МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ЗАОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет механизации и технического сервиса
Кафедра высшей математики
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ И ЗАДАНИЯ
ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Студентам 1 , 2 курсов по направлениям подготовки бакалавров
080100 – «Экономика»
Профили: «Экономика предприятий и организаций»;
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит».
100700 – «Торговое дело»
Профиль: «Коммерция»
Москва 2011
Составитель: доцент Лычкин В.Н.
УДК 517. (076)
Линейная алгебра: Методические указания по изучению дисциплины/
Рос. гос. аграр. заоч. ун-т; Сост. Лычкин В.Н. М., 2011.
стр.
Предназначены для студентов 1, 2 курсов
Утверждены методической комиссией факультета механизации и технического сервиса
Рецензенты:
2
Раздел 1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина «Линейная алгебра» относится к базовой (обязательной) части второго цикла ООП. Методические указания по данной дисциплине составлены в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования, утвержденного
Министерством образования и науки РФ 9 ноября 2009 г. по направлению подготовки «080100 –Экономика», примерной программой по дисциплине и рабочими учебными планами, утвержденными ученым советом ФГОУ ВПО РГАЗУ
26 января 2011 г.
1. 1. Цели и задачи дисциплины
Целью математического образования является развитие навыков математического мышления; навыков использования математических методов и основ
математического моделирования; математической культуры у обучающегося.
Ему необходимо в достаточной степени владеть как классическими , так и
современными математическими методами анализа задач, возникающих в его
практической деятельности, использовать возможности вычислительной техники, уметь выбирать наиболее подходящие комбинации известных методов,
знать их сравнительные характеристики.
Для выработки у современных специалистов с высшим образованием необходимой математической культуры необходимо решение следующих задач:
1.Обеспечение высокого уровня фундаментальной математической подготовки студентов.
2. Выработки у студентов умения проводить логический и качественный
анализ социально-экономических задач управления на основе построения математических моделей на базе различных средств информационного обеспечения.
3. Умение использовать методы современной математики, необходимые
для работы по выбранной специальности.
4. Умение специалиста самостоятельно продолжить свое математическое
образование.
В результате изучения дисциплины студент должен:
1) обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
- умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
2) обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
- способностью к использованию основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применением методов линейной алгебры и моделирования (ПК-1);
3
- способностью проводить и оценивать результаты измерений (ПК-5);
- готовностью к обработке результатов экспериментальных исследований.
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: методы теории линейной алгебры.
Уметь: использовать аппарат линейной алгебры при изучении количественных закономерностей, обработки технической и экономической информации и анализа данных.
Владеть: навыками решения задач по линейной алгебре.
1. 2. Библиографический список
Основной
1. Бугров Я.С., Никольский С.М.. Высшая математика. Т. 1. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Дрофа, 2003.
2. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики.
М.: Наука, любое издание.
3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука,
2000.
Дополнительный
4. Лычкин В.Н. Высшая математика в задачах. Учебное пособие.
М.: РГАЗУ, 2009.
5. Лычкин В.Н. Высшая математика. Учебное пособие. М.: РГАЗУ,
2011.
1. 3. Распределение учебного времени по модулям (разделам)
и темам дисциплины
1
1
2
3
2
Модуль 1. Определители.
Модуль 2. Матрицы.
Модуль 3. Системы линейных алгебра-
3
30
30
40
4
4
2(-)
2(2)
4(2)
5
2(2)
2(2)
4(2)
Самостоятельная
работа
В том числе, ч
Практические
занятия
Всего, ч
Лекции
№
Наименование модулей и тем
п.п. дисциплины
6
26(28)
26(26)
32(36)
Рекомендуемая литература
1. 3. 1. Распределение учебного времени по модулям (разделам) и темам
дисциплины по направлению подготовки 080100 – «Экономика»
Таблица 1
7
1-5
1-5
1-5
4
5
6
ических уравнений.
Модуль 4. Линейные векторные пространства.
Модуль 5.Собственные векторы и собственные значения матриц.
Модуль 6. Квадратичные формы.
Итого
40
2(2)
2(2)
36(36)
1-5
40
2(-)
2(-)
36(40)
1-5
36
216
-(-)
12(6)
-(-)
12(8)
36(36)
192(202)
1-5
1
1
2
3
4
5
6
2
Модуль 1. Определители.
Модуль 2. Матрицы.
Модуль 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
Модуль 4. Линейные векторные пространства.
Модуль 5.Собственные векторы и собственные значения матриц.
Модуль 6. Квадратичные формы.
Итого
Самостоятельная
работа
В том числе, ч
Практические
занятия
Всего, ч
Лекции
№
Наименование модулей и тем
п.п. дисциплины
Рекомендуемая литература
1. 3. 2. Распределение учебного времени по модулям (разделам) и темам
дисциплины по направлению подготовки 100700 – «Торговое дело»
Таблица 2
3
24
24
34
4
2(-)
2(2)
4(2)
5
2(2)
2(2)
4(2)
6
20(22)
20(20)
26(30)
7
1-5
1-5
1-5
34
2(2)
2(2)
30(30)
1-5
34
2(-)
2(-)
30(34)
1-5
30
180
-(-)
12(6)
-(-)
12(8)
30(30)
156(166)
1-5
Примечание: в скобках указаны часы для сокращенного срока обучения.
Раздел 2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНЫХ МОДУЛЕЙ ДИСЦИПЛИНЫ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ИЗУЧЕНИЮ
2. 1. Модуль 1. Определители.
2. 1. 1. Содержание модуля.
Тема 1. Определители.
Определители второго, третьего, n – го порядков. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Способы вычисления определителей: разложением по строке или столбцу; метод обращения в нуль всех, кроме
одного, элементов строки или столбца; метод приведения к треугольному виду.
2. 1. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше5
ние примера 1.
3 2
1
Пример 1. Вычислить определитель ∆= 2 4  1 двумя способами:
3 5 2
а) по правилу треугольников; б) разложением по элементам первой строки.
Решение. а)
a1 b1 c1
Определителем третьего порядка a2 b2 c2 называется выражение
a3 b3 c3
a1b2c3  a2b3c1  a3b1c2  a1b3c2  a2b1c3  a3b2c1 .
(1)
Числа аi , bi , ci (i = 1, 2, 3) называются элементами определителя. Они образуют три строки и три столбца.
В выражении (1) первое слагаемое есть произведение элементов главной диагонали определителя, второе и третье – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла определителя.
Слагаемые, входящие в со знаком ( − ), получаются подобным образом относительно вспомогательной диагонали. Такой способ вычисления определителя
третьего порядка называется правилом треугольника. Схематично вычисление
определителя третьего порядка по правилу треугольника может быть представлено в следующем виде:
  
  
  
  
  
  
  
       +   +    −    −    −    .
        
  
  
  
  
Тогда
∆= 3  4  2  2   5  1   2   1  3  3  4  1  2   2  2   5   1  3  1 .
a11 a12 a13
б)
Минором Mij элемента aij определителя a 21 a 22 a 23 называa31 a32 a33
ется определитель второго порядка, полученный из данного определителя вы
черкиванием i – ой строки и j – го столбца (здесь i, j =1, 2, 3).
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя называет
ся произведение 1i j на минор этого элемента, то есть Aij =  1i  j  Mij .
Тогда определитель третьего порядка может записан в следующем виде:
a 11 a 12 a13
a 21 a 22 a 23  a11  A11  a12  A12  a13  A13 .
a 31 a 32 a 33
Здесь определитель третьего порядка разложен по элементам первой
строки. Подобным образом определитель может быть разложен по любой строке или столбцу.
6
Получаем
3 2 1
4 1
2 1
2 4
 ( 2 ) 
 1

∆= 2 4  1  3 
5 2
3 2
3 5
3 5 2
= 34  2   5   1  22  2  3   1  2   5  3  4  1 .
2. 1. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется определителем второго порядка?
2. Что называется определителем третьего порядка?
3. Назовите свойства определителей.
4. Что называется минором элемента определителя?
5. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?
6. Назовите способы вычисления определителей.
2. 1. 4. Задания для самостоятельной работы.
В задачах 1 – 6 вычислить определители:
1 2 0
5 4
1.
.
2. 2  1 5 .
3.
1 2
3 1 2
4.
1 1 2 1
5 0 3 1
4
1
1
1
2
1
0
1
.
5.
5 0 3 1
1 1 2 1
4
1
1
1
2
1
0
1
.
2 3 5
1 4 3.
3 7 1
1
0
6. 1
0
1
1
8
5
4
3
2 3 4
9 4 6
4 2 3.
5 9 5
4 5 1
2. 2. Модуль 2. Матрицы.
2. 2. 1. Содержание модуля.
Тема 1. Матрицы.
Основные понятия теории матриц. Линейные операции над матрицами.
Умножение матриц. Обратная матрица. Базисный минор. Ранг матрицы.
2. 2. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите решение примеров 2 – 6.
Пример 2. Составить матрицу 4A – 5B, если
  1 0 2
 2 1  2
 .
A = 
 , B = 
0
3
4
3

2
4




Решение. Составим матрицы 4A и 5B:
 4 0 8 
10 5  10 
 .
4A = 
 , 5B = 
 0 15 20 
 12  8 16 
7
  4  10 0  5 8   10    14  5 18 
Тогда 4A – 5B = 
  
 .
 12  0  8  15 16  20   12  23  4 
 2  3


 4 2  1
Пример 3. Перемножить матрицы A=  0 1  и B= 
 .
3
5
2


4 5 


Решение. Произведением матрицы A размерности m  k на матрицу B
размерности k  n называется матрица C размерности m  n, элемент cij кото-
рой вычисляется по формуле
cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  aik  bkj .
Из данного определения следует, что умножение матриц A и B возможно
только тогда, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
При этом каждый элемент i-ой строки матрицы A умножается на соответствующий элемент j-го столбца матрицы B, эти произведения суммируются и полученное число записывается на i-ой строке и j-ом столбце матрицы произведения
C.
Матрица A имеет размерность 3  2; B − 2  3. Значит, матрица C=AּB имеет
размерность 3  3.
 2  3

  4 2  1
 
C=AּB=  0 1   
3
5
2


4 5 


 2  4   3  3 2  2   3  5 2   1   3  2 


0  2  1 5
0   1  1  2  =
=  0  4  1 3
 44  53
42  55
4   1  5  2 

  1  11  8 


5
2 .
= 3
 31 33
6 

2 1 1


Пример 4. Вычислить А2 + А + Е , если А =  1 2 1  .
 1 1 2


2 1 1 2 1 1

 

Решение. А2 = А ·А =  1 2 1  ·  1 2 1  =
 1 1 2  1 1 2

 

8
6 5 5


5 6 5 .
5 5 6


6 5 5


А2 + А + Е =  5 6 5  +
5 5 6


2 1 1


1 2 1 +
 1 1 2


1 0 0 9 6 6

 

0 1 0 = 6 9 6 .
0 0 1 6 6 9

 

1  2 1 


Пример 5. Найти матрицу, обратную матрице A=  2 3  1 .
1 1 2 


Решение. Вычислим определитель ∆ матрицы A:
1 2 1
∆= 2 3  1 = 10 ≠ 0.
1 1 2
Значит, матрица A – невырожденная и имеет обратную матрицу A-1.
 a11 a12 ... a1n 


a
a
...
a
 21
22
2n 
Невырожденная матрица A= 
имеет обратную мат.
.
.
. 


a
a
...
a
n2
nn 
 n1
-1
рицу A , вычисляемую по формуле
 A11 A21 ... An1 


A
A
...
A
1  12
22
n2 
A-1 =  
,
(1)
.
.
.
. 



 A1n A2n ... Ann 
где ∆ - определитель матрицы A; Aij - алгебраические дополнения элементов
aij .
Вычислим алгебраические дополнения элементов данной матрицы.
3 1
2 1
2 3
A11 
 5 , A12  
 5 , A13 
 5 .
1 2
1 2
1 1
Подобным образом получаем
A21  3, A22  1, A23  1, A31  1, A32  3, A33  7 .
По формуле (1) имеем:
3  1
 5


1
3 .
A-1 =   5 1
10 

  5 1 7 
Правильность полученного результата можно проверить умножением
матриц A-1 и A: при таком умножении должны получить единичную матрицу E.
9
3  1  1  2 1 
 5
10 0 0   1 0 0 





 

1
1
 5 1
3    2 3  1    0 10 0    0 1 0   Е.
A-1ּA =
10 
  1  1 2  10  0 0 10   0 0 1 

5

1
7

 


 

1 2 3 6


Пример 6. Найти ранг матрицы  2 3 1 6  .
 3 1 2 6


Решение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от
нуля минора этой матрицы.
Применим к данной матрице систему элементарных преобразований, сведем ее к ступенчатому виду.
1 2 3 6


2
3
1
6

 ~ /умножим первую строку соответственно на – 2 и – 3 и
 3 1 2 6


3
6 
1 2


сложим со второй и третьей строками/ ~  0  1  5  6  ~ / умножим вто 0  5  7  12 


рую строку на – 5 и сложим с третьей строкой /
3
6 
1 2


~  0  1  5  6 .
 0 0 18 18 


В последней матрице три ненулевые строки, поэтому ранг данной матрицы равен трем.
2. 2. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется матрицей?
2. Какая матрица называется единичной?
3. Что называется определителем матрицы?
4. Какая матрица называется невырожденной?
5. Как сложить две матрицы?
6. Как умножить матрицу на число?
7. В каком случае возможно перемножить две матрицы?
8. Что называется произведением двух матриц?
9. Всегда ли для произведения двух матриц справедлив переместительный закон умножения? Приведите примеры.
10. Какая матрица называется обратной данной матрице?
11. Как находится матрица, обратная данной?
2. 2. 4. Задания для самостоятельной работы.
10
 2  3
1. Найти A2, если A= 
 .
1 4 
 2 
2   
1 0
2. Вычислить 
 ·   1  – 2·
 0  1  2    3
 
 23 
  .
3
 1 -1 2
 - 2 1 0
3. Вычислить 3 А – 2 В, если А  
 , В = 
 .
 -1 0 3
 1 - 1 3
 1 1  2

 2  1 1 
   0 1 2  .
4. Вычислить 
 3 0 1 

1 0 1 
В задачах 5 – 7 найти матрицы, обратные данным.
7 
2 5
 1 2 3




 4  6
4 .
5. 
6.  6 3
7.   1 1 2  .
 .
  8  3
 5  2  3
 1 3 5




Определить ранги следующих матриц.
1 0 1 2
 0 2 0 3




 2 2 1 0
 0 4 0 6
8. А  
.
9. A  
.
3 2 2 2
1 2 3 0




0
2
0
3
2
6
6
3




2. 3. Модуль 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
2. 3. 1. Содержание модуля.
Тема 1 Системы линейных алгебраических уравнений.
Основные понятия. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Решение однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения неоднородной линейной системы.
2. 3. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите решение примеров 7 – 10.
 2 x1  х2  х3  1

Пример 7. Решить систему уравнений 3 x1  2 х2  2 х3  7 по форму x  3 х  х  2
2
3
 1
лам Крамера.
11
Решение. Вычислим определитель ∆ системы:
2 1
1
∆= 3  2 2 = 14 ≠ 0 .
1  3 1
Так как ∆ ≠ 0, данная система имеет единственное решение. Вычисляем
определители ∆x1, ∆x2, ∆x3 .
1
1
1
2 1
1
2 1
1
∆x1 =  7  2 2 =14 ; ∆x2 = 3  7 2 =28 ; ∆x3 = 3  2  7 = − 42 .
 2  3 1
1  2 1
1 3 2
По формулам Крамера имеем:
x
x
x
 42
14
28
 3 .
x1  1 
 1 ; x2  2 
 2 ; x3  3 

14

14

14
Ответ: (1; 2; −3).
 x1  2 x 2  x3  1

Пример 8. Данную систему уравнений  2 x1  3x 2  x3  8
 x  x  2 x  1
2
3
 1
записать в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Решение. Введем следующие обозначения:
1  2 1 
 x1 
1


 
 
A =  2 3  1 , X =  x 2  , B =  8  .
1 1 2 
x 
  1


 3
 
C учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:
A·X = H.
(1)
Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля),то
она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения (1) на А-1, получим:
А-1ּА·Х = А-1∙H.
Но А-1∙А = Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому
Х =А-1·Н.
(2)
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
 a11 a12 a13 


Пусть имеем невырожденную матрицу А =  a 21 a 22 a 23  . Тогда
a

 31 a32 a33 
12
 A11 A21 A31 


1
A 1    A12 A22 A32  , где Аij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое
 

 A13 A23 A33 
дополнение элемента aij матрицы А, равное произведению (-1)i + j на минор
(определитель) второго порядка, полученный из определителя матрицы А вычеркиванием i – ой строки и j – го столбца.
Вычислим определитель ∆(A):
1 2 1
∆(A) = 2 3  1 = 10 ≠ 0.
1 1 2
Так как ∆(A) ≠ 0, матрица A имеет обратную матрицу A-1 . Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.
3 1
2 1
A11  ( 1 )11
 5, A12  ( 1 )1 2
 5,
1 2
1 2
2 3
 5,
1 1
А21 = 3, А22 = 1, А23 = –1, А31 = – 1, А32 = 3, А33 = 7.
A13  ( 1 )1 3
Тогда
3  1
 A11 A21 A31 
 5




1
1
3 .
A-1 =   A12 A22 A32      5 1
 
 10   5  1 7 
A
A
A
23
33 
 13


По формуле (2) имеем:
3  1  1 
 5
 30   3 
   1 
  
1 
 5 1
3  8    0   0 .
X=
10 
   10   20    2 
  5  1 7    1

  
Отсюда х1 = 3 ; х2 = 0 ; х3 = −2 .
Пример 9. Решить систему уравнений
 2 x1  3 x 2  x3  x 4  1
 x  x  x  2x  4
 1
2
3
4
.

4
x

2
x

6
x

2
1
2
3

5 x1  4 x 2  5 x3  2 x 4  1
Решение. Для решения системы уравнений применим метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Выпишем расширенную матрицу данной системы и применением к ней
элементарных преобразований сведем ее к ступенчатой форме.
13
2 3 1 1 1


1  2 4
1 1
 4  2  6 0 2  ~ │поменяем местами первую и вторую строки │~


5 4  5 2 1


1  2 4
1 1


2 3 1 1 1
~ 
~│первую строку умножим на (-2), (-4), (-5) и при
4  2  6 0 2


5 4  5 2 1


бавим соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам │~
1
2 4 
1 1


0
1

3
5

7


~ 
~│вторую строку умножим на 6 и на 1 и приба0  6  10 8  14 


 0  1  10 12  19 


вим соответственно к третьей и четвертой строкам│~
1
2 4 
1 1


5 7 
0 1  3
~ 
~ │третью строку делим на (-28)│~
0 0  28 38  56 


 0 0  13 17  26 


2 4 
1 1 1


5 7 
0 1  3
~ 
19
 ~ │третью строку умножим на 13 и прибавим к
0
0
1

2


14
 0 0  13 17  26 

четвертой│~
2
1 1 1
2 4 
1 1 1

4 



0
1

3
5

0
1

3
5


7

7


19
~ 0 0 1 
~
19

.

0
0
1

2
14 2 


14

9 0 

0
1


0 0 0 
0 0 0
14

Полученная матрица есть расширенная матрица следующей системы
уравнений, равносильной данной:
 x1  x 2  x3  2 x 4  4
 x  3 x  5 x  7
3
4
 2
.

19
x

x

2
3
4

14

x4  0

14
Так как х4 = 0 , то х3 = 2 , х2 = −1 , х1 = 3.
Ответ: (3; −1; 2; 0).
Пример 10. Исследовать совместность системы уравнений
х1  3 х2  5 х3  7 х4  1

  х  2 х  3х  2 х  4 х  0
 1
2
3
4
5

 х1  7 х2  11х3  3 х4  8 х5  1
  2 х1  4 х2  6 х3  4 х4  х5  0
и в случае ее совместности найти общее решение и одно из частных решений.
Решение. Как и в примере 9, применим метод последовательного
исключения неизвестных (метод Гаусса). Выпишем расширенную матрицу
данной системы и применением к ней элементарных преобразований сведем ее
к ступенчатой форме. Элементарными преобразованиями матрицы являются:
1. Перестановка местами двух строк.
2. Исключение строки, состоящей из нулей.
3. Умножение всех элементов строки на одно и то же отличное от нуля
число.
4. Прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов
другой строки, умноженной на одно и то же число.
 1 3 5 7 0 1



1
2
3

2
4
0


  1 7 11 3 8 1  ~ /сложим первую строку со второй и третьей строка

  2 4 6  4 1 0


ми; умножим первую строку на 2 и сложим с четвертой строкой/ ~
1 3 5 7 0 1


0 5 8 5 4 1
~
~ /умножим вторую строку на (– 2) и сложим с третьей
0 10 16 10 8 2 


 0 10 16 10 1 2 


1

0
и четвертой строками/ ~  0

0

строку на
3
5
0
0
5
8
0
0
7
5
0
0
0 1

4 1
0 0  ~ / умножим вторую

 7 0 
1
 1
, а четвертую строку – на    ; удалим третью строку как нуле5
 7
15
1 3 5 7 0 1 

8
4 1
 ~ / умножим вторую строку на (–3) и сложим ее с
вую / ~  0 1
1
5
5
5


0
0
0
0
1
0


 4
первой строкой; умножим третью строку на    и сложим ее со второй стро 5
1
2

4 0 
1 0
5
5

8
1
кой/ ~  0 1
1 0 .

5
5
0 0 0 0 1 0 




Следовательно, данная система уравнений равносильна следующей системе:
1
2

 х1  5 х3  4 х4  5

8
1
.
 х2  х3  х4 
5
5

х5  0


Ранг r = 3 матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы; число
неизвестных n = 5. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Число свободных неизвестных равно n  r  2 . Примем за базисные неизвестные х1 , х 2 , х5 , а х3 , х 4 – свободные неизвестные. Получаем общее
решение системы уравнений:
2 1

 х1  5  5 х3  4 х4

1 8
 х2   х3  х4 .
5 5

х5  0


Фиксируя значения свободных неизвестных, например, х3  2 , х4  1 ,
получаем частное решение  4 ;  4; 2; 1; 0  .
2. 3. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Какое уравнение называется линейным?
2. Что называется системой линейных уравнений?
3. Что называется решением системы линейных уравнений?
4. Что называется матрицей системы линейных уравнений?
5. Что называется расширенной матрицей системы линейных уравнений?
16
6. Назовите правило Крамера решения системы n линейных уравнений с
n неизвестными. В каком случае оно применимо?
7. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
8. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное
решение?
9. В чем сущность матричного метода решения систем линейных уравнений?
10. При каких преобразованиях система линейных уравнений переходит в
эквивалентную?
11. В чем сущность метода Гаусса для решения систем линейных уравнений?
12. Какие неизвестные в системе линейных уравнений называются базисными? Свободными?
2. 3. 4. Задания для самостоятельной работы.
В задачах 1 – 3 системы уравнений решить : 1) по формулам Крамера; 2)
с помощью обратной матрицы; 3) методом Гаусса.
 2 x1  3x2  x3  1

1.  x1  4 x2  3x3  10 .
 3x  x  x  2
2
3
 1
2 x1  3x2  x3  4

2.  x1  2 x2  3x3  1 .
3 x  6 x  x  3
2
3
 1
 4 x1  x 2  2 x3  2 x4  2
 x  2 x  4 x  3x  1
 1
2
3
4
3. 
.
2
x

3
x

5
x

3
x

2
2
3
4
 1
3x1  3x 2  6 x3  5 x 4  1
4. Установить совместность системы уравнений
 2 x1  x2  3x3  1

5 x1  3x2  4 x3  2 .
 9 x  x  2 x  3
2
3
 1
5. Установить совместность системы уравнений
 x1  2 x 2  3x3  14
3x  2 x  x  10
2
3
 1
 x1  x 2  x3  6 .
 2 x  3x  x  5
2
3
 1

x1  x 2  3
17
6. Определить, при каком значении параметра а система
 ax1  x 2  2
имеет единственное решение.

 x1  x 2  2a
7. Определить, при каких значениях p и q система
 px1  19 x2  x3  8

 x1  5 x2  2 x3  q :
 2 x  3x  x  2
2
3
 1
а) имеет единственное решение; б) не имеет решений.
2. 4. Модуль 4. Линейные векторные пространства.
2. 4. 1. Содержание модуля. Тема 1. Линейные векторные пространства.
Пространство Rn . Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор
как элемент линейного пространства. Линейные операторы. Линейные операции над векторами. Различные нормы в Rn . Скалярное произведение в Rn. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность линейного
пространства. Преобразование координат. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Разложение вектора по
ортогональному базису. Линейные операторы и действия над ними. Преобразование переменных.
2. 4. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите решение примеров 11, 12.
Пример 11. Даны векторы a1 = (4; 1; 4), a2 = (−2; −1; 1), a3 = (3; 1; 5),
b= (−3; −2; 1). Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис и найти координаты вектора b в этом базисе.
Решение. Вычислим определитель ∆, составленный из координат
векторов a1, a2, a3:
4
1 4
∆=  2  1 1  7 .
3
1 5
Так как ∆≠0, векторы a1, a2, a3 некомпланарны и, следовательно, образуют
базис.
Тогда
b = λ1a1+λ2a2+λ3a3 ,
(*)
где λ1, λ2, λ3 – координаты вектора b в базисе a1, a2, a3.
Запишем равенство (*) в матричной форме:
  3
 4
  2
 3
 
 
 
 
  2   1   1    2    1    3   1  .
 1 
 4
 1 
 5
 
 
 
 
Отсюда получаем систему линейных уравнений
18
41  2 2  3 3  3

 1   2   3  2 ,
 4    5  1
1
2
3

которую решим по формулам Крамера.
4 2 3
3 2 3
 1
 1 1  7 , 1   2
4
1
5
1
4 3 3
 1 1  7 ,  2  1  2 1  14 ,
1 5
4 1 5
4 2 3
3  1
4
 1 1  7 .
1
5
7
 14
7
Тогда 1 
 1,  2 
 2 , 3 
 1 и b = a1 + a 2 + a3 .
7
7
7
Пример 12. Даны два линейных преобразования:
 x1  4 y1  3 y 2  5 y3
 y1  z1  2 z 2  4 z 3


 x2  y1  2 y 2  2 y3 и  y 2   z1  3z 2  2 z 3 .
 x  2y  y  4y
 y  2z  4z  z
1
2
3
1
2
3
 3
 3
Найти преобразование, выражающее x1 , x 2 , x3 через z1 , z 2 , z3 .
Решение. Обозначим через A – матрицу первого преобразования; B –
второго; X, Y, Z – матрицы –столбцы соответственно переменных x1 , x 2 , x3 ;
y1 , y 2 , y3 ; z1 , z 2 , z3 :
2  4
4  3 5 
1
 x1 
 y1 
 z1 




 
 
 
2  , X=  x 2  , Y=  y 2  , Z=  z 2  .
A=  1 2  2  , B=   1 3
2 1 4 
y 
 2 4 1 
x 
z 


 3


 3
 3
В этих обозначениях данные преобразования принимают следующую матричную форму: X = AּY , Y = BּZ. Отсюда X = Aּ(BּZ) = (AּB)ּZ.
Найдем произведение матриц A и B:
2  4   17  21  17 
4  3 5   1

 
 

2     5 16
 2 .
AּB=  1 2  2     1 3
 2  1 4   2  4 1   11  15  6 

 
 

 x1   17  21  17   z1  17 z1  21z 2  17 z3 
  
   

 2    z 2     5 z1  16 z 2  2 z 3  .
Тогда
 x 2     5 16
 x   11  15  6   z   11z  15 z  6 z 
1
2
3 
 3 
  3 
 x1  17 z1  21z 2  17 z3

Итак,  x2  5 z1  16 z 2  2 z3 - искомое линейное преобразование.
 x  11z  15 z  6 z
1
2
3
 3
19
2. 4. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется линейным пространством?
2. Какие векторы линейного пространства называются линейно независимыми?
3. Что называется базисом линейного пространства?
4. Что называется размерностью линейного пространства?
5. Что называется евклидовым пространством?
6. Что называется нормой вектора?
7. Какие векторы в евклидовом пространстве называются ортогональными?
8. Что называется преобразованием пространства? Какие преобразования
называются линейными?
2. 4. 4. Задания для самостоятельной работы.
1. Даны по два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х2 , у2 , z2 через х , у , z .
 x1  2 x  y  4 z

 y1  x  3 y  z
 z  4x  y
 1
и
 x2  x1  2 y1  z1

 y 2  3 x1  y1  2 z1 .

z 2  y1  z1

2. Дано линейное преобразования. Средствами матричного исчисления
найти обратное преобразование.
 x1  x  y  3 z

 y1  3 x  2 y  2 z .
 z  x  y  5z
 1
2. 5. Модуль 5. Собственные векторы и собственные значения матриц.
2. 5. 1. Содержание модуля. Тема 1. Собственные векторы и собственные
значения матриц.
Характеристическое уравнение. Случаи простого собственного значения;
комплексно-сопряженных собственных значений; кратного собственного значения.
2. 5. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите решение примера 13.
20
Пример 13. Найти собственные значения и собственные векторы матри 4  1  1


цы A   1 2  1 .
1 1 2 


Решение. Найдем собственные значения матрицы А, то есть те числа  ,
для которых определитель матрицы A    E , где Е – единичная матрица, равен нулю.
4
1
1
AE  1
2
1 =
1
1 2  
= 4   2   2  1  1  2     4     2    = 2     32  0 .
Это характеристическое уравнение имеет корни 1  2 кратности к1 = 1;
2  3 кратности к2 = 2.
Числа 1  2 и 2  3 являются собственными значениями матрицы А.
Найдем линейно независимый собственный вектор h1 (он единственный,
так как к1 = 1), соответствующий числу 1  2 . Для этого рассмотрим в матричном виде линейную однородную систему  A  1  E 0  0 . Отсюда имеем
 2  1  1 0  1 0  1 0 1 0  1 0

 
 

 A  1  E 0   1 0  1 0  ~  2  1  1 0  ~  0  1 1 0  ~
 1  1 0 0  1  1 0 0  0  1 1 0

 
 

1 0  1 0


~  0  1 1 0 .
0 0
0 0 

Отсюда видно, что координаты a1 , a2 , a3 собственного вектора h удовлетворяют равенствам a1 a3 , a 2  a3 . Тогда
 a1   a3 
1
 1
   
 
 
h   a2    a3   a3  1 и h1  1 .
 1
a  a 
1
 
 3  3
 
Найдем два линейно независимых собственных векторов h 2 и h 3 , соответствующих числу 2  3 кратности 2.
Имеем
1  1  1 0   1  1  1 0 

 

A  2  E 0 = 1  1  1 0  ~  0 0
0 0 .
1  1  1 0   0 0
0 0 

 


21
Отсюда координаты a1 , a2 , a3 искомых собственных векторов h удовлетворяют равенству a1 a2  a3 . Тогда
 a1   a2  a3   a2   a3 
1
1
  
    
 
 
h   a2    a2    a2    0  = a2   1   a3   0  .
    
0
1
a   a
3   0   a3 
 
 
 3 
Собственными векторами, соответствующими числу 2  3 , являются
1
1
 
 
h 2   1  и h3   0  .
0
1
 
 
 1
1
1
 
 
 
Итак, собственными векторами являются h1  1 , h 2   1  , h 3   0  .
 1
0
1
 
 
 
2. 5. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется собственными значениями линейного преобразования?
2. Что называется собственными векторами линейного преобразования?
3. Как найти собственные векторы для случая простого собственного значения?
4. Как найти собственные векторы для случая кратного собственного значения?
2. 5. 4. Задания для самостоятельной работы.
В задачах 1 – 5 найти собственные значения и собственные векторы указанных матриц.
4 1 0 


3
1
1
2
2

1






1. 
2. 
3. 
4.  3 1  1 .
 .
 .
 .
  1 5
5 4
1 4 
1 0
1 

2 1 1 


5.  1 2  1 .
1 1 2 


2. 6. Модуль 6. Квадратичные формы.
2. 6. 1. Содержание модуля. Тема 1. Квадратичные формы.
Основные определения. Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод
Лагранжа. Метод собственных векторов.
2. 6. 2. Методические указания по его изучению.
После изучения по учебникам теоретического материала разберите решение примеров 14, 15.
Пример 14. Привести к каноническому виду уравнение линии
22
17 x 2  12 xy  8 y 2  20 .
Решение. Квадратичной формой от переменных x1 , x2 ,..., xn называется
многочлен второй степени от этих переменных, не содержащий членов первой
степени и свободного члена. В случае n  2 квадратичная форма имеет вид
( 1)
a11x12  2a12 x1x2  a22 x2 2 .
Матрицей квадратичной формы ( 1 ) называется квадратная матрица
a12 
a
 .
A   11
 a12 a22 
Матрица А квадратичной формы 17 x 2  12 xy  8 y 2 имеет вид
17 6 
 .
A  
6
8


Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения
матрицы А.
17  
6
 0 , 17   8     36  0 , 2  25  100  0 , 1  5 , 2  20 .
6
8
Тогда квадратичная форма 17 x 2  12 xy  8 y 2 преобразуется к каноническому
виду 5x1 2  20 y1 2 и уравнений линии имеет вид 5x1 2  20 y1 2  20
x12 y12

 1 . Это уравнение представляет эллипс в системе координат
или
4
1
x1Oy1 с центром в точке 0; 0 с полуосями a  2 , b  1.
Укажем базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический
вид. Для этого найдем собственные векторы линейного преобразования с матрицей А ( см. пример 13).
12 6 0   2 1 0   2 1 0 
~
 

A  1E 0  
  2 1 0 ~  0 0 0 .
6
3
0

 
 

Отсюда координаты a1 ; a 2 собственного вектора удовлетворяют равенству a2  2a1 и тогда h1  1;  2 .
Подобным образом, для 2  20 , получаем h 2  2; 1.
Предположим, что исходный базис – ортонормирован. Нормируем векторы h1 и h 2 , получаем искомый ортонормированный базис e1 , e2 , где
1
2 
h
1
 1
 h1  
;
e1  1 
 h1 
;
2
2
5
5
5
h1


1   2
h
1
 2 1 
e2  2 
 h2  
; .
5
h2
 5 5
23
Следовательно, уравнение представляет эллипс
x12 y12

 1 в базисе
4
1
векторов e1 и e2 .
Пример 15. Квадратичную форму 5 x12  3x2 2  4 x32  4 x1x2  4 x2 x3
привести к каноническому виду.
Решение. Применим метод Лагранжа. В данной квадратичной форме
сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x1 и в полученном в скобках
выражении выделим полный квадрат:
4


5 x12  3x2 2  4 x32  4 x1x2  4 x2 x3 = 5 x12  x1x2   3x2 2  4 x2 x3  4 x32 
5


2
4

 4
= 5 x12  2 x1  x2  x2 2   x2 2  3x2 2  4 x2 x3  4 x32 
5
25

 5
2
2 
11

= 5 x1  x2   x2 2  4 x2 x3  4 x32 
5 
5

( затем в выражении, стоящем вне круглых скобок, группируем слагаемые, содержащие x 2 , и выделяем в этом выражении полный квадрат)
2
2 
11 
20


= 5 x1  x2    x2 2 
x2 x3   4 x32 
5 
5
11


2
2 
11 
10
100 2  20 2

= 5 x1  x2    x2 2  2 x2  x3 
x3   x3  4 x32 =
5 
5
11
121

 11
2
2
2 
11 
10 
24 2

= 5 x1  x2    x2  x3  
x3 .
5 
5
11 
11

Сделаем замену:
2

 y1  x1  5 x2

10
 y 2  x2  x3 .
11

y

x
3
3


После такой замены данная квадратичная форма принимает следующий
канонический вид:
11
24 2
5 y12  y2 2 
y3 .
5
11
2. 6. 3. Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется квадратичной формой?
2. Что называется матрицей квадратичной формы?
3. Как приводят квадратичную форму к каноническому виду?
24
4. В чем заключается метод Лагранжа при сведении квадратичной формы
к каноническому виду?
2. 6. 4. Задания для самостоятельной работы.
В задачах 1 – 3 привести квадратичные формы к каноническому виду.
1. 3x12  3x2 2  3x32  2 x1x2 .
2. 2 x12  5 x2 2  5 x32  4 x1x2  4 x1x3  8 x2 x3 .
3. 3x12  4 x2 2  5 x32  4 x1x2  4 x2 x3 .
В задачах 4, 5 написать канонические уравнения кривых второго порядка
и определить их тип.
4. x 2  4 xy  4 y 2  4 x  3 y  7  0 .
5. x 2  2 xy  y 2  10 x  6 y  25  0 .
25
Раздел 3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
3. 1. Методические указания по выполнению контрольных работ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная
работа, состоящая из изучения материала, чтения учебника, решения задач, выполнения контрольной работы. В период лабораторно-экзаменационной сессии
для студентов проводятся лекции и практические занятия, носящие обзорный
характер.
При изучении учебника следует воспроизводить на бумаге в форме конспекта основные моменты рассматриваемого вопроса программы, обращая особое внимание на определение основных понятий курса линейной алгебры, формулировки теорем, формулы.
Работа над учебником должна сопровождаться решением задач.
В соответствии с действующим учебным планом студенты изучают курс
линейной алгебры в течение одного года обучения.
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими указаниями:
1.Контрольная работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть написаны фамилия и инициалы
студента, его шифр, дата отсылки работы в институт, домашний адрес.
2.Задачи контрольной работы следует располагать в порядке возрастания
их номеров. Перед решением каждой задачи нужно полностью переписать ее
условие. На каждой странице тетради нужно оставлять поля шириной 3-4 см
для замечаний преподавателя.
3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие
ссылки на вопросы теории с указанием необходимых теорем и формул. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами
(желательно на миллиметровой бумаге).Объяснения к решению задачи должны
соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.
4. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно, в противном случае студент лишается возможности проверить степень своей подготовленности по изучаемой дисциплине.
5. Получив из университета прорецензированную работу, студент должен
исправить отмеченные преподавателем ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то в кратчайший срок следует выполнить все требования рецензента и
представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом и первоначально выполненную работу.
6. В межсессионный период или во время лабораторно-экзаменационной
сессии студент должен пройти на кафедре высшей математики собеседование
по зачтенной контрольной работе.
7. Студент выполняет вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра
26
учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9) , то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1. Если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное (2, 4, 6, 8) или ноль, то номера задач даны в таблице 2.
Таблица 1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Номера задач
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
Таблица 2
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Номера задач
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
27
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
3. 2. Задачи для контрольной работы.
В задачах 1 – 20 вычислить определитель третьего порядка:
а) по правилу треугольников; б) разложением по элементам строки или
столбца.
2 1 0
1  2 1
2 4 1
1 .
1. 3 4 1 .
2. 1  5 1 .
3. 3 3
5 2 3
1 1
2
4 1  3
1
4.
7.
2
3
4 3
2
1
1
3 .
4
1
2 1
1 .
3 1
2
2
1
1
4 3 2
1 1 3 .
2 2
4
1
5 4 4 .
2 1
2
5.
8.
3 2 1
10. 4
2
0
5
3 .
4
2 4 3
2 .
13. 1 1
3 2 1
3 3 2
16. 2 1  3 .
1 2 5
1
1
19. 3 2
1 1
3
2 .
5
3  2 1
11. 1 3
5 2
2 .
4
1 2 3
14. 2  3  1 .
4 1 2
17.
4
1 3
3
2
4 .
2 2 4
2 3
6.
2
3
1
1
2
3 .
4 1  2
1 1 1
9.
2
3
5 .
4 1 3
1 4 2
12. 4 1  3 .
2 2
4
3 1 4
15. 1
5
2
2
3
3 .
2
1
3
18. 1  2  5 .
4 3 2
1
20. 1 1  4 .
4 5 3
В задачах 21 – 40 для данных матриц A и В выполнить следующие
действия: а) 2 A  3B ; б) A3 .
28
21.
 0  1 3


A 2
4 5 ,
  3 1 2


 4 0 1


B   5 2 3 .
  1 2 4


22.
 2 0  3


A 4 1 5  ,
 3 4 2 


 5 1  3


B  0 1 2  .
3  2 4 


23.
 3 1  2


A  0 4
6  ,
2  3 1 


 2 3 0


B    2 1 5 .
 4 3 2


24.
 1 0 2


A   3 4 1 ,
 3 2 5


 4  2 1


B   3 2 0 .
1  4 5


25.
 3 1 0


A 2
2 4 ,
  3 1 2


 1 0  3


B  2 4
3  .
1  2 5 


26.
 2 1 0


A    1 3 4 ,
  2 3 5


5  2 1 


B   0 3  1 .
4 2
3 

27.
 0 3  2


A  1 4
4  ,
2 1 5 


 3 1  2


B  4 0
1  .
 2  1  3


28.
 2 1  3


A   0 1  2 ,
4 2 3 


 2  3 4


B    1 0 2 .
 3
1 5 

29.
 0  1 2


A   2 4 3 ,
3  2 1


1 0
 5


B   2 3 1 .
 4  1 2


29
30.
 2 3 0 


A 1 4 2  ,
  3 1  2


 3 1 0


B 2
2 4 .
  3 1 2


31.
 4 0 1


A   5 2 3 ,
  1 2 4


 0  1 3


B 2
4 5 .
  3 1 2


32.
 2 3 0


A    2 1 5 ,
 4 3 2


 3 1  2


B  0 4
6  .
2  3 1 


33.
 1 0  3


A  2 4
3  ,
1  2 5 


 2 0  3


B 4 1 5  .
 3 4 2 


34.
 3 1  2


A  4 0
1  ,
 2  1  3


 4 0 1


B   5 2 3 .
  1 2 4


35.
 3 1 0


A 2
2 4 ,
  3 1 2


 0  1 2


B   2 4 3 .
3  2 1


36.
 2  3 4


A    1 0 2 ,
 3
1 5 

 2 0  3


B 4 1 5  .
 3 4 2 


37.
 0  1 3


A 2
4 5 ,
  3 1 2


 2 1  3


B   0 1  2 .
4 2 3 


38.
 2  3 4


A    1 0 2 ,
 3
1 5 

 2 3 0 


B 1 4 2  .
  3 1  2


30
39.
 3 1 0


A 2
2 4 ,
  3 1 2


 3 1  2


B  0 4
6  .
2  3 1 


40.
 3 1  2


A  0 4
6  ,
2  3 1 


 2  3 4


B    1 0 2 .
 3
1 5 

В задачах 41 – 60 решить систему уравнений: 1) при помощи определителей (по формулам Крамера); 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом
Гаусса.
41.
 x1  2 x2  x3  4

 2 x1  x2  3x3  3 .
4 x  2 x  5 x  3
2
3
 1
43.
 4 x1  3x2  2 x3  0

 x1  x2  3x3  4 .
2 x  2 x  4 x  2
2
3
 1
45.
 x1  x2  x3  2

5 x1  4 x2  4 x3  1 .
 2x  x  2x  2
2
3
 1
47.
2 x1  4 x2  3x3  2

 x1  x2  2 x3  0 .
3x  2 x  x  5
2
3
 1
49.
 3 x1  x2  4 x3  2

 x1  2 x2  3 x3  7 .
5 x  3 x  2 x  8
2
3
 1
51.
 4 x1  x2  3x3  1

3x1  2 x2  4 x3  8 .
2 x  2 x  4 x  0
2
3
 1
42.
 3 x1  2 x2  x3  2

 x1  4 x2  9 x3  0 .
2 x  2 x  3 x  5
2
3
 1
44.
 x1  x2  x3  2

2 x1  3 x2  5 x3  3 .
4 x  x  3 x  1
2
3
 1
46.
 2 x1  3x2  x3  4

 x1  2 x2  3x3  5 .
 4x  x  2x  0
2
3
 1
48.
 x1  2 x2  3x3  1

2 x1  3x2  x3  7 .
 4x  x  2x  0
2
3
 1
50.
3x1  3x2  2 x3  4

 2 x1  x2  3x3  1 .
 x  2 x  5x  1
2
3
 1
52.
 2 x1  x2  3x3  1

 x1  2 x2  5 x3  9 .
4 x  3 x  2 x  4
2
3
 1
31
53.
4 x1  3x2  2 x3  8

 x1  x2  3 x3  7 .
 2x  4x  x  0
2
3
 1
55.
 x1  2 x2  x3  1

3 x1  3 x2  x3  5 .
 x  x  2x  5
2
3
 1
57.
 x1  x2  3x3  0

3x1  2 x2  2 x3  1 .
 x  x  5 x  2
2
3
 1
59.
 3x1  2 x2  x3  5

 x1  3x2  2 x3  2 .
5 x  2 x  4 x  7
2
3
 1
54.
 x1  2 x2  3x3  5

 2 x1  x2  x3  4 .
 3x  x  2 x  7
2
3
 1
56.
 2 x1  4 x2  x3  0

 x1  5 x2  x3  3 .
4 x  x  3x  2
2
3
 1
58.
 2 x1  3 x2  x3  1

 x1  x2  4 x3  0 .
4 x  5 x  3 x  1
2
3
 1
60.
 x1  4 x2  2 x3  5

 4 x1  x2  3 x3  3 .
 2 x  3x  4 x  1
2
3
 1
В задачах 61 – 80 исследовать совместность системы уравнений и в случае ее совместности найти общее решение и одно из частных решений.
61.
 9 x1  3 x2  5 x3  6 x4  4

 6 x1  2 x2  3 x3  4 x4  5 .
3x  x  3 x  14 x  8
2
3
4
 1
62.
3x1  2 x2  2 x3  2 x4  2
 2 x  3x  2 x  5 x  3
2
3
4
 1
 9 x1  x2  4 x3  5 x4  1 .
2 x  2 x  3x  4 x  5
2
3
4
 1
 7 x1  x2  6 x3  x4  7
63.
 x1  x2  x3  0

3 x1  2 x2  x4  0 .
 2x  x  2
3
4

64.
5 x1  4 x2  x3  0

.
 2 x2  x4  4
3 x  x  2 x  0
3
4
 1
32
65.
5 x1  3 x2  x3  0
 x  2x  0

1
3
.

x

x

2
2
3

 3 x1  2 x2  0
66.
 2 x1  3x2  x3  2 x4  4
 4 x  3x  x  x  5
1
2
3
4

5 x1  11x2  3x3  2 x4  2 .
 2 x  5x  x  x  1
1
2
3
4

 x1  7 x2  x3  2 x4  7
67.
6 x1  3 x2  2 x3  3 x4  4 x5  5
 4 x  2 x  x  2 x  3x  4
 1
2
3
4
5
.

4
x

2
x

3
x

2
x

x

0
1
2
3
4
5

 2 x1  x2  7 x3  3x4  2 x5  1
68.
 x1  2 x2  3x3  2 x4  x5  4
3 x  6 x  5 x  4 x  3 x  5
 1
2
3
4
5
.

x

2
x

7
x

4
x

x

11
1
2
3
4
5

2 x1  4 x2  2 x3  3 x4  3 x5  6
69.
6 x1  4 x2  5 x3  2 x4  3 x5  1
 3x  2 x  4 x  x  2 x  3
 1
2
3
4
5
.

3
x

2
x

2
x

x


7
1
2
3
4

 9 x1  6 x2  x3  3 x4  2 x5  2
70.
71.
 2 x1  x2  x3  2 x4  3 x5  2
 6 x  3x  2 x  4 x  5 x  3
 1
2
3
4
5
.

6 x1  3 x2  4 x3  8 x4  13 x5  9
 x1  2 x2  x3  x4  2 x5  1
 x1  x2  3 x3  2 x4  3 x5  1
 2 x  2 x  4 x  x  3x  2
 1
2
3
4
5
.

3
x

3
x

5
x

2
x

3
x

1
1
2
3
4
5

2 x1  2 x2  8 x3  3 x4  9 x5  2
33
72.
 2 x1  x2  3 x3  7 x4  5

 6 x1  3x2  x3  4 x4  7 .
4 x  2 x  14 x  31x  18
2
3
4
 1
73.
3x1  2 x2  5 x3  4 x4  2

6 x1  4 x2  4 x3  3x4  3 .
9 x  6 x  3x  2 x  4
2
3
4
 1
74.
 2 x1  5 x2  8 x3  8
4 x  3 x  9 x  9
 1
2
3
.

2
x

3
x

5
x

7
1
2
3

 x1  8 x2  7 x3  12
75.
3x1  5 x2  2 x3  4 x4  2

 7 x1  4 x2  x3  3x4  5 .
5 x  7 x  4 x  6 x  3
2
3
4
 1
76.
 3x1  4 x2  x3  2 x4  3

 6 x1  8 x2  2 x3  5 x4  7 .
9 x  12 x  3x  10 x  13
2
3
4
 1
77.
 2 x1  3x2  5 x3  7 x4  1

 4 x1  6 x2  2 x3  3x4  2 .
2 x  3x  11x  15 x  1
2
3
4
 1
78.
 2 x1  7 x2  3x3  x4  6

3x1  5 x2  2 x3  2 x4  4 .
 9x  4x  x  7x  2
2
3
4
 1
79.
 3 x1  2 x2  5 x3  x4  3
2 x  3 x  x  5 x  3
 1
2
3
4
.

x

2
x

4
x


3
1
2
4

 x1  x2  4 x3  9 x4  22
34
80.
 2 x1  x2  5 x3  x4  8
 x  3x  6 x  9

1
2
4
.

2
x

x

2
x


5
1
2
4

 x1  4 x2  7 x3  6 x4  0
В задачах 81 – 90 даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х2 , y2 , z2 через x, y ,
z.
 x1  2 x  y  4 x
 x2  x1  2 y1  z1


81.
и
 y1  x  3 y  z
 y 2  3x1  y1  2 z1 .
 z  4x  y

z 2  y1  z1
 1

82.
 x1  x  2 y  z

 y1  2 x  y  3 z
 z  4x  y  z
 1
83.
 x1  2 y  z

 y1  x  2 y  z
z   x  3 y  2z
 1
84.
 x1  4 x  3 y  5 x

 y1  x  2 y  2 z
 z  2x  y  4z
 1
85.
 x1  x  2 y  z

 y1  3 x  4 y  2 z
 z  2x  3y  z
 1
86.
 x1  2 x  4 y  3 z

 y1  x  y  2 z
 z  4x  5 y  z
 1
87.
 x1  2 y  4 z

 y1  x  3 y  z
 z  3x  2 y  2 z
 1
и
 x2  2 x1  y1  z1

 y 2  x1  3 y1  2 z1 .
z  x  2 y  2z
1
1
1
 2
и
 x 2  3 y1  2 z1

 y 2  x1  2 y1  z1 .
 z  2 x  y  3z
1
1
1
 2
и
 x 2  x1  2 y1  4 z1

 y 2   x1  3 y1  2 z1 .
 z  2x  4 y  z
1
1
1
 2
и
 x 2  4 x1  3 y1  z1

 y 2  2 y1  z1 .
 z  x  4y
2
1
1

и
 x 2  5 x1  y1  z1

 y 2  2 x1  3 y1  2 z1 .

z 2  3 y1  z1

и
 x 2  3 x1  2 z1

 y 2  x1  2 y1  z1 .
 z  4 x  y  3z
1
1
1
 2
35
88.
 x1  5 x  4 y  2 z

 y1  x  3z
 z  2x  y  z
 1
89.
 x1   x  4 z

 y1  2 x  3 y  5 z
 z  x  2 y  3z
 1
90.
 x1  2 x  4 y  z

 y1  x  3 z
z  4x  y  2z
 1
и
 x2  x1  2 y1  z1

 y 2  2 x1  3 y1  z1 .
z  4x  y  2z
1
1
1
 2
и
 x 2  4 x1  y1  3 z1

 y 2  2 y1  z1 .
z  5x  y  2 z
1
1
1
 2
и
x2  5 y1  z1


 y 2  2 x1  3 y1  4 z1 .
 z  x  y  2z
1
1
1
 2
В задачах 91 - 100 даны векторы а 1 , а 2 , а 3 , b . Показать, что векторы à1 ,
à 2 , à 3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора
b в этом базисе.
91. à1 = (3; 1; 6), à 2 = (- 2; 2; -3), à 3 = (- 4; 5; -1), b = (3; 0; 1).
92. à1 = (4; 1; 4), à 2 = (-2; -1; 1), à 3 = (3; 1 ;5), b = (-3; -2; 1).
93. à1 = (1; 2; 5), à 2 = (2; -3; 4), à 3 = (1; -1; -2), b = (3; 0; 1).
94. à1 = (5; 1; 2), à 2 = (3; 4; -1), à 3 = (- 4; 2; 1), b = (-3; 5; 4).
95. à1 = (2; 1; 5), à 2 = (- 4; 3; 5), à 3 = (1; -1; -4), b = (4; -1; -3).
96. à1 = (3; 1; 4), à 2 = (- 4; 2; 3), à 3 = (2; -1; -2), b = (7; -1; 0).
97. à1 = (1; 4; 2), à 2 = (5; -2; -3), à 3 = (-2; -1; 1), b = (-3; 2; 4).
98. à1 = (2; 1; 3), à 2 = (3; -2; 1), à 3 = (1; -3; - 4), b = (7; 0; 7).
99. à1 = (5; 3; 1), à 2 = (-2; -1; 2), à 3 = (-2; 1; 4), b = (3; 0; 1).
100. à1 = (1; 3; 5), à 2 = (-2; -1; -1), à 3 = (4; -2; 4), b = (-7; 3; -1).
В задачах 101 – 120 найти собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
36
 5 0 21


101.  21 2 16  .
1 0 1


3 1 1 


104.  0 2  1 .
0 1 2 


 2  1 0
  1  2 12 




4
3 .
102.   1 2 0  . 103.  0
 1 1 1
0
5
6 



 2 19 30 
 5  1  1




105.  0  5  12  . 106.  0 4  1 .
0 2
0 1 4 
5 



0
  3 2 0
3 0




107.   2 1 0  . 108.  1 2  1 .
 15  7 4 
1  1 2 




0
5 0


109.  1 4  1 .
1  1 4 


 5 7 0 
 2 0  1




0  . 111.  1 1  1 .
110.   3 1
 12 6  3 
1 0 2 




 2 1 0


112.  1 2 0  .
  1 1 3


5 9 7 


113.  0 3  2  .
0 2 1


 4 1 0


114.  1 4 0  .
  1 1 5


 1 8 23 


115.  0 5 7  .
0 3 1 


 1  1 16 


116.  0 1  1 .
0 1
3 

 3  2 2


117.  0 3 0  .
0 2 1


  3 11 7 


118.  0 5  4  .
 0 1 1 


 4 0 5


119.  7  2 9  .
 3 0 6


5  2 2


120.  0 5 0  .
0 2 3


В задачах 121 – 130 привести к каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить ее вид.
121. 3x 2  2 14 xy  8 y 2  10 .
122. 4 x 2  4 3xy  5 y 2  40 .
123. 4 x 2  2 6 xy  3 y 2  24 .
124. 6 x 2  2 10 xy  3 y 2  16 .
125. 6 x 2  2 5xy  2 y 2  21 .
126. 5 x 2  4 xy  2 y 2  18 .
37
127. 9 x 2  4 2 xy  2 y 2  20 .
128. 5 x 2  4 2 xy  3 y 2  14 .
129. 7 x 2  6 2 xy  4 y 2  15 .
130. 7 x 2  2 6 xy  2 y 2  24 .
38
Оглавление
Раздел 1. Общин методические указания по изучению дисциплины… 3
1. 1. Цели и задачи дисциплины ……………………………….
3
1. 2. Библиографический список ………………………………
4
1. 3. Распределение учебного времени по модулям (разделам)
и темам дисциплины …………………………………………………………
4
Раздел 2. Содержание учебных модулей дисциплины и методические
указания по их изучению…………………………………………………….
5
Раздел 3. Задания для контрольных работ и методические указания
по их выполнению …………………………………………………………… 26
3. 1. Методические указания по выполнению контрольных
работ …………………………………………………………………………. 26
3. 2. Задания для контрольных работ …………………………
39
28