3.12i#Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с

3.12i.
Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной
плотностью   0 cos( ) , где  0 - постоянная,  - азимутальный угол.
Найти модуль напряженности электрического поля :
a) в центре кольца;
b) на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра.
Исследовать полученное выражение при x>>R.
Решение:
Рассмотрим сразу общий случай- пункт б) задачи.
Из вида функции λ=λ(r), ясно, что одна половина кольца заряжена
положительно, а другая- отрицательно.
Учитывая принцип суперпозиции E  E   E  и понимая, что в силу симметрии
распределения заряда результирующий вектор поля Е направлен против оси Х,
находим:
E   E x  E y  E x
d E x  d E  Cos 
dq
Cos
40 r 2
Здесь dq  dl  0 CosRd   элементарный заряд дуги dl
По теореме Пифагора r 2  R 2  z 2



dEx 
0 R
4 0 ( R 2  z 2 )
 Cos 2d  поле элементарного заряда
Теперь интегрируем по области положительного
заряда (-π/2<φ<π/2):
E x   dE x 
0 R


40 ( R  z ) 2

1
2
 Cos d  2 (  SinCos )
2
2
,
так как
Теперь, учитывая, очевидное равенство E   E  , запишем:
E  2 E x Cos
R
Cos 
2
R 2

x



E  2Ex
Наконец,
E
0 R 2
4 0 ( R  z )
2
2
3
R
(R  z 2 )
2
1
2
(*)- искомая зависимость.
2
Теперь можем исследовать ее при x>>R:
E
R 2 0
p

,
3
40 z
40 z 3
где p  R 2 0 - дипольный
распределением заряда.
момент
кольца
с
заданным
Для нахождения поля в центре кольца достаточно подставить в
(*) z=0.