Конспект урока по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Конспект урока по теме
«Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»
в 10 «А» классе
Учитель: Королева Е.В.
МБОУ СОШ №11
г.Новосибирска
Дата проведения: 16.02.2011
Урок рассчитан на 45 минут.
Тип урока: обобщение и систематизация умений и навыков.
Цели урока:
 дидактические: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме « Решение
тригонометрических уравнений и отбор корней»; закрепление основных понятий
базового уровня; систематизация умений и навыков по применению трех способов
отбора корней в тригонометрических уравнениях.
 развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления,
интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
 воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в
тетради и самостоятельность мышления у учащихся.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Отбор
корней при решении тригонометрических уравнений».
Ход урока.
№
I
II
III
IV
Этапы урока и их содержание
Вре
Деятельность
мя
учителя
учащегося
мин.
1
Организационная Сообщают об
Организационный этап.
отсутствующих
1
Сообщает тему и Открыли
Постановка целей.
Сегодня на уроке мы повторим с вами приемы
цель урока.
тетради и
отбора корней при решении тригонометрических
Слайд №1
записали дату и
уравнений.
тему урока.
1
Раздаёт и
Получают
Домашнее задание.
Комментарий: Аналогичные задания мы будем
комментирует
задание.
решать и сегодня на уроке, что поможет вам
домашнее
успешно выполнить домашнюю работу.
задание.
Показывает
Актуализация опорных знаний (устная работа).
В результате выполнения задания мы повторим
презентацию.
формулы необходимые для решения простейших
тригонометрических уравнений
1. Продолжи каждую запись:
2n, n  Z
1. cos x  1, x 
4
Слайд №2
Отвечают на
вопросы.
 cos 2 x
2. sin 2 x  cos 2 x 
3. 1  sin 2 х 
4. tgx  1, x 
5. cos(  x) 

6. sin( x 
7. 2 sin

8
2
)
cos

8. cos(  ) 
3
9. sin(  ) 
V
cos 2 x

 n, n  Z
4
 cos x
 cos x

8

sin

2

4 2
1
2
0
2. а) Решите уравнения:
а) cos x = - 1; х    2,    ;
1

5
7
 2k ,    ;
б) sin х = ; х   2, x 
2
6
6
3

в) tg x =
; х   ,    .
6
3
б) Определите корни уравнения
удовлетворяющие дополнительным условиям:
 3 3 
х   ;
; ;
а) x   
 2 2 

х   2,    ;
б) cos x  0 ;
6
7
х
 2,    .
в) sin x  0 ;
6
Обобщение знаний.
20
Выполнение упражнений.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней
при решении тригонометрических уравнений
специфична. Лишние корни могут появиться
вследствие того, что в процессе решения произошло
Слайд №3, 4, 5
Задает вопросы.
Отвечают на
вопросы.
расширение области определения уравнения. Запись
ответа тригонометрического уравнения часто связана
с понятиями объединения и пересечения множеств.
Обычно при решении таких уравнений получают
серии корней, и в окончательном варианте ответ
записывают в виде объединения этих серий. Сегодня
мы на конкретных примерах рассмотрим различные
способы и приемы при выборе ответа.
Перед вами раздаточный материал.
1. Отбор корней в тригонометрическом
уравнении с помощью числовой окружности.
Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней
при решении тригонометрических уравнений часто
можно решить с помощью изображения чисел на
тригонометрическом круге. В ряде случаев этот
прием более наглядный и убедительный.
Пример 1. а) решите уравнение sin x sin 2x = sin2 x,
б) определите корни принадлежащие
  5 
интервалу   ; 
 2 2 .
Решение.
sin x sin 2x – sin2 x = 0
sin x 2sinxcosx – sin2 x = 0
2 sin2x cosx – sin2 x = 0
sin2 x (2cosx – 1) = 0
sin2 x = 0 или 2cosx – 1 = 0
sin x = 0
cosx = ½

x  k , k  Z
x    2k , k  Z
3
Изобразим серии корней на числовой окружности и
отберем принадлежащие данному интервалу.
Ответ : а)k ;
Слайд №6, 7
Формулирует
задание,
показывает
решение
обсуждая каждое
действие с
учащимися.
Работают в
форме диалога
с учителем,
оформляют
решение в
тетради.
Слайд №8
Формулирует
задание,
показывает
решение
обсуждая каждое
действие с
учащимися.
Работают в
форме диалога
с учителем,
оформляют
решение в
тетради.

 2k , k  Z .
 
5
7
б)  ;0; ;  ; ;2 ; .
3
3
3
3
2. Отбор корней в тригонометрическом
уравнении с помощью графиков
тригонометрических функций.


3
;0;

3
; ;
5
7
;2 ;
.
3
3
3
Изложенные выше способы отбора корней в
тригонометрических уравнениях не всегда
применяются в чистом виде: выбор способа зависит
от конкретных условий, но иногда эти способы
комбинируются.
3. Отбор корней в тригонометрическом
уравнении с помощью двойного неравенства.
Пример 2. Найти все корни уравнения

7
10 cos 2 (  x)  sin(
 2 x)  3,
2
2
принадлежащие промежутку [ 
2 19
;
].
3 12
Решение.
10sin2 x = – cos 2x + 3;
10sin2 x = 2sin2 x – 1 + 3,
8sin2 x = 2;
1
sin 2 x  ;
4
1
sin x   ;
2
С помощью числовой окружности получим:

x    k , k  Z ;
6
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.
Из первой серии:

2 
19
  k 
,k  Z;
3
6
12
 8  2 12k  19
10  12k  17
10 /12  k  17 /12
Следовательно k = 0 или k = 1.
Находим соответствующие значения х.

x   k , k  0;1;
6

x
6
при k = 0

7
x   
6
6
при k = 1
Из второй серии:

2

19
   k 
,k  Z;
3
6
12
 8  2 12k  19
 6  12k  21
1/ 2  k  21/12
Следовательно k = 0 или k = 1.
Находим соответствующие значения х.

x    k , k  0;1;
6

x
6
при k = 0
Слайд №9, 10
Формулирует
задание,
показывает
решение
обсуждая каждое
действие с
учащимися.
Работают в
форме диалога
с учителем,
оформляют
решение в
тетради.
при k = 1
x
Ответ : 
VI

6
 
5
6
 5 7
; ;
.
6 6 6
Работа в парах (по вариантам).
Решите уравнение и определите
принадлежащие интервалу ( - π ; 2π)
1). 6 cos 2 x  cos x  1  0
2).
3).
4).
5).
10
его
корни
3 sin 2 x- sin x  0
tgx  5ctgx  6
1  cos x  cos 2 x  0
sin x  cos x  0
6). sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x  2
7). sin 2 x  2 sin x cos x  3 cos 2 x
8). cos 2 x  3 sin x cos x  0
VII Итоги урока.
Сегодня на уроке мы систематизировали умения и
навыки по применению трех способов отбора корней
в тригонометрических уравнениях.
За урок вы получаете следующие оценки:…………
Спасибо за урок!
1
Отвечает на
вопросы
Решают
уравнения