Средняя линия трапеции

Тираспольский общеобразовательный теоретический лицей
План-конспект урока
по геометрии
На тему: «Средняя линия треугольника. Средняя линия
трапеции»
8 класс
углубленный курс
(спаренный урок)
Дата проведения: 17 октября 2012г.
Учитель математики I
квалификационной категории:
Лупашко Елена Владимировна
г. Тирасполь, 2003
1
Тема урока: «Средняя линия треугольника. Средняя линия
трапеции»
Цели и задачи урока:
 образовательные – актуализировать субъективный опыт учащихся (опорные
знания и способы действий, комплекс знаний), необходимый для изучения нового
материала; организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и
первичному закреплению знаний и способов действий.
 развивающие – развивать пространственного воображения учащихся, применять
знания на практике, способствовать развитию логического мышления, воли и
самостоятельности, умения работать в парах.
 воспитательные – создавать условия для воспитания интереса к изучаемой теме,
воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, воспитания
дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.
Тип урока: урок – открытие.
Методы обучения: беседа, фронтальный опрос, самостоятельная работа.
Средства обучения: доска, учебник, карточки, мультимедийный проектор.
Форма обучения: коллективная, индивидуальная.
Форма учебного занятия: классно-урочная.
Структура урока:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Организация класса и рабочий настрой _____ 2 мин
Повторение и актуализация знаний
_____ 3 мин
Открытие новых знаний
__________ 20 мин
Решение задач
__________15 мин
Физминутка
__________ 5 мин
Открытие новых знаний
__________ 30 мин
Решение задачи
__________ 7 мин
Подведение итогов и домашнее задание ____ 3 мин
Итого ______________ 85 мин
Ход урока:
Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь. На прошлых уроках, мы с вами познакомились с
четырехугольниками и их свойствами. Повторим их:
Опрос:
 Что называется многоугольником?
 Что такое параллелограмм?
 Свойства параллелограмма?
 Что такое прямоугольник?
 Свойства прямоугольника?
 Что такое ромб?
 Свойства ромба?
 Что такое квадрат?
2






Свойства квадрата?
Что такое трапеция?
Какая трапеция называется равнобокой?
Свойства равнобокой трапеции?
Чему равен периметр многоугольника?
Сформулируйте теорему Фалеса.
Средняя линия треугольника
Решим задачу: В треугольнике АВС, через точку К — середину стороны АВ проведена
прямая КМ параллельная стороне АС. Зная, что АК = 4 см, ВМ = 6 см, PABC  36 см и
PKBM  18 см. Найти: КМ, АС.
Решение:
В
6
М
К
4
С
А
Рис.1
1. Так как К середина АВ и АК = 4 см, то АВ = 8 см
2. По теореме Фалеса имеем: ВМ=МС= 6 см, тогда ВС = 12см
3. Зная, что PABC  36 , получим АС = 36 – 8 – 12 = 16 (см).
4. Зная, что PKBM  18 , получим КМ = 18 – 4 – 6 = 8 (см)
Ответ: 8 см, 16 см.
Учитель: Какие определения и теоремы были использованы в решении задачи?
Учащиеся: Перечисляют и озвучивают: определение равных отрезков, периметра
треугольника, теорема Фалеса.
Учитель: отрезок, который соединяет середины двух сторон многоугольника, имеет
специальное название: средняя линия треугольника. Запишем определение: Средней
линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника (рис. 2).
3
В
Н
К
С
А
Рис.2
Практическая работа: 1 ряд строит треугольник прямоугольный, 2 ряд – тупоугольный, 3
ряд – остроугольный. Далее:
1. Постройте в треугольнике среднюю линию треугольника. Обозначьте ее.
2. Как расположена средняя линия относительно третьей стороны?
Дети отвечают не очень утвердительно: я думаю, они параллельны; мне кажется,
они параллельны; они параллельны; у меня они не параллельны.
3. Измерьте третью сторону и среднюю линию треугольника. Что вы можете сказать
по этому поводу? Учащиеся высказывают свое мнение: у меня получилось, что
средняя линия треугольника в два раза меньше третьей стороны; а у меня третья
сторона почти в два раза больше средней линии.
4. Сколько можно провести в треугольнике средних линий? 3
Я подвожу итог. Итак, ребята, мы провели практическую работу, в процессе которой вы
выдвинули гипотезу, что средняя линия треугольника, соединяющая середины двух
данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Докажем это.
Утверждение 1. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней
стороне треугольника и равна половине этой стороны.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой К
середину стороны AB (рис. 3). Проведем через точку К до пересечения с прямой BC
прямую, параллельную прямой AC. Обозначим буквой Н точку пересечения прямых КН и
BC.
4
B
H
K
C
A
Рис.3
Поскольку AК = КB, а прямые AC и КН параллельны, то выполнены все условия
теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CН = НB. Отсюда
вытекает, что точка Н является серединой стороны CB, а отрезок КН является средней
линией треугольника.
Первую часть утверждения 1 мы доказали.
Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в
любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки КТ, ТР, РК (рис.4).
B
P
T
C
K
A
Рис.4
Поскольку
KT PC , TP KC , то четырёхугольник ТКРС – параллелограмм,
следовательно, ТК = PC.
Поскольку KT BP , KP TB , то четырехугольник КТВР – параллелограмм,
следовательно, ТК = ВР.
5
Но поскольку ВР = РC, то отсюда вытекает равенство KT 
1
BC , что и требовалось
2
доказать.
Доказательство утверждения 1 закончено.
Следствие. Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF,
DBE, ECF, DEF (рис. 4). (доказательство оформить дома).
Решим задачи на готовых чертежах:
1
Решение:
EF – средняя линия треугольника,
значит EF = 5 см,
АЕ = ЕВ = 4 см (по условию)
BF = FC = 5 см ( по теореме Фалеса)
Тогда PBEF  4  5  5  14 (см)
PABC  8  10  10  28 (см)
Дано: EF AC
В
F
E
5
4
Ответ: 14 см и 28 см
А
С
10
Найти: PBEF и PABC
2
Решение:
АВ = 2МВ = 8 см
ВС = 2BN= 7 см (теорема Фалеса)
АС = 2MN = 6 см (средняя линия
треугольника)
PABC  8  7  6  21 (см)
Дано: MN AC
и PMBN
B
3,5
4
M
3
A
PMBN  4  3  3,5  10,5 (см)
N
Ответ: 21 см и 10,5 см
C
Найти: PABC и PMBN
Учитель: Обратите внимание на ответы которые мы получили и периметры каких
треугольников мы искали. Что вы можете сказать?
Учащиеся: периметры отсекаемых средней линией треугольников равны половине
периметра основного треугольника.
Средняя линия трапеции
6
Учитель: Напомним, что трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны –
боковыми сторонами трапеции.
Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями
трапеции.
Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины
боковых сторон трапеции (рис. 5).
Рис.5
На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF.
Решим задачу: найти среднюю линию трапеции, зная ее основания.
Из теоремы о средних линиях треугольника вытекает свойство средней линии
трапеции (рис. 6), а также теоремы об отрезках, соединяющих середины сторон
произвольного четырехугольника.
Рис. 6
Задача 1. Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с
концами на основаниях трапеции.
7
Рис.7
Решение. Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок
(рис.7). Поскольку AE = EB, то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM,
что и требовалось доказать.
Задача 2. Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней
линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.
Рис.8
Решение. Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок
(рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC,
а точка L – середина отрезка BD. Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC,
а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD. В силу утверждения 1 выполнены
1
1
равенства: EK  a , EL  b
2
2
1
Следовательно, KL  EL  EK  (b  a) , что и требовалось доказать.
2
Учитель: Проведем исследование: постройте произвольный четырехугольник.
 Найдите середины сторон этого четырехугольника и соедините их
последовательно. Какую фигуру вы получили? (параллелограмм). Докажите, что
это параллелограмм. Что вы при этом использовали? (признак параллелограмма)
 Что вы можете сказать о длине сторон полученного параллелограмма? (они равны
половине соответствующей диагонали четырехугольника)
Теорема 1. Середины сторон четырехугольника являются вершинами
параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям
четырехугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.
8
В самом деле, если К и L — середины сторон АВ и ВС (рис. 9), то KL — средняя
линия треугольника ABC, поэтому отрезок KL параллелен диагонали АС и равен ее
половине; если М и N — середины сторон CD и AD, то отрезок MN также параллелен АС и
равен АС/2. Таким образом, отрезки KL и MN параллельны и равны между собой, значит,
четырехугольник KLMN — параллелограмм.
В качестве следствия из теоремы 1 получаем интересный факт (т. 2).
Теорема 2. В любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.
В этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма (см. рис. 9), а в
параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка — центр
симметрии параллелограмма).
Учитель: Решим задачу на готовом чертеже:
3
Решение:
2 y
x
,и
2
2 y
 8 2  y  16
x8
y
 2


2
2
4
 4 y  y  18  y  6
Тогда x  4
Ответ: 4; 6
Итак, сегодня на уроке мы с вами узнали, что такое средняя линия треугольника и ее
свойства, средняя линия трапеции и ее свойства. Я очень довольна, как вы сегодня
работали, особенно хочу отметить…
Домашнее задание: выучить определения и свойства средних линий. И решить задачи 4 и
5 на готовых чертежах (в раздаточных карточках колонка решения пуста):
9
4
Решение:
C1 A1  12 AC , C1 B1  12 CB , B1 A1  12 BA . Тогда
PA1B1C1  12 ( AC  AB  BC )  12 PABC , то есть
PA1B1C1  12  40  20 (см)
Ответ: 20 см
5
Решение :
48
46
68
y
6, x 
 5, z 
7
2
2
2
Ответ: 5; 6; 7.
Использованная литература:
1. Геометрия 7-9 Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
2. Е.М. Рабинович Геометрия Задачи и упражнения на готовых чертежах
3. Геометрия 8. Дополнительные главы к учебнику. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев
С.Б., Шестаков С.А., Юдина И.И.
4. Геометрия в таблицах 7-11. Звавич Л.И., Рязановский А.Р.
10