О технологии вычислительных экспериментов в моделях ипотеки.

Гасанов И.И., Ерешко А.Ф., Байрамов О.Б.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
О ТЕХНОЛОГИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ В МОДЕЛЯХ ИПОТЕКИ
В работах группы ВЦ РАН по ипотечному кредитованию рассматривается
несколько сценариев организации коалиции ипотечных заёмщиков (ССК,
ссудно-сберегательной кассы). В частности рассматриваются различные
варианты очередей из участников, постепенно, шаг за шагом, вступающих в
коалицию, и сценарий общего старта. Здесь приведём характерные фрагменты
исследований для иллюстрации общих подходов.
Введение
Как неоднократно отмечалось в работах [1-3], на практике функционирование
объединений ипотечных заёмщиков (в частности, в форме очереди) сопряжено с рисками,
обусловленными неопределенностью в изменении рыночных ставок ut , t ,  t и цен на
жилье C t . Рассмотрим вопрос, как изменение этих параметров рынка влияет на
финансовые показатели очереди ипотечных заёмщиков. Для этого построим некоторую
модель динамики цен и рыночных ставок в виде стохастического процесса и проведем
статистические испытания, рассчитывая финансовые показатели очереди при разных
реализациях этого процесса.
Далее мы будем изучать свойства следующей модели очереди.
Будем предполагать, что все операции очереди проводятся в отстоящие друг от друга
на равные промежутки времени  моменты времени t . Пусть первый договор очереди
заключается в момент 0, остальные договоры заключаются в последовательные моменты
1,2,....M ровно по одному договору в каждый из моментов времени. M – точка обрыва
очереди, промежуток времени между открытием очереди и ее обрывом равен M   .
Договор с клиентом очереди характеризуется следующими параметрами.
t  k – начало действия договора k .
r – максимальное количество периодических вкладов клиентов очереди вплоть до
момента приобретения жилья.
U k – размер периодических вкладов клиента k .
uk (t ) – проценты по периодическим вкладам клиента k , начисляемые на его счет в
ССК.
d – доля от стоимости приобретаемого жилья, после накопления которой клиент
очереди получает кредит на приобретение жилья.
s – количество кредитных выплат, производимых клиентом очереди после
приобретения жилья.
vk – проценты по кредиту, выданному клиенту k .
Первый вклад клиентом k производится в момент заключения договора k , и затем в
последовательные моменты t . Пусть C t – стоимость жилья, соответствующего договору
k в момент времени t . Если в некоторый момент времени i сумма вкладов клиента k
вместе с начисленными на них процентами превышает величину d  Ci , то клиент получает
кредит и приобретает жилье даже в том случае, если количество сделанных им вкладов
меньше r . Иначе, клиент k производит последний вклад, получает кредит и приобретает
жилье в момент i  k  r 1 .
Аннуитетные выплаты кредита клиента k рассчитываются по формуле:
(1 0.01 vk ) s
Vk  Rk  0.01 vk 
.
(1 0.01 vk ) s 1
После открытия очереди на ее счета начинают поступать денежные средства от
клиентов, которые затем расходуются на приобретение жилья для клиентов и погашение
внешних кредитов очереди. Временно свободные средства размещаются на внешних
вкладах под рыночный процент. Обозначим ставку таких вложений через  t . Если в
результате операций по приобретению жилья все накопления оказываются исчерпанными,
то очередь вынуждена прибегать к заимствованию средств на кредитном рынке по
текущей ставке  t . Будем предполагать, что внешние вложения и заимствования очереди
каждый раз производятся на срок  и, при необходимости, продлеваются. Схема операций
такова, что у очереди не может быть одновременно средств, размещенных на внешних
вкладах, и обязательств по внешним кредитам. Если в текущий момент сумма внешних
вкладов очереди положительна, то обозначим эту сумму через Gt и назовем
положительным балансом очереди. Если в момент t очередь имеет кредитный долг, то
объем этого долга, взятый со знаком минус, назовем отрицательным балансом очереди:
Gt  0 . Важно отметить, что и при положительном, и при отрицательном значении
величины Gt кредитором для клиента очереди является ССК, т.е. очередь, в случае
необходимости, берет внешний кредит на покупку жилья для клиента по ставке  t и
одновременно выдает клиенту кредит на недостающую сумму по ставке vk  vt .
Динамика величины Gt описывается следующей формулой.
Gt 1  (1 0.01  t )   Gt  Wt11  Wt 21  Yt 1
Здесь:  t   t , если Gt  0 и  t   t , если Gt  0 ; Wt11 – текущие вклады клиентов
очереди, еще не получивших кредит; Wt 21 – текущие поступления от возврата кредита
клиентами очереди, купившими жилье; Yt 1 – текущие расходы на приобретение жилья
для клиентов очереди.
Для описанной модели установлен факт самофинансирования, т.е. существования
ставки v строго меньшей, чем внешняя кредитная ставка  .
1. Автономная работа ССК в условиях случайного роста цен.
В основу изменения параметров рынка положим изменение темпа инфляции. Пусть
~
It  I 0  It ,
~ ~
~ ~
~ ~
~
~2
I t 1  I t  h0  t  h1  ( I t  I t 1 )  h2  ( I t 1  I t 2 )  sign ( I t ) h3  I t .
Здесь I 0 – среднее значение темпа инфляции, t – случайная величина со
стандартным нормальным распределением, h0  h3 константы, регулирующие амплитуду
колебаний темпа инфляции.
Рассматриваются два экономических сценария: со средним значением инфляции
0
I  2 и I 0  10 .
Будем предполагать, что темп изменения цен на жилье a колеблется около темпа
инфляции по следующему закону.
at  (1 d t ) I t ,
d t  h4  d t 1  h5  t .
Здесь t – случайная величина со стандартным нормальным распределением, h4 , h5 –
коэффициенты, регулирующие амплитуду колебаний величины d t .
Пусть ставки ut , t ,  t изменяются один раз в год и линейно зависят от темпа
инфляции. Были выбраны базовые значения этих ставок для сценариев I 0  2 и I 0 10 :
~
~
u~ 2 ,  2 , ~ 2 , u~ 10 ,  10 , ~ 10 . Ставки ut ,  t ,  t рассчитывались следующим образом. Если
~
~ ~
I R (t )  0 , то  t  2  ( 10  2 ) ( I R( t )  2) / 8 , иначе  t  0 . Здесь через  обозначена ставка u , 
либо  , I R (t ) – инфляция за календарный год R , предшествующий моменту t . Отметим,
что при темпах инфляции 2 и 10 ставки принимают базовые значения.
Значения констант h0  h5 подбирались исходя из следующих требований. Для темпа
инфляции I t и отклонений темпа изменения цен на жилье от I t величины dt задавались
некоторые границы. Выбирались такие значения параметров h0  h5 , при которых на
промежутке в 60 лет (максимальное время жизни очереди 1.2) вероятность выхода
значений I t и dt за каждую из заданных границ была около 10%. Для сценария I 0  2
такими границами для I t были выбраны 0 и 4, а для d t – -4 и +4. Для сценария I 0 10
границами для I t были выбраны 5 и 15, а для dt – -10 и +10. Кроме того, для того, чтобы
отразить изменчивость показателей I t и dt , параметры h0  h5 выбирались так, чтобы на
промежутке времени в 60 лет число периодов, в течение которых сохраняет знак разность
I t  I 0 и число периодов, в течение которых сохраняет знак разность I t  dt , было в
среднем около 20-ти.
Параметры h0  h5 настраивались методом Монте–Карло. Для этого использовался
"полигон", составленный из реализаций случайных величин  t , t . Полигон  состоит из
500 строк, каждой из которых сопоставлена одна из реализаций случайного процесса.
Строка содержит 240 пар значений ,  , что при  1/ 4 соответствует продолжительности
процесса в 60 лет. На этом же полигоне проводились все варианты расчетов показателей
функционирования очереди этого и следующих разделов. После выбора коэффициентов
h0  h5 , верифицированных для одного из вариантов параметра I 0 , по формулам 6.1, 6.2 и
значениям ,  из строки матрицы  вычисляются темпы инфляции и цены на жилье на
60-летний период. Таким образом определяются 500 реализаций случайного процесса
динамики цен. С использованием этих реализаций проводилось 500 испытаний для
рассматриваемого варианта функционирования очереди, и рассчитывались необходимые
показатели.
Расчеты во всех экспериментах проводились для очередей 1.1, 1.2, а именно, для
очередей с общими параметрами   1/ 4 , s  40 , d  0.5 и промежутком времени между
учреждением очереди и заключением последнего договора в 20 и 40 лет, соответственно.
Рассматривалось два варианта для числа вкладов до покупки жилья: r  41 и r  21 .
~
Ориентировочная стоимость приобретаемого жилья Ct рассчитывалась исходя из
предположения росте его стоимости с темпом равном I 0 , среднему значению темпа
инфляции.
Доходы клиентов очереди от вложений до покупки жилья рассчитывались по
текущим (т.е. плавающим) ставкам ut . Также по текущим ставкам  t ,  t рассчитывались
доходы и кредиты очереди. Для расчета этих ставок использовалось базовые ставки
u~ 2  3, ~ 2  5, u~10  8, ~ 10 14 и два варианта базовых ставок по вложениям временно
~
~
~
~
свободных средств:  2  3,  10  8 и  2  4,  10 11 . Таким образом, с учетом двух сценариев
динамики цен ( I 0  2 и I 0 10 ) для каждой модели проводилось до 8-ми вариантов
расчетов.
Во всех расчетах ставки кредитов, выдаваемых клиентам очереди, рассчитывались
как фиксированный процент  от рыночной ставки кредитов на момент приобретения
жилья: vt    t .
В расчетах определялось такое минимальное значение  , при котором итоговый
баланс очереди GT для всех 500 испытаний был бы равен 0. Рассмотрим следующую
гипотезу: вероятность того, что при так выбранном  величина GT окажется
отрицательной, не меньше, чем 1%. Тогда вероятность того, что в серии из 500 испытаний
эта величина во всех случаях окажется положительной, меньше, чем
(1 0.01)500  e 5  0.0067 . Это позволяет уверенно предполагать, что в рамках
рассматриваемой модели при таком  вероятность того, что очередь закончит свою
деятельность с отрицательным балансом, меньше 1 процента.
Замечание. Поскольку вероятность отрицательного значения GT все же сохраняется
при любом выборе  , СКК необходимо страховать очередь от такого исхода. Страхование
ляжет дополнительным бременем на клиентов очереди, а значит, приведет к некоторому
увеличению значения  . Если вероятность того, что значение GT  0 и абсолютная
величина GT невелики, то стоимость страхования должна быть также незначительной. В
то же время, при оценке стоимости страхования следует учитывать, что временная
продолжительность очереди заранее не известна. Для выбора оптимального с учетом
страхования значения  требуется дополнительное исследование с использованием
заслуживающей доверия модели динамики цен. Однако, так как с увеличением значения
 вероятность отрицательного GT быстро падает, можно ожидать, что влияние
страхования на значение  незначительно.
Результаты расчетов для сценариев базовой инфляцией I 0  2 и I 0 10 приведены в
таблице
I 0 10
I0 2
~
~
M  80, r  21 ,  2  3,  10  8   0.88, v(10) 12.32   0.91, v( 2)  4.55
~
~
M  80,r  21,  2  4,  10 11   0.84, v(10) 11.76   0.89, v( 2)  4.45
~
~
M  80, r  41 ,  2  3,  10  8   0.83, v(10) 11.62   0.84, v( 2)  4.2
~
~
M  80,r  41,  2  4,  10 11   0.75, v(10) 10.5   0.77, v( 2)  3.85
~
~
M 160,r  21,  2  3,  10  8   0.84, v(10) 11.76   0.88, v( 2)  4.4
~
~
M 160,r  21,  2  4,  10 11   0.82, v(10) 11.48   0.87, v( 2)  4.35
~
~
M 160,r  41,  2  3,  10  8   0.78, v(10) 10.92   0.78, v( 2)  3.9
~
~
M 160,r  41,  2  4,  10 11   0.72, v(10) 10.08   0.73, v( 2)  3.65
Через v() в таблице обозначено значение ставки v при инфляции I  I 0 . Ставки v
из данной таблицы заметно менее привлекательны для клиентов ССК, чем те же ставки
для очередей без случайностей. Тем не менее, эффект очереди работает и остается
существенным и в рассмотренном здесь случае. Как и при равномерном росте цен,
влияние на значения v ставок  возрастает с ростом r . При больших значениях 
уменьшение периода до обрыва очереди не так сильно влияет на рост ставок v .
2. Сценарий общего старта.
В работе [1] исследуется общая финансовая модель коалиции ипотечных заёмщиков
в форме динамической системы при различных организационных основаниях. Здесь
излагается случай, когда все участники начинают своё участие в Проекте в один и тот же
момент времени. Рассматривается строительный кооператив, организованный по
следующим принципам. Целью кооператива является строительство жилого комплекса
для его участников. Все участники входят в кооператив одновременно в операционный
период 1 и в дальнейшем производят синхронные взносы в операционные периоды
n1 ,n 2 ,...n D , n1 1 . Размер взносов участника зависит от стоимости его будущего жилья. На
взносы начисляются проценты по ставкам un . Кооператив заключает договор на
строительство жилого дома со строительной компанией и полностью или частично
финансирует строительство за счет взносов участников. В операционный период
кооператив проводит текущие операции по договорам с клиентами, заключает новые
договоры с клиентами, а также производит кредитно-депозитные операции на рынке
заимствований. Значения финансовых показателей кооператива до проведения текущих
операций будем маркировать верхним индексом "-", а их состояние после окончания
операций в текущий момент n – верхним индексом "+". Будем считать, что
продолжительность операционных периодов невелика, и ею можно пренебречь.
Взносы участников завершаются, когда комплекс сдается в эксплуатацию, это
операционный период n D . В этот период участники вселяются в предназначенное им
жилье и получают кредит от кооператива по ставке  на непокрытую взносами часть
стоимости жилья. Для расчета со строительной компанией в период n D кооператив может
использовать внешний кредит по ставке  n D . Кредит по той же ставке  n D может быть
предоставлен кооперативу самой строительной компанией. В этом случае кооператив
производит выплаты строительной компании оставшейся стоимости комплекса вплоть до
периода N , nkC  nkC  N для всех k , k  . До выплаты кредита жилье участника остается в
залоге у кооператива либо у строительной компании.
В стоимость построенного комплекса входит стоимость кредитов, которые берет
строительная компания для финансирования строительства. Так как строительство
частично финансируется (кредитуется) кооперативом, то при продаже дома кооперативу
из рыночной цены комплекса S вычитается приведенная величина средств, вложенных в
строительство кооперативом, т.е. размер кредита, необходимого кооперативу при покупке
~
~
комплекса в период n D , S   S  Wn . Здесь Wn – это кредит Wn , выданный кооперативом
n
строительной компании в период n по ставке  n вместе с начисленными на него к
периоду n D процентами.
Инвестиции в строительство Wn составляют часть инвестиций кооператива, которые
мы обобщенно назвали внешними депозитами. Чтобы остаться в рамках модели 3 [1]
представим эти долгосрочные депозиты как депозитные вклады на один период, которые
возвращаются в кассу кооператива и тут же рефинансируются по первоначальной ставке.
В этом случае вектора активов и обязательств кооператива An , An ,On ,On , n 1,2,..., N ,
очевидно, будут теми же, что и в случае долгосрочных депозитов. Текущие внешние
депозиты кооператива H nD составлены из двух компонент – инвестиций Wn по кредитной
ставке  n и, возможно, каких-то других вложений по депозитной ставке  n . Усредняя
доход по этим двум вложениям, мы получаем некоторую общую ставку  n для вклада
H nD . Таким образом, рассматриваемый кооператив описан в виде модели 3 работы [1] . В
данном варианте модели и участники, и кооператив получают кредиты только один раз –
по окончании строительства в операционный период n D . В этот период закрываются все
вклады участников, поэтому U nD  0 для всех n n D . При n  n D вектор кредитов U nC   0 .
Начальный собственный капитал кооператива E1 может быть равен 0. Тем не менее,
синергетический эффект самофинансирования и в этом случае позволяет добиться
экономии для участников кооператива.
Модель имеет вид:
At  (U tC , H tD ) , Ot  (U t D , H tC ) , Et  (U tC ,U t D ) e  H tD  H tC , H nD1  H nD  (1 0.01  n ) ,
U kD,n1 U kD,n (1 0.01u k ,n ) , U kC,n1 U kC,n (1 0.01 vk ) , H nC1  H nC   (1 0.01  n ) , U kD,n U kD,n VkD,n ,
U kC,n (n) U kC,n VkC,n ,
Gn  (Vn0,D ,VnD ,VnC ,Cn ) e  H nC   H nD ,
H nC   max[ 0;Gn ], n 1,2,... ,
H nD  max[ 0;Gn ], n 1,2,... ,
где
At
вектор активов, O t
кооператива равен , Et  At  Ot , U t
вектор обязательств, текущий основной капитал
D
– вектор внутренних депозитов,
(образованных
суммой периодических взносов, досрочных изъятий и начисленных процентов), U tC –
вектор невыплаченных основных сумм внутренних кредитов участников, H tC – вектор
невыплаченных основных сумм внешних кредитов кооператива, а H tD – вектор внешних
депозитов кооператива, uk , n – внутренние ставки по депозиту,  k – внутренние ставки по
кредиту,
 n , n
внешние
ставки
по
депозиту
и
кредиту
соответственно.
K n  K n  0, n 1,2,..., N ., K t – это сумма наличных средств в кассе и безналичных
денежных средств на расчетных счетах до востребования.
Здесь неопределенные факторы выражаются внешними ставками  n ,  n и ценами на
жилье Cn , а управлением является выбор внутренних ставок по депозиту uk , n и
внутренних ставок по кредиту  k .
Справедливо следующее утверждение, схема доказательства которого приводится
ниже.
Утверждение Пусть для рассматриваемого строительного кооператива E1  0 . Тогда
при ставках un  u для всех n  1,..., N , существуют такие    , при которых собственный
капитал кооператива EN  0 .
3. Синергетический эффект
Если все участники начинают своё участие в Проекте в один и тот же момент
времени и одинаковы, то их участие эквивалентно участию в Проекте без организации
Коалиции. Если же их вклады U k различны, появляется эффект возможного уменьшения
внутренней ставки кредита, что отмечается выше и демонстрирует нижеприведенный
пример.
Эксперимент 1
  5% ,   10% , C  16 , u  5% , d  0.5 , U k  0.1, 0.22  , V k  U k , v  9% , N  30 , N  60 ,
N  90 , N  120
Конкретный выбор U k определялся, как случайная выборка равномерного распределения
на интервале 0.1, 0.22 , N  120
700
600
Активы
500
N=30
N=60
400
N=90
300
N=120
200
100
0
0
50
100
Время
150
700
Обязательства
600
500
N=30
N=60
400
N=90
300
N=120
200
100
0
0
50
100
Время
150
20
Собственный капитал
18
16
14
N=30
12
N=60
10
N=90
8
N=120
6
4
2
0
0
50
100
Время
150
200
Как следует из приведенного расчёта и динамики собственного капитала, имеется
достаточный запас для уменьшения ставки внутреннего кредита.
Схема доказательства синергетического эффекта
Утверждение. Пусть для рассматриваемого строительного кооператива E1  0 и
выполняются условия между депозитными и кредитными ставками u     , u   , где  ставка внешнего кредита. Тогда при депозитных ставках un  u для всех n  1,..., N ,
   , при которых собственный капитал
существуют такие внутренние ставки
кооператива EN  0 .
Доказательство. Так как, в силу естественных ограничений ставка процент по
депозиту не превосходит ставки внешнего кредита,    , то, очевидно, что  n ,
взвешенная ставка вкладов Wn и H nD Wn , при любых n не меньше чем  . В те периоды
n , когда кооператив кредитует строительство, в силу тех же естественных соображений
n  u .
Предположим, что    . Пусть n1  n D – первый операционный период, когда
кооператив кредитует строительство. Так как n   при любых n , то в силу леммы 3 [2],
En1  0 , и En11  En1  0.01( U nC1   e  u U nD1   e  n1  H nD1  ) .
Так как при n n D вектор кредитов U nC   0 , то
En1 1  En1  0.01 (u  ( U nD1   e  H nD1  )  ( n1  u ) H nD1  ) 
 0.01 (u  En1  ( n1  u ) H nD1  ) .
Поскольку  n1  u , а H nD1  Wn1  0 , то из последнего неравенства следует, что En11  0 .
Тогда, согласно лемме 3 [2], En  En11  0 для всех n  n1  1 , и, значит, EN  0 . Из этого
следует, что найдется такое значение  0   , при котором EN  0 , и тогда EN  0 для любой
ставки  , такой что  0     .
Замечание. По сути, если для Коалиции заёмщиков, формируемой в динамике [1],
удается понизить ставку  относительно  за счет того, что кооператив получает доход
от использования вкладов участников со ставкой u для выдачи внутренних кредитов со
ставкой  u , то в случае строительного кооператива, дополнительный доход дает
использование вкладов участников со ставкой u для кредитования строительства по
ставке   u .
Литература
1.
2.
3.
4.
Гасанов И.И. Организация ссудно-сберегательной кассы по принципу очереди// Сообщения по
прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2006. 45с.
Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием //
Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2007. 60с.
Ерешко Ф.И., Кочетков А.В., Сытов А.Н. Механизмы реализации программы ипотечного кредитования.
Четвёртая международная конференция "Управление развитием крупномасштабных систем". Доклады.
ИПУ РАН, 2-4 октября 2010г. т.1.,С.58-72
Байрамов О.Б. Расчёты ставок процентов для ипотечного проекта компании. Пятая международная
конференция "Управление развитием крупномасштабных систем". MLSD’2011. Доклады. ИПУ РАН, 3-5
октября 2011г. С. 87-90 .