Треугольник Паскаля

§ 6. Треугольник Паскаля.
Пусть a и b – некоторые действительные числа.
n
Рассмотрим выражение ( a  b) при различных натуральных n.
0
При n = 0: ( a  b) = 1.
1
При n = 1: ( a  b) = (1 a + 1 b).
2
2
2
При n = 2: ( a  b) =1 a  2 a b  1 b .
3
2
2
3
3
При n = 3: ( a  b) =1 a  3 a b  3 a b  1 b .
4
3
2 2
3
4
4
При n = 4: ( a  b) = 1 a  4 a b  6 a b  4 a b  1 b .
nk k
b , k  0, 1, 2 ,..., n и сравнить их с
Если выписать коэффициенты при степенях a
числами в следующем треугольнике при n = 1, 2, 3, 4
то получим, что эти числа совпадают. На этом рисунке числовой треугольник образован по
следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое следующее число
равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки:
По этому правилу легко выписывать одну за другой новые строки этого треугольника. В
такой формулировке он приведён в “Трактате об арифметическом треугольнике”
французского математика Б. Паскаля, опубликованном в 1665 г., уже после его смерти.
Однако иные варианты этого треугольника встречались у итальянского математика Н.
Тартальи, а за несколько веков до этого у среднеазиатского учёного и поэта Омара Хайяма.
Этот числовой треугольник называется треугольником Б. Паскаля.
Одной из ветвей науки является комбинаторика, одной из основных задач которой является:
Сколько подмножеств, содержащих m элементов и отличающихся одно от другого хотя бы
одним элементом, можно извлечь из множества А, содержащего n элементов. Такие
подмножества называют сочетаниями из n элементов по m элементов, их число обозначают
Сnm
и вычисляют по формуле
С nm 
n!
, m!  1  2  ...  m, n!  1  2  ...  n, 0! 1 .
m!(n  m)!
(6.1)
Эти числа тесно связаны с числами в треугольнике Паскаля. Действительно, при n = 0 имеем:
С00  1 - верхняя строка (нулевая) треугольника состоит из одного числа. Следующая строка
– из двух чисел:
С10  С11  1. Четвёртая
строка состоит из 5 чисел:
Содержание.
С 40  С 44  1, С 41  С 43  4, С 42  6 .