44. Комбинаторика 3. Занятие посвящено изучению такого комбинаторного объекта как число сочетаний. Вначале обязательно надо предложить несколько задач на уже обсуждавшиеся идеи: см. занятия по комбинаторике 1, 2. Литература к теме та же: Теоретические сведения и задачи: [8], [9], [10], [20], [33], методические замечания: [10,с.124-127]. Литература Задача 1 (Перестановки). Надо рассадить на одной скамейке 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Места на скамейке обозначим клетками Посадим на нечетных местах мальчиков. Таких всевозможных расположений мальчиков по нечетным местам будет Р5=5!. Каждому одному из этих расположений мальчиков будет соответствовать 5! Расположений по четным местам девочек. всего различных расположений мальчиков и девочек окажется 5!5!. Такое же число новых различных расположений на скамейке получим, если посадим мальчиков на четные места. рассадить мальчиков и девочек так, как указано в условии задачи, можно 5!5!2=28800-ю способами. Задача 2. Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго, независимо от выбора первого ученика 29 способами. При этом каждая пара учитывается дважды. Поэтому ответ: 3029/2=435 способов. Пусть команда состоит из k человек и в классе учится п человек. Количество способов выбрать команду называется числом сочетаний из п элементов по k и обозначается С kn . Отсюда понятно, что С12 2, С 32 3, С1n n, С nn 1. С 0n 1 . Определение. Сочетаниями из п элементов по р в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит р элементов, взятых из числа данных п элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Свойства: С nnk C kn , C kn1 C kn C kn1 Задача 3. Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в классе, в котором учатся 30 человек? Решение. Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго 29 способами, третьего 28 способами. Т.о. получаем 302928 вариантов выбора. Однако каждая команда при этом подсчете учтена несколько раз: одна и та же тройка учеников может быть выбрана по разному, например сначала А, потом В, потом С или сначала С, потом А, потом В и т. д. Поскольку число перестановок из трех элементов равно 3!, то каждая команда учтена нами ровно 3!=6 раз. Поэтому С 330 С kn 30 29 28 . 3! Совершенно аналогично может быть получена формула для вычисления при произвольных п и k: С kn nn 1n 2 ...n k 1 . k! Если домножить числитель и знаменатель на (n k)!, то формула принимает вид: С kn n! . k! n k ! Задача 4. Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных? Ответ: 35. Задача 5. В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать? Решение. В команду входит либо одна девочка, либо две. Разберём оба случая. Если в команде две девочки, то двух мальчиков к ним можно добавить С 72 способами. Если же в команду входит только одна девочка (её можно выбрать двумя способами), то команду можно дополнить тремя мальчиками С 37 различными способами. Т.о., общее число возможных команд равно. С 72 +2 С 37 =91. Задача 6. Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых. 20 Ответ: 3 С 62 С 60 . Задача 7. Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая её членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно. Указание. Выберите сначала семьи, а потом в каждой паре конкретного представителя. Ответ: 2 2 С 34 32. Задача 8. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в неё вошло не более трех юношей. 5 4 2 2 3 2 Ответ: С12 10 С12 С10 С12 С10 С12 23562 . Задача 9. На каждом борту лодки должно сидеть по 4 человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, при чем десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать на правом, а девяти безразлично, где сидеть? 0 4 4 2 4 3 1 4 4 Ответ: С10 С94 С17 С110 С39 С18 С10 С92 С19 С10 С9 С 20 С10 С90 С 421 15638850. Содержание