Тест 3. Сложение и умножение вероятностей. P(A+B)=P(A)+P(B) двух несовместных событий

Тест 3.
Сложение и умножение вероятностей.
1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их
вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B)
2. Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме их
вероятностей минус вероятность их произведения:
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)
Теорема произведения вероятностей. Условная вероятность.
P(AB)=P(A)∙ (B) , где
(B) – условная вероятность, т.е. вероятность события В,
вычисленная в предположении того, что событие А уже наступило.
Для независимых событий:
P(AB)=P(A)∙ (B)
1
1. Изготовлено 300 деталей, из них 20 шт. имеют дефект α, причем
5шт. из этих 20-ти имеют также дефект β. Относительная частота
появления детали с обоими дефектами равна … .
1) 1/20
2) 5/20
3) 5/300
2. Брошены 100 раз 2 игральные кости. При этом оказалось, что
совпадение числа очков было 15 раз, а шесть очков, на обоих
костях, выпало 4 раза. Условная частота выпадения двух шестерок
составила … .
1) 4/15
2) 4/100
3) 15/100
3. В урне 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимают, не возвращая,
один за другим 2 шара. Вероятность того, что они будут разных
цветов, составляет… .
1) 5/21
2) 10/21
3) 2/7
4. В коробке 11 зеленых, 5 синих и 9 красных карандашей. Из коробки
наудачу берут по одному три карандаша. Вероятность того, что эти
три карандаша будут зелеными, если карандаши возвращают в
коробку, будет равна… .
1) 0,085
2) 11/25
3) 11/75
5. В коробке 11 зеленых, 5 синих и 9 красных карандашей. Из коробки
наудачу берут по одному три карандаша. Вероятность того, что эти
три карандаша будут зелеными, если любой вынутый карандаш не
возвращать в коробку будет равна… .
1) 0,085
2) 0,072
3) 0,0036
6. Деталь последовательно изготавливается на трех станках. Первый
станок допускает брак с вероятностью 0,05, второй с вероятностью
0,03, третий с вероятностью 0,02. Вероятность получения годной
детали составляет… .
1) 0,903
2) 0,966
3) 0,975
2
7. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность
бесперебойной работы первого станка
=0,9, второго станка
=0,8. Вероятность бесперебойной работы
составляет… .
1) 1,7
2) 0,72
3) 0,98
обоих
станков
8. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность
бесперебойной работы первого станка
=0,9, второго станка
=0,8. Вероятность работы хотя бы одного из двух станков
составляет… .
1) 1,7
2) 0,72
3) 0,98
9. Имеется 6 учебников, из которых 3 в переплете. Наудачу берут 2
учебника. Вероятность того, что оба взятых учебника окажутся в
переплете составляет… .
1) 0,2
2) 0,3
3) 0,5
4) 0,4
10.В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам
наудачу выбирают 3-х человек. Вероятность того, что все
отобранные будут мужчинами составит … .
1) 0,3
2) 3/7
3) 0,292
4) 0,4
11.В ящике 10 шаров, из которых 6 окрашенных. Наудачу извлекают 4
шара, не возвращая их. Вероятность того, что все вынутые шары
окажутся окрашенными, составляет… .
1) 0,6
2) 0,071
3) 0,142
12.В ящике 4 красных и 2 синих шара. Из него наудачу берут три шара.
Вероятность того, что все эти три шара – красные, равна… .
1) 0,2
2) 0,75
3) 0,3
4) 0,4
13.Из колоды 36 карт вытягивают одну за другой две карты (без
возвращения 1ой в колоду). Вероятность того, что вторая карта
будет такого же цвета равна… .
1) 17/35
2) 18/36
3) 16/36
3
14.В коробке имеется 6 одинаковых занумерованных шаров. Наудачу,
по одному извлекают все шары, не возвращая. Вероятность того, что
номера извлеченных шаров появятся в возрастающем порядке,
составляет… .
1) 1/720
2) 1/6
3) 1/36
15.Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов по дисциплине. Ему
предлагают 3 вопроса. Вероятность того, что студент знает их,
составляет… .
1) 0,495
2) 0,8
3) 0,9
16.Из двух орудий стреляют один раз по одной цели. Вероятность
попадания для первого p=0,9; для второго p=5/6. Вероятность того,
что будут два попадания в цель, составляет… .
1) 0,75
2) 108/60
3) 53/60
17.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая.
Вероятность того, что первая цифра нечетная, составляет… .
1) 0,5
2) 0,3
3) 0,6
18.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая.
Вероятность того, что оба раза выбрана нечетная цифра,
составляет… .
1) 0,5
2) 0,3
3) 0,6
19.В урне 4 белых и 3 черных шара. Одновременно вынимают два
шара. Вероятность того, что оба шара белые, составляет… .
1) 4/7
2) 1/2
3) 2/7
20.Бросают несколько игральных костей, при этом ожидают, что ни на
одной из граней не появится 6 очков. Если вероятность этого
ожидания принять меньше, чем 0,3, то одновременно надо бросить
n костей… .
1) n≥7
2) n≥3
3) n≥5
4
21.В электрическую цепь включены последовательно 3 независимых
элемента. Вероятности их отказов равны 0,1; 0,15 и 0,2. Вероятность
того, что тока в цепи не будет (т.е. хотя бы один элемент откажет)
составляет… .
1) 0,65
2) 0,388
3) 0,35
22.В коробке 3 красных (к) и 5 синих (с) карандашей. Вынимают
наудачу 1 карандаш и возвращают в коробку. Опыт повторяют
4 раза. Вероятность, что карандаши вынут в последовательности
КСКК составляет… .
1) 0,3
2) 0,033
3) 0,62
23.В коробке 3 красных (к) и 5 синих (с) карандашей. Вынимают
наудачу 1 карандаш и возвращают в коробку. Опыт повторяют
4 раза. Вероятность, что карандаши вынут в последовательности
ССКС составляет… .
1) 0,0915
2) 0,27
3) 0,12
24.Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели.
Вероятности попадания в цель составляют: для 1-го стрелка =0,6;
для 2-го =0,8; для 3-го =0,9. Вероятность того, что все три
стрелка попадут в цель, составляет… .
1) 0,651
2) 0,432
3) 0,720
25.Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность
промаха для 1-го выстрела 0,2; для 2-го - 0,3; для 3-го - 0,4.
Вероятность того, что он промахнется все три раза, составляет... .
1) 0,2
2) 0,024
3) 0,576
26.Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность
промаха для 1-го выстрела 0,2; для 2-го - 0,3; для 3-го - 0,4.
Вероятность того, что он попадет 2 раза из 3-х выстрелов,
составляет... .
1) 0,0915
2) 0,452
3) 0,27
5
27.На стеллаже библиотеки в случайном порядке стоят 15 книг, причем
5 их них в переплете. Берут наудачу 3 книги. Вероятность того, что
хотя бы одна из взятых книг окажется в переплете, составляет… .
1) 2/91
2) 45/91
3) 0,736
28.Бросают 3 кубика сразу. Вероятность того, что выпадут 3 шестерки,
составляет… .
1) 1/6
2) 1/36
3) 1/216
29.Бросают кубик последовательно 3 раза; после 2-х бросания выпало:
6 – 1ый раз и 6 – 2ой раз. Вероятность того, что еще раз выпадет 6
очков, составляет… .
1) 1/36
2) 1/216
3) 1/6
30.На 8 карточках написаны буквы, образующие слово КАРАНДАШ.
Последовательно наудачу выбирают 4 карточки. Вероятность того,
что получилось слово КАША, составляет… .
1) 1/280
2) 2/112
3) 4/10
31.На восьми карточках написаны буквы, образующие слово
ШАРАДА. Последовательно наудачу выбирают 3 карточки.
Вероятность того, что получилось слово ДАР, составляет… .
1) 3/6
2) 1/6
3) 1/40
6
Тест №
Пояснение
Ответ
1.
Вероятность того, что уже есть дефект α: P(α)=20/300. Из
этих 20шт. есть дефект β у 5шт.; т.е. (β)=5/20 по теореме
произведения вероятностей:
Р(α∙β)=Р(α)∙Р(β)=20/300∙5/20=1/60
1/60
2.
Вероятность того, что выпали две одинаковые цифры
очков: Р(α)=15/100. Из этих 15 раз две шестерки выпали 4
раза, т.е. (β)=4/15.По теореме произведения
вероятностей: Р(α∙β)=Р(α)∙
3.
4.
5.
6.
1/25
(β)=15/100∙4/15=0,04
Пусть событие А – шары разных цветов; оно распадается
на сумму двух несовместных событий: А+В=С, где В – 1ый
шар белый, а второй черный; С- 1ый шар черный, а второй
белый.
Р(В)=5/7∙2/6=5/21;Р(С)=2/7∙5/6=5/21;Р(А)=Р(В)+Р(С)=10/21
Всего 25 карандашей, из них 11 зеленых, берут 3
карандаша, если карандаши возвращать, то:
р=11/25∙11/25∙11/25=
≈ 0,085
Если карандаши не возвращать, то изменяется их
количество и вероятность будет: р=11/25∙10/24∙9/23≈0,072
Изготовление деталей на разных станках – независимые
события. Вероятность, что деталь будет годной равна:
р(А)= ∙ ∙ =0,95∙0,97∙0,98=0,903
10/21
0,085
0,072
0,903
7.
Работа станков – независимые события, т.е.:
р(А)= ∙ =0,8∙0,9=0,72
0,72
8.
р(А)=
0,98
9.
Событие А – первый взятый учебник имеет переплет:
р(А)=3/6=1/2. Событие В – второй взятый учебник имеет
переплет (при условии, что событие А уже произошло):
р(В)=2/5, тогда р(АВ)=р(А)∙ (В)=1/2∙2/5=1/5=0,2
+
-
∙ =1,7-0,72=0,98
0,2
7
10.
Событие А – отобран первый мужчина из 10 человек,
вероятность этого события:
р(А)=7/10.
Событие В – отобран второй – тоже мужчина:
(В)=6/9 – вероятность при условии А.
Событие С – третий отобранный – тоже мужчина:
(С)=5/8 – вероятность при условии А и В.
По формуле для независимых событий:
р(АВС)=р(А)∙ (В)∙
(С)=7/10∙6/9∙5/8=7/24≈0,292
11.
Р(АВСD)=6/10∙5/9∙4/8∙3/7=1/14≈0,071
12.
Р(АВС)=4/6∙3/5∙2/4=1/5=0,2
13.
Когда вынимают первую карту, то вероятность этого
события р(А)=1,
т.к. безразлично какого цвета она будет.
Вероятность вынуть 2-ю карту такого же цвета
(красную или черную) равна:
р(А)=17/35, т.е. р(А)=1∙17/35=17/35
0,292
0,071
0,2
17/35
14.
р=1/6∙1/5∙1/4∙1/3∙1/2=1/720
1/720
15.
р=(АВС)=20/25∙19/24∙18/23=57/115≈0,495
0,495
16.
Здесь р(А)=0,9; р(В)=5/6. Два попадания – независимые
события.
Вероятность определяется по формуле:
р(АВ)=р(А)∙р(В)=0,9∙5/6=3/4=0,75
0,75
17.
Вероятность того, что первая цифра будет нечетной:
р=3/5=0,6
0,6
18.
Вероятность того, что оба раза будет нечетная цифра:
р=3/5∙2/4=0,3
0,3
8
19.
Пусть С – событие, когда оба шара белые, т.е. С=А∙В,
где А – 1ый шар белый и В – 2ой шар белый;
тогда р(А)=4/7.
Надо найти (В), т.е. вероятность того, что второй шар
– белый при условии, что 1ый шар взят тоже белый.
(В)=3/6, т.к. один шар уже взят и осталось 6 шаров,
тогда р(С)=р(АВ)=р(А)∙
20.
2/7
(В)=4/7∙3/6=2/7
Вероятность того, что на грани кубика не появиться
число 6 составляет р( )=5/6.
Так как события выпадения очков независимы,
то применима теорема умножения вероятностей, т.е.
р=
<0,3 → n∙
<
n≥7
n>6,6, т.е. число игральных костей должно быть n≥7
21.
Безотказная работа 1го элемента → р=1-0,1=0,9;
2го → р=0,85; 3го → р=0,8
Элементы независимы,
т.е. вероятность безотказной работы:
р(1,2,3)=0,9∙0,85∙0,8=0,612
Вероятность отказа: q=1-р=1-0,612=0,388
0,388
Всего 8 карандашей.
Вероятность вынуть красный р(к)=3/8, синий р(с)=5/8.
События вытаскивания карандашей независимы, т.е.
р(кскк)=3/8∙5/8∙3/8∙3/8=135/4096≈0,033
0,033
23.
р(сскс)=5/8∙5/8∙3/8∙5/8=375/4096≈0,0915
0,0915
24.
Вероятность, что все три стрелка попадут в цель равна:
р(АВС)=р(А)∙р(В)∙р(С)=0,6∙0,8∙0,9=0,432
0,432
25.
=0,2; =0,8, тогда =0,7, =0,6
Промахнется три раза.
Эти события независимы, т.е.
(0)=0,2∙0,3∙0,4=0,024
22.
0,024
9
26.
27.
Попадание 2 раза распадается на следующие
возможные: ∙ ∙ - 1ый раз – попал; 2ой раз –
попал; 3ий раз – промах ;
Аналогично ∙ ∙ и ∙ ∙ .
Каждое из этих событий независимо, т.е.
А= ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙
и они попарно несовместимы, т.е. вероятность будет:
р(А)=0,8∙0,7∙0,4+0,8∙0,3∙0,6+0,2∙0,7∙0,6=0,452
0,452
Пусть событие А – взята книга в переплете. Это
событие осуществиться, если произойдет любое из
следующих 3х несовместимых событий:
Событие В - взяли одну книгу в переплете;
Событие С – две книги в переплете;
Событие D – три книги в переплете;
Тогда вероятность события А будет:
Р(А)=р(В)+р(С)+р(D)
Вычислим эти вероятности:
C102
C153
Р(В)= ∙
где
=45/91,
– число способов, которыми можно взять
0,736
остальные 2 книги из общего числа книг без переплета.
Р(С)= ∙
Р(D)=
C53
C153
1
C10
C153
=20/91,
=2/91,
Тогда: р(А)=45/91+20/91+2/91=67/91≈0,736
28.
Это
независимые
р=1/6∙1/6∙1/6=1/216≈0,0046
события,
поэтому:
29.
Шесть выпало уже два раза подряд, т.е. это событие
уже осуществилось и оно не может повлиять на
результат 3го бросания, поэтому: р=1/6
1/216
1/6
10
30.
Вероятность того, что первой выбрана буква К,
составляет р=1/8 и т.д.
1/280
р(КАША)=1/8∙3/7∙1/6∙2/5=1/280
31.
Вероятность того, что первой выбрана буква Д,
составляет р=1/6 и т.д.
1/40
р(ДАР)=1/6∙3/5∙1/4=1/40
11