3
Отсюда:
1) n = 2(3-1)·5(5-1) = 2500
2) n = 2(5-1)·5(3-1) = 400
Ответ:400 и 2500
Задание C6 №44
Наибольший общий делитель всех чисел вида
Условие:Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида р2-1, где р - простое
число, большее 3, но меньшее 2011.
Решение:
р2-1 = (p-1)(p+1)
Раз p - простое число, большее 3, то и (p-1), и (p+1) - чётные, то есть делятся на два. А из
двух последовательных чётных чисел одно из них делится на 4.
Кроме того, из трёх последовательных натуральных чисел (p-1), p, (p+1) ровно одно
делится на 3. А раз p - простое, большее 3, то это либо (p-1), либо (p+1).
Значит, (p-1)(p+1) делится на (2*2*2*3) = 24.
Ответ:24
Задание C2 №48
Расстояние от диагонали куба до диагонали его грани
Условие:
Ребро куба равно корень из 6. Найдите расстояние между диагональю куба и диагональю
любой из его граней.
Решение:
Ответ:1
Задание C2 №30
Угол между плоскостями сечения и основания цилиндра
Условие:
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21.
Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тнгенс угла между
этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение:
Пусть AB=10 и C1D1 = 24 - хорды, по которым сечение пересекает основания цилиндра.
Плоскости оснований параллельны, значит, AB и C1D1 тоже параллельны.
Опустив перпендикуляры из точек C1 и D1 к плоскости OAB, получим отрезок CD,
равный C1D1. Пусть K, L и L1 - середины хорд AB, CD и C1D1 соответственно.
Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания цилиндра будет равен углу
L1KL. Его тангенс мы найдём из прямоугольного треугольника L1LK: tg(L1KL) =
LL1/LK.
LL1 = образующей цилиндра = 21
LK = LO+OK.
Из прямоугольного треугольника CLO:
LO = sqrt(CO^2-CL^2) = sqrt(13^2-12^2) = 5
Из прямоугольного треугольника AKO:
OK = sqrt(AO^2-AK^2) = sqrt(13^2-5^2) = 12
LK = 5+12 = 17
tg(L1KL) = LL1/LK = 21/17
Ответ:21/17
Задание C2 №42
В правильной шестиугольной призме найти косинус угла между прямыми
Условие:
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус
угла между прямыми АВ1 и BD1.
Решение:
Решение и чертёж
Ответ: sqrt(2)/4
C3
Решите систему неравенств:
{4x+1−17⋅2x+4≤0,log2|x|(x2)+log2(x2)≤8. За правильный ответ 3 балл(ов)
Правильный ответ: