Инфляционное таргетирование и приоритеты денежно

Еуров Никита Александрович, ГУ-ВШЭ, Санкт-Петербург
Инфляционное таргетирование и приоритеты денежно-кредитной политики
Рассмотрим основную модель, описывающую поведение ЦБ при выработке
денежно-кредитной политики.
Основа моделирования – динамическая модель общего равновесия. В модели
монетарная политика влияет на экономику в коротком периоде. В этом есть что-то общее
с кейнсианской моделью IS/LM.
Важное допущение состоит в том, что текущее поведение экономики зависит как
от ожиданий того, что будет в будущем, так и от текущих действий монетарных властей.
Перейдем к рассмотрению модели:
Пусть yt и zt – стохастические переменные, показывающие соответственно выпуск
и потенциальный выпуск, обе переменные – логарифмы. Разница между фактическим и
потенциальным выпуском – важная переменная модели, обозначим ее, как отклонение
выпуска xt:
xt  y t  z t
Пусть πt – инфляция в период t, определяемая как процентное изменение уровня
цен от периода t-1 к периоду t. Обозначим за it номинальную ставку процента. Каждая
переменная может быть выражена как отклонение от своего долгосрочного тренда.
Тогда возможно представить модель в виде двух уравнений: кривой IS, а также
кривой Филипса, которая показывает зависимость инфляции от отклонения выпуска:
xt = - φ [it – Etπt+1] + Etxt+1+ gt
(1.1)
πt = λxt + βEtπt+1 + ut
(1.2)
,где gt и ut - случайные распределения
Полезно проделать некоторые преобразования с (1.1), чтобы получить:

xt  Et    it i   t 1i   g t i 
i 0
Данное уравнение показывает, насколько сильно ожидания относительно будущего
влияют на экономику. Отклонение выпуска зависит не только от шоков спроса и
процентной ставки, но и от их ожидаемых траектория развития.
Аналогично проведем преобразования с кривой Филипса (1.2):

 t  Et   i xt i  u t i 
i 0
В отличие от традиционной кривой Филипса, здесь нет зависимости от
предыдущей инфляции. Зато инфляция зависит полностью от текущих и ожидаемых
параметров экономики.
Целевая функция Центрального Банка должна измерять эффективность политики
банка в зависимости от значения некоторых переменных.
В данной модели используется следующая функция:
1 

max  Et   i xt2i   t2i 
2  i 0

(1.3)


Параметр α – относительный вес отклонений выпуска. Целевое значение реального
выпуска – его потенциальное значение, также целевое значение инфляции – 0, однако так
как инфляция в данной модели – отклонение от тренда, то тренд и есть цель банка.
Каждый период ЦБ выбирает триплет {xt, πt, it} для максимизации целевой
функции (1.3).
При условии
1
xt = - φ [it – Etπt+1] + Etxt+1+ gt
πt = λxt + βEtπt+1 + ut
Сперва выбираются значения xt и πt, а затем ставка процента, которая обеспечила
бы соответствующие инфляцию и выпуск.
Первая ступень оптимизации превращается в статическую оптимизацию: каждый
период выбирать значения xt и πt так, чтобы максимизировать:
1
 xt2   t2  Ft
2
при условии:
 t  x t  f t




1 

Причем Ft   Et   i xt2i   t2i  , а f t  Et  t 1  ut .
2  i 0

Решением первой ступени является правило оптимальности:

xt    t

Это условие показывает, что ЦБ применяет так называемую политику «lean against
the wind»: как только инфляция превышает целевое значение, снизить выпуск ниже
потенциального (путем повышения процентной ставки) и наоборот.
Насколько агрессивно ЦБ должен сокращать xt положительно зависит от λ,
коэффициента эластичности кривой Филипса и отрицательно от α, относительного веса
отклонения выпуска.
Проводя дальнейшие вычисления, получаем:
 t  qut
xt  qut
1
, где q  2
   (1   )
Оптимальная политика для процентной ставки:
1
it    Et  t 1  g t

(1   )
1
, где    1 

и Et  t 1   t  qut
Из этих нескольких выражений следует целый ряд ключевых результатов.
Результат №1. Пока в модели существует инфляция издержек, существует
компромисс между дисперсиями инфляции и выпуска в коротком периоде.
Этот результат был впервые получен Тейлором в 1979 году и впоследствии стал
важным принципом.
Результат №2. Оптимальная политика предполагает, что инфляция должна
стремиться к своему целевому значению постепенно по траектории. Резкое смещение
инфляции к своей цели оптимально только в двух случаях: (1) отсутствует инфляция
издержек; или (2) ЦБ не волнуют отклонения выпуска.
Результат №3. В случае оптимальной политики, в ответ на повышение ожидаемой
инфляции, номинальная процентная ставка должна вырасти еще сильнее, чтобы увеличить
реальную ставку. То есть в уравнении правила для процентной ставки коэффициент перед
ожидаемой инфляцией должен быть больше единицы.
2
Это следует из уравнения:
1
it    Et  t 1  g t

(1   )
1
, где    1 

Результат №4. Оптимальная политика предполагает полную компенсацию шоков
спроса за счет изменения процентной ставки, а также отсутствие реакции на шоки
потенциального выпуска.
Это следует из уравнения:
1
it    Et  t 1  g t

Во многих работах, включая например Kydland and Prescott (1979), Barro and
Gordon (1983), рассматривается возможность наличия целевого значения для отклонения
выпуска k>0. В базовой модели предполагается, что целью ЦБ является сведение
отклонения выпуска к 0, а при введении параметра k целевая функция (1.3) поменяется на
следующую:
1 

2
max  E t   i  x t  i  k    t2 i 
2  i 0

Причины по которым социально-оптимальным может быть положительный разрыв
в выпуске связаны с искажениями реальной экономики, такими как несовершенная
конкуренция и налоги.
Для удобства также можно предположить, что те, кто устанавливает цены имеют
параметр дисконтирования, равный единице.
В этом случае, условие оптимальности, связывающее целевые переменные,
выглядит следующим образом:

xtk    tk  k

В данном случае индекс k означает рассматриваемый случай для положительного
отклонения выпуска k>0.
Подставляя это условие в кривую Филипса (1.2) и кривую IS (1.1), получаем:
xtk  xt



k

Можно заметить, что выпуск в этих условиях такой же, как и в базовой модели,
однако инфляция выше.
Отсюда следует еще один небезынтересный результат:
Если Центральный Банк желает достичь выпуска, который был бы выше
потенциального, то в случае применения дискреционной политики результатом будет то,
что выпуск останется прежним, а инфляция увеличится.
Этот результат объясняет в частности ситуацию, когда инфляция долгое время
находится на весьма высоком уровне.
Моделирование поведения ЦБ в случае, если он применяет коридор для
отклонения выпуска.
В случае таргетирования, когда банк применяет такой вид таргетирования, можно
предположить, что зависимость функции потерь ЦБ от отклонения инфляции будет
линейно-квадратичная, так называемая функция Хубера. Такая форма предполагает
 tk   t 
3
уменьшение значимости отклонений инфляции при выходе отклонений ВВП из коридора.
То есть при отклонении ВВП, попадающем в коридор, функция потерь выглядит
стандартно:

1
Lt  Et   i x 2 t i    2 t i
2 i 0
А при отклонении ВВП, выходящем за коридор, функция потерь меняет вид:

1
Lt  Et   i x 2 t i    t i
2 i 0
В этом случае дальнейшее отклонение ВВП будет неприемлемо, ЦБ предпочтет
отклонение инфляции.
Чтобы определить, так ли на самом деле устроена функция потерь Банка Англии,
смоделируем его поведение с помощью модели Клариды-Гали-Гертлера:
Уравнение кривой IS сохраним стандартным:
xt = - φ [it – Etπt+1] + Etxt+1+ gt
x – отставание выпуска от долгосрочного значения,
i – отклонение уровня номинальной ставки процента от долгосрочного уровня
π – отклонение темпа инфляции от желательного уровня,
E – оператор ожидания,
g – случайный шок спроса
Кривая Филипса в модели Клариды-Гали-Гертлера описывается уравнением:
πt = λxt + βEtπt+1 + ut
u – случайный шок предложения
Функция потерь ЦБ имеет вид, описанный выше, то есть:

1
Lt  Et   i x 2 t i    2 t i при |x| < x0
2 i 0

1
и Lt  Et   i x 2 t i    t i при |x| > x0.
2 i 0
Будет удобно записать целевую задачу центрального банка следующим образом:







 1
 E  H  
max
 2

t
xt ,
t

t

 Ft 

 x 2 t i   2 t i , x t  x 0
Ht   2
 x t i    t i , xt  x0
при ограничениях
xt   it  Et t 1   Et xt 1  g t
 t  xt  Et t 1  иt
Ft   Lt 1 t
Отметим, что в данном случае кривая IS не налагает никаких ограничений на
поведение центрального банка, поскольку она не включает переменную πt. Поэтому
можно записать уравнение Лагранжа для центрального банка следующим образом:
1
Для x  x 0 :    xt2   t2   Ft   t  xt  Et  t 1  u t 
2
1
Для x  x 0 :    xt2    t  Ft   t  xt  Et  t 1  u t 
2
Тогда условия второго порядка:


4
Для x  x 0 :
Для x  x 0 :
 xt    0


,
  t    0

  x  E   u  0
t
t t 1
t
 t
 xt    0


,
1
    0

2

 t  xt  Et  t 1  u t  0
откуда: xt   t
1
откуда: xt     const
2
На графике такая политика банка будет выглядеть следующем образом (рис. 1):
Рис. 1. Коридор для выпуска
График представляет собой ломаную линию с двумя точками излома, которые
неизвестны и координаты которых необходимо оценить. Для оценки такой функции
необходимо прибегнуть к методу, который описали в 1981 году в своей статье «A
Maximum Likelihood Method for Piecewise Regression Models with a Continuous Dependent
Variable» Тишлер и Занг (Asher Tishler and Isreal Zang).
a x  et , t  I1
Суть метода в том, что если требуется оценить функцию yt   1 1t
вид
a
x

e
,
t

I
2
2
t
t
2

которой представлен на рисунке:
- то ее можно переписать в виде:
yt  max a1 x1t , a2 x2t  et

Применив известное преобразование: lim  1p   2p
p 

1/ p
 max a1 , a 2  ,
аппроксимировать модель следующим образом:

B  yt  B  a1 x1t   B  a2 x2t 
p

p 1/ p
 et
Это уравнение непрерывно дифференцируемо, поэтому искомые матрицы
коэффициентов a1 и a2 могут быть получены минимизацией суммы квадратов остатков et.
Авторы советуют использовать метод quasi-Newton.
Возвращаясь к нашей функции политики при наличии коридора для выпуска
можно сказать, что такая функция может быть представлена с использованием оператора
max: y=max{-c;min{c;ax}}+e.
5
Проведя преобразования получаем:




1/ p
1/ p p 
p
B  y t  B  c   2 B  ( B  c) p  ( B  ax) p
  et


Минимизируя сумму квадратов остатков et, получаем оценки для искомых
коэффициентов с и а:
с = 2,09
a = - 0,209
при B = 4, p = 10.
Можно заметить, что наша переменная отклонения выпуска x не выходит за
пределы коридора [-2;2]. А значит по нашим данным наилучшей оценкой модели будет
линейная функция xt  0.21 t .
Попробуем построить на наших данных линейную регрессию. Для анализа были
взяты данные в период с 1988 по 2005 года. Данные представлены поквартально.
Результаты представлены в таблице (Табл. 1):
Табл. 3. Результаты оценивания основной регрессии
Dependent Variable: X
Method: Least Squares
Sample: 1988Q2 2005Q4
Included observations: 71
PI
C
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
-0.215348
0.040466
0.062789
0.053023
-3.429696
0.763170
0.0010
0.4480
0.145646
0.133264
0.435579
13.09133
-40.72373
11.76282
0.001024
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
4.38E-17
0.467869
1.203485
1.267223
1.228832
1.388406
Список использованной литературы
1. Clarida R. The Science of Monetary Policy: A New Keynesian Perspective /
Richard Clarida, Jordi Gali, Mark Gertler // Journal of Economic Literature. 1999. – Vol. 37, No. 4. – pp.1661-1707.
2. Srinivasan N. UK monetary policy under inflation forecast targeting: is behavior
consistent with symmetric preferences? / Naveen Srinivasan, Vidya Mahambare,
M. Ramachandran // Oxford Economic Papers. – 2006. – 58. – pp.706-721.
3. Tishler A. A Maximum Likelihood Method for Piecewise Regression Models
with a Continuous Dependent Variable / Asher Tishler, Isreal Zang // Applied
Statistics. – 1987. – Vol.30, No. 2. – pp.116-124.
4. Svensson L. The Inflation Forecast and the Loss Function / Lars E.O. Svensson //
Princeton University and Stockholm University. –
(www.princeton.edu/~svensson/).
6