Реализация принципа преемственности в обучении математике

Лариса Васильевна Булда, учитель математики государственного учреждения образования
«Радошковичская средняя школа Молодечненского района»
Окончила механико-математический факультет БГУ. Начинала свою педагогическую
деятельность в школе-лицее №22 г. Минска. С 1991 года работает в Радошковичской средней
школе. Лариса Васильевна принимала активное участие в экспериментальной работе по
апробации модели 12-летней школы. В ходе эксперимента с 1995 года работала в классах с
углубленным изучением математики. Разработала программу для классов с углубленным
изучением математики, которая позже была утверждена МО РБ и рекомендована для
использования. Автор сборника «Тестовые задания по математике для 6-7 классов». Награждена
Почётными грамотами управления образования Миноблисполкома. Победитель районного
конкурса «Учитель года-1997»
Реализация принципа преемственности обучения математике в
системе «урок – факультатив».
В
обучении,
под
преемственностью
понимается
последовательность и системность в расположении учебного материала,
связь и согласованность ступеней и этапов учебно-воспитательной
работы, осуществляемой от одного занятия к следующему, при
переходе (т.е. в системе уроков, факультативных занятий), от одного
года обучения к другому. Преемственность характеризуется
осмысливанием пройденного на новом более высоком уровне,
подкреплением имеющихся знаний новыми, раскрытием новых связей,
благодаря чему качество знаний, умений и навыков повышается. Знания
делаются
более
сознательными,
дифференцированными
и
обобщенными, а круг их применения значительно расширяется. Таким
образом, преемственность означает процесс развития учащихся путем
осмысливания и взаимодействия старых и новых знаний, прежнего и
нового опыта.[2, с. 104]
После принятия декрета Президента от 17 июля 2008г. №15 «Об
отдельных вопросах общего среднего образования» факультативные
занятия становятся основной формой дифференциации обучения. Перед
учителем встает ряд проблем: реализация преемственности изучения
учебных
предметов
и
факультативных
курсов,
специфика
факультативных занятий на разных ступенях обучения, использование
наиболее приемлемых технологий обучения, оценка эффективности
факультативных занятий
Деятельность учителя и учащегося направлена на достижение
определенных целей посредством адекватного этим целям содержания,
а также соответствующих методов и приемов обучения. Отсюда
следует, что основными «движущимися силами» процесса обучения
2
являются цели, содержание и методы обучения в определенных
условиях.
Рассмотрим дидактическую преемственность двух форм учебной
работы: уроков, на которых учебный материал рассматривается на
базовом уровне, и факультативных занятий, призванных обеспечить
повышенный уровень владения знаниями и способами деятельности.
При этом важно выработать общие подходы к организации
образовательного процесса, которые позволят обеспечить все виды
преемственности: целевую, содержательную, технологическую.
Таким образом, основные задачи для реализации принципа
преемственности в системе «урок – факультатив», которые стояли
передо мной были следующие :
 поддержание мотивации ученика к изучению математики, поощрение
активности и самостоятельности, расширение возможности обучения
и самообучения;
 выбор и адаптация учебных программ, разработка календарнотематического планирования;
 аргументированный выбор
методических форм, приемов по
реализации принципа преемственности;
 использование выбранных методических форм и приемов по
реализации принципа преемственности;
 разработка методических материалов в помощь учителю математики.
С целью успешной реализации принципа целевой и
содержательной преемственности в системе «урок- факультатив» мною
была использована следующая форма календарно- тематического
планирования по программе факультативных занятий «Теория и
практика решения алгебраических нестандартных задач» в 8 классе (1 ч
в неделю 35 ч). Предложенная форма планирования позволяет с учётом
требований программ базового курса и факультативных занятий
определять необходимый для достижения целей урока объём учебного
материала, подбирать целесообразный объём и характер учебных
работ, выбирать средства обучения, исходя из их дидактических
возможностей и целей каждого конкретного урока, учитывать при
разработке технологической карты урока требования к
уровню
усвоения
учебного
материала,
необходимый
характер
внутрипредметных связей , определять место урока в системе уроков по
теме, разделу, курсу, оптимально подбирать дифференцированное
домашнее задание по содержанию, форме и объёму с учётом принципа
преемственности в системе «урок – факультатив»
Форма календарно-тематического плана
в системе «урок – факультатив»
3
примечания
организационнометодические
особенности
факультативного
занятия
цель
дата
количество часов
тема факультативного
занятия
организационнометодические
особенности урока
цель
дата
количество часов
тема и подтема
(базовый уровень)
№
1
Предложенная форма планирования позволяет с учётом требований
программ базового курса и факультативных занятий определять
необходимый для достижения целей урока объём учебного материала,
подбирать целесообразный объём и характер учебных работ, выбирать
средства обучения, исходя из их дидактических возможностей и целей
каждого конкретного урока, учитывать при разработке технологической
карты урока требования к уровню усвоения учебного материала,
необходимый характер внутрипредметных связей, определять место
урока в системе уроков по теме, разделу, курсу, оптимально подбирать
дифференцированное домашнее задание по содержанию, форме и
объёму с учётом принципа преемственности в системе «урок –
факультатив».
Пример реализации содержательной преемственности представлен
планами урока по теме «Неравенства, содержащие неизвестные под
знаком модуля» (Приложение 1) и факультативного занятия по теме
«Решение квадратных уравнений и их систем содержащих переменную под знаком модуля» (Приложение 2).
Для реализации принципа преемственности, а также успешной
подготовки к ЦТ по математике, необходимо организовать повторение
учебного материала в выпускном классе для обобщения и
систематизации знаний учащихся, выявления и ликвидации имеющихся
пробелов. Кроме того, необходимо совершенствовать умения учащихся
решать различного рода нестандартные математические задачи,
поскольку именно решение учебных задач является одной из форм
применения знаний на практике. Однако в выпускном классе времени
учитель
имеет недостаточно, поэтому учащиеся должны
самостоятельно
организовывать
повторение,
используя
рекомендованную литературу. Использование технологии проектов в 11
классе позволяет обеспечить учителю руководство процессом
систематизации, применения знаний на факультативных занятиях.
Современные школьники значительно проще воспринимают
информацию с экрана компьютера, поэтому для решения проблемы
4
оптимального представления систематизированных знаний была
организована
работа
учащихся
11
классов,
посещающих
факультативное занятие по математике, над долгосрочным проектом
по созданию электронного пособия. Учащимися, занимающимися по
программе «Система типичных тестовых заданий и задач по
математике» создано пособие, предназначенное для обучения решению
задач по математике старшеклассников общеобразовательных школ, а
также для использования материалов данного пособия при проведении
факультативных занятий в 8-10 классах. Кроме того, электронный
ресурс включает не только текстовые, графические материалы, но и
интерактивные модели.
Содержательная часть пособия разработана в соответствии со
школьной программой и программой факультативного курса «Система
типичных тестовых заданий и задач по математике.» Данное пособие
состоит из блоков: информационного, практического, а также контроля.
Методический материал помещен в таблицу, в которой обеспечен
переход через гиперссылки
между блоками теоретического
и
практического материала, а также на электронные программы по
решению уравнений и построению графиков. Теоретический материал
в пособии рассматривается крупным блоком. Использование блочной
системы позволяет экономить учебное время. Каждый блок имеет
логически завершённый характер.
Применение электронного пособия можно использовать в
двух системах: А = {У—П} в случае отсутствия возможности работать
на занятиях с компьютерами и Б = {У—К}. У– ученик, П — педагог , К
— компьютер. В первой системе А компьютер остаётся за кулисами, а
учитель использует пособие для подготовки дидактических материалов
к занятию, а в системе Б обучение проходит без участия педагога.
Проект направлен на практическое освоение компьютерных
технологий и использование их в предметной области математики, что
реализует основные идеи общей концепции математического
образования в общеобразовательной
школе. В ходе проектной
деятельности учащимися были освоены и применены компьютерные
технологии для осуществления процесса поиска образовательной
информации через использование Интернет-ресурсов. Помимо
социальной направленности, Интернет-взаимодействие в процессе
осуществления различных проектов может оказывать
мощное
воздействие на мотивационную сферу учащихся. Это обеспечивает их
высокую активность как в овладении инструментами исследования, так
и в овладении новым теоретическим и практическим материалом
различных учебно-предметных областей.
5
Для того чтобы закрепить изученный материал, вошедший в
электронное пособие, я привлекаю участников проекта (учащихся
11класса) к проведению факультативных занятий в 8-10 классах
используя технологию проведения мастер-класса. Мастер-класс - это
особая форма учебного занятия, которая основана на "практических"
действиях показа и демонстрации творческого решения определенной
познавательной и проблемной задачи «мастером» - учеником 11 класса.
Такая форма организации деятельности позволяет ученикам 11
класса становиться в положение «учителя» для оказания реальной
помощи учащимся 8-10 классов, порождает взаимную ответственность,
внимание, формирует интерес к работе участников мастер-класса. В
ходе занятия организуется деление учащихся на группы, которое
позволяет им выбирать уровень сложности решаемых на данном этапе
задач, позволяет на занятиях по систематизации и обобщению знаний
рассмотреть большее количество заданий, учащиеся готовы к
обсуждению нестандартных решений, а также использованию
предлагаемых «мастером» приёмов решения поставленных задач.
Для проведения факультативного занятия с использованием
элементов технологии мастер-класса предлагаю
использовать
технологическую карту факультативного занятия представленную в
приложении 2
Таким образом, представленные выше технологии не исчерпывают
возможные варианты организации учебно-воспитательного процесса,
которые обеспечивают достижение запланированных результатов.
Предлагаемый подход ведет к формированию не только
профильных знаний, умений и навыков, но также и образного
мышления, обладающего как значительной гибкостью, так и
необходимой устойчивостью целостного восприятия материала. При
этом существует возможность сохранения индивидуальности учащегося
и опора на его способности и особенности умственной и мыслительной
деятельности.
Литература
1.Запрудский, Н. И. Моделирование и проектирование авторских
дидактических систем: пособие для учителя /Н. И.Запрудский. – Минск:
Сэр-Вит, 2008.
2 Запрудский, Н. И.Организация факультативных занятий в 11летней школе: пособие для руководителей общеобразовательных
6
учреждений /Н. И.Запрудский, А. И. Добриневская – Минск: Зорны
верасень, 2008.
3. Запрудский, Н. И. Современные школьные технологии : пособие
для учителя /Н. И.Запрудский. – Минск: Сэр-Вит, 2004.
Приложение 1
Урок по теме
«Неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля»
Обучающая цель:
обеспечить формирование
- понятий «модуль», « неравенство с модулем»,
-умений применять
геометрическое или алгебраическое
определение модуля,
-применять знак модуля, умений решать простейшие неравенства
с модулем
Развивающие цели:
создание условий для
- развития наблюдательности, умений анализа и синтеза;
- прогностических свойств через выдвижение предположений;
Воспитательные цели:
-создание условий для воспитания коммуникативных способностей,
работы в паре.
Технологическая карта взаимодействия учителя и учащихся на
уроке
Этап урока
Время
Дидактическая
задача
Деятельность
учителя
Деятельность
учеников.
7
Организация
1мин.
начала
урока.
Проверка
выполнения
домашнего
задания
Целеполагание
Подготовка
к основному
этапу
занятий
2 мин.
2 мин.
2мин.
Создание
условий для
мобилизации
учеников для
активной работы
на уроке.
Создание условий
для установления
правильности
выполнения
домашнего
задания
Создание условий
для
формирования
мотивов учения.
Создание
конфликта между
знанием и
незнанием
Создание условий
для активизации и
актуализации
опорных знаний и
умений
Приветствие
Проверка дом
задания.
Установление
пробелов в
усвоении
пройденного
материала
Создание
проблемной
ситуации через
включение в
серию
вопросов
проблемного
вопроса.
Определено,
что учащиеся
знают что такое
модуль с
геометрической
и
алгебраической
точки зрения , а
также владеют
понятием
неравенство и
умеют решать
линейные
неравенства
используя их
свойства
Подготовка
учащихся к
работе на
занятиях
Обмен
тетрадями с
соседями по
парте и
проверка дом
задания.
Отвечают на
вопросы и
подходят к
формулирован
ию целей
урока
Готовность
учащихся к
активной
деятельности
на основе
опорных
знаний о
модуле
8
Проблемная
ситуация №1
Усвоение
новых
знаний и
способов
деятельности
Физкультминутка
11мин
создание и
решения
проблемных
ситуаций
Проблемная
ситуация №2
Проблемная
ситуация №3
Подводящий
диалог
Возможные
ответы:
1. -4 ≤ x ≤ 4
2. x ≥ -4
x≤4
3. -4 < x < 4
4. x > -4
x<4
5. x ≤ - 4 или
x≥4
Учащиеся
подтверждают
гипотезу.
2 мин
Установление
правильности
осознанности
усвоения нового
материала;
выявление
пробелов и их
коррекция
Организует
выполнение
продуктивных
заданий
Закрепление новых
знаний
7 мин.
Применение
новых
знаний.
Организация
работы в
Создание условий
группах
для формирование
10 мин. умений решать
неравенства с
модулем.
Заполняют
таблицу
Решение
практических
заданий
«Алгебра 8»
П.р.
Шнепермана
Л.Б.
№2.212, 2.218
9
Контроль и
самопроверка
Рефлексия
Информация о
домашнем
задании
7 мин
2 мин
1 мин.
Выявления
качества и уровня
овладения
знаниями и
способами
действия
Организует
Выполняют и
выполнение
проверяют по
диагностическо
ключу
го теста
Организац
ия беседы
Мобилизация
позволяющей
учащихся на
учащимся
рефлексию своего оценить свои
поведения
действия и
действия
учителя
Сообщить д/з,
На основе
провести
выявленных
инструктаж по
результатов дать
его
интегрированное
выполнению.
домашнее задание
Осмысление
своих
действий и
самооценка
Запись
домашнего
задания
№2.219, 2.220
Целеполагание
I
x<3
x-2<3
2x-1>3
II
│x│<3
│x-2│<3
│2x-1│>3
1.
Что записано на доске слева и справа?
2.
Умеем ли мы решать эти неравенства?
3.
Цель нашего урока?
Актуализация опорных знаний
На доске записаны определения понятия «модуль» с
геометрической и алгебраической точки зрения.
Модулем числа а называют
расстояние (в единичных
отрезках) от начала координат
Или
до точки А(а)
10
│а│
│а│
0
-а
а
модулем числа а называется само
число, если оно неотрицательно, и ему
противоположное,
если
число
неположительно.
Проблемная ситуация №1
1.На рисунке изображены решения некоторых неравенств. Какие
неравенства были решены ?
2 .На каком расстоянии от нуля находятся заданные значения Х на
координатной прямой
а)
-4
4
x
в)
-4
4
x
г)
-4
4
x
Проблемная ситуация №2
Как найти расстояние между точками на координатной прямой?
?
1.
3
5
2.
?
3
3.
x
?
?
-x
3
x
Проблемная ситуация №3
Как записать с помощью модуля
1.
?
?
11
о
-x
x
2.
?
-x
?
3
x
3.
?
-x
3
x
Выполнение продуктивных заданий
Геометрическая
Алгебраическая интерпретация
интерпретация
Используя определение
модуля , перейти к равносильным
неравенствам без модуля:
│x│<3
│x│>3
Используя определение модуля ,
перейти к равносильным неравенствам
без модуля:
│x│<3
│x│>3
│x-2│<3
│x-2│>3
│x-2│<3
│x-2│>3
Диагностический тест
Вариант1
1. На рисунке изображены решения некоторых х под знаком
модуля. Какие неравенства были решены?
а)
-7
7
x
-7
7
x
-7
7
x
б)
в)
г)
-7
7
x
2. Отметить на координатной прямой множество решений
неравества
12
|х|< 2 |х|≥ 2
|х|= 2
Вариант2
1. На рисунке изображены решения некоторых х под знаком
модуля. Какие неравенства были решены?
а)
-11
11
-11
11
x
б)
x
в)
-11
11
x
г)
-11
11
x
2. Отметить на координатной прямой множество решений
неравенства
|х|< 1
|х|≥ 1
|х|= 1
Приложение 2
Факультативное занятие по теме
«Решение квадратных уравнений и их систем
содержащих переменную под знаком модуля»
Цели :
-обеспечить формирование навыков решения квадратных уравнений,
умений решать квадратные
уравнения с модулем; применять
различные методы к решению уравнений с модулем;
-создать условия развития логического мышления путём организации
сравнения, обобщения , поиска аналогии в математических операциях;
-создать условия для воспитания умения отстаивать собственную точку
зрения.
Этапы работы
мастер-класса
Деятельность
учителя
Приветствие,
Подготовительно- вступительное
организационный: слово.
Постановка
целей и задач
Деятельность
мастера
Деятельность
участников
Выстраивают
диалог,
проявляют
активную
позицию, тем
13
Основная часть.
(дидактической
общей цели,
триединой цели:
образовательной,
развивающей и
воспитательной).
Содержание
мастер-класса,
его основная
часть: план
действий,
включающий
поэтапно
реализацию
темы.
самым помогая
мастеру в
организации
занятия.
Показ приемов,
используемых
при решении
заданий данного
типа ,показ своих
“изюминок”
(приемов) с
комментариями.
Выполняют
задания в
соответствии с
обозначенной
задачей,
индивидуальное
создание
задуманного.
Рефлексия –
активизация
самооценки и
самоанализа по
поводу
деятельности на
мастер-классе
Теоретический материал рассматривается крупным блоком в виде
таблицы
Методы решения уравнений с модулем
Афишированиепредставление
выполненных
работ.
Заключительное
слово.
Анализ ситуации
по различным
критериям.
Метод
промежутков
Алгоритм решения
1. Найти
критические точки,
т. е. значения
переменной , при
которых выражения ,
стоящие под знаком
модуля, обращаются
в нуль;
2. Разделить область
допустимых
Организует
обмен мнениями
присутствующих,
дает оценку
происходящему
Метод
равносильного
перехода
=
(1)
↔
совокупность
двух уравнений
f(x)=а и f(x)=-a
(2)
↔
совокупность
Метод
введения
новой
переменной
A(F(x))2+
B|F(x)|+C=0
Метод
возведения
квадрат
у=|F(x) |
Aу2+Bу+C=0
(2)
(1)
f2(x)=a2
в
↔
↔ f2(x)=g2(x)
(3)
↔
14
значений
переменной на
промежутки, нанеся
критические точки
на числовую ось;
3.На каждом из
найденных
промежутков
решают уравнение
без знака модуля
4. Объединить
полученные решения
|x2+x|+3x-5=0
x2+|x-2|-10=0
f(x)=g(x) и f(x)=g(x)
(3)
|x2-4x|=5
|x-6|= |x2-5x+9|
↔
(x-3)2-5|x3|+6=0
x2-10|x|+21=0
|x+4|=3
|x|=|2x-5|
Какой из методов является наиболее рациональным для решения
следующих уравнений:
2x2+|x|-1=0
|3x2-3x+5|=|2x2+6x-3|
x2=6|x-3|+|x|
|x-2|=|2x+1|
1-я группа
Метод промежутков
Алгоритм решения
1. Найти критические точки, т. е. значения переменной , при
которых выражения , стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2. Разделить область допустимых значений переменной на
промежутки, нанеся критические точки на числовую ось;
3. На каждом из найденных промежутков решают уравнение без
знака модуля
4. Объединить полученные решения
|x2+x|+3x-5=0
x2+|x-2|-10=0
2-я группа
Метод равносильного перехода
=
(1)
(2)
(3)
↔ совокупность двух уравнений f(x)=а или f(x)=-a
↔
совокупность f(x)=g(x) или f(x)=-g(x)
↔
15
|x2-4x|=5
|x-6|= |x2-5x+9|
3-я группа
Метод введения новой переменной
2
A(F(x)) +B|F(x) |+C=0
у=|F(x) |
Aу2+Bу+C=0
(x-3)2-5|x-3|+6=0
x2-10|x|+21=0
4-я группа
Метод возведения в квадрат
2
↔ f (x)=a2
(2)
↔ f2(x)=g2(x)
↔
(3)
|x+4|=3
|x|=|2x-5|
Практическая часть
Какой из методов является наиболее рациональным для решения
следующих уравнений:
2x2+|x|-1=0
|3x2-3x+5|=|2x2+6x-3|
x2=6|x-3|+|x|
|x-2|=|2x+1|
Приложение 3
Приложение 3
Факультативное занятия по математике в 8 классе.
Тема «Инвариант»
Цели:
-обеспечить усвоение понятия «инвариант», формирование умений
выделять некоторые стандартные инварианты;
-способствовать развитию у учащихся навыков работы с учебной и
научно-популярной литературой;
-создать условия для воспитания коммуникативной культуры через
взаимодействие учащихся в группах.
Тип занятия : мастер- класс
Для проведения занятия в группах приглашены ученики 11 «А»
класса – мастера.
Ход урока
Вводное слово учителя: Мы сегодня познакомимся с новым
понятием «инвариант», научимся выделять некоторые стандартные
инварианты
І. Определить понятие инварианта
16
Ученикам предлагается несколько литературных источников для
определение нового понятия
Стандартные инварианты.
Остаток от деления на некоторое число;
Алгебраические выражение от данной задачи;
Четность нечетность;
Выделение части объекта;
Перестановки;
Раскраска;
Инвариант в геометрии;
2. Работа в группах
Мастер предлагает решить первую задачу , если участники группы
не справляются объясняет решение , просит заметить закономерность и
предлагает решить следующую задачу. После решения всех задач
участники группы переходят к другому мастеру.
1 группа Остаток от деления на некоторое число
1.В некотором государстве было 10 банков. С момента перестройки
общества все захотели стать банкирами. Но по закону ,открыть банк
можно только путем деления уже существующего банка на 4 новых.
Через некоторое время министр финансов сообщил президенту, что в
стране действуют 1998 банков, после чего был немедленно уволен за
некомпетентность. Что не понравилось президенту ?
Решение Заметим , что в результате превращения одного старого
банка в четыре новых общее количество банков увеличивается на 3.
Таким образом, в любой момент число банков равно Б= 10+ 3к и
остаток отделения количества банков на 3 был равен 1, а 1998 при
делении 3 дает остаток 0. Значит , ровно1998 банков в стране образовать
не могло.
2. Петя разорвал листок бумаги на 10 частей, некоторые из них он
снова разорвал на 10 частей и так далее, Мог ли Петя получить таким
путем 1) 1975 кусочков,2) 1999
( Ответ 1) нет 2) да)
2 группа
Алгебраическое выражение от данных задачи.
1. По кругу стоят 232 елки , на каждой из которых сидит по белке.
Если какая-то белка перепрыгивает с одной елки на соседнюю , то
какая-то другая перепрыгивает на соседнюю елку в обратном
направлении. Докажите что все белки не могут собраться на одной
елке.
Решение
Обратите внимание на прием, который мы здесь применим!
Давайте занумеруем елки по кругу от 1 до 232. Тогда каждой белке
можно поставить в соответствие число: номер елки, на которой она
17
сидит. И все эти прыжки представятся , как преобразования набора
чисел. Обычно одна белка , перепрыгивая в одну сторону , уменьшает
свой номер на 1, а другая, прыгая в другую сторону, увеличивает на 1
.Конечно сумма номеров не меняется .Значение суммы номеров по
модулю 232- инвариант. Если бы все белки собрались на одной елке, то
их номера были бы 232-мя одинаковыми цифрами и их сумма на 232
делилась бы. Но тогда и исходная сумма номеров делилась бы на 232, а
этого не наблюдается
2. На шести елках сидят 6 чижей , на каждой елке по чижу. Елки
растут в ряд с интервалом в 10 метров. Если какой то чиж перелетает с
одной елки на другую, то другой чиж обязательно перелетает с одной
елки на другую на столько же метров, но в обратном направлении.
Могут ли все чижи собраться на одной елке? А если чижей и елок 7?
3 группа
Четность
На столе стоит 13
перевернутых стаканов. Разрешается
одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться
того чтобы все стаканы стояли правильно?
Решение.
Нет . Число перевернутых стаканов всегда остается
нечетным. А для того , чтобы все стаканы стояли правильно нужно ,
чтоб их было четное число..
2. На столе стоят 6 стаканов . Из них пять стоят правильно, а один
перевернут
донышком
вверх.
Разрешается
переворачивать
одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы таким образом
поставить правильно?
18