АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА И АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ . Тестовые задания

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет Математики, Механики и компьютерных наук
Тестовые задания
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА И
АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ .
СОСТАВИТЕЛЬ - МЕРМЕЛЬШТЕЙН Г.Г.
РОСТОВ – НА – ДОНУ
2007
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примеры тестовых заданий для проверки качества знаний.
1. Рассчитайте период времени, за который первоначальный капитал удвоится.
Ставка доходности равна i .
(а) при наращении по правилу простого процента;
(б) при наращении по правилу сложного процента
2. Вычислите размер эквивалентной номинальной процентной ставки i (12) ,
если фактическая ставка i равна 15% годовых.
3. Вычислите размер эквивалентной фактической процентной ставки i , если
номинальная ставка i ( 2) равна 10%, начисление процентов – раз в полгода
(период капитализации - полгода).
4. Определить текущую стоимость векселя на сумму 50 тыс. руб. сроком на 2
года при использовании сложной учетной ставки 40% годовых.
5. Существует обязательство уплатить 100 000$ через 10 лет. Стороны
согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через
2 года выплачивается 30 000$, а оставшийся долг погашается равными
платежами в конце каждого года из оставшихся 8-и лет. Найдите сумму
платежа, при условии, что ставка доходности равна 10% годовых.
6. Каков минимальный срок (в месяцах), чтобы
накопления превысили
30000$, при условии, что в конце каждого месяца вносится сумма 500$, а на
накопления начисляются проценты по ставке 9% годовых (начисление по
правилу сложных процентов)?
7. Клиент в течение 5 лет в начале каждого года делает вклады в банк в
размере 10 тыс. руб. под 20% годовых. Определить величину накопленной
суммы к концу 5-го года.
8. Клиент заключает с банком договор о выплате ему в течение 5 лет
ежегодной ренты (аннуитета) в размере 10 тыс. руб. в начале каждого года.
Какую сумму необходимо ему внести в начале первого года, чтобы
обеспечить эту ренту, исходя из годовой процентной ставки 20%?
2
9. Какое из равенств верно?
a)
t |u
qx  t px  t u px ;
b)
t |u
qx  t px u qx t ;
c)
t |u
qx  t px  t u px ;
d)
t |u
q x  t p x t q x u .
10. Какое из равенств верно?
a)
k s
qx  k qx  s qx ;
b)
k s
q x  k q x  k |s q x ;
c)
k s
qx  k qx  k |s q x ;
d)
k s
qx 
k |s
q x  s qx .
11. В предположении о постоянной силе смертности в течение возрастного года
[x,x+1] в каждом месяце в среднем (выберите правильный ответ)
a) Умирает равное число людей
b) Умирает равная доля от числа доживших до начала данного месяца
c) Умирает равная доля от числа умерших в предыдущие месяцы года
d) Количество умирающих пропорционально номеру месяца.
12. По данным таблицы смертности вычислите вероятность того, что человек
возраста 50 лет умрет между возрастами 65 и 75 лет.
13. Найдите
2|2
q20 , если  ( x)  0, 002 для 20  x  25 .
14. Ожидаемая усеченная предстоящая продолжительность жизни выражается
следующим образом:

a) ex   k px
k 0

b) ex   k qx
k 1

c) ex   px  k
k 1

d) ex   k px
k 1
3
15. Согласно закону смертности Гомпертца, на одной прямой лежат точки
вида
a) ( x, exp( px ))
b) ( x,  x )
c) ( x, ln(qx ))
d) ( x,ln(  x ))
16. В предположении о равномерном распределении смертей внутри каждого
годичного интервала вычислите вероятность того, что лицо (50) умрет
1
1
между возрастами 50 и 51 .
2
2
17. Вычислить, пользуясь учебной таблицей смертности :
(а) вероятность того, что лицо возраста 40 лет доживет до 90 лет;
(б) вероятность того, что лицо возраста 38 лет умрет в интервале от 66 до
71;
(в) вероятность
того,
что лицо возраста 38,5 лет доживет до 60 (в
предположении о равномерном распределении смертности в течение
года).
18. Пользуясь примером таблицы смертности, вычислите:
(а) вероятность того, что лицо возраста 29 лет умрет в интервале от 39 до
45;
(б) вероятность того, что лицо возраста 47,5 лет не доживет до 68.
19. Используя таблицу смертности, в предположении о постоянной силе
смертности найдите силу (интенсивность) смертности 60.5   между
возрастами 60 и 61.
20. Пусть t px  e  t .
(а) Найти силу смертности  x t .
(б)
Найти вероятность s| qx того, что индивидуум возраста x лет проживет s
лет и затем умрет в течение одного года.
4
(в) Найти среднюю продолжительность предстоящей жизни индивидуума
возраста x лет.
21. Предположим, что для всех возрастов x сила смертности постоянна и равна
 . Найти
20|10
p55 .
22. Предположим, что
t
p0  1 
t
.
100
(а) Сравните число умирающих в возрастных интервалах [20,30] и [50,60].
(б) найдите среднюю продолжительность жизни при рождении.
(в) выпишите формулу для силы смертности и объясните ее.
(г) Как Вы считаете, реалистичен ли данный закон смертности?
Аргументируйте свою точку зрения.
23. Сформулируйте две основные актуарные гипотезы о смертности в нецелых
возрастах: равномерная смертность и постоянная сила смертности.
Выведите выражения для силы смертности  x u при первой гипотезе и
вероятности смерти u qx при второй, u  [0,1].
24. Согласно
таблице
1997
года,
d33  480.
При
двух
различных
предположениях о распределении смертности в течение года (равномерная
смертность и постоянная сила смертности) найдите среднее число
умирающих
(а) в возрасте от 33,5 до 34;
(б) в возрасте от 33 года 3 месяца до 33 года 4 месяца.
25. Рассмотрим группу из 4-х человек возраста 60 лет. Используя таблицу
смертности, вычислите вероятность того, что по крайней мере 2 доживут
до возраста 80 лет.
26. Пусть ставка доходности равна 6% годовых. Используя таблицу
смертности, найдите:
(а)
A1
40:2
(б)
A
1
50:10
5
(в) A40:2
27. Пусть lx  100  x при 0  x  100 и i  0.04 . Вычислите
(а) A30:20
(б) ( IA)30
28. Если Ax  0, 25, Ax 20  0, 40, Ax:20  0,55 , найдите
(а) A
1
x:20
(б) A1
x:20
29.
Используя таблицу смертности, определить
ожидаемую
текущую
стоимость контракта на дожитие сроком на 5 лет на сумму 100 000 руб.
для человека в возрасте 40 лет, исходя из годовой процентной ставки 10
%.
30. Человек возраста 40 лет покупает за 50 тыс. руб. пожизненный аннуитет с
выплатами, начинающимися в возрасте 65 лет. Используя таблицу
смертности, определить размер ежегодной выплаты. Процентная ставка –
5% годовых.
31. В рамках модели индивидуального риска рассмотрим портфель из 50
однотипных полисов, премии по которым вычисляются из принципа
математического ожидания с коэффициентом нагрузки 0.1. Оценить,
насколько возможна полная оплата исков (вычислить соответствующую
вероятность), когда отдельный иск имеет:
а) экспоненциальное распределение со средним 100;
б) нормальное распределение со средним 100 и дисперсией 400;
в) равномерное распределение на отрезке [70, 30].
Считать, что каждый полис приводит ровно к 1 иску.
32. В модели Крамера-Лундберга известны следующие показатели: скорость
поступления премий 1, интенсивность пуассоновского процесса 0.5,
среднее значение выплат по одному иску равно 1, дисперсия - 5. Оценить
сверху коэффициент Лундберга.
33. В своих расчетах страховая компания установила, что вероятность подачи
иска по 1 договору в течение года равна 0.02, среднее значение выплат по
1 иску $ 920, среднеквадратическое отклонение $ 52. Компания заключила
1000 договоров сроком действия на 1 год. Оценить вероятность того, что
суммарные выплаты превысят $14000.
6