Модель экономики с частной собственностью

Микроэкономика (продвинутый уровень)
Модель экономики с частной собственностью
M потребителей (k  1,2,  , M )
N товаров (i  1,2,  , N )
J фирм ( j  1,2,  , J )
Фирма j : Yj - производственное множество ( Yj  R N , непустое и замкнутое).
k
Потребитель k: рациональные предпочтения ~ , определенные на X k ( X k  RN , если не сказано иначе)
M
первоначальные запасы  k  RN (запас i -го товара в экономике i   ik ).
k 1
доля собственности потребителя k в фирме j: kj [0,1] ,
Распределением
( x, y ) , где
x  ( x1 , x 2 ,, x M )
M
  kj  1 .
k 1
y  ( y1 , y 2 ,, y J ) , будем называть набор,
и
специфицирующий потребительские корзины xk  X для каждого потребителя k (k  1,2,  , M ) и
производственные планы (вектор чистых выпусков) y j  Y j для каждой фирмы j ( j  1,2,  , J ) .
k
Распределение ( x, y ) наз. допустимым, если для любого i (i  1,2,  , N ) имеем
M
J
k 1
j 1
 xik  i   y ji .
Допустимое распределение ( x, y ) называется парето оптимальным, если не существует другого
допустимого распределения ( xˆ , yˆ ) , которое доминирует по Парето первоначальное распределение, то
k
k
есть: x̂k ~
 xk для всех k ( k  1,2 ,,M ) и x̂k  xk хотя бы для одного k .
x, ~
y ) и вектор цен ~
p  0)
p  (~
p1 , ~
p 2 , , ~
pN )  0 ( ~
Определение равновесия. Распределение ( ~
образуют равновесие по Вальрасу в экономике с частной собственностью, если:
(1) для любого j вектор чистых выпусков ~y j Y j максимизирует прибыль фирмы j на множестве Y j ,
p~
y ~
p y для всех y  Y ;
то есть ~
j
j
j
j
k
x k является наилучшим согласно ~
(2) для любого потребителя k набор ~
 в бюджетном множестве:
{xk  X k : ~
px k  ~
p k    kj ~
p~
y j };
j
(3) для любого товара i выполняются соотношения
 ~x
i
k
k
 i   ~
y ji и ~
pi ( ~
xik  i   ~
y ji )  0 .
j
k
j
Закон Вальраса. Если в экономике с частной собственностью все потребители имеют локально
ненасыщаемые предпочтения, то для любого вектора цен p  0 , при котором определен избыточный
спрос z( p ) , совокупная стоимость избыточного спроса в экономике равна нулю  pi zi ( p )  0 , где
i
z i ( p )   x ( p ) i   y ji ( p ) .
k
i
k
Безусловная весрия:
j
 p z ( p)  0 для всех
i i
i
p  0 , при которых z( p ) определен.
Общее равновесие
Первая теорема экономики благосостояния. Если в экономике с частной собственностью все
x ,~
y ,~
p ) является равновесием
потребители имеют локально ненасыщаемые предпочтения и набор ( ~
~
~
по Вальрасу, то распределение ( x , y ) является Парето оптимальным.
x, ~
y ) и вектор цен ~
Определение равновесия с трансфертами. Распределение ( ~
p  (~
p1 , ~
p 2 , , ~
pN )  0


(~
p  0) образуют равновесие по Вальрасу с трансфертами T  T 1 ,, T M , если:
y j Y j максимизирует прибыль фирмы j на множестве Y j , то
1)
для любого j вектор чистых выпусков ~
p~y  ~
p y для всех y  Y ;
есть ~
j
j
j
j
k
x k является наилучшим согласно ~
для любого потребителя k набор ~
 в бюджетном множестве:
{xk  X k : ~
px k  ~
p k   kj ~
p~
yj T k};
2)

j
3)
для любого i имеем
 ~x
k
i
k
M
T
4)
k
 i   ~
y ji и ~
pi ( ~
xik  i   ~
y ji )  0 ;
j
k
j
 0.
k 1
Вторая теорема экономики благосостояния.
x, ~
y ) – парето-оптимальное распределение, в котором любой агент имеет положительное количество
Пусть ( ~
x k  0 ). Предположим, что предпочтения всех потребителей выпуклы, непрерывны,
любого товара ( ~
локально ненасыщаемы и хотя бы у одного потребителя предпочтения слабо монотонны. Пусть, кроме того,
p  0 (~
p  0) и трансферты
производственные множества Yj – выпуклы. Тогда существует вектор цен ~

T  T
T  T 1 , , T M
1
, , T
M

.
такие, что
(~
p, ~
x, ~
y)
– равновесие по Вальрасу в экономике с трансфертами
План доказательства.
1. Определим для каждого k множество V k  {xk  X k : xk k ~
x k}.
Определим V 
V
k
k
 { x   xk  R N : xk V k  k } .
k
Определим агрегированное производственное множество Y 
 Yj  { y   yj : yj  Y
j
j
j} .
j
Множества V и Y  {} удовлетворяют условиям теоремы о разделяющей гиперплоскости (непустые,
выпуклые, их пересечение пусто).
p  0 можно рассматривать в качестве вектора цен, то есть все
2. Нормаль разделяющей гиперплоскости ~
координаты неотрицательны (в силу слабой мнонотонности).
p~
x~
p  ~
p~
y , откуда с учетом
3. Проверить, что ~
 ~x
i
k
k


 i   ~
y ji следует ~
pi   ~
xik  i   ~
y ji   0
j
j
 k

для всех i , т.е. все рынки уравновешены.
py j  ~
p~
y j для любого yj  Yj .
4. Проверить рациональность производителей: ~

 
p k  ~
xk 
5. Определить трансферты T k  ~
k
j
~
p~
y j и проверить баланс трансфертов
j
k
x k , то ~
px k  ~
p~
xk .
6. Проверить рациональность потребителей: если x k  ~
T
k
k
 0.