Учет инфляции в финансово

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ БАНК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР
УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ
В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ
Пособие
Тверь
2002
Шарапова О.Д. Учет инфляции в финансово-экономических расчетах: Пособие. – Тверь: УМЦ Банка России. – 2002. – 36 с.
Пособие содержит краткое изложение теоретического материала, правила и примеры расчетов финансово-экономических показателей кредитных операций в условиях инфляции, задания для самостоятельной работы
по теме «Учет инфляции в финансово-экономических расчетах». Пособие
призвано способствовать более глубокому пониманию экономической сущности инфляции, взаимосвязи ее показателей, влиянию на условия и результаты денежно-кредитных операций.
Предназначено в помощь преподавателям предмета «Финансовая математика», студентам для самостоятельной работы, а также может быть
использовано в системе дополнительного профессионального образования
персонала Банка России по направлению «Денежно-кредитная политика и
экономическая работа».
Пособие имеет электронный аналог с одноименным названием, который размещен в электронном фонде учебно-методических материалов
УМЦ.
Автор О.Д. Шарапова, преподаватель Барнаульской банковской школы Банка России
Компьютерная обработка А.Г. Блонский
Рецензент А.М. Попов, преподаватель Астраханской банковской
школы Банка России
Редактор А.А. Зайцева
Ответственный за выпуск А.В. Беляков,
методического центра Банка России, канд. техн. наук
методист
Учебно-
 Учебно-методический центр
Банка России, 2002
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .............................................................................................................. 4
1. Сущность инфляции ....................................................................................... 5
2. Система показателей инфляции..................................................................... 7
3. Взаимосвязь уровня и индекса цен ................................................................ 9
4. Свойства показателей инфляции ..................................................................10
5. Номинальные и реальные величины ............................................................11
6. Определение реального значения наращенной суммы
в условиях инфляции .........................................................................................13
7. Барьерная ставка ............................................................................................17
8. Определение ставки процента с учетом инфляции
(брутто-ставки) ..................................................................................................19
9. Формула Фишера ...........................................................................................24
10. Определение реальной ставки процентов ..................................................26
11. Основные формулы для учета влияния инфляции ....................................27
Задания для самопроверки ................................................................................28
Ответы .................................................................................................................35
Рекомендуемая литература ...............................................................................36
3
ВВЕДЕНИЕ
Пособие разработано по теме «Учет инфляции в финансовоэкономических расчетах» курса «Финансовая математика» и имеет целью
представить материал темы в систематизированном и доступном виде.
Пособие состоит из блоков теоретического учебного материала и заданий для контроля знаний студентов в форме учебных, проблемных вопросов и задач по усвоению и закреплению материала данного блока.
Работа с пособием заключается в ознакомлении с теоретическим
материалом по каждому блоку, а затем – в работе с заданиями для самопроверки.
При работе с электронным аналогом пособия перемещение между отдельными блоками, заданиями и ответами к отдельным заданиям осуществляется посредством гиперссылок. Гиперссылки на экране выделены синим
цветом с подчеркиванием (например, Задания для самопроверки >>, Проверьте себя и т.п.). Переходы на задания дополнительно выделены пиктограммой
В случае возникновения трудностей при выполнении задания можно с
помощью гиперссылки вернуться в начало текущего теоретического блока,
а если проблем не возникло – перейти к началу следующего теоретического
блока.
4
1. СУЩНОСТЬ ИНФЛЯЦИИ
Инфляция (от латинского inflatio – вздутие) представляет собой процесс, характеризующийся повышением общего уровня цен в экономике
или, что практически эквивалентно, снижением покупательной способности
денег.
При этом инфляция может проявляться двояко:
 во-первых, в переполнении сферы обращения бумажными деньгами вследствие их чрезмерного выпуска;
 во-вторых, в сокращении товарной массы в обращении при неизменном количестве выпущенных денег.
Наиболее общее, традиционное определение инфляции – переполнение каналов обращения денежной массой сверх потребностей
товарооборота, что вызывает обесценение денежной единицы и, соответственно, рост товарных
цен.
Инфляция, хотя она и проявляется в росте
товарных цен, не может быть сведена лишь к
чисто денежному феномену. Это сложное социально-экономическое явление, порождаемое диспропорциями воспроизводства в различных сферах рыночного хозяйства.
Независимо от состояния денежной сферы товарные цены могут возрасти вследствие:
 изменений в динамике производительности труда;
 циклических и сезонных колебаний;
 структурных сдвигов в системе воспроизводства;
 монополизации рынка;
 государственного регулирования экономики;
 введения новых ставок налогов;
 девальвации и ревальвации денежной единицы;
 изменения конъюнктуры рынка;
 воздействия внешнеэкономических связей, стихийных бедствий.
Рост цен может быть связан с превышением
спроса над предложением товаров. Однако такой
рост цен, связанный с диспропорцией между
спросом и предложением на каком-то отдельном
5
товарном рынке, – это еще не инфляция. Инфляция – это повышение общего уровня цен в стране, которое возникает в связи с длительным неравновесием на большинстве рынков в пользу спроса.
После первой и второй мировых войн инфляционные рекорды принадлежали Германии. В восьмидесятых годах высокая инфляция отмечена в
Аргентине, Бразилии, Боливии, Израиле. Некоторое время «инфляционным
чемпионом» была Никарагуа.
В отдельные периоды девяностых
годов, в связи с войной в Югославии,
инфляция в Сербии и Черногории
(входивших в Югославскую Федерацию) составляла 313 миллионов процентов годовых. При этом деньги, полученные утром, к вечеру теряли половину своей покупательной способности.
Темпы инфляции в России
1997 г.
1998 г.
1999 г.
2000 г.
2001 г.
Прогноз
Факт
Прогноз
Факт
Прогноз
Факт
Прогноз
Факт
Прогноз
Факт
11,8
11
5-8
84,4
20-30
36,5
18
20
12-14
18,6
Статистика инфляции тесно связана с основными методами финансово-экономических расчетов, поскольку позволяет оценить степень обесценения денег за период, охватываемый финансовой операцией.
Поскольку инфляция проявляется в падении реальной покупательной способности денег и общем повышении цен внутри страны, то ее необходимо учитывать при
проведении среднесрочных и особенно долгосрочных
финансовых операций.
Статистика инфляции используется правительствами всех стран при
осуществлении финансово-экономической политики.
Задания для самопроверки >> (задание 1)
6
2. СИСТЕМА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ИНФЛЯЦИИ
Инфляция измеряется с помощью системы показателей, которые характеризуют среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора товаров.
Уровень инфляции показывает, на сколько процентов выросли цены
за период (обозначается символом ).
Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены за период (обозначается символом I).
Эти показатели связаны следующим соотношением:
I  1
  100 %
100 %
(1)
Например, если за год цены выросли в среднем на 5%, то говорят, что
индекс инфляции был равен 1,05, а инфляция была на уровне 5%.
Макроэкономическими показателями инфляции служат индекс цен валового национального продукта (ВНП) и индекс потребительских цен
(ИПЦ).
Индекс цен ВНП и индекс потребительских цен
Индекс цен ВНП – широкий
показатель, его часто называют дефлятором ВНП.
Индекс потребительских
цен) включает только цены
потребительских товаров и
услуг, этот показатель ýже
дефлятора ВНП
7
Индекс цен ВНП включает цены:
 на потребительские товары и услуги;
 на товары производственного назначения, покупаемых фирмами и
государством;
 на товары и услуги, купленные и проданные на мировом рынке.
Примечание: В курсе «Статистика» изучаются индексы цен с использованием формул Пааше, Ласпейреса, Фишера и др.
Задания для самопроверки >> (задание 2)
8
3. ВЗАИМОСВЯЗЬ УРОВНЯ И ИНДЕКСА ЦЕН
В практических расчетах обычно используют показатель уровня инфляции, измеряемой не в процентах, а в долях. Например, вместо значения
τ = 5% используют значение τ = 0,05.
В этом случае взаимосвязь между уровнем инфляции и индексом инфляции за один и тот же период выражается формулами:
I   1
(2)
  I 1,
(3)
где I – индекс инфляции;
 – уровень инфляции (в долях)
Приведем примеры расчетов по этим формулам.
Пример 1
По оценкам уровень инфляции за год составит 80%.
Определить ожидаемый индекс инфляции.
Решение:
I = 0,8 + 1 =1,8
Пример 2
Считается, что цены за год вырастут в 5 раз.
Определить ожидаемый годовой уровень инфляции.
Решение:
 = 5 – 1 = 4, или 400%
Задания для самопроверки >> (задание 3)
9
4. СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ИНФЛЯЦИИ
А. Если уровень инфляции за срок, включающий несколько одинаковых периодов (например,
месяцев) остается постоянным в каждом периоде, то индекс инфляции In за этот срок, определяется по формуле:
I n  (1  ) n ,
(4)
где  – уровень инфляции за один период (в долях);
n – количество периодов в течение рассматриваемого срока.
Пример 1
При месячном уровне инфляции 1% индекс инфляции за год составит:
I12 = (1+0,01)12 = 1,13.
Следовательно, ожидаемый годовой уровень инфляции будет равен:
 = 1,13 – 1 = 0,13, или 13%.
Следующая таблица, иллюстрирует приведенную зависимость, для различных значений :
 ,%
I12
год, %
1
1,13
13
2
1,27
27
3
1,43
43
4
1,60
60
5
1,80
80
6
2,01
101
10
3,14
214
12
3,90
290
15
5,35
435
20
8,92
792
Б. В общем случае, если уровень цен изменяется от периода к периоду, то индекс цен за несколько
периодов равен произведению индексов цен за указанные периоды.
Пример 2
Прирост цен в течение трех месяцев составил 10, 12 и 15% за каждый месяц соответственно.
Индекс цен за 3 месяца в этом случае равен:
I3 = 1,1 ∙ 1,12 ∙ 1,15 = 1,42.
Поскольку инфляция является цепным процессом (рассматривается изменение цен в текущем
периоде относительно уровня предыдущего периода), нельзя суммировать темпы инфляции по
месяцам для получения обобщающего показателя инфляции за период.
Задания для самопроверки >> (задание 4)
10
5. НОМИНАЛЬНЫЕ И РЕАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Стоимостные показатели денежно-кредитных операций можно разделить на две группы: номинальные и реальные. Номинальные показатели
определяются в текущих ценах, а реальные, учитывающие влияние инфляции, – в ценах базисного периода.
Номинальная
оценка –
Номинальный
показатель
количествен(ВНП, заработная плата) – количественный
ный
эконо- экономический показатель, определяемый без учета
мический
влияния инфляции
показатель,
рассчитанный
без учета
влияния инфляции.
Реальный показатель (ВНП,
заработная плата) – количе-
Без учета
С учетом
ственный экономический показатель, определяемый с учетом
влияния инфляции
Реальная
Соответственно различаются номинальная и реальная процентные
ставки.
Номинальная процентная ставка – это базовая (как правило, годовая) процентная ставка, указываемая в договорах, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде
начисления. Ее также называют брутто-ставкой процентов, тем самым подчеркивая, что она не отражает реальную доходность операции.
Реальная процентная ставка показывает доходность операции с учетом инфляции, характеризующейся снижением покупательной способности
денег. Она характеризует прирост реальной покупательной способности
наращенной суммы и может быть как положительной, так и отрицательной
величиной.
11
Реальная процентная ставка в условиях инфляции всегда меньше номинальной. Ее также называют нетто-ставкой процентов.
Брутто-ставка
Инфляция
Нетто-ставка
Задания для самопроверки >> (задание 5)
12
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ
НАРАЩЕННОЙ СУММЫ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
Известно, что вследствие начисления процентов покупательная способность денежного вклада увеличивается, а под влиянием инфляции –
уменьшается.
инфляция
процент
i
(i) (i)
I
(In)
n
Если обозначить ставку процента по вкладу i процентов годовых, а
темп роста инфляции (индекс инфляции) за период n лет – In , то механизм
противодействия факторов изменения покупательной способности денежного вклада может быть представлен следующим рисунком.
i
In
увеличение покупательной
способности денежного вклада
Таким образом, при расчете реального значения Sr наращенной суммы
S, то есть покупательной способности наращенной суммы вклада в ценах
базисного периода, ––
 ставка доходности является
фактором увеличения покупательной способности и находится
в числителе;
 показатель инфляции является
фактором уменьшения покупательной способности и находится
в знаменателе.
Выводим формулу:
Sr =
S
In
(5)
13
Если наращение производится по простой ставке процентов
S = P (1 + ni), где Р – первоначальная сумма, то реальное значение
наращенной суммы рассчитывается по формуле:
Sr 
где
P(1  ni)
,
In
1 ni
– множитель наращения с учетом инфляции.
In
Очевидно, что реальное значение наращенной суммы
:
сохранится, если
1 + ni = In
увеличится, если
1 + ni  In
уменьшится, если
1 + ni < In
Пример 1
Банк принимает депозиты на полгода по ставке 90% годовых; вклад – 500 руб.; месячный уровень инфляции – 8%.
Определить реальные результаты вкладной операции.
Решение:
S = 500 (1+0,5 ∙ 0,9) = 725 руб.
In = (1 + 0,08)6 = 1,59
Sr = 725  455 ,98 руб.
1,59
Задания для самопроверки >> (задание 6)
14
Если наращение производится по сложной ставке процентов, то наращенная сумма за n лет составит:
S = P(1 + i)n.
При сохранении неизменным предполагаемого годового темпа роста
инфляции  индекс цен рассчитывается как
In = (1 + )n.
Наращенная сумма за срок n, с учетом ее обесценения в условиях инфляции, составит:
Sr =
P(1  i) n
(1  ) n
n
 1 i 
 P
 ,
1  
n
 1 i 
где 
 – множитель наращения, учитывающий инфляцию. Он зависит
1  
от изменения ставки процентов и темпа прироста инфляции.
Пример 2
Допустим, что в течение 2 лет цены в среднем растут ежегодно на 58,11%. Если первоначальная сумма в 2 тыс. руб. помещена в банк под 65% годовых (сложные проценты), то
реальное значение наращенной суммы составит:
2
 1  0,65 
Sr = 2 
  2,178 тыс. руб.
 1  0,5811 
Задания для самопроверки >> (задание 7)
При использовании сложной ставки наращения j (начисление процентов несколько раз в году) наращенная сумма в конце срока ссуды будет
равна:
S = P( 1+ j/m)N,
где N = mn.
15
Ее реальное значение Sr будет равно:
Sr =
S
In
Sr 
или
P(1  j m) N
In
Пример 3
Вклад в сумме 1 млн. руб. положен в банк на
полгода с ежемесячным начислением сложных
процентов по номинальной ставке 48%;
уровень инфляции 5% в месяц.
Определить реальный доход вкладчика.
Решение:
Реальный доход Dr = Sr – P
Sr 

P(1  j m) N 1(1  0,48 12 )120,5


In
(1  0,05 )6
1,2653
 944200 ,53 руб.
1,3401
Dr = 944200/53 – 1000000 = –55799,47
Реальный доход вкладчика – отрицательная величина (убыток), равная
55799,47 руб. Это связано с тем, что ежемесячные темпы инфляции (5%) превышают ежемесячную процентную ставку
(4%).
16
7. БАРЬЕРНАЯ СТАВКА
Как уже отмечалось, реальная покупательная способность наращенной
суммы сохранится, если множитель наращения будет равен индексу инфляции. Процентная ставка, при которой это равенство выполняется, называется барьерной ставкой.
Барьерная ставка (i*) – ставка, обеспечивающая сохранение реальной покупательной способности наращенной суммы в условиях инфляции.
Выведем формулы барьерной ставки для различных способов начисления процентов.
В случае начисления простых процентов приравняем множитель
наращения и индекс инфляции:
(1 + ni) = In, откуда
i* =
In 1
n
(6)
Пример
Индекс цен за 3 месяца составил 1,27. Начисление процентов происходит по простой
ставке процентов. Найдем барьерную ставку.
i* =
1,27  1 0,27

 1,08  108 % годовых.
0,25
0,25
В данных условиях реальный доход будут приносить вклады по ставкам, превышающим
108% годовых.
В случае начисления сложных процентов аналогичное равенство
множителя наращения и индекса инфляции имеет вид:
(1 + i)n = (1 + )n, откуда i* = .
(7)
Сформулируем три следствия из формулы (7).
1. Если темп инфляции равен ставке начисляемых процентов, то покупательная способность наращенной суммы будет равна покупательной способности первоначальной суммы. При этом реальная
ставка процентов равна нулю.
17
Темп инфляции
Номинальная
ставка %
2. Если темп инфляции превышает, «обгоняет»
номинальную ставку процента, то полученные проценты не компенсируют потерю покупательной способности вклада. Это явление получило название «эрозии капитала».
Реальная процентная ставка в этом случае
отрицательна.
3. Если темп инфляции меньше ставки начисляемых процентов, то имеет место реальный рост
покупательной способности вклада. Реальная
процентная ставка в этом случае положительна.
Задания для самопроверки >> (задание 8)
18
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАВКИ ПРОЦЕНТА
С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИИ (БРУТТО-СТАВКИ)
Наиболее распространенным способом компенсации обесценения денег является корректировка на инфляцию желаемой, или требуемой реальной ставки процентов (нетто-ставки) r. При этом ставка i, по которой осуществляется наращение (брутто-ставка), получается в результате корректировки, выполняемой по рассматриваемым далее формулам.
Корректировка процентной ставки – увеличение реальной ставки на
величину инфляционной премии.
Формулы корректировки процентной ставки
При начислении простых процентов приравняем множители наращения
1  ni
 1  nr , отсюда
In
i 
(1  nr)I n  1
n
(8)
Пример 1
Ссуда в размере 500 тыс. руб. выдана на 2 года.
Прогнозируемый годовой уровень инфляции в
течение этого срока оценивается в 80%. Требуемая реальная доходность составляет 8% годовых.
Определить брутто-ставку процентов и погашаемую сумму.
Решение:
[(1  2  0,08)(1  0,8) 2  1]
i 
 137 ,92%
2
S=500 (1 + 2 ∙ 1,3792) = 1879,2 тыс. руб.
Рассмотрим несколько частных случаев полученной формулы.
А. Если задан годовой уровень инфляции In, или темп инфляции , и
срок ссуды равен 1 году, то формула примет вид:
i = (1 + r)In – 1 = (1 + r)(1 + ) –1 = 1 +  + r + r – 1.
i = r +  + r
(9)
19

составляет
K
менее года, где  – число дней ссуды, K – расчетное число дней в году, то
формула брутто-ставки примет вид:
Б. Если при заданном темпе инфляции срок ссуды n =
i = r +  +

r
K
(10)
В. Если задается среднемесячный уровень инфляции, и срок ссуды
составляет несколько месяцев, то:
i =
12 
m

(1  r )(1  ) m  1 ,

m
12

где m – количество месяцев.
(11)
Задания для самопроверки >> (задание 9)
При аналогичных преобразованиях с формулой сложных процентов
получится:
i = (1 + r) n I n  1 .
Пример 2
Ссуда в размере 50 тыс. руб. выдана на 3 года.
Реальная доходность операции должна составить
8% годовых по сложной ставке процентов. Ожидается, что индекс инфляции за весь срок ссуды
будет равен 2,5.
Определить брутто-ставку процентов, множитель
наращения и погашаемую сумму.
20
Решение:
i = (1 + 0,08)
3
2,5  1  46,58% .
Множитель наращения :
(1+ i ) 3 =1,46583 = 3,149.
S = 50000 ∙ 1,46583 = 50000 ∙ 3,149 =
= 157464 руб.
Пример 3
Ссуда в размере 20 тыс. руб. выдана на 2 года.
Реальная доходность операции должна составить
8% годовых по сложной ставке процентов.
Ожидаемый уровень инфляции составляет 20% в
год.
Определить множитель наращения, брутто-ставку
процентов и погашаемую сумму.
Решение:
Множитель наращения
(1 + 0,08)2(1 + 0,2)2 = 1,6796.
Процентная ставка
i = 0,08 + 0,2 + 0,08 ∙ 0,2 = 0,296 = 29,6.
Погашаемая сумма
S = 20000 ∙ 1,5796 = 33592 руб.
Задания для самопроверки >> (задание 10)
При использовании простых учетных ставок в условиях инфляции реальная покупательная способность Sr погашаемой суммы S будет определяться выражением:
Sr 
P
1  nd r

P
,

1 dr
K
где dr – учетная ставка реальной доходности операции (нетто-ставка).
Погашаемая сумма при этом составит:
S
PI n
1  nd r

PI n

1  dr
K
С другой стороны, величина S равна:
S
P
,
1  nd
где d – учетная ставка, компенсирующая потери от инфляции (бруттоставка).
21
Если приравнять две последние формулы, получится соответствующее
уравнение эквивалентности:
PI n
P

1  nd r 1  nd 
Из этого уравнения выводится формула для определения значения
учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции:

d  In  1
nd r  I n  1 K r
d 


nI n
In
K
Формулы с использованием индекса инфляции за весь срок ссуды являются общими для любых сроков ссуды (меньше года, равных году или
больше года).
Пример 4
В банке учитывается вексель номиналом 500 тыс. руб. за 100 дней до погашения. Учет выполняется исходя из учетной ставки реальной доходности 7% годовых. Определить значение
учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции. Годовой уровень инфляции – 14%.
Расчетное число дней в году – 366.
dr = 0,07; г = 0,14;
д = 100; K = 366
S = 500 тыс. руб.
Определить: значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции.
Решение:
In = 1 + 

d r  In  1
d  K

In
K
P  S(1  d 

)
K
In = 1 + 0,14 = 1,14
100
0,07  1,14  1
0,159
d   366

 0,511  51,1%
100
0,311
1,14
366
Задания для самопроверки >> (задание 11)
22
Пусть j и jr соответственно брутто- и нетто-ставки наращения при
начислении процентов несколько раз в году в условиях инфляции. Возвращаемая сумма при этом составит:
S = SrIn = P(1 + jr/m)NIn
С другой стороны, S можно записать в виде:
S = P(1 + j/m)N
Если приравнять две вышеприведенные формулы, то получится уравнение эквивалентности для рассматриваемой финансовой операции при
заданном индексе инфляции на весь срок ссуды:
P(1 + j/m)N = P(1 + jr/m)NIn
Отсюда получается выражение для номинальной ставки сложных процентов при их начислении m раз в году, обеспечивающей требуемую реальную доходность операции jr при заданном индексе инфляции за срок ссуды:
j  m[1  jr / m N I n  1]
Задания для самопроверки >> (задание 12)
23
9. ФОРМУЛА ФИШЕРА
Выведенная нами ранее формула (9) наиболее часто применяется при
учете инфляции:
i = (1 + r)(1 + ) - 1 = r +  + r
Впервые она получена американским экономистом Фишером и носит
его имя.
Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной
ставки iτ, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции τ реальную доходность r кредитной операции. Эта формула также позволяет
рассчитать величину, называемую инфляционной премией, на которую
необходимо увеличить желаемую ставку реальной доходности r для компенсации инфляционных потерь.
На практике ставку iτ часто рассчитывают, пренебрегая произведением r.
Тогда формула ее расчета приобретает следующий вид:
i= r + 
(12)
Эту формулу будем называть приближенным вариантом формулы
Фишера. Если произведение r невелико, то и ошибка при вычислении iτ
незначительна.
Пример
При r = 5% и  = 10% величина r = 0,05 ∙ 0,1 = 0,05. Брутто-ставка по точной формуле Фишера равна 15,5% , а по приближенной – 15,0%.
Если же годовой темп инфляции составляет 100% при том же значении требуемой ставки доходности, то брутто-ставка по приближенной формуле будет равна i = 5% + 100% = 105%, а
по точной формуле – 0,05 + 1,0 + 0,05 ∙ 1 = 1,1 или 110% (разница в 5%).
24
При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной экономикой) пользуются
приближенным вариантом формулы Фишера.
Приближенный вариант формулы Фишера
целесообразно использовать, если
темпы инфляции не
превышают 10%
в год.
Инфляция
до 10%в год
Задания для самопроверки >> (задание 13)
25
10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАЛЬНОЙ СТАВКИ ПРОЦЕНТОВ
Рассмотрим следующую задачу. Пусть известна брутто-ставка процентов и темп инфляции. Требуется найти реальную ставку процентов (неттоставку). Напомним, что:
Реальная ставка процентов (нетто-ставка) – это доходность финансовой операции с учетом инфляции.
Выводы формул приводятся без подробных комментариев.
При начислении простых процентов:
i =
(1  n  r )I n  1
n
r=

1  1  n  i

 1
n  In

При начислении сложных процентов:
n
(1 + r)n = (1  i )
n
(1   )
откуда
1+r =
1 i
1 
значит
r=
1 i
–1
1 
= рассчитыПри уровне инфляции до 10% годовых нетто-ставку можно
вать по приближенному варианту формулы Фишера: r = i - .
Пример
Годовая инфляция 12%
Брутто-ставка 15%.
Найти реальную ставку сложных процентов.
Решение:
По полной формуле Фишера:
r = 1  0,15  1  0,0267 или 2,67%.
1  0,12
По приближенной формуле Фишера :
15 – 12 = 3%.
Задания для самопроверки >> (задание 14)
26
11. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ
ИНФЛЯЦИИ
Формулы, служащие для учета влияния инфляции на реальное значение
наращенной суммы, нетто- и брутто-ставки, будут рассмотрены отдельно
для следующих четырех случаев:
а) при использовании простых процентных ставок
б) при использовании сложных процентных ставок
в) при использовании простых учетных ставок
г) при использовании сложных ставок наращения (начисление
процентов несколько раз в году).
1. Реальное значение наращенной суммы
а)
б)
Sr 
P(1  ni)
In
 1 i 
S r  P

1  
г)
P
1  nd r
в)
i   (1  r ) n I n  1
j   m[(1 
3. Нетто-ставка процента
а)
r
sr 
б)
(1  nr)I n  1
n
г)
n
Sr = P(1 + jr/m)N
2. Брутто-ставка процента
а)
i 
в)

1 1 n  i

 1
n  In

d 
nd r  I n  1
nI n
jr N
) I n  1]
m
б)
r
i  
1 
27
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Задание 1
1. Дайте определение инфляции.
2. В чем экономическая сущность инфляции?
3. Каким образом могут проявляться инфляционные процессы?
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
Задание 2
1. Как измеряется инфляция?
2. Как определяется и что характеризует темп инфляции?
3. В каких единицах измеряется индекс инфляции? Уровень инфляции?
4. Как рассчитывается индекс цен ВНП?
5. Что такое индекс потребительских цен?
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
Задание 3
1. Определите значения показателей инфляции, если цены на товар за
год в среднем
а) выросли на 10%
б) упали на 10%.
2. В первом году темп инфляции составил 20%, а в следующем году
индекс инфляции был равен 1,12. Чему равен индекс инфляции за двухлетний период?
<< Вернуться к текущему блоку
28
Перейти к следующему блоку >>
Задание 4
1. Как рассчитать среднемесячный темп инфляции, если известен годовой индекс инфляции?
2. Как рассчитать годовой темп инфляции
а) в случае, когда уровень инфляции остается неизменным в течение
всего года?
б) в случае, когда уровень месячной инфляции изменяется?
2. Верно ли, что при среднемесячном темпе инфляции в 2% годовой
темп инфляции будет 24%?
3. Чему равен индекс цен за квартал, если уровень инфляции в январе
составил 3%, в феврале – 5%, в марте – 7%?
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
Задание 5
1. Как определяется изменение реальной покупательной способности
денег за некоторый период при известном индексе инфляции за этот же
период?
2. Чем отличаются понятия брутто-ставки процентов и нетто-ставки
процентов?
3. Если текущий темп инфляции превышает ожидаемый, то кто от
этого выигрывает – кредитор или должник?
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
29
Задание 6
1. Банк принимает вклады на 3 месяца по ставке 20% годовых. Месячный уровень инфляции составляет 7%. Определите реальное значение
наращенной суммы вклада в 3000 руб.
Проверьте себя
2. Банк принимает вклады на полгода по ставке 30% годовых. Квартальный уровень инфляции составляет 12%. Определите для суммы вклада
2000 руб. наращенную сумму с учетом инфляции.
Проверьте себя
3. Кредит в сумме 300000 руб. выдан на полгода под 54% годовых.
Уровень инфляции составляет 2% в месяц. Рассчитайте номинальную и
реальную стоимость погашаемой суммы.
Проверьте себя
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
Задание 7
1. Ссуда в размере 150 тыс. руб. выдана на 2 года по сложной ставке
20% годовых. Ожидаемый годовой уровень инфляции равен 15%. Определите наращенную сумму с учетом ее обесценения.
Проверьте себя
2. Банк принимает вклады на 9 месяцев с ежемесячным начислением
сложных процентов по номинальной ставке 4% годовых. Определите реальные результаты от вложения суммы 500 руб., если месячный уровень
инфляции составит 0,5%.
Проверьте себя
3. Вклад в сумме 2500 руб. размещен в банке на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму с учетом обесценения денег при месячном уровне инфляции 0,8%.
Проверьте себя
<< Вернуться к текущему блоку
30
Перейти к следующему блоку >>
Задание 8
1. Какое явление в экономической литературе получило название
«эрозия капитала»?
2. Может ли реальная процентная ставка быть отрицательной величиной?
3. Что означает понятие «барьерная ставка»?
4. При каком соотношении между множителем наращения и индексом
инфляции будет происходить реальное наращение капитала в условиях
сложных процентов?
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
Задание 9
1. Банк выдал кредит на год в размере 300 тыс. руб. Ожидаемый уровень инфляции на этот срок составляет 1,2% в месяц. При этом реальная
доходность операции составит 8% годовых. Определите номинальную
ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму начисленных
процентов. Ставка устанавливается в процентах годовых с точностью до
одного знака после запятой.
Проверьте себя
2. Банк выдал кредит на 3 месяца в размере 150 тыс. руб. Известно, что
при месячном уровне инфляции 1,4% реальная доходность операции составит 6% годовых. Определите номинальную ставку процентов, погашаемую
сумму и сумму процентов за кредит. Ставка устанавливается в процентах
годовых с точностью до одного знака после запятой.
Проверьте себя
3. Банк выдал кредит на 6 месяцев в размере 150 тыс. руб. При ожидаемом месячном уровне инфляции в 1,5% реальная доходность операции
равна 24% годовых. Определите номинальную ставку процентов, погашаемую сумму и сумму начисленных процентов. Ставка устанавливается в
процентах годовых с точностью до одного знака после запятой.
Проверьте себя
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
31
Задание 10
1. Кредит в размере 700 тыс. руб. выдан на 2 года с ежегодным начислением сложных процентов. На этот период прогнозируется рост цен в 1,8
раза. Определите брутто-ставку и наращенную сумму долга, если реальная
доходность операции должна составить 24% годовых. Ставка устанавливается в процентах годовых с точностью до одного знака после запятой.
Проверьте себя
2. Кредит в размере 50 тыс. руб. выдается на 3 года с ежегодным
начислением сложных процентов. При ожидаемом годовом уровне инфляции 20% реальная доходность операции должна составить 5% по сложной
ставке процентов. Определите брутто-ставку и наращенную сумму. Ставка
устанавливается в процентах годовых с точностью до целых.
Проверьте себя
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
Задание 11
При учете векселя в условиях инфляции должна быть обеспечена реальная доходность, определяемая учетной ставкой 20% годовых. До срока
погашения векселя 90 дней ожидаемый месячный уровень инфляции составляет 2%, расчетное число дней в году – 360. Определите значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции. Учетная ставка устанавливается в процентах годовых с точностью до одного знака после запятой.
Проверьте себя
<< Вернуться к текущему блоку
32
Перейти к следующему блоку >>
Задание 12
Банк выдал кредит в размере 5 млн. руб. на два года. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке сложных годовых процентов.
Реальная доходность операции равна 8% годовых. Определите номинальную ставку процентов и погашаемую сумму, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 40%. Ставка устанавливается в процентах годовых с точностью до целых.
Проверьте себя
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
Задание 13
1. Что определяет формула Фишера?
2. Какая величина в формуле Фишера называется инфляционной премией?
3. Кому выгоднее использовать в контракте приближенный вариант
формулы Фишера: кредитору или заемщику?
4. В каких случаях можно пользоваться приближенным вариантом
формулы Фишера?
5. Если за год Ваш номинальный доход возрастет на 6%, а темп инфляции за тот же период составит 3%, то как приблизительно изменится
Ваш реальный доход?
<< Вернуться к текущему блоку
Перейти к следующему блоку >>
33
Задание 14
1. Определите с точностью до двух знаков после запятой ставку реальной доходности при помещении денежных средств на год под сложную
процентную ставку 45% годовых, если предполагаемый уровень инфляции
за год составит
а) 15%
б) 45%
в) 60%
Проверьте себя
2. Определите с точностью до двух знаков после запятой ставку реальной доходности при помещении денежных средств на год под сложную
процентную ставку 36% годовых, если предполагаемый уровень инфляции
за год составит
а) 20%
б) 36%
в) 55%
Проверьте себя
<< Вернуться к текущему блоку
34
ОТВЕТЫ
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
1, а)
1, б)
1, в)
2, а)
2, б)
2, в)
Задание 6
2571,34 руб.
1833,55 руб.
381000 руб. и 338317,10 руб.
Задание 7
163327,03 руб.
492,59 руб.
2529,91 руб.
Задание 9
24,6%; 373800 руб.; 73800 руб.
23,3%; 158737,5 руб.; 8737,5 руб.
44,9%; 183675 руб.; 33675 руб.
Задание 10
66,4%; 1938227,2 руб.
26%; 100018,8 руб.
Задание 11
48,9%
Задание 12
42%; 11416642,44 руб.; 6416642,44 руб.
Задание 14
26,09%
0%
–9,38%
13,33%
0%
–12,26%
35
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. – М.: Финансы и статистика, 1999.
Ковалев В.В. Сборник задач по финансовому анализу. – М.: Финансы
и статистика, 1997.
Ковалев В.В. Финансовый анализ. – М.: Финансы и статистика, 1997.
Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым
вычислениям. – М.: ИНФРА-М, 1996.
Салин В.Н., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических расчетов. – М.: Финансы и статистика, 1998.
Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.:
Дело, 1995.
Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. – М.: Дело, 2000.
Ответственный за оригинал-макет Н.В. Давликанова
Подписано в печать 14.08.2002
Объем 2,25 печ. л. Тираж 124 экз.
Учебно-методический центр Банка России
36